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集合论与图论答案 第一章习题
若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。 例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集 为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列 各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个 成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。 其中 2A 表示集合 A 的幂集。 证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。 若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。 同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。 因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。 证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。 所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论与图论习题册
集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2019.03第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆； f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C =。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论与图论基础题
集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
集合论与图论 期末考试试题 A 卷,2008年1月
0 1 2 3 4 5
0
1/v1 1 /v1
4/v1 3/v2 3 /v2
∞ 8/v2 8/v2 7/v5 7 /v5
∞ 6/v2 4/v3 4 /v3
∞ ∞ ∞ 10/v5 9/v4 9 /v4
解 答：由 不饱 和 点x 出 发 构 造增 广 路 径P ：
u eu x1 •
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3 4 5 2g www gg qqq g PPg gg ww g {{ {{ P q g { q PPqqg gg ww g {{ {{ g { q w gg ww {g qq PP ggg {{ gg ww {{{ g PP gg {{{ qqqq www gg {{ g g { PP g{ g g { qq ww {g PP {{{{gggg qqq {{ ggg wwww g q g { q wq g g g P{ g g {{ {{PP qqqwww ww g ggg ggg {{ { q q P { { gg g { PP qqqggg www {{ g g {{{ ww qqq {{
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《 集合论与图论》期末考试试题（A 卷，2008年1月）
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面的关系中是等价关系的是：
A. (A × A) − R B. R◦R C. R−S D.
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面命题中正确的是： A A. 若R和S 是自反的， 则R ◦ S也是自反的 B. 若R和S 是对称的， 则R ◦ S也是对称的 C. 若R和S 是反对称的， 则R ◦ S也是反对称的 D. 若R和S 是传递的， 则R ◦ S也是传递的 4. 设f ◦ g 是满函数， 则： A A. f 必定是满函数 B. f 必定是单函数 C. g 必定是满函数 D. g 必定是单函数 5. 记Z是整数集合， 函数f : Z→Z定义为，∀x ∈ Z, f (x) = |x| − 2x，则f 是： A A. 单函数 B. 满函数 C. 双函数 D. 既不是单函数也不是满函数 6. 下列哪个序列不可能构成一个图的结点度数序列？ C
北京大学集合论与图论SG2017-期末考试题试题-final-答案
北京大学信息科学技术学院期末试卷考试科目：集合论与图论姓名：学号：考试时间：2018 年 1 月 2 日任课教师: 参考答案以下为试题和答题纸，共 5 大题。
一、（20分）设n是某个自然数，N是自然数集，回答下列问题并给出证明：(1) P(n)是否传递集？证明：n为传递集，A为传递集当且仅当P(A)为传递集所以P(n)为传递集(2) P(N)是否归纳集？P(N)不是归纳集，N+=N⋃{N}∉P(N)，因为P(N)的任意元素A都是N的子集，所以A的元素都是自然数。
因此是有限集，所以P(N)对后继运算不封闭，故P(N)不是归纳集二、（20分）对于无向图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果有函数f:V1→V2满足以下性质：对于任意的u,v∈ V1，(u,v) ∈ E1 ⇒ ( f(u), f(v) ) ∈ E2，则说f是从G1到G2的同态。
把同态看作全体无向图上的二元关系，试回答下列问题并给出证明。
(1) 同态关系是否自反的？是，恒等映射(2) 同态关系是否反自反的？不是，实际是自反的(3) 同态关系是否对称的？不是，K1同态到K2，反之不然。
(4) 同态关系是否反对称的？不是，K2和K1,2互相同态(5) 同态关系是否传递的？是，由定义可知同态的合成还是同态(6) 证明：图G可以k-着色当且仅当G可以同态到k个顶点的完全图。
（⇒）设颜色集为{1,2,…,k}，设完全图的顶点集为{u1,u2,…,u k}，设k-着色为g: V→{1,2,…,k}，则同态为f:V→{u1,u2,…,u k}，f(v)=u g(v)，即着g(v)色的同色顶点都对应到完全图同一个点u g(v)上。
（⇐）设完全图的顶点集为{u1,u2,…,u k}，设同态为f:V→{u1,u2,…,u k}，则给f-1(u i)中的顶点都着颜色i。
三、（20分）（1）证明：一棵树的完美匹配若存在则是唯一的。
证明：假设有两个不同的完美匹配M1和M2，则M1⊕M2不为空，G(M1⊕M2)每个点的度数都为2，则有圈，与树矛盾。
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
集合论图论 期中考试试题 2008年11月
关系的传递闭包仍是自反的，因此tr(R)是自反的，因此tr(R)是包含t(R)的自反关系，因此根据闭包
的定义， 。 rt(R) ⊆ tr(R)
反之，由R ⊆ t(R)，自反闭包保持子集关系，因此r(R) ⊆ rt(R)，又t(R)是传递的，而且传递关
系的自反闭包仍是传递的，因此rt(R)是传递的，从而rt(R)是包含r(R)的传递关系，因此根据闭包
六、给定 上的关系 且 是 的倍数 ： 分 A = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 36}
R = { x, y | x, y∈A y x
} (11 )
1. 划出偏序关系R的哈斯图(3分)；
2. 求A的子集B = {3,4,9}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确
界(8分)。
分 ； (2) rt(R) = tr(R)(5 )
分 ，并举例说明有 成立 分 ； (3) st(R) ⊆ ts(R)(5 )
st(R) ⊂ ts(R) (2 )
五、设R是非空集A上的等价关系，定义S = { a, b | ∃c∈A, a, c ∈R ∧ ， c, b ∈R} 证明S也是等价关系。(12分)
// (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
// 结合律 // 吸收律
而C = C ∩ A当且仅当C ⊆ A。
点评：有许多同学直接从 得到 ，这是 (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) A ∪ C = A
错误的，将被扣4分。因为对任意集合X, Y, 能得到，因为很显然当X ⊆ Y ∩ Z时总有X
点评：这一题如果说从A = B显然得到P(A) = P(B)将被扣2分，因为出这个题目的本意就是
集合测试题及答案pdf
集合测试题及答案pdf一、选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B。
A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1,4}2. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B。
A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}3. 如果A={1,2,3}，那么A的补集（相对于全集U={1,2,3,4,5}）是什么？A. {4,5}B. {1,2,3}C. 空集D. {1,2,4,5}4. 集合A={x|x<5}，B={x|x>3}，求A∩B。
A. {x|x<5}B. {x|x>3}C. {x|3<x<5}D. 空集5. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A-B。
A. {1}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,4}6. 以下哪个不是集合的属性？A. 确定性B. 互异性C. 无序性D. 可数性7. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C。
A. {3}B. {2,3}C. {3,4}D. {3,4,5}8. 如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的元素个数。
A. 3B. 4C. 5D. 69. 集合A={x|x^2-5x+6=0}，求A的元素。
A. {2,3}B. {1,6}C. {-1,6}D. {2,-3}10. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的补集。
A. {1}B. {2,3}C. {1,2,4,5}D. {1,2,5}二、填空题（每题2分，共10分）11. 集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，A∩B的元素是_________。
12. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，A∪B的元素个数是_________。
13. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，A-B的元素是_________。
大学集合论与图论期末考试复习资料
集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。
集合论、图论重要习题100
例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
北大集合论与图论往年考题.pdf
一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。
二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。
三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？四、用花括号和空集来表示1⨯2（注意⨯表示集合的叉乘）.五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射.1．简单叙述构造的思路；2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。
2008年期末考题：一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。
回答下列问题：1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。
1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）；2．画出所有互不同构的这种树。
三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小边覆盖、一个最大匹配。
四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。
8阶3正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。
六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j<n/2，G中度数不超过j的顶点个数都小于j，则G一定是哈密顿图。
2007年期中考题一、设A,B为集合, P(A)为A的幂集, 证明: P(A)⊆P(B)当且仅当A⊆B.二、设A={1,2,3,4}, R是A上的二元关系且R={<1,2>,<2,3>,<3,2>, <3,4>}.(1) 给出R的矩阵表示, 画出R的关系图;(2) 判断R具有哪些关系性质(自反,反自反,对称,反对称,传递);(3) 求出R的自反闭包r(R), 对称闭包s(R), 传递闭包t(R). (用关系图表示)三、设X,Y,Z是任意集合, 构造下列集合对之间的双射, 并给出是双射的证明.(1) Z(X⨯Y)与(Z X)Y ;(2) P(X⋃Y) 与P(X)⨯P(Y). (假设X⋂Y=∅)四、已知对每个自然数n, 都存在唯一后继n+=n⋃{n}. 证明: 对于每个非零自然数n, 都存在唯一前驱n-, 满足n=(n-)+.五、设f: A→B是单射, g: B→A是单射, 证明: 存在集合C,D,E,F, 使得A=C⋃D, C⋂D=∅, B=E⋃F,E⋂F=∅, 并且f(C)=E, g(F)=D.一、化简自然数的集合表达式（注意所有运算都是集合运算）：⋃⋃(2⨯3).二、证明集合之间的等势关系是等价关系.三、每个奇数阶竞赛图都可既是有向欧拉图又是有向哈密顿图吗？为什么？四、完全图K4在对边进行标定的情况下有多少棵不同的生成树？为什么？画出两棵不同构的生成树，并写出其中一棵对应的基本回路系统和基本割集系统.五、计算出右图中v2到v2长度为5的回路数，并计算出全体极小支配集和全体极小点覆盖集（要写出计算过程的主要步骤）.六、求彼德森图的点色数、边色数、点连通度、边连通度，并说明理由.七、证明简单平面图中至少有一个顶点的度数不超过5.八、证明：在8×8的国际象棋棋盘的一条主对角线上移去两端1×1的方格后，所得棋盘不能用1×2的长方形恰好填满。
集合论与图论答案 第三章习题
证：因为 R 是传递的，故 (R ) R 。
（3） (R S) R S
证：因为 R S R 且 R S S ，故 (R S) R ，且 (R S) S ，从而
(R S) R S 例 3 如图 5 所示给出下图中每个关系的自反、对称和传递闭包。
3
·
·
（a）
（1）自反闭包
（b） 图5
（c）
R {(a,b) | a b } 等价于 aRb a b (a,b) R a b 。 解：(1)自反性。 因为 2A ，但 ，所以 (,) R ，故 R 不是自反的。
2
（2）反自反性。 因为{1} 2A ，{1} {1} {1} ，故 ({1},{1}) R ，故 R 不是反自反的。 （3）对称性。 x, y 2A ，若 (x, y) R ，则 x y ，所以 y x ，故 ( y, x) R ，从而 R 是对称的。 （4）反对称性。 令 x {1, 2} ， y {1,3} ，则 x y y x {1} ，故 (x, y) R 且 ( y, x) R ，
解：设 N {1, 2,3, }，在 N 上定义小于关系“ ”，则 s(t()) s() “不等关系≠”；
4
而 t(s()) t() “全关系”。
因此的确不相等。
例 7（ P988 ）是否存在 X （ X n ）上的一个二元关系 R，使得 R, R2, , Rn 两两 不相等。
解：存在。令 X {1, 2,3, , n} ， R {(1, 2),(2,3), ,(n 1, n)}即可。
但 x y ，所以 (x, y) ( y, x) ，从而 R 不是反对称的。 （5）传递性。 令 x {1} ， y {1, 2} ， z {2} ， 则 有 x y {1} 且 y z {2} ， 故
北京大学集合论与图论1.重点难点
在模块1集合中，重点是集合之间的各种关系、运算、及其性质，难点是一阶谓词逻辑的推理定律、从定义出发和利用已知结论的两类半形式化证明方法。
在重点部分，需要掌握集合之间的包含、相等、真包含关系，空集、全集、幂集、容斥原理、集族等概念，并集、交集、相对补集、对称差、绝对补集、广义并集、广义交集等集合运算，以及包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德*摩根律、零律、同一律、排中律、矛盾律、余补律、双重否定律、补交转换律在内的基本的集合恒等式。
在难点部分，需要掌握与量词有关的一阶谓词逻辑的推理定律，以及分别从定义出发和利用已知结论的两类半形式化证明方法。
《集合与图论》习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。
14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
集合论与图论 离散数学 模拟题1
一．列式题。
用谓词表示法表示如下集合：1．所有偶数组成的集合AA={x| x∈Z ∧x mod 2 =0}.2．所有奇数组成的集合BB={x| x∈Z ∧x mod 2 =1}.3．10的整倍数组成的集合AA={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}.4．5的整倍数组成的集合BA={x| x∈Z ∧x mod 5 =0}.5．方程x2-1=0的所有实数解的集合B。
B={x|x∈R ∧x2-1=0}6．小于5的非负整数组成的集合A：A={x | x ∈N ∧x < 5 }.二．判断题1．（ F ）包含三个元素的集合A表示成：A=（1，2，3）。
2．（ F ）集合A ={1，2，3}与集合B ={2，3，1}是两个不同的集合。
3．（T ）R=Φ是一个二元关系。
4．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>}，则R是A上自反的关系。
5．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>}，则R是A上对称的关系。
6．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<1, 3>}，则R是A上反对称的关系。
7．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>,<2, 2>}，则R是A上传递的关系。
8．（ F ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<2, 3>}，则R是A上传递的关系。
9．（T ）R是R的子集。
10．（T ）设f：A→B是双射，则称f-1：B→A是它的反函数。
这个反函数也是双射的。
三．计算题1．求集合A={1, 2, 3} 的所有子集？答：A的0元子集，只有一个Φ，A的1元子集，即单元集，有三：{1}、{2}、{3}；A的2元子集有三：{1，2}、{2，3}、{1，3}；A的3元子集就是它本身{1,2,3} ，因为A就是三元集。
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一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。
二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。
三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？
四、用花括号和空集来表示1⨯2（注意⨯表示集合的叉乘）.
五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射.
1．简单叙述构造的思路；
2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。
2008年期末考题：
一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。
回答下列问题：
1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？
2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？
3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？
二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。
1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）；
2．画出所有互不同构的这种树。
三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程
的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小
边覆盖、一个最大匹配。
四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。
8阶3
正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？
五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。
六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j<n/2，G中度数不超过j的顶点个数都小于j，则G一定是哈密顿图。
2007年期中考题
一、设A,B为集合, P(A)为A的幂集, 证明: P(A)⊆P(B)当且仅当A⊆B.
二、设A={1,2,3,4}, R是A上的二元关系且R={<1,2>,<2,3>,<3,2>, <3,4>}.
(1) 给出R的矩阵表示, 画出R的关系图;
(2) 判断R具有哪些关系性质(自反,反自反,对称,反对称,传递);
(3) 求出R的自反闭包r(R), 对称闭包s(R), 传递闭包t(R). (用关系图表示)
三、设X,Y,Z是任意集合, 构造下列集合对之间的双射, 并给出是双射的证明.
(1) Z(X⨯Y)与(Z X)Y ;
(2) P(X⋃Y) 与P(X)⨯P(Y). (假设X⋂Y=∅)
四、已知对每个自然数n, 都存在唯一后继n+=n⋃{n}. 证明: 对于每个非零自然数n, 都存在唯一前驱n-, 满足n=(n-)+.
五、设f: A→B是单射, g: B→A是单射, 证明: 存在集合C,D,E,F, 使得A=C⋃D, C⋂D=∅, B=E⋃F,
E⋂F=∅, 并且f(C)=E, g(F)=D.
一、化简自然数的集合表达式（注意所有运算都是集合运算）：⋃⋃(2⨯3).
二、证明集合之间的等势关系是等价关系.
三、每个奇数阶竞赛图都可既是有向欧拉图又是有向哈密顿图吗？为什么？
四、完全图K4在对边进行标定的情况下有多少棵不同的生成树？为
什么？画出两棵不同构的生成树，并写出其中一棵对应的基本回路
系统和基本割集系统.
五、计算出右图中v2到v2长度为5的回路数，并计算出全体极小支
配集和全体极小点覆盖集（要写出计算过程的主要步骤）.
六、求彼德森图的点色数、边色数、点连通度、边连通度，并说明
理由.
七、证明简单平面图中至少有一个顶点的度数不超过5.
八、证明：在8×8的国际象棋棋盘的一条主对角线上移去两端1×1的方格后，所得棋盘不
能用1×2的长方形恰好填满。