数学文化讲座(张奠宙)
中国数学百年史话(张奠宙教授)
中国数学百年史话【复印期号】2002年09期【原文出处】《北京科技报》2002年0722期第②页新世纪伊始，中国数学界迎来了美丽的“春天”。
2002年8月20日，全世界的数学家将云集北京，第一次在一个发展中国家举行“国际数学家大会”。
中国数学，再次成为世界关注的一个焦点。
1900-1929：中国现代数学的起始阶段让我们的思绪回到100年以前。
清末的中国。
百业凋敝，科技衰微。
中国传统数学也是江河日下。
不过，从浙江海宁走出来的李善兰有一项工作为人称道，人称“李善兰恒等式”，算是中国传统数学的最后一个亮点。
此后的中国数学，完全是重起炉灶，按照西方数学模式发展起来的。
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上提出23个著名的数学问题，当时的中国恐怕无人能听懂这些问题的意思。
20世纪的头十年，有一些年轻学子到国外研修数学，如冯祖荀到日本京都大学主修数学，回国后任北大数学系主任多年；秦汾、郑桐荪留学美国后，为辛亥革命前后的中国数学教育作过贡献。
中国现代数学的真正开始，当以1917年胡明复在哈佛大学获得博士学位为标志，他的博士论文《具有边界条件的线性微分—积分方程》，发表在美国的一流数学杂志上。
1919年“五四运动”之后，中国现代数学教育有一个大发展。
20世纪20年代，大学数学系如雨后春笋般兴办起来，尽管规模都不大。
其中著名的有：熊庆来在东南大学和清华大学、姜立夫在南开大学、何鲁在四川大学、陈建功和苏步青在浙江大学设立的数学系。
当时，中国的大学数学系已经达到国外一般大学的本科水平。
1930-1949年：中国现代数学在某些领域已具国际先进水平20世纪30年代，中国数学界以清华大学数学系的阵容最强。
除熊庆来担任系主任外，同于1928年在美国芝加哥大学毕业的杨武之和孙光远先后来清华执教。
传奇数学家华罗庚进入清华，即随杨武之研究数论。
后来成大名的陈省身由南开考入清华，作为孙光远的研究生研习几何学。
这是中国自己培养的第一名数学硕士生。
张奠宙谈小学数学本质上课讲义
张奠宙谈小学数学本质“张奠宙谈小学数学本质”2009年第2期《人民教育》有一篇华东师大张奠宙教授与浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任唐彩斌《关于小学“数学本质”的对话》，仔细读过并作了认真思考，有如下收获。
1、0为什么是自然数？0是自然数有许多理由。
首先，人的经验是，从无到有。
……第二，更重要的是书写的需要，……没有0，就写不出10，20，30，100。
所以，0，1，2……9这10个数字是最基本的。
第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。
……如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了？从数学史看，在1、2……9等自然数形成之后很久人们才发明了0。
0的意义极大，使十进位值制成为可能是其最大的价值，进而使四则运算极为简化。
张教授指出的第二、第三个理由都是从自然数公理系统角度来说的，即是说：只有把0包括在内，自然数系统才能具备严密的逻辑结构。
请注意：和后文的几个问题一样，张教授始终强调从数学内部发展需要的角度看数学新知识的引入，而这正是当前我们数学教师的一个薄弱点。
2、感受100万粒米有多大有没有必要？数学教学要关注的是100万这个数的结构。
至于说100万粒米有多大，知不知道无所谓。
……主要精力要放在100万的结构，即如何形成100万上面。
例如，我们可以设计这样的活动：从一个单位立方体出发，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠起来构成一个立方体，即1000。
再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，10排形成新的正方形构成10万，最后，10个新正方形构成新的立方体，就是100万。
这个过程是每个人都要弄明白的。
这种做法的好处有二：第一了解十进位值制，第二发展空间想象能力。
但说“100万粒米有多大知不知道无所谓”我不赞成：这是让学生感知“大数”的一种做法，而在现代社会感知“大数”是每个老百姓都应有的数学素养之一。
3、分数究竟该如何定义？用份数的定义来引入分数是非常自然的。
数学教育改革“先锋”——数学大师张奠宙
视野•名师名校◄数学教育改革"先锋”----数学大师张奠宙◎上海市城市科技学校邵红能2018年12月20日，我国著名数学史家、数学教育家，华东师范大学数学科学学院教授张奠宙在上海逝世，享年85岁。
未来，乃是过去历史的继续。
不能正确地认识历史,吸取经验教训，也就找不到前进的方向。
辛亥革命以来，中国数学教育走过了100年。
早年，我国学习日本;后来,接受欧美国家的影响。
建国后的1950年代，全盘学习苏联。
经过“大跃进”年代和“文革”十年的波折，而今，中国数学教育取得了举世瞩目的成绩。
1986年，张奠宙所著的《20世纪数学史话》引起杨振宁、陈省身的重视。
在两位大师指点下，张奠宙陆续推出《中国现代数学的发展》、《20世纪数学经纬》、《陈省身传》等著作,成为中国现代数学史的奠基之作。
张奠宙(1933-2018.12.20),浙江省奉化人，华东师范大学教授、博导，张奠宙长期担任数学分析和函数论课程的教学，曾担任《数学教学》杂志主编和名誉主编。
在教学之余，从事数学教育和现代数学史研究，出版《20世纪数学史话》、《现代数学与中学数学》、《数学教育研究导引》、《数学方法论稿》、《中国数学双基教学沢《陈省身传》等著作20余种，发表文章近千篇。
张奠宙48青年教师在泛函分析研究领域对中国的数学发展做出了卓越的贡献。
在我国教育界，张奠宙被广大中小学教师所熟悉，被尊称为“中国数学教育界的泰斗”。
2013年6月，华东师范大学数学系举办了“未来十年中国数学教育展望”高层次的学术研讨会，时值张奠宙八十华诞，为他举办了庆祝典礼。
张奠宙的主要研究方向为泛函分析、数学教育、现代数学史，被人尊称为“三栖学者”。
他曾担任教育部全国教师教育课程资源专家委员会委员、教育部师范司高师教学改革指导委员会委员、《高中数学课程国家标准》研制组组长等。
其中，1995年至1998年,张奠宙任国际数学教育委员会执行委员，这是中国人第一次进入世界数学教育的领导机构。
数学双基·新概念数学·数学文化(张奠宙)
傅聪：“现在很多孩子都是从3岁就开始练琴， 练到10多岁，基础打得很扎实，基本技巧好得 不得了，连我也很羡慕。但是呢，音乐其实他 们懂的并不多，所以我说技巧有时是音乐的敌 人，技巧和音乐根本是两码事。”
合作者。（全国标准 第二页） 误解：建构主义认为，教师不应该直接
告诉任何知识，要学生自己去建构。 启发式就是符合建构主义观点的！
“数学教育幽默之一
一。 合作学习 在一堂数学公开课上， 女生：你的头发有点乱。 男生：你的眉毛画得太浓 评课者：这堂课合作学习搞得很好，学
生很活跃。
数学教育幽默之二
双基教学的内涵（二）
做题要讲究速度。 例如20以内的加减法， 每分钟至少8个
精讲多练。 课堂练习丰富。 变式练习， 丰富多彩。 （如那道错题） 熟能生巧的教育古训 考试文化的正反效应。
双基教学的模式
常规模式：问题引入 – 师生讨论 – 巩固 练习三段论
教学方式：教师主导的由教师提问、师 生讨论的方式。
每一次“以西非中“的时候， 一直认为我们不如西方。 当然这种提法不代表我们要固步自封， 而是要在谈发展 之前， 我们有没有停下脚步， 看看自己有多少东西。 免得在发展时， 不仅没有把自己的东西好好整理， 甚
至把自己的东西丢掉。
教训：要平衡， 不要搞片面性
双基与发展。 中国双基教学是否过时？ 记忆与理解。 三角公式要不要背？ 独立思考与合作交流。 数学是个人思考为主？ 知识积累与探究创新。 公开课课都必须探究？ 科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？ 形式演绎与问题驱动。 冰冷美丽和火热思考 艰苦学习与愉快学习。 如何才是愉快？ 事先探究与事后反思。 反思教学的缺失
中国特色数学教育引领者_张奠宙先生_宋乃庆
一、博学：贯通数学、数学史及数学教育的 “ 三栖学者”
张先生接受过民国时期的数学教育，后又成为新中国的数学教育研究者，经历了
４２
中国教育科学·２０１５ 年第 ４ 辑
我国数学教育大发展、大变革、大构建的年代。作为我国数学教育的一名经历者、研 究者与构建者，几十年来，他积极引领着我国数学教育学的发展与本土特色的构建。 数学教育是一门交叉学科，既需要自然科学和数学的知识基础，又需要人文学科 及教育学的背景。张先生文理兼通，不仅数学功底扎实，科学素养厚重，而且人文底 蕴不凡。在数学教育圈里，张先生文笔好是有口皆碑的。原因何在？我认为张先生的 博学，特别是能贯通 “数学、数学史、数学教育 ” 三个研究领域，是一个重要的本 源因素。 张先生的数学研究属于泛函分析领域，重点在算子谱论。他师从夏道行教授，早 在 “文革” 之前就发表了 《非拟解析算子与可分解算子》 一文 （与沈祖和合作，《复 旦大学学报 （自然科学版 ）》，１９６６ 年 ），这是我国算子谱论研究领域较早的工作。 “文革” 结束后，继续有多篇论文在 《中国科学 》、《数学学报 》、《数学年刊 》 等一 流数学杂志发表。其专著 《线性算子组的联合谱》 于 １９９１ 年出版。１９９７ 年，他在上 海主持 “算子代数与算子理论国际会议”，世界一流学者云集，曾盛极一时。 作为一名大学数学教授，他曾任华东师范大学数学系函数论教研室主任，长期执 教 “复变函数论”、“实变函数论 ”、“数学分析 ” 等课程。２０ 世纪 ８０ 年代，他参与 编写程其襄教授主持的 《实变函数与泛函分析基础 》 教材。程其襄教授去世后，他 主持该教材第二版、第三版的修订。该教材广受欢迎，至今为许多高等院校采用。坚 实的现代数学基础，为张先生后来从事数学教育研究奠定了牢固的基石，善于高屋建 瓴地剖析中小学数学及数学教育的本质，往往见他人之所未见，发前人之所未发。 我知道的一个最近的事例是：２０１５ 年，高等教育出版社推出张奠宙、柴俊合著 的 《大学数学教学概说 》。这是我国第一本比较系统地论述大学数学教学的著作。 ２０１４ 年以来 ，他对现行各种版本小学数学教材 “ 关于数学本质的认识 ” 发表了一系 列深刻而尖锐的评论，并给予极富启发性的建议，引起小学数学教育界的广泛注意。 这些论文即将以 《小学数学的大道理 》 为书名结集出版。８２ 岁高龄还能驾驭从大学 到小学的各种数学题材，在数学教育圈内，实不多见。 张先生是我国研究现代中外数学史的一位代表人物。早在 ２０ 世纪 ８０ 年代，一本 ２０ 世纪数学史话 》，成了那个时代青年学子了解现代数学的主要读物 ， 并一版再版 。 《 ２００２ 年 ，据此改写的 《 ２０ 世纪数学经纬 》 面世 ，至今仍是追寻现代数学足迹的优秀 读物。众所周知，现代数学涉及的数学知识非常广泛，没有良好的数学修养，是无法 胜任现代数学史编撰的。１９９８ 年，张先生推出了 《中国现代数学的发展 》 一书，这 是迄今为止描述自清末民国之初到 ２０ 世纪末中国现代数学进展的最详尽的著作，目 前尚无其他著作可以代替。研究数学发展的过去，使得张先生对现代中国数学与数学 教育的历史了然于胸，对我国数学与数学教育前辈更是深怀敬意。我想，这对张先生 后来研究数学教育时所具有的民族自信和教育自觉产生了非常重要的影响。
张奠宙：数学文化
张奠宙：数学⽂化数学作为⼀种⽂化现象，早已是⼈们的常识。
历史地看，古希腊和⽂艺复兴时期的⽂化名⼈，往往本⾝就是数学家。
最著名的如柏拉图和达·芬奇。
晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等⽂化名⼈也都是20世纪数学⽂明的缔造者。
数学⽂化的存在价值在即将公布的⾼中数学课程标准中，数学⽂化是⼀个单独的板块，给予了特别的重视。
许多⽼师会问为什么要这样做？⼀个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会⽂化的孤⽴主义倾向，并⼀直影响到今天的中国。
数学的过度形式化，使⼈错误地感到数学只是少数天才脑⼦⾥想象出来的“⾃由创造物”，数学的发展⽆须社会的推动，其真理性⽆须实践的检验，当然，数学的进步也⽆须⼈类⽂化的哺育。
于是，西⽅的数学界有“经验主义的复兴”。
怀特（L.A.White）的数学⽂化论⼒图把数学回归到⽂化层⾯。
克莱因（M.Kline）的《古今数学思想》、《西⽅⽂化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，⼒图营造数学⽂化的⼈⽂⾊彩。
国内最早注意数学⽂化的学者是北京⼤学的教授孙⼩礼，她和邓东皋等合编的《数学与⽂化》，汇集了⼀些数学名家的有关论述，也记录了从⾃然辩证法研究的⾓度对数学⽂化的思考。
稍后出版的有齐民友的《数学与⽂化》，主要从⾮欧⼏何产⽣的历史阐述数学的⽂化价值，特别指出了数学思维的⽂化意义。
郑毓信等出版的专著《数学⽂化学》，特点是⽤社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产⽣的⽂化效应。
以上的著作以及许多的论⽂，都⼒图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈⼦中解放出来，重点是分析数学⽂明史，充分揭⽰数学的⽂化内涵，肯定数学作为⽂化存在的价值。
认识和实施数学⽂化教育进⼊21世纪之后，数学⽂化的研究更加深⼊。
⼀个重要的标志是数学⽂化⾛进中⼩学课堂，渗⼊实际数学教学，努⼒使学⽣在学习数学过程中真正受到⽂化感染，产⽣⽂化共鸣，体会数学的⽂化品位，体察社会⽂化和数学⽂化之间的互动。
数学文化讲座
数学文化讲座尊敬的各位领导、各位老师、亲爱的同学们：大家好！我是来自数学学院的张奠宙。
今天很荣幸能够在这里为大家做一场关于数学文化的讲座。
数学文化作为一门学科，虽然在我们日常生活中不太受到重视，但它深刻地影响着我们的生活，无处不在。
今天，我想借这个机会为大家揭开数学文化的神秘面纱。
首先，我想和大家分享一个观点，那就是数学不仅是一门科学，更是一门文化。
人类在探索宇宙的过程中，随着认知的不断深入，涌现了许许多多的科学学科。
而其中，数学因其智力的高度、形式化的严整以及渗透到自然界和人文领域等方面的奇妙内涵，以及它造福人类，进而塑造着人类文化的特征，被誉为“科学之王”，并被列为“四大人文科学”之一数学文化的核心思想是思维方式的转变。
它不再以死记硬背的方式记忆公式和运算规则，而是培养学生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。
数学文化注重培养学生的问题意识和数学思维，培养学生的数学兴趣和能力。
通过数学文化的学习，可以帮助我们培养出批判性思维和创新精神，提高我们独立思考和解决问题的能力。
其次，数学文化还与人文艺术紧密相连。
数学和艺术之间的关系相互渗透、相互交织。
数学中的对称性、规则性等特点，也被艺术家们广泛运用到绘画、雕塑、音乐等诸多艺术形式中，使人们对艺术作品更加深入的理解和欣赏。
最后，数学文化还与社会发展密切相关。
随着科技的不断进步，人们对数学的需求也在不断加大。
无论是工业生产、金融行业，还是信息高速公路，都需要数学为其提供支撑。
同时，数学文化也为人们提供了实现自我价值和社会价值的机会。
数学文化的学习和应用，还可以帮助我们培养出创新意识和创新能力，成为未来社会的推动力和中坚力量。
数学文化，作为一门学科，虽然在我们生活中所占的角色可能相对较小，但它深刻地影响着我们的思维方式、文化建设和社会发展。
我希望通过今天的讲座，能够给大家带来一些启示和思考。
让我们一起努力学习数学文化，将其应用到我们的生活中，为我们的未来添砖加瓦。
师恩难忘,丰碑不朽—追忆数学教育家张奠宙先生
议袁结束时决定不留宿上海袁特向先生家去电袁 带上笔者参与小学数学研讨活动遥
师母说先生还是老样子袁留在六院医护袁只是有
敬仰先生袁 因先生执着于数学教育的这份
时犯老年糊涂遥12 月 20 日袁 万万没有想到先生 情遥先生退休袁野退而不休冶遥每一次去先生家里袁
竟与世长辞遥惊闻噩耗袁悲痛万分遥
他不是在看书袁就是在写作遥学习不断袁笔耕不
宙 本书冶遥先生早年其实是研究纯数学的袁在现代 英语也不好袁但是多读敢说袁就不再害怕遥先生与人
专 数学史尧泛函分析上都有建树遥后来袁先生与数 为善袁助人为乐袁广交朋友遥与数学家结伴袁熟识陈 学教育结缘袁 担任国家高中数学课程标准研制 省身袁著有叶陈省身传曳曰就在两个月之前袁老友杨振
辑 组的负责人遥同时袁他也十分关心小学数学的教 宁教授特意赶去医院看望袁先生喜出望外袁相谈甚
这样一位有影响力的大学数学教授袁在晚年 却关注和亲自参与小学数学教学改革遥他跟我说 过院野小学数学是数学基础的基础袁这是数学界的 大事遥冶为此袁他为小学教师写了大量的文章袁用 数学家的眼光和高度分析小学数学教材和教法袁 说理透彻袁通俗易懂袁深受小学教师的欢迎遥我搞 了一辈子的小学数学教育袁自叹不如遥
筒尧戴着耳机交流袁先生脑子里存储着的知识就像
近年来袁每到上海出差袁如果住上海都要去 他家连廊里长长高高的书架袁连绵不断袁就像是一
探望年迈的先生袁如果不能去袁也要打个电话了 个取之不尽的宝藏遥每一次交流袁于我来说都是一
解近况遥2018 年 12 月 16 日袁笔者在上海参加会 次教导遥因为有了这本书的合作袁后来先生就常常
这样一位才华横溢尧影响中国数学教育走向 的巨人袁我的好导师尧好朋友尧好同志袁离我们而 去袁怎能不叫人悲痛欲绝呢钥
我们要化悲痛为力量袁认真研究分析张先生 的著作袁这是中国数学教育的宝库曰我们要继承 他的遗志袁全力研究数学教育的中国经验和中国 化道路袁为全人类造福浴
小数的本质(张奠宙)
小数的本质（张奠宙）《小学数学教师》是一本在全国有影响的刊物，每期送来，都要翻阅。
最近因病住院，遂将2010年第11期比较仔细地读了一遍，觉得里面确有许多好文章。
邵虹等在小学一年级，就用求折线长度演练20以内的加法，使用了纵线、横线的卡通式说法，颇有些坐标系的外观，很有创意。
姜荣富提出“数学问题情境”的概念，也是针对目前过分强调的“生活情境创设”所作的一种补充。
该文提出“35×36=□×□”的问题，是一种具有挑战性的数学情境。
依我看来，这一情境其实也有更实际的数学意味，即不同的矩形可以有相同的面积。
袁仕理提出“引出问题≠发布指令”等5个教学不等式，也是很有针对性的论述。
编辑部陈洪杰介绍日本的一堂公开课，旨在表明公开课应用于“课堂教学研究”，而非用于“展示”、“评比”、“获奖”，发人深思。
公开课的过度功利性，应该让位给更多的学术性了。
这一期几篇有关小数教学的文章，涉及了许多问题，其中最重要的是小数和分数的关系问题。
以下的一些不同的思考，供大家探讨分析。
一、日常生活中小数比分数有用小数是日常生活中最常用的数之一。
学生离开学校以后，日常生活中几乎可以不接触分数，却不能离开小数。
元、角、分的货币自不必说，老式的“几尺几寸、几斤几两”仍在使用。
“0.5千克”、“身高1米63”等现代说法都离不开小数。
至于分数，日常生活中几乎碰不到。
我在医院问过好多位受过义务教育的护工同志：1/2加1/3等于多少？多数人说：忘了。
究其原因，是因为日常生活中几乎不用分数。
可是让他们做小数乘法，则基本都会。
二、小数有自己的概念系统，不能也不必都依赖于对分数的理解小学数学教育界的一种流行观点是，小数教学要基于分数教学，否则是科学性错误云云。
这未免耸人听闻。
这一期巩子坤等的文章，用细致的分析揭示学生错误的成因，是难得的具有实证意义的好文章。
但是，该文反复强调分数教学对小数教学的重要性，我觉得未必精当。
文章还建议“等学生对分数意义、分数表征有了更为透彻的理解后，再来学习小数乘法”。
张奠宙小学数学教材中概率统计内容概述
张奠宙：小学数学教材中概率统计内容述评21世纪的数学课程改革，把概率统计作为一个单独的领域进入小学数学课程，这是一个重大的举措，具有里程碑意义。
现在，各地的小学数学教材已经编写了统计和概率内容，并且付诸教学实践，取得了许多有益的经验。
但是，前进的道路上，总会有一些问题。
“摸着石头过河”，一步一个脚印，以求逐步得到完善。
一、小学数学中为什么要列入“统计与概率”？从《数学课程标准（实验稿）》的规定来看，其内容是“研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据收集、整理、描述和分析，以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。
”具体内容包括以下六项：1、描述统计。
包括整理数据、列表、直方图、扇形图等。
2、数据的代表数。
平均数、中位数、众数。
3、可能性。
包括等可能事件的概率、几何概率。
4、频率和概率、样本和总体5、加权平均、方差6、树状图计算概率前三项是小学阶段的学习内容，后三项是初中阶段的内容。
这意味着：1、小学以统计为主、概率为辅。
统计的主要内容是数据处理。
2、数据处理有两类：描述统计和数理统计。
小学阶段主要是描述统计，还很少用概率手段来处理数据；但要有随机的意识，适度沟通统计和概率。
3、用概率推断和预测需要随机变量分布知识。
小学里无法用概率方法进行推测和预测，只能是一些猜想，属于没有证明的合情推理。
这样一来，小学里把统计和概率放在一个学习领域，只是提供一般的素养，为中学打基础，小学的概率还不能和统计发生有机联系。
小学数学里“统计”和“概率”两张皮的现象难以避免。
不过，我们可以适当进行渗透。
此外，由于小学数学的教学内容还不能进行概率计算，所以老是停留在可能性的认识上，各个年级的差别很小，几乎在原地踏步。
因此，修改中的课程标准有意将小学阶段的概率统计内容有所消减。
二、九年义务教育阶段中概率和统计怎样结合画统计图、求平均数，是小学里学习统计的主要内容，这些至少原本小学里就有，只是不和概率挂钩。
注重数学本质 提高数学素养(1)
注重数学本质提高数学素养（1）张奠宙教授数学教育家华东师范大学唐彩斌中学高级教师浙江杭州现代小学数学教育研究中心唐：各位老师大家好。
今天我们交流研讨的话题是“注重数学本质，提高数学素养”。
讨论小学数学教学中常见的“数学问题”，为什么强调是数学问题呢，是因为我们希望今天的交流能突出数学的本质，帮助大家一起提升数学素养。
也正如大家常说“教什么比怎样教更重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。
张：各位老师，大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，教师必须有一桶水。
所以我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？实际上我们要关注小学数学教材里边背后的内容，就是说我们是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有全面的整体的意识，知道小学数学教材在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就可以心中有数；最后，小学教材虽然看来比较简单，但是它与时俱进，还是有许多时代特色需要我们展示，需要我们深入的了解。
所以，我们愿意给大家来探讨小学当中的一些数学问题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所帮助一、数与代数领域问题的讨论1．0为什么是自然数唐：现在我们就按照小学数学的几大领域来选择一些问题来具体分析。
我们都知道，小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。
首先我们讨论关于自然数。
大家可能会问：自然数谁不懂？这里还会有数学问题吗？其实与时俱进地看，自然数的问题还真不少。
大家可能争论最多的是“0本来不作为自然数，现在怎么又说是自然数了，为什么”？张：在上世纪90年代以前，自然数不包括0，但是1993之后，就包括0在内，这当然是一个规定所产生的，那是在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》里面有一句话说规定自然数包含0，从此之后，0就属于自然数的范围了。
唐：从近年来编写新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。
张奠宙教授的《我亲历的数学教育》与我的数学教育
张奠宙教授的《我亲历的数学教育》与我的数学教育一直没读过数学老师写的文章，最近有幸在工作、学习间隙读了张奠宙教授《我亲历的数学教育》这本书，感想很多，收获挺大。
《我亲历的数学教育》是张奠宙教授回顾自己所亲历的数学教育的一本带有传记性质的专著，张教授是我国数学教育界的权威专家，全书回顾了张教授从1938年入学接受小学数学教育，到2008年整整70年的数学学习与数学教育的经历。
全书一共分为四篇：第一篇“学算春秋”，回溯了张教授从幼年开始接受数学教育的情景，记述了所经历的数学学习和数学研究的状况；第二篇“数教经纬”，着重谈张教授在数学教育界接触过的人和事；第三篇“国门内外”，涉及张教授参与国际数学教育活动的一些情况；第四篇“数海钩沉”，则回顾了张教授在现代数学史方面的工作经历。
张教授的阅历中有太多值得我们学习的宝贵经验，他对纯粹数学、现代数学史、数学教育都有深入的研究。
读了这本书以后，总结出几点比较肤浅的心得体会，与大家一起分享。
一、数学德育大多数人认为：人们在走上社会以后，在校所学的数学知识很少有直接应用的机会，因而作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。
很多人认为：数学无非是数字、符号、图形的叠加，枯燥无味，很难进行德育教育。
我们的张教授在书中提到：“其实师生间的交流不能只是知识来知识去，数学老师讲点做人处世的道理，即便离题万里一两分钟，如果有教育意义，未尝不可。
这也是教师组织教学的一种手段。
”我们现在的数学课堂中似乎就只有知识了，而忽视了对于学生德育的关注。
我们一直强调数学教学中德育的渗透，但如何在数学课堂上渗透德育也是一大难题。
回顾我的数学课堂，从未真正的想过在数学课堂怎么样渗透德育思想。
但我主要通过自己的一言一行、一举一动来感染学生，以自己严谨的教学风格和一丝不苟的工作态度来影响学生。
比如：上课时，教师着装要朴素大方，讲普通话，语言要清楚、明白、有逻辑性。
板书要整齐，书写要规范，辅导“后进生”要耐心、细致，使学生在教师的表率作用下，潜移默化地受到有益的熏陶和教育。
小学数学中若干科学性问题的探讨_上_张奠宙
第 1 期）
6
二、估算的基础是精确计算，没 有精确度的估算是“胡算”
小学不要过分强调估算。 精确 计算是基础，估算只是辅助。正如楷 书是基础， 在基础教育中不能强调 草书一样。
从数学上看， 估算必须有精确 度的标准。 没有精确度的估算是胡 算、瞎算。 明明正确答案是 1000，我 估算为 1，是不是胡算呢？ 因此只有 附加精确度的近似计算， 才是真正 理解估算。
23 等于多少？ 多数人说：忘了。 究其原 因，是因为日常生活中几乎不用。可 是让他们计算小数乘法， 则基本都 会。
小数有自己的概念系统， 不能 也不必都依赖于分数的理解。 小学 教育界的流行观点是“小数教学要 基于分数教学， 否则是科学性错 误”，未免耸人听闻。
确实， 小数乃是一种特殊的分
数。理论上先出分数，再叙述其特殊
其次是关于抽样和预测上存在 的问题。
小学数学里，用数据进行预测 已经大量出现，但是依据的原理各 不相同，又没有明说，因此在科学 性方面缺失很多。 我们可以作预 测， 但是必须附带的是 “可能是” “也许是”“很可能是”“能够参考的 是”这样的语句。 不可绝对化，以免 产生误导。
●本月第一、第二、第三周的 冰 糕 销 量 分 别 是 8 箱 、7 箱 、9 箱 ， 本周进多少箱合适呢？ 你能帮他解 决吗？
小学的估算不可能正面谈近似 计算，也不宜提精确度。那么应该如 何处理呢？答案是：我们不可以笼统 地、一般地谈估算，只能学习几种具 体的估算方法，如四舍五入法、截尾 法、进位法等。具体的方法里已经有 精确度的要求。 例如“323+424”，用 截去百位以下尾数的估算法， 答案 是 700。 这就明确了。
教材未给答案。其实，这是无法 回答的问题。如果用外推的方法，则 要基于回归方法。 但是三个数据太 少了，不能形成回归直线。
访谈录：究竟什么是方程？
访谈录：究竟什么是方程？[编者按]关于“什么是方程”的议论，多年不绝。
但是教科书和工具书上都异口同声地说“含有字母的等式叫方程”。
仔细想来，英文的equation原本就是等式的意思。
方程二字则源出《九章算术》第八卷，却并无“等式”的含义。
那么“方程”二字的本意究竟是什么？值得一探究竟。
本刊记者邹佳晨，采访了华东师范大学数学系张奠宙教授，汪晓勤教授，以及美国加州大学长滩分校的李旭辉教授，请他们谈谈看法。
希望能打开我们的思路。
一、采访张奠宙教授：究竟什么是方程？邹：近读某杂志的“问讯处”栏目，有一位读者问：“x=1是方程，还是方程的解？”意思是已经知道x=1，x已经不是未知数了，不应该看作方程。
一位专家（也是某教材的编者）代编辑部回答说，根据“含有未知数的等式叫方程”的定义，以及通常用字母x，g，z表示未知数，x=1满足方程定义的条件，所以x=1是方程。
我很不解，讨论此类问题好像没有什么意思。
张先生，您作为数学教育界的前辈，请问您如何看？张：早在1993年，西南师范大学已故代数学家陈重穆先生就对这个所谓的方程定义提出质疑，认为这个定义不重要，应该淡化。
20多年过去了，数学教育界一直不予理睬。
各类教材将之奉为绝对真理，似乎是万万改不得的经典。
结果就逼得一线老师来问“x=1是不是方程”这样的怪问题。
这样的讨论，几近文字游戏，对于理解方程思想方法并无裨益，一本正经地在杂志上讨论，毫无必要。
邹：那么，这个“定义”的问题出在哪里呢？张：所有的教科书上都用黑体字写着：“含有未知数的等式叫方程”。
然后笔锋一转，就自说自话地改成“含有字母的等式叫方程”了。
教科书上用一堆含有字母的代数式，让学生判别：“是不是等式？”、“有没有字母？”来认识方程。
闹了半天，没有增加任何对方程概念本质属性的认识，很有点“庸人自扰”的味道。
试问：有哪个学生因为不认识方程，导致数学学习困难呢？方程概念一旦脱离寻求未知数这一核心思想，也就远离了它的数学本质。
张奠宙085023947
数学本质被两种活动所掩盖：
1。过度的形式化。 “淡化形式，
注重实质”。
2。教条式的改革。表面热闹、缺乏 效率的教学过程。
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例一。 乘法交换律： ab =ba
某杂志刊登的特优教案这样设计： 学生交换位置 （没有说人数不变）； 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青 草。 （没有谈不变性）
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例12
一个例子怎能概括出负负得正？？
探究式教学。例：一列每小时80公里的火车向西开，
12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负， 12点之后之前为时间的正负。 问10点时火车在什么 位置？ 答案：（-2） x （-80）= 160
于是概括得出数的运算的规律负负得正。
（先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律…… ）
数学家之所以有饭吃， 在于能够运用符 号获得结果 （复旦 张荫南）
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数学符号是一种语言
语文靠想象， 将符号（方块字）用语法表示出来。 说话写 下来就是文章。 数学靠理性， 将数学符号通过运算、演绎得到结论。 这是 人为构造的语言。
语文、数学、诗词、定理， 都是符号运作 语文是“饭”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较 贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 诗词是“酒”， 酒可以不喝，酿酒更难。有人喜 欢，闲时享受才喝。定理也是酒。
没有效率的教学理论是走不远的！
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第一部分
关于数学 本质的把 握与呈现
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数学教学成功的标志
主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌 握了数学（数学的科学性）， 包括： 数学本质的理解； 数学知识的掌握； 数学能力的形成。 教育方式是手段（现在的标准： 学生活跃？合作？ 用计算机？ 探究？……游离于数学本身） 奇谈怪论：
数学文化——理性文明的火车头(一)
数学文化——理性文明的火车头（一）编者按：中学生朋友读这篇大师的演讲，或许会比较吃力，他里面提到的数学理论既有浅显易懂的生活常识，也有非常尖端的前沿理论。
但是，数学与文化的结合确实体现了数学这门学科的独特价值。
即使读不懂，你也能从中感觉到数学的魅力。
张奠宙简介：浙江奉化人。
1933年出生。
1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班。
1986年任教授。
1999年，当选为国际欧亚科学院的院士成员。
谢谢主持人，谢谢各位光临。
今天我想要谈的题目是数学文化。
数学文化不大有人听见，这个词儿好像数学跟文化连不起来，数学是干巴巴的，属于比较枯燥的，文化又是那么丰富生动，这两者可能联系不起来。
但是我觉得这非常重要。
我想我们先看看这样的一个图像，这个图像叫曼德伯罗伊特图，它是用一个2次的复数的叠代出来的一个图形。
我们这里可以看到像一个葫芦形的东西，外面有些须须，可是我们如果一旦进去的话，从任何一个地方进去，你看它的形象，它的局部和整体非常相像，我们再往里面看，任何一个进去，它又出来一个当中的黑点，旁边有几个弯弯的须须，在任何一个地方进去又是这样的，随便你哪里进去都可以。
这个是不是有点像克隆？就是我们很小的一个地方它和整体都很相像。
数学家原来不知道这个东西，是曼德伯罗伊特用这个方程，用计算机来做了之后，就慢慢地发现了原来自相似性。
自己跟自己相似，每一个细胞跟他整个人相似，这种现象在数学里面是经常见到的。
我们一棵柏树，也是有这种自相似性的，所以我说像这样的图形，它已经把数学跟艺术都连在一起了。
数学就不再是几条公式，它跟我们人类的生活，跟信息时代，我们的一些欣赏习惯等等都可以有密切的联系。
我想这样的数学恐怕不是我们在中小学课堂里面学习的那一种数学，这是信息时代的数学，是我们将来在信息时代经常会碰到的，我们在书的各个封面上面看到的许多分形图像，就是这样的一种数学的产物。
数学可以产生这么漂亮的东西，我想是我目前所想不到的，这就是我的一个开场。
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哥德尔说： 不。（1931）
数学： 思想的体操？ 数学= 公理；数学= 逻辑？
第四高峰： 第二次世界大战改造数学
维纳、科莫哥罗夫： 火炮自动控制 运筹学产生于战场 原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与. 美国国家的应用数学小组(AMP). 柯朗. 水下爆破。 轰炸机的流体力学计算 密码破译. 图灵机的诞生 电子计算机产生 （中国数学仍然停留在纯粹数学， 没有介入反 法西斯战争的努力
中国大陆 中国台湾 韩国 瑞士 苏联
80 73 73 71 70
法国 英国 美国 巴西 莫桑比克
64 61 55 37 28
中国数学水平怎么样？
新华社：中国现在十分有陈省身、华罗庚那样 的大数学家？离国际水平多远？ 吴文俊：“不好说”，“不好说” 丘成桐：“还差得很远” 中国只是潜在的数学大国！ 许多人以为“中国离皇冠上明珠仅一步之遥” 大错特错！！ “取法乎上， 仅得乎其中”， “取法乎中， 则得乎其下矣！”
（2）检验数学真理的标准是实践吗？
黑色的1933年
希特勒上台. 排挤迫害犹太人. 4月,命令一切 犹太籍的教授立即离开校园. 爱因斯坦; H.外耳( Weyl , 妻子是犹太人); 冯.诺依曼; 柯朗; 诺特; 哥德尔; 波利亚; 兰道; 世界一流的顶尖的数学家到了美国. 那时美国 正在经济危机之中. 普林斯顿高级研究所的成立. 6名教授: 爱 因斯坦; 冯. 诺依曼; 外耳; Veblen, Alexander, Morse.
战后： 1948年的数学地图
1948： 美国仙农发表《信息的数学理论》 1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？ 1948： von Neuman 计算机方案形成
中国缺乏这样的数学偶像
信息时代的数学技术
冯.诺依曼组织“数字天气预报”(1950) 线性规划大发展. 计算机实时控制. 调度. 卡尔曼滤波. 航天技术 CT扫描. 拉东变换. 计算机模拟技术. 军事模拟. 计算机 软件的数学技术 金融数学技术
2002年国际数学家大会
霍金来了！ 纳什来了！ 中国数学取得世界瞩目的成就。 格局：美俄继续领先； 西欧紧随其后 日本正在迎头赶上； 中国是一个未知数。
陈省身猜想
“21世纪数学大国”（1988）。 数学大国的含义：“在独立平等的基础 上与世界各国的数学家进行交流”！
数学上还没有真正的独立！
20世纪核心数学飞速发展
从局部到整体 （拓扑） 从交换到非交换 （算子代数。 K理论） 从线性到非线性 （混沌、分维） 从低维到高维、无限维 随机数学大发展
第二部分
争取中国数学在世界上的 平等与独立
二十世纪数学简史
数学中心的转移： 巴黎 -------> 格丁根 ------->普林斯顿 1900 (1900-1933) (1933 --) 莫斯科大学. Steklov数学研究所 剑桥大学三一学院 巴黎Poincare 研究所 波恩Max-Plank研究所 加拿大Fields数学研究所
第三部分： 一些数学文化的理论问题
1。第三次数学危机？绝对主义的破灭。 2。检验数学真理的标准。纯粹数学为 什么会有用？ 3。 数学美的认识。 4。 推测数学是否允许存在？ 5。 中国考据学派对数学的影响。
（1）数学绝对主义的破灭
数学结论绝对正确是做不到的， 但是并 没有到达“危机”的程度。 选择公理是否准许使用？ …… ……
（中国没有以上原创的数学技术，紧跟）
中国科学最高奖
吴文俊： 机器证明 王 选： 印刷革命 数据压缩
陈景润： 1980年代的数学英雄
1970年： 走出布尔巴基的光环
布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国的统治 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。 集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓 扑、泛函分析…… 融为一体。 不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数 学、离散数学…… 1950年。吴文俊在《科学通报》介绍布尔巴 基。 无人喝彩。 1970年。 年轻数学家走出布尔巴基的影响 1980年。 中国大规模介绍布尔巴基学派。
三个伟大的方程：忽略少谈的数学家 热传导方程 傅立叶 （内燃机） 流体力学方程 拉普拉斯 （航空） 电磁学方程 马克斯韦尔 （电磁波）
傅立叶（1768 1830）
科学文化的代表：
数学与物理
狭义相对论与四维时空。 广义相对论与黎曼几何。 杨-米尔斯场 – 陈省身的纤维丛理论 高维 – 低维（四维最难） Witten（ 物理学家）获得数学最高奖 霍金（理论物理学家）参加2002 数学家 大会
B A
B(A-B) = (B+E)[A-(B+E)] BA – B2 = BA – B2 +AE – 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0 略去 E ，得到结论 A =2B。
牛顿：自然哲学之数学原理
1687 完成， 1736出版“流数术”。 基督教镇压科学、处死科学家 基督教的教义为科学留下了空间：人生来是平 等的。 王室邀请数学家进入宫廷 牛顿（爵士）、莱布尼兹是外交家 欧拉（德国腓特烈大帝邀请到柏林、俄过沙皇 喀德林一世邀请去彼得堡） 中国除康熙邀请梅文鼎以外， 数学家不受重视
第一高峰：古希腊数学文化
“对顶角相等”是否要证明？ 中国古代算学没有角的概念， 谈不上 对顶角。 认为这是显然的， 不需证明。 几何原本。 命题15：对顶角相等。用 公理3：等量减等量， 其差相等。
A C B
古希腊和中国的春秋战国
古希腊城邦实行奴隶主的“民主政治”。 男 性奴隶主选举执政官， 决定财政、战争等大事。 民主需要辩论， 平等地说服。 理性思考。 崇 尚精神上的真理追求 中国春秋战国， 实行君王统治。 知识分子可 以百家争鸣， 但是以说服君王为目标。 中国 古代数学是官方的管理数学。崇尚实用。 《九 章算术》以丈量田亩，分配徭役，工程土方等 计算方法。
数学和其他学科一样，没有 绝对。
第三次数学危机， 是故作“惊人之语”
数学在一日千里地发展， 没有危机。 数学和其他科学一样， 真理都是相对的， 不存在绝对正确。 但是， 数学是思想材料， 按照逻辑展 开， 在可以感受到的日常数学问题中， 数学仍然比其他“经验科学”， 更加准 确。 数学大厦的底层有裂缝， 但是不会倾覆 倒塌。
17世纪中国数学。 牛顿发明微积分的时代
前奏 1606 徐光启和利玛窦翻译《几何原 本》前6卷。 1690年， 康熙帝向传教士白晋等学 习几何学， 对数。 1701年， 莱布尼兹将2进制数表交 给白晋， 白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹。
鸦片战争后82）。 中国传统数 学最后一人， 吸收西方数学，开创中国 现代数学第一人。
数学文化与文化数学
华东师范大学数学系 张奠宙 2003. 12. 3 上海
目录
一。 数学是人类文明的火车头。四
个数学高峰 二。争取中国数学在世界上的平等 与独立 三。一些数学文化的理论问题 四。 数学文化视角
数学是人类文明的火车头 四个数学高峰
古希腊文明 -- 欧几里得《几何原本》 文艺复兴 -- 牛顿力学-微积分 18、19世纪人类文明 -伽罗华群论、非欧几何 电磁学方程 黎曼几何与爱因斯坦相对论 信息时代文明 -- 冯. 诺依曼计算机方 案
希尔伯特提出23个数学问题（1900）
报载：瑞典的一位女助教解决了第16问题
16。代数曲线和代数曲面的拓扑问题 第二部分 讨论 dy/dx = Y/X 的极限环的最大数目。 其中 Y,X 分别是x,y 的n次多项式
希尔伯特 1862-1943
苏联和中国的数学家研究过 n =2 的情形
陈省身和华罗庚
考试文化的影响
竞赛不是在考场上！
奥林匹克数学竞赛金牌 = 数学家？？？ 好胜与好奇。一字之差。 某大学副教务长说：“优秀学生不是 ‘高考状元’， 而是在600分以上的0. 618处。 如果你的孩子是状元， 当心他/ 她太注重细枝末节， 没有大前途。
21国参加的国际数学教育调查 （IAEP）1989。 13岁学生成绩
无限多盘糖果， 每盘各取一颗， 构成 一个拼盘。
拼盘里的元素不确定， 没有指出“选 择”的是什么糖！
用选择公理可以得出巴拿赫怪论（1923） “一个球， 可以分割为两个与原球全等的 球”。 于是倾向于不准用选择公理 但是选择公理十分有用， 例如有界的无限点 列必可选出收敛子列。 如图： 究竟用不用？ 没有绝对 正确的选择。
与伟列亚力（1815--1867）合作翻译 《几何原本》后9卷，美国Loomis的《代 微积拾级》（1859）。日本用此书。
中国最早的微积分译作
李善兰（1811 – 1882）
禾彳天 意思是
∫ dx
马克思韦尔
第三高峰： 19-20世纪初数学成就
1831-1879
法国大革命和法国数学学派（柯西、蒙日……） 德国工业的兴起和格丁根学派（高斯、黎曼） 群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密 化 …… （强调理性思维）
中国数学的发展
第一个数学博士胡明复。 哈佛大学 （1917） 1920年代数学系： 学士水平 1930年代数学系： 硕士水平 1940年代： 实际上能够培养博士 1980年代： 大陆正式授予第一批数学博 士