第五章 时域离散系统的基本网络结构

画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
数字信号处理第五章
时域离散系统的基本网络结构 与状态变量分析法
基本内容
5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 状态变量分析法
数字滤波器的表述
数字信号处理的目的之一，是设计某种设 备或建立某种算法用来分析处理序列，是 序列具有某些确定的性质，这种设备或是 算法结构就是数字滤波器。
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔） 式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 流图特征余子式； 中除去与第k个前向通道接触的回
IIR的并联型例
H
(z)
16
1
8 0.5z 1
16 20z1 1 z1 0.5z2
每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构为：
x(n)
16
y(n)
0.5 － 0.5
8 z－ 1
－ 16 z－ 1
20 z－ 1
IIR的并联型特点
并联型调整极点位置方便，但调整零点不如级联 型方便。
各并联基本节的误差不相互积累，故比级联型的 误差来的小。
(a)
(b)
频率采样结构
频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采
样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采 样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起 信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样 值H(k)满足下面关系式：
H (z) (1 zN ) 1 N 1
N k0
H (k ) 1 WNk z1
解：将H(z)分子分母进行因式分解（分解结果不唯一）
H
(z)
(2
0.379z1)(4 1.24z1 (1 0.25z1)(1 z1
5.264z2 ) 0.5z2 )
IIR的级联型例题
x(n)
2
z－ 1
0.25 － 0.379
4
y(n)
z－－1 1.24
－ 0.5
z－ 1 5.2 64
IIR级联型结构
上运行。
引言
一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：
H1(
z)
1
0.8z
1 1
0.15z 2
H2(z)
1.5 1 0.3z1
1
2.5 0.5z 1
H
3(
z)
1
1 0.3z
1
1
1 0.5z
1
用信号流图表示网络结构
从差分方程可看出，实现数字滤波器需要3种基本运算单元。 加法器、单位延迟器、常系数乘法器. 这些单元有方框图和流程图两种表示法。
网络结构有三种：直接型、级联型以及并联型。
IIR 直接型
IIR的差分方程
M
N
y(n) bi x(n i) + ai y(n i)
i0
i 1
系统函数
M
- H (z)
Y (z) X (z)
i0 N
1
bi z i ai z i
i 1
这本身就是一种实现方法。
IIR 直接I型
表示将输入加延时，组成M节的延时网络， 把每节延时抽头后加权（加权的系数是bk）, 然后把结果相加，这就是一个横向结构的网 络。
IIR的级联型
如果将N阶IIR系统函数分解成一阶和二阶因式连 乘，就可以得到级联结构。
M
(1 Cr z1)
H (z)
A
r 1 N
(1 dr z1)
r 1
H j(z)
0 j 1 j z1 2 j z2
1 a1 j z1 a2 j z2
IIR的级联型
x(n)
0 j
y(n) x(n)
数字滤波器和FFT一样，是数字信号处理 的重要内容。
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
并联型中，输入信号同时在各基本节中传递运算， 因此相对其它两种IIR滤波器而言，速度最快。
由于其不能单独调整零点，故不适宜用在要求准 确传输零点的场合下。
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路(非递归)，即 没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。
设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z) 和差分方程为
1
2
数字滤波器的两种结构
FIR（Finite Impluse Response）数字滤波器中一 般不存在输出对输入的反馈支路（非递归）。称 为有限脉冲响应。
M
y(n) bi x(n i)
i0
FIR单位脉冲响应有限长
h(n)
0bn,
,
0n
其它n
M
数字滤波器的两种结构
IIR（Infinite Impluse Response）数字滤波器 中存在输出对输入的反馈支路（递归）。称为 无限脉冲响应。
h(0) h(1) h(2) h(N－ 2) h(N－ 1) y(n)
FIR直接型网络结构
级联型
将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在 一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级 联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联 结构，其中每一个因式都用直接型实现。
例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
y(n)-ay(n-1)=x(n)
单位脉冲响应h(n)=anu(n)
5.3 IIR无限长脉冲响应基本网络结构
IIR滤波器的特点 单位冲激响应h(n)是无限长的；故称IIR滤波器。 系统函数H(z)在有限平面（0<|z|<∞ ）上有极点
存在； 结构上存在输出到输入的反馈，也就是所谓的递
归结构。 同一系统函数，可以有多种不同结构，它的基本
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
设系统函数H(z)如下式：
H
(z)
1
8 4z 1.25z 1
1
11z2 0.75z 2
2 z 3 0.125z
3
试画出其级联型网络结构。
N 1
H (z) h(n)zn
n0 N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
直接型
按照H(z)或者差分方程
N 1
y(n) h(m)x(n m) m0
直接画出结构图，x(n)延时链的横向结构。这种结构称 为直接型网络结构或者称为卷积型结构(横向型结构)。
x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
路后的剩余部分；
系统函数（梅逊公式法）
三个前向通道： p b
1
0
p b z 1
2
1
两个回路： 所以
p b z 2
3
2
L a z 1 a z 2
a
1
2
1 L 1 a z 1 a z 2
a
1
2
1 1
1 1
2
3
P
Y(z)
1
1
p
b b z 1 b z 2
0
1
2
X (Z ) k3 k K 1 a z 1 a z 2
IIR 直接 I型
该结构需要N+M级延时单元。 直接I型特点：直观、速度慢、不经济（需要N+M）
个延时器
H(z)=H1(z)H2(z)
IIR 直接 I型 II型 = H2(z)H1(z)
x(n)
（a ）
x(n－ 1) x(n－ 2)
x(n)
（b ）
x(n) （c ）
b0 z－1
b1 z－1
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
ax(n)
x(n)
a
ax(n)
x1(n)
a x1(n)＋x2(n)
x2(n)
x1(n)
x2(n)
x1(n)＋x2(n)
信号流图
基本信号流图
(Primitive Signal Flow Graghs)
(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益 是常数或者是z-1；
系统函数（节点法）
进行z变换
W1(z) W2 (z)z1 W2 (z) W2(z)z1 W2(z) X (z) a1W2 (z) a2W1(z) Y (z) b2W1(z) b1W2 (z) b0W2(z)
联立求解得到
H(z)
Y (z) X (z)
b0 b1z1 b2z2 1 a1z1 a2z2
Y (z) X (z)
i0 N
1
bi z i ai z i
i 1
引言
数字滤波器的功能是把输入序列通过一定的 运算，变换成输出序列。数字滤波器一般可用良 种方式实现：
✓一种是数字滤波器的数学模型或是信号流图，
用数字硬件构成专用数字信号处理机（比如 用TMS320CLF2407或是FPGA）；
✓另一种是编写数字滤波运算程序，在计算机
b2 H1(z)
w1 a1 z－1 a2 z－1
H2(z)
a1
a2
a1 z－1 a2 z－1
H2(z) w2 b0
z－1 b1
z－1 b2
H1(z) b0 z－1 b1 z－1
b2
y(n)
y(n－ 1) y(n－ 2)
y(n)
y(n)
IIR 直接 II型
利用LTI系统的交换性质,将全零点系统和全极点 系统网络中的延迟环节合并，使延迟环节减少到 MAX(N,M)。最小化了延迟单元.（试考虑这是计 算机中的什么部分？）
IIR的级联型特点
这是一种常用的IIR系统结构。 级联结构中，每个一阶、二阶结构有其各自的零
极点对。调整不同的零极点对，不会影响其他零 极点。这种结构便于准确实现滤波器的零极点， 便于调整滤波器的频率响应性能。 该结构的主要优点：二阶基本节搭配灵活，可按 需调换各节的次序，还可直接控制系统的零极点。 后一节的输出不会对前一节造成影响，不易产生 误差积累效应。
梅逊公式复习1
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到
输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
梅逊公式复习2
H (z)
频率采样结构
设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统 函数H(z)=ZT［h(n)］，式中H(k)用下式表示：
H (k) H (z) j2 k , k0,1, 2 , N 1 ze N
频率采样结构
要求频率域采样点数N≥M。上式提供了一种称 为频率采样的FIR网络结构。将其写成下式：
式中
最小化了延迟单元的IIR 直接II型结构，通常被 认为是典范型结构。
IIR 直接型
IIR 直接I型和IIR 直接II型，之所以称为“直接 型”，是因为它们的结构是直接从系统函数中得 到的，没有对系统函数做任何的重排。
遗憾的是：这样的结构对参数量化十分敏感。当 N较大时，数字滤波器会因参数量化（有限字长） 的小变化，导致系统的零、极点位置出现重大的 变化。故通常不推荐使用在实际应用中。
IIR的并联型
将因式分解的H(Z)展开成部分分式的形式，就可 得到IIR的并联型滤波器。
H (z) H1(z) H2(z) Hk (z)
Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均 为实数。
Hi
输出Y(z)表示为
(
z)
1
0i 1i z1
a1i z1 a2i z2
Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
表示将输出加延时，组成N节的延时网络， 把每节延时抽头后加权（加权的系数是ak）, 然后把结果相加，最后的输出y(n)是把 这两 个和式相加而构成的。
IIR 直接 I型
因为含有输出延时部分，它是反馈网络。IIR直接I型结 构
由下图可以看出，该网络是两部分的级联。第一网络对 应系统函数的分子，全零点系统；第二网络对应与系统 函数的分母，意味着这是系统函数的全极点系统。