竖曲线
道路勘探设计竖曲线设计.pptx
• 试计算K12+700～K13+300段50m间隔的整桩号的设 计高程值。
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当x=L时，
ip
L k
i1
i2
则
k L L
R L
i2 i1
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2．竖曲线诸要素计算公式
（1）竖曲线长度L或竖曲线半径R
L = xA - xB
L R , R L
（2）竖曲线切线长T
因为T = T1 = T2，则
B
T L R
i
22
2
（3）竖曲线外距E
E T 2 ，E L T A
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的 3秒行程 。
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（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
• 设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力，
确定凹竖曲线半径时，应以离心加速度为控制指
标 。 R V2 V2
13a 3.6
或
Lmin
V 2
3.6
凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心
1．纵断面设计成果 变坡点桩号BPD 变坡点设计高程H 竖曲线半径R
R
H
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三、逐桩设计高程计算
2．竖曲线要素的计算公式：
• 变坡角ω= i2- i1
• 曲线长：L=Rω
x
• 切 线 长 ： T=L/2=
Rω/2
E T2
• 外 距： 2R
纵 距： y x2
2R
y x
竖曲线起点桩号: QD=BPD - T
h1
d12 2R
t12 2R
，则d1
竖曲线的应用
d12 h1 = ，则d1 = 2 Rh1 2R
S = d1 + d 2 = 2 R ( h1 + h2 )
R= S2 2( h1 + h2 )
α1
i1
α2
竖曲线的作用 竖曲线的作用 （1）缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 （2）保证公路纵向的行车视距： 保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 将竖曲线与平曲线恰当的组合， （3）将竖曲线与平曲线恰当的组合，有利于路面排水和改善行车的视 线诱导和舒适感。 线诱导和舒适感。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 竖曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。 曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。 特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。 竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的 但两切线保持相等。 竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的，但两切线保持相等。 不对称 相等
HS = HT ± y
设计高程： 设计高程：
（凸竖曲线取“-”，凹竖曲线取“+”） 凸竖曲线取“ ，凹竖曲线取“ ） 其中： 竖曲线上任一点竖距； 其中： y——竖曲线上任一点竖距； 竖曲线上任一点竖距 直坡段上， 直坡段上，y=0； ；
学习之竖曲线
隧道内竖曲线计算当正线相邻坡段坡度差≥1‰，应设置竖曲线，竖曲线形式为圆曲线。
竖曲线计算公式如下：L=Rsh×λ/2000（L为竖曲线全长的一半，单位：m）y=x2/2R（y为竖曲线高度，单位：m）其中：Rsh—竖曲线半径（m），10000～20000m；x—竖曲线始点至计算纵距之距离，单位m；λ—为相邻竖曲线的代数差。
在设计图中，竖曲线的位置的标高应表示为：括号内的标高为未考虑竖曲线影响的标高，括号外的标高为已考虑竖曲线影响的标高。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1 ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m=k5+000-k4+940=60m 桩号k5+000处：x1切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m 2/2R=602/2*2000=0.90mh1=x1设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m=k5+100-k4+940=160m 桩号k5+100处：x2切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m 2/2R=1602/2*2000=6.40mh2=x2设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。
竖曲线参数
竖曲线参数
竖曲线可以用一元二次方程表示，即y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数常数。
竖曲线的特点是在x轴的某一点上，曲线的切线是竖直的（即斜率无穷大），这意味着曲线在该点的导数为无穷大。
竖曲线通常在开口向上或向下的情况下出现。
竖曲线的参数可以包括曲线的顶点坐标和开口方向。
顶点坐标表示曲线的最高或最低点，可用形式(x0, y0)表示。
开口方向
可以是向上或向下，即曲线的抛物线开口的方向。
根据给定的竖曲线参数，可以确定曲线的形状和位置。
使用这些参数，可以计算出曲线上的其他点的坐标，并绘制出完整的竖曲线图形。
竖曲线
竖曲线是在变坡点处，为了行车平顺的需要而设置的一段曲线。
竖曲线的形状，通常采用圆曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上抛物线比圆曲线更为方便，故一般采用二次抛物线。
在纵坡设计时，由于纵断面上只反映水平距离和竖直高度，因此竖曲线的切线长与弧长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两条纵坡线相交角用坡度差表示。
一、竖曲线要素计算如图3-3所示，设变坡处相邻两纵坡度分别为i1和i2，坡度差以ω表示，则坡度差ω为i1和i2的代数差，即ω= i1-i2：当ω>0时，则为凸形竖曲线；当ω<0时，则为凹形竖曲线。
图3-3竖曲线示意图1、竖曲线的基本方程二次抛物线作为竖曲线的基本形式是我国目前常用的一种形式。
如图3-4所示，用二次抛物线作为竖曲线的基本方程：3-4 竖曲线要素示意图竖曲线上任意一点的斜率为：当x=0时：k= i1,则b= i1；当x=L，r=R时：，则：因此，竖曲线的基本方程式为：或 (3-19)2、竖曲线的要素计算曲线长：（3-20）切线长：（3-21）外距：（3-22）曲线上任意一点的竖距（改正值）：（3-23）二、竖曲线设计标准竖曲线的设计标准包括竖曲线的最小半径和最小长度。
1、竖曲线设计的限制因素（1）缓和冲击汽车在竖曲线上行驶时会产生径向离心力，在凸形竖曲线上行驶会减重，在凹形竖曲线上行驶会增重，如果这种离心力达到某种程度时，乘客就会有不舒适的感觉，同时对汽车的悬挂系统也有不利影响，故应对径向离心力加速度加以控制。
根据试验得知，离心加速度a限制在0.5～0.7m/s2比较合适。
汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为：（3-24）《标准》中确定竖曲线半径时取a=0.278 m/s2。
或（3-25）（2）行程时间不宜过短汽车从直坡段驶入竖曲线时，如果其竖曲线长度过短，汽车倏忽而过，冲击力大，旅客会感到不舒适，太短的竖曲线长度从视觉上也会感到线形突然转折。
因此，应限制汽车在竖曲线上的行程时间，一般不宜小于3s。
竖曲线
竖曲线1、竖曲线要素计算1.)变坡角δ：相邻两纵坡i1，i2，由于公路纵坡的允许值不大，故可以认为变坡角δ为：δ=△i= i1-i2（若不考虑近似情况，该值δ=arctan (i1)-arctan(i2)。
需要注意的是假设坡度上升为正时，δ计算结果会有正有负，但其绝对值的大小却与变坡角的角度相等。
但若不考虑正负差异，会造成最终的计算结果出错。
）2.)切线长T：（变坡角δ和圆心角大小相等。
）由于δ很小，可认为故（若不考虑近似情况，,δ值的正负号需注意。
）3.)曲线长L的计算由于变坡角δ很小，可认为L=2T（若不考虑近似情况，因为δ等于该弧所对应的圆周角，那么L=R*δ，其中δ应换算成弧度。
注意在利用CASIO计算器计算时的中间、最终结果的角度弧度问题。
）4.)外矢距E的计算由于变坡角δ很小，可认为y坐标与半径方向一致，它是切线上与曲线上的高程差。
从而得（R+y）2=R2+x2展开2Ry=x2-y2又因y2 与x2相比较，y2的值很小，略去y2，则2Ry= x2即当x=T时，y值最大，约等于外矢距E，所以（若不考虑近似情况，y2+2Ry-x2=0，，其中E >0,。
）2、竖曲线的测设算例：已知：某竖曲线半径R=2000米，相邻坡段的坡度i1=-2.95%，i2=-5.0628%，变坡点里程桩号为K0+760，其高程为428.312米。
（设计给出T=21.128，E=0.112。
）求：K0+730、K0+740、K0+750、K0+760、K0+770、K0+780、K0+790的线路坡度高程和设计高程。
解：步骤一：由已知条件知δ= i1-i2=-0.0295+0.050628=0.021128弧度（若不考虑近似情况δ=（arctan(i1)-arctan(i2)）=1°12′30.82″=0.0210940493155弧度）1、）切线长=1000*（-0.0295+0.050628）=21.128米（若不考虑近似情况，=21.0942米）2、）曲线长L=2T=21.128*2=42.256米（若不考虑近似情况L=R*δ=2000*（arctan(i1)-arctan(i2)）=2000*1°12′30.82″*π/180°=42.1867米）3、）外矢距=21.128^2/4000=0.1116米(若代入T=21.0942，计算结果=0.1112)（若不考虑近似情况 =0.1112米，其中T=21.0942。
竖曲线
第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。
可采用抛物线或圆曲线。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：二、竖曲线最小半径（三个因素）1.缓和冲击对离心加速度加以控制。
ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。
我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或 Lmin=V2ω/3.62.行驶时间不过短 3s的行程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满足视距的要求分别对凸凹曲线计算。
(一)凸形竖曲线最小半径和最小长度按视距满足要求计算1.当L<ST时，Lmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。
以上两个公式，第二个公式计算值大，作为有效控制。
按缓和冲击、时间行程和视距要求（视距为最不利情况）计算各行车速度时的最小半径和最小长度，见表4-13。
表中：（1）一般最小半径为极限最小半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最小长度为3s行程的长度。
（二）凹曲线最小半径和长度1.夜间行车前灯照射距离要求：1）L<ST2) L≥STL<ST Lmin = 2ST - 26.92/ω (4-14)L≥STω /26.92 (4-15)3s时间行程为有效控制。
例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最小长度Ｌ＝Ｖ/1.2例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。
竖曲线
竖曲线计算竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高。
其要点是：首先根据转坡点处的地面线与相邻设计直线坡段情况，按上述竖曲线中的有关规定和要求，合理地选定竖曲线半径。
其次，根据转坡点相邻纵坡度i1、i2和已确定的半径R，计算出竖曲线的基本要素w、L、T、E及竖曲线起、终点桩号。
第三，分别计算出指定桩号的切线设计标高，指定桩号至竖曲线起（或终）点间的平距l和指定桩号的竖距h。
则指定桩号的路基设计标高为：（1）凸形竖曲线：路基设计标高=切线设计标高-h（2）凹形竖曲线：路基设计标高=切线设计标高+h例.某山岭区二级公路，转坡点设在K6+140桩号处，其高程为428.90，两相邻坡段的前坡i1=+4.0%，后坡 i2=-5.0%，选用竖曲线半径R=2000m。
试计算竖曲线要素及桩号K6+080和K6+160处的路基设计标高。
1.计算竖曲线要素转坡角：w= i1- i2=(0.04)-(-0.05)=0.09w＞0，为凸形竖曲线。
曲线长：L=R w=2000*0.09=180m切线长：T=L/2=180/2=90m外距：E=T2/(2R)= 902/(2*2000)=2.03m2.计算起、终点桩号竖曲线起点桩号=（K6+140）-90=K6+050竖曲线终点桩号=（K6+140）+90=K6+2303.计算路基设计标高桩号K6+080处：平距（平距是竖曲线上任意一点至起点或终点的水平距离）l=（K6+080）-（K6+050）=30m竖距（竖距是切线上任意一点至竖曲线上的竖向距离）h= l2/(2R)= 302/(2*2000)=0.23m切线标高=428.9-60*0.04=426.50m设计标高=426.50-0.23=426.27m桩号K6+160处：平距l=（K6+230）-（K6+160）=70m竖距h=l2/(2R)= 702/(2*2000)=1.23m切线标高=428.9-20*0.05=427.90m设计标高=427.90-1.23=426.67m。
第二节 竖曲线设计
第二节 竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。
当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。
当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。
（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。
其基本方程为：若取抛物线参数为竖曲线的半径 ，则有：（二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距通过推导可得：2、竖曲线曲线长： L = R ω3、竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =4、竖曲线的外距： E = ⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；R —为竖曲线的半径，m 。
二、竖曲线的最小半径Py x 22=P R Ry x 22=R xy 22=h ==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-Rl 22=2ωR R T 22Rx y 22=(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
竖曲线计算
竖曲线计算竖曲线定义:纵断面上两个坡段的转折处,为了便于行车用一段曲线缓与,这条连接两个纵坡线的曲线称为竖曲线。
竖曲线作用:1)以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点处冲击,2)确保道路纵向行车视距;3)将竖曲线与平曲线恰当地组合,有利于路面排水与改善行车的视线诱导以及舒适感。
变坡点:在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点。
竖曲线分类:竖曲线常采用圆曲线,可以分为凸形与凹形两种。
凹凸竖曲线判断:如上图,当前坡段坡度大于后坡段坡度时为凸型曲线;当前坡段坡度小于后坡段坡度时为凹曲线;坡度:通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度。
(注:判断就是凹凸竖曲线时,坡度含正负号,例如,前坡段坡度为－2、3%,后坡段坡度为－1、4%,因为－2、3%<－1、4%,故此竖曲线为凹形竖曲线,我们习惯把上坡段用“＋”表示,下坡段用“－”表示)道路纵断面线形常采用直线、竖曲线两种线形,二者就是纵断面线形的基本要素。
竖曲线技术指标主要有竖曲线半径与竖曲线长度。
凸形的竖曲线的视距条件较差,应选择适当的半径以保证安全行车的需要。
凹形的竖曲线,视距一般能得到保证,但由于在离心力作用下汽车要产生增重,因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大,以保证行车的平顺与舒适。
竖曲线基本要素:竖曲线长:L 切线长:T 外距:E半径:R竖曲线起终点桩号计算:竖曲线起点桩号:变坡点桩号－T竖曲线终点桩号:变坡点桩号＋T如右图所示,两个相邻的纵坡为i1与i2,竖曲线半径为R,则测设元素为:曲线长L=R ×α由于竖曲线的转角α很小,故可以认为:α=i1-i2;所以L=R(i1-i2)切线长T=Rtan 2α 因为α很小,tan2α=2α;所以可以推出: T=R ·2α=2L =21R(i1-i2) 又因为α很小,可以认为:ＤＦ=Ｅ;ＡＦ=Ｔ根据三角形ＡＣＯ与三角形ＡＣＦ相似,根据相似三角形“边角边”定理得出:Ｒ:Ｔ=Ｔ:２Ｅ; 于就是如上图外距Ｅ＝RT 22, 同理可导出竖曲线上任意一点Ｐ距切线纵距的计算公式:y ＝Rx 22式中:x —竖曲线上任意一点P 到竖曲线起点或终点的水平距离Y —值在凹形竖曲线中为正号,在凸形竖曲线中为负号。
竖曲线的定义
竖曲线竖曲线(vertical curve) 为了缓和纵断面上坡度的突然变化,设置在变坡点处、平滑连接两相邻坡段的竖向曲线。
竖曲线有两种形式，通常采用的是圆弧形竖曲线,还有一种是用具有一定变坡率的20m短坡段接起来的抛物线形竖曲线。
为了保证列车通过变坡点时,不脱轨、不脱钩和行车平稳的要求，当相邻坡度差大于一定限度时，应在变坡点处设置竖曲线，新建铁路的竖曲线多为圆弧型。
不脱轨的要求是当蒸汽机车重心和电力、内燃机车的前转向架中间轴（三轴转向架）或后轴（两轴转向架）未通过变坡点前，机车导轮或前轮悬空，悬空高度不能超过轮缘高度。
不脱钩的要求是当相邻车辆连结处位于变坡点近旁时，车钩要上下错动；此项错动量加上其他因素的错动量，如空重车相邻的连接差、车轮踏面、轮对轴颈、转向架上下心盘等部件的允许磨耗及轨道维修的允许误差所引起的车辆上下位移，不能超过车钩允许的上下活动量，货车为75mm，客车为60mm。
行车平稳要求是列车通过变坡点的竖曲线时。
产生的竖直离心加速度不应大于旅客舒适要求的允许值。
经过研究分析，并参照运营实践，历次《铁路线路设计规范》都规定相邻坡段的坡度差：Ⅰ，Ⅱ级铁路大于3‰，Ⅲ级铁路大于4‰时，应以圆曲线型竖曲线连接；竖曲线半径：Ⅰ、Ⅱ级铁路为10000m，Ⅲ级铁路为5000m。
竖曲线的切线长，T SH=5·△i(m)(R SH=10000m),T SH=2.5·△i(m)(R sh=5000m)；竖曲线长度K sh=2T SH(m)；竖曲线外矢矩E sh=T2SH/2R SH(m)。
变坡点处的线路施工高程应根据变坡点的设计高程，减去（凸形变坡点）或加上（凹形变坡点）外矢距高度，路基的填挖高度为地面高程与施工高程之差。
竖曲线的设置条件是：①不应与平面上的缓和曲线重叠，以免在轨道铺设和养护时，外轨高程不易控制，以及外轨的超高顺坡和圆弧形竖曲线都要改变形状，影响行车平稳；为此，变坡点离开缓和曲线起终点的距离，不应短于竖曲线切线长。
竖曲线
竖曲线竖曲线设计竖曲线定义：纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。
当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一．凹凸竖曲线的判别如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i1 和i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i2-i1，其中i1、i2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
当i2- i1为正值时，则为凹形竖曲线。
当i2 – i1 为负值时，则为凸形竖曲线。
二．主要公式坡度差：ω= I2-I1竖曲线曲线长：L = Rω竖曲线切线长：T= TA =TB ≈L/2 = Rω/2或者：T=(I1-I2)/2*R竖曲线的外距： E =T2 /2R修正值：X=D2 /2R其中D为所求点桩号到竖曲线起点或终点的距离三．竖曲线的半径竖曲线半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素：（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。
（3）满足视距的要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。
为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。
2.凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击：在凹形竖曲线上行驶重量增大；半径越小，离心力越大；当重量变化程度达到一定时，就会影响到旅客的舒适性，同时也会影响到汽车的悬挂系统。
第五章：竖曲线设计介绍
8000
60
9000
6000
40
3000
2000Βιβλιοθήκη （2）半径的选择选择竖曲线半径主要应考虑以下因素： 1)选择半径应符合表所规定的竖曲线的最小半径和最小长度 的要求。 2)在不过分增加土石方工程量的情况下，为使行车舒适，宜 采用较大的竖曲线半径。 3)结合纵断面起伏情况和标高控制要求，确定合适的外距值 ，按外距控制选择半径：
1. 竖曲线的计算
(1) 用二次抛物线作为竖曲线的基本方程式 二次抛物线一般方程为
y 1 x 2 ix 2k
i dy x i dx k
当x 0时,
i i1;
x L时,
i
L k i1
i2 ,
则
k L L
i2 i1
抛物线上任一点的曲率半径为
R
ω为正，变坡点在曲线下方，竖曲线开口向上，为凹形竖曲 线；ω为负，变坡点在曲线上方，竖曲线开口向下，为凸形 竖曲线。
各级道路在变坡点处均应设置竖曲线。 竖曲线的线形采用二次抛物线。由于在其应用范围内，圆
曲线与抛物线几乎没有差别，因此，竖曲线通常表示成圆 曲线的形式，用圆曲线半径R来表示竖曲线的曲率半径。
(3)
将（2）式和（3）式代入（1）式，得二次抛物线竖曲线基本
方程式为
y
2L
x2
i1x
或
y
1 2R
x2
i1x
式中：ω ——坡差 （％）；
Ｌ——竖曲线长度 （m）；
Ｒ——竖曲线半径 （m）。
(2) 竖曲线几何要素计算 竖曲线的几何要素主要有：竖曲线切线长T、曲线长L和外距E。
竖曲线长度定义
竖曲线长度定义
竖曲线长度是指在道路设计和土木工程中用来描述曲线形状的一项参数。
竖曲线是道路或铁路中的纵向曲线，用于平滑过渡高程，使车辆或列车能够适应道路或铁路的坡度变化。
竖曲线长度是指竖曲线所占据的实际距离，通常以单位长度（例如米或英尺）来表示。
竖曲线长度可以通过测量曲线的弧长来计算。
曲线的弧长是曲线轨迹上两点之间的直线距离。
在道路设计中，竖曲线长度是根据设计速度、设计坡度和其他相关要素来确定的。
通过合理地选择竖曲线长度，可以确保车辆或列车在通过竖曲线时具有足够的平稳过渡，并提供安全和舒适的行驶条件。
竖曲线长度是根据特定的设计准则和标准来确定的，不同的国家或地区可能会有不同的规定和计算方法。
因此，在具体的工程项目中，应根据当地的规范和要求来计算和确定竖曲线长度。
路线纵断面竖曲线计算与设计 竖曲线及其要素的计算
=
+ 1
2
式中：R——抛物线顶点处的曲
率半径
i1——竖曲线顶（底）点
处切线的坡度
竖曲线诸要素的
计算公式
竖曲线要素计算公式
切线纵坡：竖曲线上任一点切线的斜率。 =
=
（1）竖曲线长度L
=
（2）竖曲线切线长T
= =
2
2
（3）竖曲线上任一点h
ℎ=
−
2
2
=
2
2
竖曲线的线形是二次抛物线。
竖曲线的要素有三个：L、T、E。
竖曲线及其要素的计算
模块三
路线纵断面线形组成分析
01
路线纵断面
02
路线纵断面竖曲线计算与设计
竖曲线及其要素的计算
03
路线纵断面设计
路线纵断面设计成果
C
目
录 ONTENTS
1 竖曲线的作用及线形
2 竖曲线诸要素的计算公式
1
竖曲线的作用与线形
竖曲线 纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段曲线来缓和，
称为竖曲线。
变坡点 相邻两条坡度线的交点。
变坡角 相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值之差代替，用ω表示。
= 1 − 2 ≈ 2 − 1 = 2 − 1
ω<0：凸形竖曲线
ω>0：凹形竖曲线
竖曲线的作用
➢ （1）缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。
➢ （2）保证公路纵向的行车视距：
凸形：纵坡变化大时，盲区较大。
凹形：下穿式立体交叉的下线。
➢ （3）将竖曲线与平曲线恰当的组合，有利于路面排水和改善行车的
[教材]竖曲线[1]
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2.凹形竖曲线最小半径和最小长度
设置凹竖曲线的主要目的：缓和行车时的离心力引起的冲击力。
确定凹竖曲线半径的依据：以离心加速度为控制指标 。
（1）凹竖曲线半径：
离心加速度：a
v2 gR
V2 13R
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较合适。但考虑到不因冲击 而造成的不舒适感，以及视觉平顺等的要求，我国《标准》规定采用a=0.278 m/s2
竖距：
y2
x22 21257.70 2R 23000
切线高程 HT = H2 + i1（ Lcz - BPD2） = 138.15 + 0.04×(6180.00 - 6100.00) = 141.35m
设计高程 HS = HT – y2 = 141.35 – 7.70 = 133.65m
结论
2xRA2
xA R
(xA
xP)
h(xPxA)2 x2
x
2R 2R
下半支曲线的竖距h：
(L x)2 h
2R
▪若设计算点离开竖曲线终点的距离为 x’，则 x’= L – x
y 1 x2 2R
y
1 2R
x2
i1x
x h
x '2 h
2R
（3）竖曲线上任一点竖距h：
h(xPxA)2 x2 2R 2R
（4）竖曲线外距E：
作业：
计算题1：《教材》P.120 4-2。
计算题2：已知某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：
变坡点桩号
设计高程
竖曲线半径
K12+450
172.513
5000
+950
190.013
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某桩号在凹形竖曲线的设计标高=该桩号在切线上的设计标高+y
［例 4—1]：某山岭区二级公路，变坡点桩号为 K3+030．00，高程为 427．68，前坡为
上坡，i1＝+5％，后坡为下坡，i2＝-4％，竖曲线半径 R=2000m。试计算竖曲线诸要素以及
4
桩号为 K3+000．00 和 K3+100．00 处的设计标高。
误地了解线形，尽量避免由于判断错误而导致驾驶失误。
(三)视觉评价方法
所谓线形状况是指公路平面和纵断面线形所组成的立体形状，在汽车快速行驶中给驾驶
员提供的连续不断的视觉印象。设计者通过公路透视图评价线形组合是否顺势流畅，对易产
生判断失误和茫然的地方，必须在设计阶段进行修改。
二、公路平、纵线形组合设计
(一)组合原则
反应作为重要因素考虑。汽车在公路上行驶时，驾驶员是通过视觉、运动感觉和时间的变化 来判断线形。公路的线形、周围景观、标志及其他有关信息，驾驶员几乎都是通过的视觉感 受到的。
从视觉心理出发，对公路的空间线形及其与周围自然景观和沿线建筑的协调，保持视觉 的连续性，使行车具有足够的舒适感和安全感的综合设计称为视觉分析。
(3)K3+000．00、K3+100．00 的切线标高和改正值 K3+000．00 的切线标高=427．68 一(K3+030．00 一 K3+000．00)×5％=426．18m
2
K3+000．00 的改正值 = (K3+000．00-—K2+940．00) /（2×2000）= 0．90m
K3+100．00 的切线标高：427．68 一(K3+100．00 一 K3+030．00)×4％=424．88m
纵坡线的曲线 叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。在设计和计算上为方便一般采用二 次抛物线形 式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。当竖曲线转坡点在 曲线上方时为 凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一、竖曲线 如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为 i1 和 i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i1-i2 其中 I1、i2 为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
┃凸形竖曲┃极限 ┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃线半径 ┃最小值 ┃ 11000 ┃ 6500 ┃ 3000 ┃ 1400 ┃ 450 ┃ 250 ┃ 100 ┃
┃ (m) ┣━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫
┃
┃ 一般 ┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃最小值 ┃ 117000 ┃ 10000 ┃ 4500 ┃ 2000 ┃ 7700 ┃ 400 ┃ 200 ┃
当 i1-i2 为正值时，则为凸形竖曲线。当 i1-i2 为负值时，则为凹形竖曲线。 (一)竖曲线基本方程式 我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。其基本方程为：
2
X =2Ry 若取抛物线参数 P 为竖曲线的半径 R，则有：
2
X =2Ry
2
y= X /(2R) (二)竖曲线要素计算公式 竖曲线计算图示
┃ 径 ┃ 一般 ┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃ (m) ┃最小值 ┃ 6000 ┃ 4500 ┃ 3000 ┃ 1500 ┃ ’700 ┃ 400 ┃ 200 ┃
┣━━━━┻━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫
3
┃竖曲线最小长度(m) ┃ 100 ┃ 85 ┃ 70 ┃ 50 ┃ 35 ┃ 25 ┃ 20 ┃
┗━━━━━━━━━┻━━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┛
三、竖曲线的设计和计算
(一)竖曲线设计
竖曲线设计，首先应确定合适的半径。在不过分增加工程量的情况下，宜选择较大的竖
曲线半径；只
有当地形限制或其它特殊困难时，才选用极限最小半径。
从视觉观点考虑，竖曲线半径通常选用表 3—6 所列一般最小值的 1．5～4．O 倍，即如
公路竖曲线设计
第8讲 课 题：第三节竖曲线 第四节公路平、纵线形组合设计 教学内容：理解竖曲线最小半径的确定；能正确设置竖曲线；掌握竖曲线的要素计算、
竖曲线与路基设计标高的计算；能正确进行平、纵线形的组合设计。 重 点：l、竖曲线最小半径与最小长度的确定；2、竖曲线的设置； 3、平、纵线形的组合设计。 难 点：竖衄线与路基设计标高的计算；平、纵线形的组合设计。 第三节 竖曲线设计 纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两
(1)计算竖曲线的基本要素：竖曲线长 L； 切线长 T； 外距 E。
(2)计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号—T
竖曲线终点的桩号=变坡点的桩号+T
(3)计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：切线标高=变坡点的标高±(T—x)
(4)计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凸形竖曲线的设计标高=该桩号在切线上的设计标高一 y
相邻竖曲线衔接时应注意：
1 同向竖曲线：特别是两同向凹形竖曲线间如果直线坡段不长，应合并为单曲线或复曲
线形式的竖曲
线，避免出现断背曲线。
程。
2．反向竖曲线：反向竖陆线间应设置一段直线坡段，直线坡段的长度～般不小于设计
速度的 3 秒行程。
3．竖曲线设置应满足排水需要。
(二)竖曲线计算
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
(二)视觉与车速的动态规律 驾驶员的视觉判断能力与车速密切相关，车速越高，其注意前方越远，而视角逐渐变小。 驾驶员的注意力集中和心里紧张程度随车速的增加而增加，注意力集中点和视野距离随车速 提高而增大，当汽车高速行驶时，驾驶员对前景细节的视觉开始变的模糊不清，而视角随车
5
速逐渐变窄，已不能顾及两侧景象了。由此可见，对于快速公路来说，必须使驾驶员明白无
1
l、切线上任意点与竖曲线问的竖距，h 通过推导可得：
2
2
h=PQ=yp-yq=1/(2R)*(xA-l) -(yA-li1)=l /(2R)
2、竖曲线曲线长： L=R ω
3、竖曲线切线长： T=TA=TB≈L／2=Rω/2
2
4、竖曲线的外距： E=T /(2R)
2
⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：。 Y=x /(2R) 式中：x 一为竖曲任意点至竖曲线起点(终点)的距离，(m)；
a 平曲线和竖曲线两者在一般情况下应相互重合，如图所示，宜将竖曲线的起、终点，
放在平曲线的
缓和段内；这种立体线形不仅能起到诱导视线的作用，而且可取得平顺和流畅的效果。
b 平曲线与竖曲线大小应保持均衡，平、竖曲线几何要素要大体平衡、匀称、协调，不
要把过缓与过急、过长与过短的平曲线和竖曲线组合在一起。
e 当平曲线半径和竖曲线半径都很小时，平曲线和竖曲线两者不宜重叠，或必须增大平、
┃ 100
┃ 16000
┃ 10000 ┃
┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━┫
┃ 80
┃ 12000
┃ 8000 ┃
┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━┫
┃ 60
┃ 9000
┃ 6000 ┃
┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━━┫
┃ 40
┃ 3000
┃ 2000 ┃
┗━━━━━━━┻━━━━━━━━┻━━━━━┛
第四节平、纵面线形组合设计 公路平面与纵断面的线形组合是指在满足汽车运动学和力学要求的前提下，研究如何满足视 觉和心理方面的连续性、舒适感，研究与周围环境的协调和良好的排水条件，以保证汽车行 驶的安全、舒适与经济。
一、视觉分析 (一)视觉分析的意义 公路设计除应考虑自然条件、汽车行驶力学的要求外，还要把驾驶员在心理和视觉上的
公路竖曲线最小半径和竖曲线最小长度 表 3—
┏━━━━━━━━━┳━━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┓
┃设计速度(Km／h) ┃ 120 ┃ 100 ┃ 80 ┃ 60 ┃ 40 ┃ 30 ┃ 20 ┃
┣━━━━┳━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫
R 一为竖曲线的半径，(m)。 二、竖曲线的最小半径 (一)竖曲线最小半径的确定 1．凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素
(1)缓和冲击 汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定 竖曲线半径 时，对离心力要加以控制。 (2)经行时间不宜过短 当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较 短，此时汽车 在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。因此， 汽车在凸形竖 曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于 3 秒钟。 (3)满足视距的要求 汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。为了行车安全，
2
K3+100．00 的改正值 = （K3+120.00-K3+100.00） /(2*2000)=0.1 m 4)K3+000．00 和 K3+100．00 的设计标高 K3+000．00 的设计标高=426.18-0.9=425.28m K3+100．00 的设计标高=424.88-0.1=424.78m
平面与纵断面组合应遵循如下设计原则：
1．应能在视觉上自然地诱导驾驶员的视线，并保持视觉的连续性；