PQ分解潮流算法简介(课堂PPT)
P-Q分解法潮流计算
由图2-3可以看出，牛顿法在开始时收敛得比较慢， 当收敛到一定程度后，它的收敛速度就非常快， 而P-Q分解法几乎是按同一速度收敛的。如果给 出的收敛条件小于图中A点相应的误差，那么P-Q 分解法所需要的迭代次数要比牛顿法多几次。可 以粗略地认为P-Q分解法的选代次数与精度的要 求之间存在着线性关系。
否
是
K01=0?
K01=0,t=t+1 否
K01=1
ERM(1)< ε& ERM(0)< ε
是 输出潮流计算结果
ΔW,功率误差的 数值。EMP，寄 存器迭代过程中
最大功率误差。 K01是0时为有功 功率，K01是1时 为无功功率。
化简后可得
P H
Q L(V / V )
从上式可以看出，化简后的方程把以前耦合 的2n阶线性方程组变成了两个互不关联的n 阶线性方程组。
系数矩阵H和L的简化
简化后的修正方程大大节省了内存需求量和 求解时间，但是矩阵H和L的元素仍然是节点 电压的函数且不对称。一般把系数矩阵H和L 简化成常数对称矩阵。
P-Q分解法潮流计算
P-Q分解法潮流计算
PQ分解法是由极坐标形式的牛顿法演 化而来，以有功功率作为修正电压向 量角度的依据，以无功功率作为修正 电压幅值的依据，把有功功率和无功 功率迭代分开进行。
一、P-Q分解法的基本原理
极坐标形式的牛顿潮流算法的修正方程为
P H N
Q M
L
V
/V
P-Q分解法改变了牛顿法 迭代公式的结构，就改变 了迭代过程的收敛特性。 事实上，依一个不变的系 数矩阵进行非线性方程组 的迭代求解，在数学上属 于“等斜率法”，其选代过程是按几何级数收敛的，若画 在对数坐标系上，这种收敛特性基本上接近一条直线。而 牛顿法是按平方收敛的，在对数坐标纸上基本上是一条抛 物线，如图2-3所示。
潮流的计算机算法ppt课件
2020/3/31
1
带有最优 乘子的牛 顿潮流算
法
牛拉 法
保留非线 性直角坐
标法
保留非线 性直角坐 标快速潮
流法
简
简化
化
满足初 始条件 时为等 效算法
PＱ分 解法
定雅克 比牛顿
法
2020/3/31
基本潮流
最优潮流牛顿算法
最优潮流简化梯度 算法
优化潮流
2
算法名称
算法特性
最优乘子法
能够有效地解决病态系统的潮流计算，且 永远不换发散
2020/3/31
3
内容提要
功率方程 牛拉法 P-Q分解法 保留非线性潮流算法 最小化潮流算法 最优潮流 潮流计算中稀疏技术的运用
2020/3/31
4
➢功率方程
电力系统中已知的往往是功率，需要用已知的功率来代替未
知的电流：
S%i
Pi
代入H、L的表达式
i j时
H ij
Pi
j
UiU j (Gij sin ij
Bij cosij )
cosij 1,Gij sinij 0 U iU j Bij
Lij
Pi U j
Uj
UiU j (Gij
sin ij
Bij
cosij )
cosij 1,Gij sinij 0 U iU j Bij
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15
i j时
H ii
Pi
i
Qi
U
2 i
Bii
U
B2
i ii
Lii
Qi
U
2 i
Bii
U
2 i
P-Q分解法潮流计算解读
P-Q分解法的特点和性能分析
(1) 用一个n-1阶和一个m阶的线性方程组代替了 牛顿法的n-1+m阶线性方程组，显著地减少了内 存需求量及计算量。
(2)系数矩阵B’和B’’为常数矩阵。因此，不必像牛 顿法那样每次迭代都要形成雅可比矩阵并进行三 角分解，只需要在进入迭代过程以前一次形成雅 可比矩阵并进行三角分解形成因子表，然后反复 利用因子表对不同的常数项△P/V或△Q/V进行消 去回代运算，就可以迅速求得修正量，从而显著 提高了迭代速度。
在B'中尽量去掉那些对有功功率及电压相角影响 较小的因素，如略去变压器非标准电压比和输电 线路充电电容的影响；在B"中尽量去掉那些对无 功功率及电压幅值影响较小的因素，如略去输电 线路电阻的影响
即B’的非对角和对角元素分别按下式计算：
B”的非对角和对角元素分别按下式计算：
其中rij和xij分别为支路的电阻和感抗，bi0为节点i 的接地支路的电纳。（BX法）
由图2-3可以看出，牛顿法在开始时收敛得比较慢， 当收敛到一定程度后，它的收敛速度就非常快， 而P-Q分解法几乎是按同一速度收敛的。如果给 出的收敛条件小于图中A点相应的误差，那么P-Q 分解法所需要的迭代次数要比牛顿法多几次。可 以粗略地认为P-Q分解法的选代次数与精度的要 求之间存在着线性关系。
(3)系数矩阵B’和B’’是对称矩阵。因此，只需要 形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，这 样又减少了三角分解的计算量并节约了内存。
P-Q分解法的收敛特性
P-Q分解法所采取的一系列简化假定只影响了修 正方程式的结构，也就是说只影响了 迭代过程， 并不影响最终结果。因为P-Q'分解法和牛顿法都 采用相同的数学模型式，最后计算功率误差和判 断收敛条件都是严格按照精确公式进行的，所以 P-Q分解法和 牛顿法一样可以达到很高的精度。
PQ分解法
4 P-Q 分解法潮流计算 4.1P-Q 分解法的基本原理P-Q 分解法是从简化一极坐标表示的牛顿-拉夫逊法潮流修正方程基础上派生出来的，考虑到了电力系统本身的特点。
牛顿法潮流计算的核心是求解修正方程式。
当节点功率方程式采用极坐标系统时，修正方程式为[∆P ∆Q ]=[H N J L ][∆δ∆U/U ] (4.1)将其展开为{∆P =H∆δ+N(∆U/U)∆Q =J∆δ+L(∆U/U)(4.2) 对修正方程式的第一步简化是：计及电力网络中各元件的电抗远大于电阻，以致各节点电压相位角的改变主要影响各元件中的有功功率及各节点的注入有功功率；各节点电压大小的改变主要影响元件中的无功功率以及各节点的注入无功功率；式（4.2）中子阵N 及J 中各元素的数值相对很小，因此可以略去，从而将式（4.2）简化为 {∆P =H∆δ∆Q =L(∆U/U)（4.3） 但是，H 、L 中的元素是电压的函数，在每次迭代中都要重新形成上述H 、L 矩阵，并且又都是不对称矩阵，仍然相当麻烦。
对修正方程式的第二步简化是：由于有对状态变量δi 的约束条件|δi −δj |<|δi −δj |max，即线路两端电压的相角差是不大的，再计及G ij ≪B ij ，可以认为cos δij ≈1 G ij sin δij ≪B ij 于是，H ij 和L ij 的表达式H ij =∂∆P i∂δj=−U i U j (G ij sin δij −B ij cos δij ) i ≠j L ij =∂∆Q i∂U j U j=−U i U j (G ij sin δij −B ij cos δij ) i ≠j 可简化为H ij =U i U j B ij L ij =U i U j B ij (4.4) 再由式H ii =U i 2B ii +Q i (当i =j ，sin δij ≈0，cos δij ≈1时) （4.5） L ii =∂∆Q i ∂U iU i =−U i ∑U j (G ij sin δij −B ij cos δij )+2U i 2B ii =U i 2B ii −Q i j=nj=1j≠i（4.6）按自导纳的定义，上两式中的U i 2B ii 项应为各元件电抗远大于电阻的前提下除节点i 外其他节点都接地时由节点i 注入的无功功率。
pq分解法matpower
pq分解法matpowerpq分解法是一种常用的数学方法，用于将矩阵分解为P和Q两个矩阵的乘积，可以用于解决一些实际问题。
在电力系统中，pq分解法被广泛应用于电力流计算，是一种求解电力系统潮流问题的有效方法。
在电力系统中，电力流计算是一项重要的任务，用于分析电力系统中各个节点的电压和功率。
而pq分解法则是电力流计算中常用的一种方法。
它将电力系统的节点分为P节点和Q节点，然后通过分解矩阵，将电力流计算问题转化为P和Q两个矩阵的乘积问题。
具体而言，pq分解法将电力系统的节点分为两类：P节点和Q节点。
P节点表示有功功率已知的节点，Q节点表示无功功率已知的节点。
通过将电力系统的节点分为P节点和Q节点，可以将电力系统的潮流计算问题转化为P和Q两个矩阵的乘积问题。
在进行pq分解法时，首先需要将电力系统的节点按照P节点和Q节点进行分类，并确定P节点和Q节点的数量。
然后，根据电力系统的拓扑结构和节点的电压相位角，可以建立节点电压和节点功率之间的关系。
根据这些关系，可以将电力系统的潮流计算问题转化为P和Q两个矩阵的乘积问题。
通过pq分解法，可以快速有效地求解电力系统的潮流计算问题。
与传统的高斯消元法相比，pq分解法具有计算速度快、适用范围广等优势。
因此，它被广泛应用于电力系统的潮流计算中。
除了在电力系统中的应用，pq分解法还可以用于其他领域的问题求解。
例如，在通信系统中，可以将通信信道的传输过程分解为P和Q两个矩阵的乘积问题，通过求解这个问题可以得到通信信道的传输特性。
在图像处理领域，可以将图像的处理过程分解为P和Q两个矩阵的乘积问题，通过求解这个问题可以得到图像的处理结果。
pq分解法是一种常用的数学方法，可以将矩阵分解为P和Q两个矩阵的乘积，用于解决一些实际问题。
在电力系统中的应用是最为广泛的，pq分解法可以用于解决电力系统的潮流计算问题，具有计算速度快、适用范围广等优势。
此外，pq分解法还可以应用于通信系统、图像处理等领域的问题求解中。
电力系统潮流分析与计算设计(P Q分解法)
电力系统潮流分析与计算设计（P Q分解法）电力系统潮流分析与计算设计（p-q分解法）摘要潮流排序就是研究电力系统的一种最基本和最重要的排序。
最初，电力系统潮流排序就是通过人工手算的，后来为了适应环境电力系统日益发展的须要，使用了交流排序台。
随着电子数字计算机的发生，1956年ward等人基本建设了实际可取的计算机潮流排序程序。
这样，就为日趋繁杂的大规模电力系统提供更多了极其有力的排序手段。
经过几十年的时间，电力系统潮流排序已经发展得十分明朗。
潮流排序就是研究电力系统稳态运转情况的一种排序,就是根据取值的运转条件及系统接线情况确认整个电力系统各个部分的运转状态，例如各母线的电压、各元件中穿过的功率、系统的功率损耗等等。
电力系统潮流排序就是排序系统动态平衡和静态平衡的基础。
在电力系统规划设计和现有电力系统运转方式的研究中，都须要利用电力系统潮流排序去定量的比较供电方案或运转方式的合理性、可靠性和经济性。
电力系统潮流计算分为离线计算和在线计算，离线计算主要用于系统规划设计、安排系统的运行方式，在线计算则用于运行中系统的实时监测和实时控制。
两种计算的原理在本质上是相同的。
实际电力系统的潮流技术主要使用pq水解法。
1974年，由scottb.在文献(@)中首次提出pq分解法，也叫快速解耦法（fastdecoupledloadflow，简写为fdlf）。
本设计就是使用pq水解法排序电力系统潮流的。
关键词：电力系统潮流排序pq水解法第一章概论1.1详述电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算,它是根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各个部分的运行状态，如各母线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。
电力系统潮流计算是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。
在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用电力系统潮流计算来定量的比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。
PQ分解法
4 P-Q 分解法潮流计算 4.1P-Q 分解法的基本原理P-Q 分解法是从简化一极坐标表示的牛顿-拉夫逊法潮流修正方程基础上派生出来的，考虑到了电力系统本身的特点。
牛顿法潮流计算的核心是求解修正方程式。
当节点功率方程式采用极坐标系统时，修正方程式为[∆P ∆Q ]=[H N J L ][∆δ∆U/U ] (4.1)将其展开为{∆P =H∆δ+N(∆U/U)∆Q =J∆δ+L(∆U/U)(4.2) 对修正方程式的第一步简化是：计及电力网络中各元件的电抗远大于电阻，以致各节点电压相位角的改变主要影响各元件中的有功功率及各节点的注入有功功率；各节点电压大小的改变主要影响元件中的无功功率以及各节点的注入无功功率；式（4.2）中子阵N 及J 中各元素的数值相对很小，因此可以略去，从而将式（4.2）简化为 {∆P =H∆δ∆Q =L(∆U/U)（4.3） 但是，H 、L 中的元素是电压的函数，在每次迭代中都要重新形成上述H 、L 矩阵，并且又都是不对称矩阵，仍然相当麻烦。
对修正方程式的第二步简化是：由于有对状态变量δi 的约束条件|δi −δj |<|δi −δj |max，即线路两端电压的相角差是不大的，再计及G ij ≪B ij ，可以认为cos δij ≈1 G ij sin δij ≪B ij 于是，H ij 和L ij 的表达式H ij =∂∆P i∂δj=−U i U j (G ij sin δij −B ij cos δij ) i ≠j L ij =∂∆Q i∂U j U j=−U i U j (G ij sin δij −B ij cos δij ) i ≠j 可简化为H ij =U i U j B ij L ij =U i U j B ij (4.4) 再由式H ii =U i 2B ii +Q i (当i =j ，sin δij ≈0，cos δij ≈1时) （4.5） L ii =∂∆Q i ∂U iU i =−U i ∑U j (G ij sin δij −B ij cos δij )+2U i 2B ii =U i 2B ii −Q i j=nj=1j≠i（4.6）按自导纳的定义，上两式中的U i 2B ii 项应为各元件电抗远大于电阻的前提下除节点i 外其他节点都接地时由节点i 注入的无功功率。
PQ分解法潮流计算
否
是
K01=0?
K01=0,t=t+1 否
K01=1
ERM(1)< ε& ERM(,功率误差的 数值。EMP，寄 存器迭代过程中
最大功率误差。 K01是0时为有功 功率，K01是1时 为无功功率。
Hij ViVj (Gij sin ij Bij cosij ) Nij ViVj (Gij cosij Bij sin ij ) M ij ViVj (Gij cosij Bij sin ij ) Lij ViVj (Gij sin ij Bij cosij )
化简为
Hij ViVj Bij (i, j 1, 2, , n 1) Lij ViVj Bij (i, j 1, 2, , m)
将上式代入 可得到
P H
Q L(V / V )
在实际的P-Q分解法中，两个修正方程的系数矩 阵并不相同，一般可以写为
H VBV L VBV 式中:V是由各节点电压幅值组成的对角阵。由 于PV节点的存在， B’及B”的阶数不同，分 别为n-1阶和m阶。（m<n-1）
由图2-3可以看出，牛顿法在开始时收敛得比较慢， 当收敛到一定程度后，它的收敛速度就非常快， 而P-Q分解法几乎是按同一速度收敛的。如果给 出的收敛条件小于图中A点相应的误差，那么P-Q 分解法所需要的迭代次数要比牛顿法多几次。可 以粗略地认为P-Q分解法的选代次数与精度的要 求之间存在着线性关系。
P-Q分解法的修正方程式为
P / V B
Q / V BV
通过这一步简化，修正方程式中的系数矩阵B'和 B"由节点导纳矩阵的虚部构成，从而是常数对称 矩阵。其区别只是阶数不同，矩阵B'为n -1阶， 不含平衡节点对应的行和列，矩阵B"为m阶，不 含平衡节点和PV节点所对应的行和列。但在实际 P-Q分解法程序中，为了提高收敛速度，对B'与 B"的构成作了下面一些修改:
第四章 PQ分解法潮流计算
j¹i
极坐标形式的修正方程式（重新排序）
（n1)
é DP1 ù é H11 H12 L H1p H1n M N11 N12 L
ê ê
D P2
ú ú
ê ê
H
21
H 22
L H2p
H2n
M
N21 N22 L
ù é Dd1 ù
úê úê
Dd 2
ú ú
êMú ê
L
M
L úê M ú
ê ê
D Pp
ú ú
ê ê
N22 M H2 p L22 M J 2 p
H2n J2n
ú ú ú
ê ê ê
Dd 2 DU2 /U
2
ú ú ú
êMú ê
L
M
L
úê
ú
ê ê
L
ú ú
=
ê ê
L
L
L
L
M
L
LL
L
L úú
ê ê
L
ú ú
2(nm )
PV节点
ê ê
DPp
ú ú
ê ê
H
p1
N p1
H p2
N p2
M H pp
雅可比矩ê 阵：ú ê
网
自学内容
n 稀疏技术 n 压缩存储 n 节点编号优化 n 高斯消去法 n 因子表法
\
ì í î
Pi Qi
= =
eiai + fiai -
f i bi eibi
极坐标形式的功率方程（电压用相量表示）：
å å Pi - jQi = UiÐ -qi (Gij + jBij )U jÐq j = Ui (Gij + jBij )U j (cosqij - j sinqij )
P-Q分解法潮流计算
P-Q分解法流程图
输入信息即原始数据并对原始数据进行处理
形成导纳到矩阵
计算系数矩阵B’，形成第一因子表 T：迭代次数计数 单元 K01：当迭代有功 功率时为0，无功 功率时为1。
计算系数矩阵B”，形成第一因子表
t=0,K01=0
V,电压向量数组。 K01是1时为电 压幅值，K01是 0时为电压角度。
计算[ΔW(K01)/V],ERM(K01)
解修正方程，并修正V(K01)
ΔW,功率误差的 数值。EMP，寄 存器迭代过程中 最大功率误差。 K01是0时为有功 功率，K01是1时 为无功功率。
否 K01=0?
是
K01=0,t=t+1 否
K01=1
ERM(1)< ε& ERM(0)< ε
是 输出潮流计算结果
在B'中尽量去掉那些对有功功率及电压相角影响 较小的因素，如略去变压器非标准电压比和输电 线路充电电容的影响；在B"中尽量去掉那些对无 功功率及电压幅值影响较小的因素，如略去输电 线路电阻的影响
即B’的非对角和对角元素分别按下式计算：
B”的非对角和对角元素分别按下式计算：
其中rij和xij分别为支路的电阻和感抗，bi0为节点i 的接地支路的电纳。（BX法）
(1)一般情况下，线路两端电压的相角差不大(不 超过10°~20°)，因此可以认为
cos ij 1,
Gij sin ij Bij
(2)与系统各节点无功功率相对应的导纳 通常远小于该节点自导纳的虚部 ，即
B Li Qi 2 Bii Vi
Qi Vi2Bii
考虑到上述关系，略去相关项可将系数矩阵
P-Q分解法潮流计算
P-Q分解法潮流计算
PQ分解法
P-Q分解法派生于极坐标的牛顿-拉夫逊法，两者的不同在于修正 方程式和求解步骤
牛顿-拉夫逊法的极座标法矩阵表示：
重新排列的极座标方程：
在高压和超高压电网中，由于X>>R，节点电压相角的改变主要影响有功功率 的改变，节点电压幅值的改变主要影响无功功率的分布。因而N中的各元素小 于H中相应的各元素，J中的各元素小于L中相应的各元素。将上式中非对角子 阵N，J忽略不计，有：
有功功率修正方程的推导：
解法是潮流计算的一种简化方法，在电力系统中得 到广泛应用。从牛顿-拉夫逊法潮流计算中可知牛顿-拉夫 逊法的雅可比矩阵在每一次的迭代过程中都有变化，需要 重新形成和求解，这占据了牛顿-拉夫逊法潮流计算的大 部分时间，成为牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的原因。
虽然在牛顿-拉夫逊法中应用了稀疏矩阵技巧以及节点优 化编号等提高计算速度的技术，但没有充分利用电力系统 本身的特点来改进和提高计算速度。 P-Q分解法正是利用 了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法进 行了相关的简化而得到的计算方法。
潮流计算的快速分解法课件
潮流计算的快速分解法课件潮流计算是电力系统运行中的重要工具，用于分析电力系统中各节点的电压、功率等参数。
而快速分解法是一种常用的潮流计算方法，通过对电力系统进行分解，可以大大提高计算效率。
本课件将介绍潮流计算的基本原理和快速分解法的具体步骤，帮助学生深入理解和掌握这一重要的电力系统分析技术。
一、潮流计算的基本原理潮流计算是基于电力系统的潮流方程进行求解的，潮流方程描述了电力系统中各节点的电压和功率之间的关系。
潮流计算的基本原理是通过迭代求解潮流方程，使得方程的误差最小化，从而得到电力系统的稳态工作状态。
二、快速分解法的基本思想快速分解法是一种将复杂的电力系统分解为若干个简化的子系统进行计算的方法。
其基本思想是利用电力系统的特性和拓扑结构，将复杂的潮流计算问题分解为多个简化的子问题，然后通过迭代求解这些子问题，最终得到整个电力系统的潮流计算结果。
三、快速分解法的具体步骤1. 确定电力系统的拓扑结构：根据电力系统的线路连接关系，确定电力系统的拓扑结构，包括节点、支路和变压器等元件的连接关系。
2. 划分子系统：根据电力系统的拓扑结构和特性，将电力系统划分为若干个子系统。
划分子系统的原则是使得每个子系统的节点数尽可能少，但保证子系统之间有足够的连接。
3. 确定子系统的边界节点：对于每个子系统，确定其边界节点，即与其他子系统相连的节点。
边界节点是子系统与其他子系统之间数据交换的接口。
4. 进行子系统计算：对于每个子系统，利用潮流方程进行计算。
在计算过程中，边界节点的电压和功率需要通过与其他子系统的数据交换来更新。
5. 迭代求解子系统：根据边界节点的电压和功率更新，对于每个子系统进行迭代求解，直到达到收敛条件。
6. 整合子系统计算结果：将各个子系统的计算结果整合起来，得到整个电力系统的潮流计算结果。
四、快速分解法的优缺点快速分解法作为一种高效的潮流计算方法，具有以下优点：1. 计算效率高：通过将电力系统分解为多个子系统进行计算，大大提高了计算效率，减少了计算时间。
潮流计算pq分解法概述
clear;clcn=5;%节点个数nl=5;%支路条数max1=100;%最大迭代次数pr=0.00001;%精度Z=[1 2 0.04+0.25j 0.25j 0.25j 0;1 3 0.1+0.35j 0 0 0;2 3 0.08+0.3j 0.25j 0.25j 0;2 4 1.05 0.015j 0 13 5 1.05 0.03j 0 1];%由支路参数形成的矩阵Z=[节点号1 节点号2 支路阻抗靠近节点1的对地导纳靠近节点2的对地导纳参数]'); 参数的详细资料请查阅本程序附带的文本。
Z1=zeros(n);A=[-1.6-0.8j 1 1;-2-1j 1 1;-3.7-1.3j 1 1;5 1.05 2;0 1.05 3];%节点的功率，电压矩阵 A=[节点输入功率节点电压节点类型（PQ节点的节点类型是1；PV：2；平衡节点：3）]%PQ节点的电压初值设为1；平衡节点的功率S初值设为0YZ=[0.25,0.515,0.28,0,0];for i=1:np=Z(i,1);q=Z(i,2);Z1(p,q)=Z(i,3);Z1(q,p)=Z1(p,q);endfor i=1:nlif Z(i,6)==1K=Z(i,3);Zt=Z(i,4);Z(i,3)=K*Zt;Z(i,4)=(1-K)/(K^2*Zt);Z(i,5)=(K-1)/(K*Zt);elseif Z(i,6)==2K=Z(i,3);Zt=Z(i,4);Z(i,3)=Zt/K;Z(i,4)=K*(K-1)/Zt;Z(i,5)=(1-K)/Zt;elseif Z(i,6)==3Zt=Z(i,3);K=Z(i,4);Z(i,3)=K*Zt;Z(i,4)=(K-1)/(K*Zt);Z(i,5)=(1-K)/(K^2*Zt);elseif Z(i,6)==4Zt=Z(i,3);K=Z(i,4);Z(i,3)=Zt/K;Z(i,4)=(1-K)/Zt;Z(i,5)=K*(K-1)/Zt;elseendend%对含有变压器的支路进行处理，详见本程序附带的文本。
PQ分解法计算潮流
一、PQ 分解法的原理P-Q 分解法是牛顿-拉夫逊法潮流计算的一种简化方法。
P-Q 分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提高计算速度。
的基本思想是根据电力系统实际运行特点：通常网络上的电抗远大于电阻，则系统母线电压幅值的微小变化对用功功率的改变影响很小。
同样，母线电压相角的的改变对无功功率的影响较小。
因此，节点功率方程在用极坐标形式表示时。
它的修正方程式可简化为：00P H Q L U U θ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦将P 、Q 分开来迭代计算，因此大大地减少了计算工作量。
但是H 、L 在迭代过程中仍将不断变化，而且又都是不对称矩阵。
对牛顿法的进一步简化。
为把上式中的系数矩阵简化成迭代过程中不变的对称矩阵。
在一般情况下线路两端的电压相角ij θ是不大的，因此可以认为：cos 1sin ij ij ijijG B θθ≈2ii ii Q U B考虑到上述关系，可以得到：ij i ij j ij i ij jH U B U L U B U ==节点的功率增量为：11(cos sin )(sin cos )ni is i j ij ij ij ij j ni is i j ij ij ij ij j P P U U G B Q Q U U G B θθθθ==∆=-+∆=--∑∑P-Q 分解法的特点：以一个n-1阶和一个n-m-1阶线性方程组代替原有的2n-m-1阶线性方程组；修正方程的系数矩阵B’和B”为对称常数矩阵，且在迭代过程中保持不变；P-Q 分解法具有线性收敛特性，与牛顿-拉夫逊法相比，当收敛到同样的精度时需要的迭代次数较多。
二、程序说明1.数据说明Branch1.txt:支路参数矩阵第1列为支路的首端编号；第2列为支路的末端编号（首端编号小于末端编号）；第3列为之路的阻抗；第4为支路的对地容抗；第5列为支路的变比；第6列为折算到那一侧的标志Branch2.txt:节点参数矩阵第1列为节点所接发电机的功率；第2列为节点负荷的功率；第3列为节点电压的初始值；第4列为PV节点的电压V给定值；第5列为节点所接的无功补偿设备的容量；第6列为节点分类标号igl，其中igl=1为平衡节点，igl=2为PQ节点，igl=3为PV节点。
潮流分析中的N-R法和PQ分解法
PQ分解法得名！ H、L随迭代而变化，如何常数化？ 10
进一步简化？
非对角元：Hij Lij UiUj(GijSinij BijCosij )
第二步简化：一般线路两端 ij较小（一般小于 10o~20o），且 Gij Bij，有： cosij 1
Gij sinij Bij cosij
Hij=UiUjBij, i、j=1,2,…,n-1，ij Lij=UiUjBij, i、j=1,2,…,n-r-1，ij
2 -0.234+j0.011
-0.046-j0.136
0.5+j0.093
迭代次数
1
-0.5-j0.029
S1
S1=-0 U=0.985/-0.05
3
S3
精度
潮流流向
P3=0
U=1.1/6.73
29
作业
3-14(只要列出潮流方程、修正方程、B’和B”矩阵， 无须迭代求解)
30
U=1.1/7.0
25
PQ分解法迭代过程（r=2）
U=1.05/0 4 S4
U=0.965/-6.42
S2=-0.001-j0.0002 S2
2
3
1
S1
S3
S1=-0.0006-j0.0002 U=0.985/-0.468
P3=-0.0007
U=1.1/6.77
26
PQ分解法迭代过程（r=3）
U=1.05/0 4 S4
平衡节点1的注入功率：
j0.1 j0.1
2
U
j1
2
U
j1
P G1 P 1 PD1 24,
B Sin(
QG1 Q1 QD1 11.73
PQ分解潮流算法简介(课堂PPT)
Q i ( θ , U ) Q i s U i U j ( G i js i n i j B i jc o s i j ) 0 ,( i 1 , 2 , L , m )
j i
1 修正方程:
P(k) H (k) N(k) θ(k) Q (k)M (k) L (k)U(k) U(k)
方框1所示输入的电网数据可 与第一章表1.1所述的形成节 点导纳矩阵的输入文件格式 相同，节点输入数据的内容 见后，
方框3采用“平直电压”法。
方框7求解的修正方程修正方 程的求解应采用稀疏矩阵计 算方法以提高牛顿潮流算法 的计算效率。
2 计算节点导纳矩阵参数
3 设置节点电压初值 x(0)
4 设置 k 0及最大迭代次数 Kmax
第六步：输出迭代不收敛信息，退出迭代。
6
2.2牛顿-拉夫逊潮流算法
2.2.3 极坐标牛顿潮流算法的雅可比矩阵
极坐标形式的潮流方程： P i ( θ , U ) P i s U i U j ( G i jc o s i j B i js i n i j ) 0 ,( i 1 , 2 , L , n 1 )
Q ( k )U ( k ) Q 1 ( k )U 1 ( k ) Q 2 ( k )U 2 ( k ) L Q m ( k )U m ( k ) T
为了加速收敛，目前通用的快速 解耦法又对B’作了下列进一步修 改。即在形成B’时略去那些对有 功功率及电压相角影响很少的输 电线元件π型等值电路的并联支 路以及变压器非标准变比，并略 去元件的串联电阻；于是，目前 通用的快速解耦潮流算法的修正 方程式如右式所示
P(k) P(θ(k),U(k))
Q(k) Q(θ(k),U(k))
θ (k) 1 (k)
第四节PQ分解法潮流计算
第四节 PQ 分解法潮流计算一 、PQ 分解法的基本方程式60年代以来N —R 法曾经是潮流计算中应用比较普遍的方法，但随着网络规模的扩大（从计算几十个节点增加到几百个甚至上千个节点）以及计算机从离线计算向在线计算的发展，N —R 法在内存需要量及计算速度方面越来越不 适应要求。
70年代中期出现的快速分解法比较成功的解决了上述问题，使潮流计算在N —R 法的基础上向前迈进了一大步，成为取代N —R 法的算法之一。
快速分解法（又称P —Q 分解法）是从简化牛顿法极坐标形式计算潮流程序的基础上提出来的。
它的基本思想是根据电力系统实际运行特点：通常网络上的电抗远大于电阻值 ，则系统母线电压副值的微小变化V ∆对母线有功功率的改变P ∆影响很小。
同样，母线电压相角的少许改变θ∆，也不会引起母线无功功率的明显改变Q ∆。
因此，节点功率方程在用极坐标形式表示时，它的修正方程式可简化为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆V V L H Q P /00θ （4—19） 这就是把2（n —1）阶的线性方程组变成了两个n —1阶的线性方程组，将P 和Q 分开来进行迭代计算，因而大大地减少了计算工作量。
但是，H ，L 在迭代过程中仍然在不断的变化，而且又都是不对称的矩阵。
对牛顿法的进一步简化（也是最关键的一步），即把（4—19）中的系数矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。
在一般情况下，线路两端电压的相角ij θ是不大的（不超过10○～20○）。
因此，可以认为：⎭⎬⎫<<≈ij ij ij ij B G θθsin 1cos （4—20）此外，与系统各节点无功功率相应的导纳B LDi 远远小于该节点自导纳的虚部，即 ii iiLDi B V Q B <<=2 因而 ii i i B V Q 2<< （4—21） 考虑到以上关系，式（4—19）的系数矩阵中的各元素可表示为： ij j i ij B V V H = （i,j=1,2,………，n-1） （4—22）ij j i ij B V V L = （i,j=1,2,……………，m ） (4—23)而系数矩阵H 和L 则可以分别写成：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------11,1122,1111,1111,222222121211,1121211111n n n n n n n n n n n n V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1211,12,11,11,222211,11211121n n n n n n n n V V V B B B B B B B B B V V V =11D D BV V （4—24）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mm m m m m m m m m m m V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V L 22122222212121121211111 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mm m m m m m V V V B B B B B B B B B V V V2121222211121121=22''D D V B V （4—25） 将（4—24）和（4—25）式代入（4—19）中，得到[][][][][]θ∆'-=∆11D D V B V P[][][][]V B V Q D ∆-=∆''2用[]11-D V 和[]12-D V 分别左乘以上两式便得：[][][][][]θ∆-=∆-111'D D V B P V （4—26）[][][][]V B Q V D ∆-=∆-''12 （4—27）这就是简化了的修正方程式，它们也可展开写成：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆----------1122111,12,11,11,222211,11211112211n n n n n n n n n n V V V B B B B B B B B B V P V P V P θθθ（4—28）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆m mm m m m m m mV V V B B B B B B B B B V Q V Q V Q 212122221112112211 （4—29） 在这两个修正方程式中系数矩阵元素就是系统导纳矩阵的虚部，因而系数矩阵是对称矩阵，且在迭代过程中保持不变。
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Q i U i U j( G ijs in ij B ijc o sij) ,( i 1 ,2 ,L ,m ) 对每个PQ节点 j i
[U i(k)]2B ii ?Q is Q i(k)
(i j)
情况
(i j)
情况
H i ( jk ) P jiU U (k ),θ θ (k ) U i (k ) U ( jk )(G ijs ini( jk ) B ijc o si( jk )) U i (k ) U ( jk )B ij
P (k)H (k) θ(k)
Q (k)L (k) U (k) U (k)
2.3.1快速解耦潮流算法的基本原理
考虑到实际的电力网络中，一般元件两端的相角差相角小于10~20度 ，另外由于 元件串联电阻小于串联电抗，使得 Gij Bij
cosij 1
Bijcosij ? G ijsinij
P(k) P(θ(k),U(k))
Q(k) Q(θ(k),U(k))
θ (k) 1 (k)
(k) 2
Ln ( k 1 ) T
U ( k )U ( k ) U 1 ( k )U 1 ( k ) U 2 ( k )U 2 ( k ) L U m ( k )U m ( k ) T
5
2.2牛顿-拉夫逊潮流算法
2.2.1牛顿迭代算法
f(x)0
在 x ( k ) 点转化成牛
顿法的修正方程
实数向量
雅可比矩阵
f(x(k))J(k)x(k) 0
第一步：置k=0，设定最大迭代次数Kmax
第二步：在 x ( k ) 得到牛顿法的修正方程。
第三步：解修正方程，求得迭代修正量如下：
J( k ) f x xx( k )
P(k) H (k) N(k) θ(k) Q (k)M (k) L (k)U(k) U(k)
替代
P (k)H (k) θ(k)
Q (k)L (k) U (k) U (k)
n+m-1 维的修正方程
解耦的一个n-1维和一个m维的两个修正方程，但H
及L元素仍然是节点电压的函数且不对称
10
2.3快速解耦潮流算法
方框1所示输入的电网数据可 与第一章表1.1所述的形成节 点导纳矩阵的输入文件格式 相同，节点输入数据的内容 见后，
方框3采用“平直电压”法。
方框7求解的修正方程修正方 程的求解应采用稀疏矩阵计 算方法以提高牛顿潮流算法 的计算效率。
2 计算节点导纳矩阵参数
3 设置节点电压初值 x(0)
4 设置 k 0及最大迭代次数 Kmax
PQ分解潮流算法简介
1
前言
潮流计算的内容:
根据给定的电网结构、发电计划及负荷分布情况，求出整个电网的运行状态。 （运行状态：节点母线的电压、相角。再由状态变量计算线路输送的有功和无功 功率。）
潮流计算的意义:
（1）潮流计算，对于系统运行方式的分析，对电网规划阶段中设计方案的确定 都是必不可少的。为判别这些运行方式及规划设计方案的合理性、安全性、可靠 性及经济性提供了定量分析的依据。
P(k) U(k) Bθ(k) Q(k) U(k) BU(k) 其中B’按下式计算
B ij 1xij; B ii (1xij) j i,ji 12
2.3快速解耦潮流算法
2.3.2快速解耦潮流算法的评价
1 输入电网及节点注入数据
快速解耦法有以下特点：
2 计算节点导纳矩阵参数
一，用解两个维数分别为n-1和m的修正方 程代替牛顿法的一个n+m-1维的修正方程，
H (k)
(n-1)x(n-1)
N (k)
(n-1)xm
M (k)
mx(n-1)
L( k )
mxm
分别为(n-1)x(n-1), (n-1)xm, mx(n-1) 和mxm阶的实系数雅可比子矩阵
7
2.2牛顿-拉夫逊潮流算法
牛顿潮流算法流程
开始 1 输入电网及节点注入数据
牛顿潮流算法计算流程图如 右图所示。
5 计算 f ( x( k ) )及雅可比矩阵J ( k )
是
6
max i
fi ( x( k 1) )
?
否
7 求解修正方程获得 x(k )
8 x(k1) x(k ) x(k )
11 计算潮流分布
12 输出结果 结束
9 k k 1
10 k Kmax ? 是
否
13 输出潮流不收敛信息 8
牛顿潮流算法的评价
x(k) [J(k)]-1f(x(k))
第三步：用修正量修正 获得第k+1步迭代的解向量
x(k1)x(k) x(k)
第四步：判断收敛：
若
max i
fi(x(k1)
)
成立则转第五步，
否则令k=k+1, 若 k<Kmax 转第二步继续迭代，否则转第六步。
解释：其中Kmax是计算设定的最大迭代次数；
第五步：以 x ( k 1 ) 为非线性代数方程组的解，退出迭代。
2.1.2潮流计算中节点的分类
在潮流计算中，按节点给定量的不同可把潮流计算中的节点分成三 类，即PQ节点，PV节点和平衡(Vθ)节点 。
潮流计算中，节点注入的有功P和无功Q皆为给定量的节点称作PQ 节点。一般负荷节点，联络节点和给定有功和无功的发电机节点在 潮流计算中都视作PQ节点，PQ节点的节点电压（其幅值U和相角θ， 或其实部e和虚部f）为待求变量。
计算条件：所有变量皆为统一系统基准容量下的标幺值，并认为电力系统是三相 对称的。
2
节点注入的P和Q
2.1潮流计算的数学模型
2.1.1节点的功率方程
Si P ijQ i U & iIˆi U & i Y ˆijU ˆj j i
节点电压用极坐标表示
U&j Ujejj
I ˆi Y ˆijU ˆj (G ijjB ij)U jejj
L ( ij k ) U Q jiU jU U (k ),θ θ (k ) U i (k ) U ( jk )(G ijs in i ( jk ) B ijc o si ( jk )) U i (k ) U ( jk )B ij
H i(ik) P ii U U (k)
[U i(k)]2B iiU i(k) U (jk)(G ijsini(jk)B ijcosi(jk))
Q i ( θ , U ) Q i s U i U j ( G i js i n i j B i jc o s i j ) 0 ,( i 1 , 2 , L , m ) j i
P(θ ,U ) 0 Q(θ ,U ) 0
方程个数和待求变量的个数皆为n+m-1，的电力网 络极坐标形式的潮流方程
（2）潮流计算为其它计算的基础，例如短路电流计算、静态及暂态稳定计算。
（3）潮流计算在实时安全监控中也有广泛的应用，根据实时数据库提供的信息， 通过对预想事故进行分析，判断系统当前的运行状态的安全性，这些分析需要重 复进行潮流计算。
结论：潮流计算是系统分析与规划中应用最为广泛、最基本的一种电气计算。
潮流计算中，节点注入有功P和节点电压U为给定量的节点称作PV 节点。
发电机节点和装有大型无功补偿的变电站节点都可以处理成PV节点， 这些节点的特点是具有自动调压能力，通过无功调整保持节点电压 恒定。PV节点的电压相角θ（或电压的实部e或虚部f）为潮流计算 中的待求变量。
4
2.1潮流计算的数学模型
2.1.3电力网络的潮流方程
第六步：输出迭代不收敛信息，退出迭代。
6
2.2牛顿-拉夫逊潮流算法
2.2.3 极坐标牛顿潮流算法的雅可比矩阵
极坐标形式的潮流方程： P i ( θ , U ) P i s U i U j ( G i jc o s i j B i js i n i j ) 0 ,( i 1 , 2 , L , n 1 )
11
2.3快速解耦潮流算法
2.3.1快速解耦潮流算法的基本原理
H i(jk)L (ijk)U i(k)U (jk)B ij H i(ik)L (iik)[U i(k)]2B ii
P (k)H (k) θ(k)
Q (k)L (k) U (k) U (k)
B’和B”由节点导纳矩阵的虚 部的元素组成，前者为n-1 阶，后者为m阶的常数系数 对称的矩阵
牛顿法的突出优点是收敛速度快，若算法收敛，牛顿潮流法具有平方收敛特性，即 迭代误差按平方的速率减小，一般迭代4~6次便可得到很精确的解，且迭代次数与 电网规模的大小基本无关。牛顿法的缺点是每次迭代需要重新计算雅可比矩阵，计 算量较大。
潮流计算的结果是否合理需要考虑的内容包括：（1）所有元件通过的功率是否超 过其设计容量，（2）所有节电压的大小是否在合理范围内，（3）PV节点提供的 无功是否超出其容许值，（4）平衡节点提供的有功和无功是否超出其发电能力。
j i
θθ(k)
[U i(k)]2B iiQ is Q i(k)[U i(k)]2B ii
L (iik) U Q iiU iU U (k)
[U i(k)]2B iiU i(k) U (jk)(G ijsini(jk)B ijcosi(jk))
j i
θθ(k)
[U i(k)]2B ii(Q is Q i(k))[U i(k)]2B ii
Q ( k )U ( k ) Q 1 ( k )U 1 ( k ) Q 2 ( k )U 2 ( k ) L Q m ( k )U m ( k ) T
为了加速收敛，目前通用的快速 解耦法又对B’作了下列进一步修 改。即在形成B’时略去那些对有 功功率及电压相角影响很少的输 电线元件π型等值电路的并联支 路以及变压器非标准变比，并略 去元件的串联电阻；于是，目前 通用的快速解耦潮流算法的修正 方程式如右式所示