函数的连续性(课件教材)

解 f (0) a,
f (0 0) lim cosx 1, x0
f (0 0) lim(a x) a, x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当 a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
(三)、连续函数的性质
若函数f (x), g(x)在点x0处连续,则f (x) g(x),
(1,1), 使 f ( ) 0,
由零点定理,
方程2x x2在区间(1,1)内必有实根.
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
1 如 : f (x) x
1
x 1 1 x 2 x2
在(1,2)连续,但Th2.6 不成立.
y ao
y f (x) 1 b x
y y f (x)
1
o
12
x
-1
例1 证明方程2x x2在区间(1,1)内必有实根.
证 令 f (x) 2x x2, 则f (x)在[1,1]上连续,
又 f (1) 1 0, f (1) 1 0, 2
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间
f(x)在(a,b)内连续: x0 (a,b),f (x)在x0连续 f (x)在闭区间[a,b]上连续 :
(1)f (x)在(a,b)连续 (2) lim f (x) f (a)
xa
(3) lim f (x) f (b) xb
性质2.14
函数f (x)在 x0 处连续 f (x0 0) f (x0 0) f (x0 )
例2
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
设 x x x0,
y f ( x) f ( x0 ),
x x0就是x 0, f (x) f (x0 )就是y 0.
定义2.9中 lim xx0
f
(x)
f
(x0
)可写成
lim y 0
x0
定义2.9可写成 : 设函数y f(x)的定义域为D,x0 D,
若 lim x0
y
0,则称f
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2.9知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
2.连续的定义
定义2.9 设函数y f(x)的定义域为D,x0 D,
若
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
),则称f
(x)在x0连续.
x0称为f (x)的连续点.
与 lim f (x) A定义的区别在于 : xx0
lim
xx0
f
(x)
A
:
(1)f
(x)在x0可以无定义.
(2)A f (x0 )或A f (x0 )
四、函数的连续性
(一)、连续的定义
1.函数的增量
设函数f (x)在O (x0 )内有定义, x O (x0 ), x x x0 , 称为自变量在点x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
思考题
下述命题是否正确？
如果 f ( x) 在[a,b]上有定义，在(a, b) 内连续，且 f (a) f (b) 0，那么 f ( x) 在 (a, b)内必有零点.
思考题解答
不正确.
例函数
f
(
x)
e, 2,
0 x1 x0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点.
练习题
一、证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至 少有一个正根，并且它不超过 a b .
二、 若 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续， a x1 x2 xn b 则在 [ x1 , xn ]上必有 ，使 f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) ...... f ( xn ) . n
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy sin u 在(, )内连续,
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
故有
lim
xx0
f
(
x)
f
(
x
0
)
(x0 定义区间 )
(四)、闭区间上连续函数的性质
定理1 (有界性定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x) 在[a,b]上有界.
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)在点x0处也连续.
可得 : 1 f (x)
(f (x)
0),f 2(x), f (x)在x0连续.
复合函数的连续性 若g(x)在x0点连续, f (u)在u0 g(x0 )点连续,则f[g(x)]在x0连续. 例如, u 1 在(, 0) (0, )内连续,
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 求极限的又一种方法. 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立．
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
例3 设f(x)在[0,1]连续,且满足0 f(x) 1, x [0,1],
证 : x (0,1),使f (x ) x
0
0
0
证: 令F(x) f (x) x 在[0,1]连续,
F(0) f(0) 0,F(1) f(1)- 1 0
(x)
f
(2
)
oa
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f (x)
y
y f (x)
1
o
x
o
12
x
Th3 (介值定理)
设f (x)在[a,b]连续,M,m分别为其最大,最小值,则 c [m,M],一定x0 [a,b],使f (x0 ) c
2 1
o1
x
2.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、 右极限至少有一个不存在, 则称点 x 为函数
0
f ( x)的第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0为函数的第二类间断点 .
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数
例5 讨论函数
f
(x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1的连续性
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
lim f ( x) 2 f (1), x 0为函数的可去间断点.
x1
令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2 x, 1 x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
D( x)
1, 0,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。
★
f
(x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
12/16
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
定义 : 设y f (x)在x0处满足下面三条件之一,
(1) f (x)在x0的去心邻域内有定义,但在x0无定义.
(2) lim f (x)不存在 x x0