10-7斯托克斯公式,环流量与旋度

其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z)P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
(P c o Q sc o R sco )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
斯托克斯公式的向量形式
rA o n d t S A t d或 s(r A o )n d t S A tds
P QR
i jk
旋度roAt
x y z
PQR
( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P
[ y ( z ) co ( z s x ) co ( x s y ) c] o d
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz, 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y2 z 2 a 2 和园柱面 x 2 y2 ax 的交线
芬兰语:Kiitos
(a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
四 、 利 用 斯 托 克 斯 公 式 把 曲 面 积 分 rot A nds 化 成 曲 线 积 分 , 并 计 算 积 分 值 , 其 中A , 及n 分 别 如 下 : A y 2 i xy j xz k , 为 上 半 个 球 面 z 1 x 2 y 2 的 上 侧 , n 是 的 单 位 法 向 量 .