勒让德多项式

u(0, r )


0
Pl (0)r
l
1 1 r
2


( 1)
0
(2k 1)!! 2k r (2k )!!
k
( 1) k ( 2 k 1)!! , l 2k Pl (0) ( 2 k )!! 0, l 2k 1
(2k )!! 2 4 6(2k ) (2k 1)!! 1 3 5(2k 1) 0!! ( 1)!! 1
Pk 0 ( x ) 0
递推公式的证明
u( x, r ) 0 P ( x )r l
l
1 1 2rx r 2
xr (1 2rx r 2 ) 3 / 2
u r ( x, r )


0
Pl ( x)l r
l 1

(x r)
0

l
（x r )(1 2rx r 2 ) Pl ( x)r (1 2rx r 2 ) 0 (1 2rx r 2 ) 3 / 2
勒让德多项式的应用
例题 1
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球内空 间的电势 u 。
解：
u 0, r a 定解问题为： u |r a f A cos2
定解问题有轴对称性，相应的半通解为 u


l 0
( Al r l Bl r l 1 ) Pl (cos )
( z 2 1)l dz ( z x )l 1
具体形式 代数表达式 图象
勒让德多项式的代数表达式
P ( x) l ( 1)k (2l 2k )! 1 dl x l 2 k l ( x 2 1)l 2l k!(l k )!(l 2k )! 2 l! dxl
一般表示 级数表示
微分表示 积分表示
P ( x) l

( 1)k (2l 2k )! x l 2 k 2l k! (l k )!(l 2k )!
1 dl P ( x) l ( x 2 1)l l 2 l! dxl
1 1 P ( x) l 2i 2l

递推公式的应用
(k 1) Pk 1 ( x ) (2k 1) xPk ( x ) kPk 1 ( x ) k 0 P ( x ) xP0 ( x ) 0 x 1
k 1 2P2 ( x) 3xP ( x) P0 ( x) 3x 1 1
2


l 0
f l Pl ( x )
广义傅立叶系数为

1
1
f ( x) P ( x)dx k

2 f l l ,k N k
fk
2k 1 2

1
1
f ( x ) P ( x )dx k
完备性应用例题
例1：把函数 f(x)=x2 用勒让德多项式展开。
解： x
2



l 0
fl P ( x) l
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性

1
1
P ( x ) P ( x )dx 0, k l


0
P (cos ) P (cos ) sind 0, k l
(k l )
模

1
1
P ( x) P ( x)dx l l


0
fk
2k 1 2

1
1
x 2 P ( x )dx k
例2：把函数 f(x)=|x| 用勒让德多项式展开。
解： | |x

5
k 0
f 2k P k ( x ) 2
f 2k (4k 1)

1
0
xP k ( x )dx 2
例3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。
l

0
Pl ( x)l r l 1
xP r
l
Pl r
l 1
l P r
0 l
l 1
2lxP r l l Pl r l 1 l

xPk Pk 1 (k 1) Pk 1 2kxP (k 1) Pk 1 k
(k 1) Pk 1 (2k 1) xPk k Pk 1 0
dz z x
1 1 ( z 2 1) r 2( z x )
奇点： z 1 (1 r 1 2 xr r 2 )
1 2i

C
dz ( z x ) 1 ( z 2 1) r 2 1
1 1 2i |z z 2i 1 zr
1 2 xr r 2
2
由边界条件得： Ax


l 0
Bl a l 1Pl ( x )
2k 1 k 1 根据完备性： k B a 2

1
1
Ax2 P ( x)dx k
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
1 1
0


0
P ( x )r l
l


0
P ( x)r dx k

1
1
dx 1 2rx r 2


0
l k 1 r P ( x) Pk ( x)dx l 0 1


1 1 ln( 2rx r 2 ) |1 1 2r
l k 2 r l ,k N k 0
球内解要求u (0, )有界，半通解化为 u
l 0
Al r l Pl (cos )
2
由边界条件得： Ax


l 0
Al a l Pl ( x )
Ax2 P ( x)dx k
2k 1 根据完备性：Ak 2a k

1
1
勒让德多项式的应用
例题 2
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空 间的电势 u 。
P0 ( x ) 1 P ( x ) x cos 1 P2 ( x ) 1 (3x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
1 P3 ( x ) 1 (5 x 3 3x ) 8 (5 cos3 3 cos ) 2 1 P4 ( x ) 8 (35x 4 30x 2 3) 1 64
( Al a l Bl a l 1 )Pl ( x ) ( Al b l Bl b l 1 )Pl ( x )
a 2b3 b3 a 3
l 0
A1 a 2 3 , B1 l， Al a l Bl a l 1 1 b3 a 根据完备性得： 0 Al b l Bl b l 1 Al 1 Bl 1 0
P (cos ) P (cos ) sind l l
N l2
2 2l 1
正交性应用例题
1 1 1
P ( x )dx l

1
1
2 P ( x) P ( x)dx l ,0 N 0 2 l ,0 0 l 2 P ( x ) P ( x )dx l ,1N1 1 l 2 3 l ,1 2 1 l ,0 N 0 3

1 1
xP ( x )dx l
2

1
1
1
x P ( x)dx l

1
1
( 2 P 1 P ) P dx l 3 2 3 0
2 2 N2 3 l ,2
勒让德多项式模的计算
u( x, r ) 0 P ( x )r l
l
1 1 2rx r 2
k

解：定解问题为：u 0, a r b u |r a cos , u |r b 0
定解问题有轴对称性，相应的半通解为 u


l 0
( Al r l Bl r l 1 ) Pl (cos )
x 由边界条件得： 0


l 0
母函数的应用
u ( x, r )


Leabharlann Baidu
0
Pl ( x ) r l
1 1 2rx r 2
l 1 u(1, r ) 0 Pl (1) r 0 r Pl (1) 1 1 r l 1 u( 1, r ) 0 Pl ( 1) r 0 ( 1)l r l Pl ( 1) ( 1)l 1 r l
基本递推公式
(k 1) Pk 1 ( x ) (2k 1) xPk ( x ) kPk 1 ( x ) Pk 1 ' ( x) (k 1) Pk ( x ) xPk ' ( x )
kPk ( x ) xPk ' ( x ) Pk 1 ' ( x )
( x 2 1) Pk ' ( x) kxPk ( x) kPk 1( x)
k 2 3P3 ( x) 5xP2 ( x) 2P ( x) 15 x3 9 x 1 2 2
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 – 模 – 正交性应用例题
完备性
母函数的推导
u ( x, r )
u( x, r )


0
Pl ( x ) r l
1 1 2i 2 l


0

C
( z 2 1) l dz r l ( z x ) l 1
( z
1 2i

C
dz zx

0
1) l r l 2l ( z x ) l
2

1 2i

C
1 [ln( r ) ln( r )] 1 1 r

2 N k r 2k 0



1 n r n 1

(1)n n r n 1

2 r 2k 2k 1
2 Nk
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f ( x)
R Al r l Bl r l 1
P (x) l



l 0
Rl (a ) Pl (cos )
u

l 0
Rl ( r ) Pl (cos )
勒让德多项式
定义
[(1 x 2 )' ]' l (l 1) 0 斯 — 刘问题 的本征函数 ( 1)有界
解： 1) (x

5 l 0
f l P ( x) l
2l 1 fl 2

1
1
( x 1)5 P ( x )dx l
例4：把函数 f(x)=x3 用勒让德多项式展开。
解：x 3 f1P ( x) f 3P ( x) f1 x f 3 1 3
1 2
(5x 3 3x)
解：
u 0, r a 定解问题为： u |r a f A cos2
定解问题有轴对称性，相应的半通解为 u


l 0
( Al r l Bl r l 1 ) Pl (cos )
球外解要求u ( , )有界，半通解化为 u
l 0
Bl r l 1Pl (cos )
(35cos 4 20cos 2 9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用
f ( )
u |r a f ( )
u 0
(r R' )'l (l 1) R 0
2
(sin' )'l (l 1) sin 0 (0), ( )有界
x cos
r R"2rR'l (l 1) R 0
2
[(1 x 2 )' ]'l (l 1) 0 ( 1)有界
数学物理方法
球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解
勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求