最新人教部编版九年级数学上册《第21章 一元二次方程【全章】》精品PPT优质课件
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 §21.1一元二次方程(1)(共20张PPT)
• [例] 将下列方程化为一般形 式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x + 2)
练习2：下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. ax2+bx+c=0
3.
4. 6x2=x
5 . 2x2=5y
6. -x2=0
练习3：将下列方程化为一般形式，并分别
A ax2＋bx＋c＝0
B mx2＋x－m2＝0
C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
四.课堂小结
亲爱的同学们，你学到了哪些内容？
?
五.作业布置
1.课本第4页练习框第一题 2.课本习题21.1中1题和2题
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程，
经过整理，都可以化为 ax2 + bx的+ c形式0 ， 我 们把 ax2 +(ab,bx,+c为c 常0 数为，啥a限≠制0）a≠称0，为b,一c可元以二为次零吗？ 方程的一般形式。
a x 2+ b x + c = 0
二次项系数
一次项系数
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午10时38分56秒下午10时38分22:38:5621.8.24
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
问题(3)： 要组织一次单循环排球邀请赛,若共
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午10时38分21.8.2422:38August 24, 2021
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件
x(x－2)=100. x2－2x－100=0.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一 段的长的平方，求较短一段的长x.
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
1 x2
10x
900
0是一元二次方程吗？
新知探究
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 想一想
新知探究
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新知探究
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
课堂小测
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
4x2=25
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
化为ax2 bx c 0的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
课堂小测
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的 二次项系数，一次项系数及常数项：
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一 段的长的平方，求较短一段的长x.
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
1 x2
10x
900
0是一元二次方程吗？
新知探究
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 想一想
新知探究
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新知探究
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
课堂小测
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
4x2=25
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
化为ax2 bx c 0的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
课堂小测
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的 二次项系数，一次项系数及常数项：
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程-课件
6．归纳小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）一元二次方程的概念是什么？ （3）如何将一元二次方程转化为一般形式，一般形 式包括哪些项？
7．布置作业
教科书习题 21.1 第 1，2，3 题．
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢He who falls today may rise
子天 是开
梅放
tomorrow.
花； ，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
3x（x - 1）= 5（x +2）
√
2x2 + 3x - 1
×
关于 x 的方程 mx2 - 3x + 2 = 0 （m≠0） √
3．细心观察，概念辨析
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式：
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2 是二 次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系 数；c 是常数项．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都 要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参 加比赛？
2．细心观察，归纳定义
思考：观察上述三个方程，它们与一元一次方程有 什么共同点？有什么不同点？
新编：人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》全章课件共13课时
2
③
由方程③可以得出参赛队数．
x2+2x-4=0
x2－75x+350=0
?
一元二次方程是 刻画现实世界的 一种数学模型
x x 56
2
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
课堂练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1
5x2 1 4x；
一般式： 5x 2
2 4x2 81；
1 5x2 1 4x
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
2
2
2
-4
1 2 -1 0 1-m
4 0 -1 -5 -m -10
2
3
4 m-3 3
2
3x(x-1)=5(x+2)
-8
例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横 拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个 醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚 好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于甲队对乙
队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
列方程
1 x x 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
1 x x 1场． 2
整理，得
化简，得
x x 56
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长 为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据 方盒的底面积为3600cm2，得
③
由方程③可以得出参赛队数．
x2+2x-4=0
x2－75x+350=0
?
一元二次方程是 刻画现实世界的 一种数学模型
x x 56
2
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
课堂练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1
5x2 1 4x；
一般式： 5x 2
2 4x2 81；
1 5x2 1 4x
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
2
2
2
-4
1 2 -1 0 1-m
4 0 -1 -5 -m -10
2
3
4 m-3 3
2
3x(x-1)=5(x+2)
-8
例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横 拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个 醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚 好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于甲队对乙
队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
列方程
1 x x 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
1 x x 1场． 2
整理，得
化简，得
x x 56
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长 为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据 方盒的底面积为3600cm2，得
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程全章教学课件
各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
新人教版九年级上册数学21.1.1认识一元二次方程优质课件
种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
知2－讲
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
第十五页，共三十四页。
知2－讲
特别提醒 方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的前提条件是a≠0；反 之，如果方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则必隐 含a≠0这一条件.
第十六页，共三十四页。
一元二次方程的项和各项系数
度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感．按
此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
A
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2－x)，
整理得x2＋2x－4＝0.
B
第四页，共三十四页。
新人教版九年级上册数学 21.1.1 认识一元二次方程 优质课件
科 目：数学 适用版本：新人教版 适用范围：【教师教学】
第二十一章 一元二次方程
21.1
一元二次方程
第1课时 认识一元二次方程
第一页，共三十四页。
1 课时讲解
2 课时流程
一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 建立一元二次方程的模型
可以发现
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式
知1－讲
第十页，共三十四页。
知1－讲
定义 等号两边都是整式， 只含有一个未知数( 一元 )， 并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做 一元二次方程．
第十一页，共三十四页。
例1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋1 ＝2； x
知2－讲
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
第十五页，共三十四页。
知2－讲
特别提醒 方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的前提条件是a≠0；反 之，如果方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则必隐 含a≠0这一条件.
第十六页，共三十四页。
一元二次方程的项和各项系数
度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感．按
此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
A
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2－x)，
整理得x2＋2x－4＝0.
B
第四页，共三十四页。
新人教版九年级上册数学 21.1.1 认识一元二次方程 优质课件
科 目：数学 适用版本：新人教版 适用范围：【教师教学】
第二十一章 一元二次方程
21.1
一元二次方程
第1课时 认识一元二次方程
第一页，共三十四页。
1 课时讲解
2 课时流程
一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 建立一元二次方程的模型
可以发现
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式
知1－讲
第十页，共三十四页。
知1－讲
定义 等号两边都是整式， 只含有一个未知数( 一元 )， 并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做 一元二次方程．
第十一页，共三十四页。
例1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋1 ＝2； x
人教版数学九年级上册：第二十一章21.1一元二次方程说课课件(16张PPT)
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年8月2021/8/42021/8/42021/8/48/4/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/8/42021/8/4August 4, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/8/42021/8/42021/8/42021/8/4
（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形 的长 x；
（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长 与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的 长 x．
5．课堂小结 上升理性
•（1）本节课我们学习了哪些知识？ •（2）学习过程中用了哪些数学方法？ •（3）确定一元二次方程的项及系数时要注意什 么？以培养学生的归纳、概括能力。
察归纳出一元二次方程的概念。
一.说 教 材
❖ 这一阶段的学生逻辑思维从经验型逐步 向理论型发展，观察能力，记忆能力和 想象能力也随着迅速发展。但同时，这
学情分析 一阶段的学生好动，注意力易分散，爱
发表见解，希望得到老师的表扬，所以 在教学中应抓住这些特点，一方面运用 直观生动的形象，引发学生的兴趣；另 一方面，要创造条件和机会，让每一个 学生都参与到课堂教学中来，发挥学生 学习的主动性，感受成功的快乐。
一.说 教 材
重点:由实际问题列出一元二次方程和一
重点难点 元二次方程的概念。
难点与关键：对一元二次方程的一般形 式的正确理解及其各项系数的确定.
二.说教法、学法
因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主 要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景---数学 模型-----概念归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数 学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学 生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学 问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情 景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产 生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思 维能力。
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
根据问题列出等式： ● 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛 程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
● 分析:全部比赛共 4×7=28(场)
● 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
二次项系数、一次项系数和常数项。
4.若一元二次方程 ax2 bx c 0有一个根为1，,求a b c的值.
0
5.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k≠3 时，是一元二次方程．
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0
当k ≠±1
时，是一元二次方程．
①为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？ ②2x²－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
把下列方程化为一元二次方程的一般情势，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
方
程
一
般
情
势
二 系
次
项 数
一次项 系数
常数项
3x2 5x 1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
（x 2）(x 1) 6 x2 ＋ x－8＝0
一、都是整式方程 二、都含有一个未知数 三、此方程未知数的最高次幂为2，一元一次方程的最高次幂为1
一元二次方程概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做
判断下列方程是否为一元二次方程？是的打“√”，不是的打“X”并说明原因。
(1) x2+ x=36 （√）
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
根据问题列出等式： ● 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛 程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
● 分析:全部比赛共 4×7=28(场)
● 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
二次项系数、一次项系数和常数项。
4.若一元二次方程 ax2 bx c 0有一个根为1，,求a b c的值.
0
5.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k≠3 时，是一元二次方程．
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0
当k ≠±1
时，是一元二次方程．
①为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？ ②2x²－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
把下列方程化为一元二次方程的一般情势，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
方
程
一
般
情
势
二 系
次
项 数
一次项 系数
常数项
3x2 5x 1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
（x 2）(x 1) 6 x2 ＋ x－8＝0
一、都是整式方程 二、都含有一个未知数 三、此方程未知数的最高次幂为2，一元一次方程的最高次幂为1
一元二次方程概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做
判断下列方程是否为一元二次方程？是的打“√”，不是的打“X”并说明原因。
(1) x2+ x=36 （√）
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 一元二次方程
想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
20-x
20
32-2x
32
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
设
找
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设未知数
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
32
20
x
20
思考：1. 若设小路的宽是 x m， 则横向小路的面积是_3_2_x__m2， 纵向小路的面积是 2×20x m2， 两者重叠的面积是 2x2 m2.
32 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出
方程吗？ 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0.
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ C ）
解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm，宽为 (50 − 2x) cm， 根据方盒的底面积为 3600 cm2，得
化简，得
x2 75x 350 0 ②
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
x
3600 cm2
50 cm
100 cm
人教版九年级上册教学课件：21.1一元二次方程(共25张)
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般情势为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、 常数项等都是针对一般情势而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
18m2
5m
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__(5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)_m, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
知识讲授
一元二次方程的一般情势
二次项
一次项
想一想
为什么要限制a ≠0 , b, c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
知识讲授
为什么一般情势ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？
当 a=0时
bx＋c = 0
当b ≠ 0时，为 一元一次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0
x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 分在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、 常数项等都是针对一般情势而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
18m2
5m
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__(5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)_m, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
知识讲授
一元二次方程的一般情势
二次项
一次项
想一想
为什么要限制a ≠0 , b, c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
知识讲授
为什么一般情势ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？
当 a=0时
bx＋c = 0
当b ≠ 0时，为 一元一次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0
x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 分在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程PPT教学课件
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
(1) x2=4 (2) x2=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得
(3) x2+1=0
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p, 的实数根 x1 p ， x2 p ；
c 称为常数项.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？ 当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
1 A.x 2 0 不是整式方程 B. 3x 2 5 xy y 2 0 x C. ( x 1)( x 2) 0 D. ax 2 bx c 0
根
使方程左右两边相等的
未知数的值.
课后作业
见《学练优》本课时练习
九年级数学上（RJ） 教学课件
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
(1) x2=4 (2) x2=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得
(3) x2+1=0
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p, 的实数根 x1 p ， x2 p ；
c 称为常数项.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？ 当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
1 A.x 2 0 不是整式方程 B. 3x 2 5 xy y 2 0 x C. ( x 1)( x 2) 0 D. ax 2 bx c 0
根
使方程左右两边相等的
未知数的值.
课后作业
见《学练优》本课时练习
九年级数学上（RJ） 教学课件
人教版九年级上册数学第二十一章《一元二次方程》单元精品教学课件
x(10－4.9x)＝0
于是得x＝0或10－4.9x＝0
②
∴x1＝0
x2＝14090 2.04
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上 抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。
知识点详解
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.方程右边化为零。 2.将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3.至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程。 4.两个一元一次方程的解就是原方程的解。
1 4
0
(2)5(3x 2)2 3x(3x 2)
解：(1)
x2
1 4
0, x 2
1 4
,即x
1. 4
x1
1 2
,x2
1 2
(2)原方程可变形为5(3x x )2 3x(3x 2) 0,
(3x 2)(15x 10 3x ) 0.
3x 2 0或12x 10 0.
x 1
b2 4ac 0 ，当
时，将a，b，c的值代入式子 x b b2 4ac 2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它
解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程
最多有两个实数根。
例题详解
知识点详解
归纳：
（1）当 根。
b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）
课堂总结
其选择的原则一般为： (1)当给定的一元二次方程能转换成(x＋m)2 ＝n(n≥0)型时可选用配 方法。 (2)当一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边能分解因式时，选 用因式分解法；不能分解因式时，一般选用公式法。
人教版 数学 九年级 上册
最新人教部编版九年级数学上册《第21章 一元二次方程【全章】》精品PPT优质课件
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4
2. 方程3x2+9=0的根为（ D ）
A. 3
B. －3 C. ±3
3. 若8x2-16=0，则x的值是
.
D. x+6=-4 D. 无实数根
4. 解关于x的方程(x+m)2=n. 解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得
x+m=± n ，方程的两根为x1= n -m, x2=- n -m. ②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得
p mn ，x2来自pnm,当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。
课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！
谢谢观赏！
再见！
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时 配方法
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数 作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使 方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验 可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边 相等.
随堂演练
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ C ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
课堂小结
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
课后作业
人教版九年级数学上册教学课件：第21章21.1《一元二次方程》 (共22张PPT)精品
它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什 么不同吗？
探究1
如图，有一块矩形铁皮，长100cm。宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周 突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制 作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角 应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为 （100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，
请问：
（1）这次排球赛共安排 28
场；
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 x-1
个
队各比赛一场，这样应共有x(x-1)
场比赛；
（3）由此可列出的方程为 1 x(x 1) 28 ，
2
化简得 x²-x-56=0
。
归纳总结
1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程称为
-56 -54 -50 -44 -36 -26 -14 0
可以发现，当x=8时，x²-x-56=0，所以x=8是方程x²-x-56=0的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
的根. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程
2.方程x²-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
解：由题意有|m|=2且m+2≠0, ∴m=2,
因此原一元二次方程为4x²+3x+2=0.
例2 将方程3x（x-1）=5（பைடு நூலகம்+2）化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次 项系数及常数项.
解：去括号，得3x²-3x=5x+10，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为： 3x²-8x-10=0
探究1
如图，有一块矩形铁皮，长100cm。宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周 突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制 作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角 应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为 （100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，
请问：
（1）这次排球赛共安排 28
场；
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 x-1
个
队各比赛一场，这样应共有x(x-1)
场比赛；
（3）由此可列出的方程为 1 x(x 1) 28 ，
2
化简得 x²-x-56=0
。
归纳总结
1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程称为
-56 -54 -50 -44 -36 -26 -14 0
可以发现，当x=8时，x²-x-56=0，所以x=8是方程x²-x-56=0的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
的根. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程
2.方程x²-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
解：由题意有|m|=2且m+2≠0, ∴m=2,
因此原一元二次方程为4x²+3x+2=0.
例2 将方程3x（x-1）=5（பைடு நூலகம்+2）化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次 项系数及常数项.
解：去括号，得3x²-3x=5x+10，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为： 3x²-8x-10=0
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问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去 一个相同的正方形，我们设正方形边长为 x cm，则 盒底的宽为 (50-2x) cm，盒底的长为 (100-2x) cm， 根据矩形的面积公式及方盒的0-2x)=3600 .
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
A. x2+130x+1400=0 B. x2+65x-350=0 C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0
6. 如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另 一个根.
解：将2代入原方程中，22-c=0，得c=4. 将c=4代入原方程，得x2-4=0. 解得x=±2. 即方程的另一个根为-2.
最新人教部编版九年级数学上册 《第21章 一元二次方程【全章】》
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21.1 一元二次方程
——一元二次方程的相关概念
R·九年级上册
新课导入
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？
解：一般形式：4x2+5x-81=0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：-81
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平
方的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,
2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：－4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出
该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2+1=6x；
（2）4x2=81－5x；
解：一般形式：3x2-6x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：-6 常数项：1
整理，得50x2-25x+3=0.
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10
次.有多少人参加这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得
1 2
x(x-1)=10，
整理，得x2-x-20=0.
5. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂 图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x 满足的方程是（ B ）
(100-2x)(50-2x)=3600
先去括号 5000－100x－200x+4x2=3600
移项、合并同类项 4x2－300x+1400=0
系数化为1
x2－75x+350=0
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之 间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 28 场.
设邀请 x 支队参赛，则每支队与其余 (x-1) 支队
都要赛一场.根据题意，你列出的方程是
1 x(x-1)=28 2
.
整理为 x2-x=56 .
①一个圆的面积是2πm2，求半径r. πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数 作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使 方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验 可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边 相等.
随堂演练
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ C ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
较长的直角边x的长. ③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等
于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. x=(1-x)2
知识点2 一元二次方程的概念 下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2－75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2.
结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
若方程（m-1）x2+ m x=1是关于 x 的一元二次方程， 则m的取值范围是 m≥0且m≠1 .
知识点3 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什 么要规定a≠0？
3x2-8x-10=0. 二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点4 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就 是这个一元二次方程的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根.
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？
-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.
审、 设、 列、 解、 验、 答
问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？ 2m
问题4：设雕像下部高BC = xm ,请说出你所列的方 程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？
它有什么特点？ x2+2x-4=0
2-x
AC BC
x BC AB
2-x x
x 2
（1）会设未知数，列一元二次方程.
（2）了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地 指出各项系数.
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知识点1 寻找等量关系列方程并化简
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作无盖方盒的底 面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2.
a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的
一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项. 解：去括号，得
一元二次方程的每一项 （系数）都应包括它前 面的符号。
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式