【江苏省苏州市】2017届高三上学期期末数学试卷-答案
【真题】2017-2018年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2017-2018学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．（5分）已知i为虚数单位，计算（1+2i）（1﹣i）2=．3．（5分）若函数f（x）=sin（x+θ）（）的图象关于直线对称，则θ=．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=．5．（5分）若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．6．（5分）运行如图所示程序框图，若输入值x∈[﹣2，2]，则输出值y的取值范围是．7．（5分）已知，，则tanx=．8．（5分）函数y=ex﹣lnx的值域为．9．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则实数t的值为．10．（5分）已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限的概率是．11．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是．12．（5分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0），B（0，1），则满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为．13．（5分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．14．（5分）若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b=4，求边c的大小．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．（14分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18．（16分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P （2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=2a n+n2﹣4n+1．（1）若a1=3，求证：存在f（n）=an2+bn+c（a，b，c为常数），使数列{a n+f（n）}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）若a n是一个等差数列{b n}的前n项和，求首项a1的值与数列{b n}的通项公式．20．（16分）已知a，b为常数，a≠0，函数．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．2017-2018学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={﹣1，0} ．【解答】解：∵A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，∴A∩B={﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}2．（5分）已知i为虚数单位，计算（1+2i）（1﹣i）2=4﹣2i．【解答】解：（1+2i）（1﹣i）2=（1+2i）（1﹣2i+i2）=（1+2i）（﹣2i）=﹣2i﹣4i2=4﹣2i．故答案为：4﹣2i．3．（5分）若函数f（x）=sin（x+θ）（）的图象关于直线对称，则θ=．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+θ）的图象关于直线x=对称，∴+θ=kπ+，k∈Z，∴θ=kπ+，k∈Z，又0＜θ＜，∴θ=，故答案为：．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=14．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，S5=5，S9=27，∴，解得．∴S7==﹣7+21=14．故答案为：14．5．（5分）若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为π．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为2，∴母线长为：，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×=π，故答案为：π．6．（5分）运行如图所示程序框图，若输入值x∈[﹣2，2]，则输出值y的取值范围是[﹣1，4] ．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当﹣2≤x＜0时，函数为减函数，∴0＜y≤4；当0≤x≤2时，函数y=x（x﹣2），∴﹣1≤y≤0．综上y的取值范围是[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．7．（5分）已知，，则tanx=﹣7．【解答】解：∵，，∴，两式相比得，即4sinx+4cosx=3sinx﹣3cosx，∴sinx=﹣7cosx，∴tanx=﹣7，故答案为：﹣78．（5分）函数y=ex﹣lnx的值域为[2，+∞）．【解答】解：定义域为（0，+∞），=，当时y′＜0，当时，y′＞0，所以函数在区间（0，）上单调递减，在区间（）上单调递增，所以f （x）≥，所以函数的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．9．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则实数t的值为2．【解答】解：由题意可得，=||||cos60°=，∵，∴=t+（1﹣t）==1﹣=0，∴t=2，故答案为：210．（5分）已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限的概率是．【解答】解：由mx+ny+1=0得y=，要使直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限，则或者，即或，∴n=1，m=﹣1或n=1，m=0共有2个结果．∵m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，∴m，n的选择共有3×2=6个结果，则根据古典概率的概率公式得所求的概率P=，故答案为：11．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是（﹣1，2）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，∴函数f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数．令x2+x=12，求得x=3 或x=﹣4（舍去）．∴由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．12．（5分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0），B（0，1），则满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为2．【解答】解：设P（x，y），∵A（﹣1，0），B（0，1），由PA2﹣PB2=4，得（x+1）2+y2﹣x2﹣（y﹣1）2=4．整理得：x+y=2．联立，解得：或．∴P点坐标为（0，2）或（2，0）．即满足条件的P点的个数为2．故答案为：2．13．（5分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．14．（5分）若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，x1=，x2=﹣，若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则m＜0，当﹣1≤m＜0时，≥﹣，则＜4，解得﹣1≤m＜﹣，当m＜﹣1时，＜﹣，则﹣＜4，解得m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣）．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b=4，求边c的大小．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）利用正弦定理化简acosC+c=b，得：sinAcosC+sinC=sinB，…（2分）∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，…（3分）∴sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC，即sinC=cosAsinC，…（4分）∵sinC≠0，∴cosA=，∵A为三角形内角，∴A=；…（6分）（Ⅱ）∵a=，b=4，cosA=，…（8分）∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，15=16+c2﹣4c，即c2﹣4c+1=0，…（10分）解得：c==2±．…（12分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．17．（14分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【解答】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=，即y=1000（），定义域为（0，80]，（2）依题意知a，v都为正数，故有1000（）≥1000，当且仅当，即v=2时，等号成立，①若2≤80，即0＜a≤1600时，则当v=2时，时，全程运输成本y最小．②若2＞80，即a＞1600时，则当v∈（0，80]时，有y′=1000（）＜0．∴函数在v∈（0，80]上单调递减，也即当v=80时，全程运输成本y最小，综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤1600时行驶速度应为v=2时千米/时；当a＞1600时行驶速度应为v=80千米/时．18．（16分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P （2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．【解答】解：（1）∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴a=2，∵点P（2e，）在椭圆上，∴，∵a2=4，，a2=b2+c2，∴b2=1，c2=3，∴椭圆的方程为．（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，代入椭圆方程，即x2+4y2=4，得（1+4k2）x2=4，∴，∴C（，），又直线AB方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，∵x A=2，∴x B=，∵=0，∴+=0，∴，∵C 在第一象限，∴k ＞0，∴k=，∵=（），=（2﹣，0﹣）=（，），由=，得，∴k=，∴．19．（16分）设数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1．（1）若a 1=3，求证：存在f （n ）=an 2+bn +c （a ，b ，c 为常数），使数列{a n +f （n ）}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．【解答】解：（1）∵数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1，设a n +1 +a （n +1）2+b （n +1）+c=2（a n +an 2+bn +c ），即 a n +1=2a n +an 2+（b ﹣2a ）n +c ﹣a ﹣b ， ∴，即．∵a 1+1﹣2=2，∴存在f （n ）=n 2﹣2n ，使数列{a n +f （n ）}是等比数列， ∴a n +n 2﹣2n=2×2n ﹣1， ∴a n =2n ﹣n 2+2n ．（2）∵a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1， 即 a n +1 +（n +1）2﹣2（n +1）=2（a n +n 2﹣n ）， 即a n +1+（n +1）2﹣2（n +1）=2（a n +n 2﹣2n ），∴（a n +n 2﹣2n ）=（a 1﹣1）•2n ﹣1，故a n =﹣n 2+2n +（a 1﹣1）•2n ﹣1， ∴b n =．再根据{b n }是等差数列，可得b n 的通项公式是关于n 的一次函数， ∴a 1=1，a n =﹣2n +3．20．（16分）已知a ，b 为常数，a ≠0，函数．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．【解答】解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+）e x，则f′（x）=（x+1）（2x﹣1），由f′（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数单调递减，则当x=时，f（x）取得极小值，f（）=4．（2）f′（x）=（ax2+bx﹣b），设g（x）=ax2+bx﹣b，①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=﹣＜0，且g（1）=a＞0，∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，又，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，则，即，（•），∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即，（••），在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜≤2，且g（）=恒成立，综上求由所有点（a ，b ）满足的约束条件为，则不等式组对应的平面区域为△OAB ，其中A （），B （），C （1，0），则形成的平面区域的面积S=S △OAC ﹣S △OBC =．即△OAB 的面积为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2017-2018学年苏州市高三上学期期末数学试卷(有答案)
2017-2018学年苏州市高三上学期期末数学试卷(有答案)1.已知复数 $z=a+\dfrac{33}{22}i$，求其模长。
2.已知集合 $A=\{1,2\}$，$B=\{-1,1,4\}$，且 $A\subseteq B$，求正整数 $a$。
3.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y^2=-8x$，求其焦点坐标。
4.苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班，其中列车在车站停留 0.5 分钟。
假设乘客到达站台的时刻是随机的，求该乘客到达站台立即能乘上车的概率。
5.已知 $4=2$，$\log_a x=2a$，求正实数 $x$。
6.XXX是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
右边的流程图是秦九韶算法的一个实例。
若输入 $n$，$x$ 的值分别为 $3$，$3$，求输出 $v$ 的值。
7.已知变量 $x,y$ 满足 $x+y\geq 0$，求 $z=2x-3y$ 的最大值。
8.已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且$S_6=1519$，$a_4-a_2=-8$，求 $a_3$ 的值。
9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。
它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经$90^\circ$ 榫卯起来。
若正四棱柱体的高为 $5$，底面正方形的边长为 $1$，现将该鲁班锁放进一个球形内，求该球形的表面积至少为多少（壁的厚度忽略不计，结果保留 $\pi$）。
10.如图，两座建筑物 $AB$，$CD$ 的高度分别是$9\text{ m}$ 和 $15\text{ m}$，从建筑物 $AB$ 的顶部 $A$ 看建筑物 $CD$ 的张角 $\angle CAD=45^\circ$，求这两座建筑物$AB$ 和 $CD$ 底部之间的距离 $BD$。
【江苏省无锡市】2017届高三上学期期末数学试卷-答案
∵ ABCD 为矩形，∴ O 点为中点，
∵ E 为 PC 中点，
∴ OE∥PA ，
∵ OE 平面 PAD ， PA 平面 PAD ，
∴ OE∥平面 PAD ，…8 分
同理可得： OF∥平面 PAD ，…10 分
∵ OE OF O ，
∴平面 OEF / / 平面 PAD ，…12 分
∵ EF 平面 OEF ，
∴ EF∥ PAD …14 分
17．解：（1）∵ EM BM ， B MEN ，
∴ △BMN≌△EMN ，
∴ BNM MNE ，
∵ AME 2 ，
∴ BNM MNE ，
设 MN x ，
在 △BMN 中， BM xsin ，∴ EM BM xsin ，
∵ r 1 4e 8 0 ，
∴ ex 5 x 4 x 1 ，
从而有
-
1 4
1
m
5 4
2m e1m
，
即当 x 1,1 m ， G x1 H x2 恒成立．
21．解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 8sin ，即 2 8 sin ．
1，
n1
∴ n 2 时， Ti 1 3T2 2T1 4T3 3T2 n 1Tn nTn1 i 1
n 1Tn 2T1 n 1Tn 1．
n1
∴存在关于 n 的整式 g n n 1，使得 Tn 1 Tn g n 1 对一切 n 2 ， nN* 都成立． i 1
n
1
2
2n
3n 4
22n 3n
2
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江苏省高三数学上学期期末联考试题(有答案)-名校版
江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三数学上学期期末联考试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ．8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-= 上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、4万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln,2Rxf x axg x x ax ae=-=-∈．（1）解关于()Rx x∈的不等式()0f x≤；（2）证明：()()f xg x≥；（3）是否存在常数,a b，使得()()f x ax bg x+≥≥对任意的0x>恒成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学II(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点， 求证：AB ·BC=2AD ·BD ．B ．【选修4-2矩阵与变换】（本小题满分10分） 已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a ，b 的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l sin （θ一4π）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 时，求m 的值。
江苏省苏州市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)(2021年整理)
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2016-2017学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷一、填空题（共14小题,每小题5分，满分70分）1．若集合A=｛x｜x＞1｝，B={x｜x＜3｝,则A∩B= ．2．复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率为．4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是人．5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为．6．阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．7．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是．8．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若a2=7，S7=﹣7,则a7的值为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a= ．10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．11．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．12．若2tanα=3tan,则tan（α﹣）= ．13．已知函数f（x)=若关于x的方程｜f（x）｜﹣ax﹣5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为．14．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周）,则的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x)=sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b,c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．17．已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行,过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1)，B（x2,y2），若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．18．某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥（如图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈［﹣2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D）的切线的斜率相等．（1)曲线段AB在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×(设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中M P的单位:米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘;②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0。
江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编立体几何Word版含答案(K12教育文档)
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江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，3AB=，2BC=,圆柱上底面圆心为O，EFG∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG-体积的最大值是▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，3cmAB=，11cmAA=,则三棱锥D1–A1BD的体积为▲3cm．3、（苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是▲ ．4、（苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末)已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）一个长方体的三条棱长分别为983,,,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120，且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于 .7、（扬州市2017届高三上学期期末）若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm），侧面积为8（单位：2cm）,则它的体积为▲（单位：3cm）。
2017届高三上学期期末考试试卷 (66)
S ←0For I From 1 To 2015 step 2S ←S + 1(2)I I +End For Print S第4题图2016年第一次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应的位置．．．．上． 1．已知,U R =集合{11}A x x =-<<，2{20}B x x x =-<，则()_______.U A C B =2. 已知复数21iz i-=+,则z 的共轭复数的模为_______. 3. 分别在集合{1234}A =，，，和集合{5678}B =，，，中各取一个 数相乘，则乘积为偶数的概率为_______. 4. 运行如图所示的伪代码，其结果为_______.5. 在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线22154x y-=有相同渐近线，且一条准线方程为y =的双曲线的标准方程为_______. 6. 已知存在实数a，使得关于x a ≥恒成立，则a 的最大值为_______.7. 已知()sin())44f x a x x ππ=++-是偶函数，则实数a 的值为_______. 8. 已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3， 斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.9. 已知函数293()6,3x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是_______.10. 在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M ，使得BM CN ⊥，则cos A 的取值范围为_______.11. 设不等式组204020x y x y y ì-+?ïïï+-?íïï-?ïïî表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______.12. 已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，内无极值点，则a 的取值范围是_______. 13. 若函数1()()2,()(3)2x f x g x a x a =-=-+同时满足以下两个条件①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(1,1),()()0x f x g x ∃∈-<.则实数a 的取值范围为_______.14.若m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.二、解答题：本大题共6小题，计90 分。
江苏省苏州市2017届高三数学 等差数列 含答案 精品
姓名___________________学号___________________一、填空题：1．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S ______．2．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，927S =,10=8a ，则100=a ______．3．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，936S =-，13104S =-，则6a =______．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5353a a =，则53S S =______．5．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且39108a a a a +=-．若0n a =，则n ＝______．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12130,0S S ><，当n =______时，n S 取得最大值．7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知,144,324,3666===-n n S S S 则n =______．8．数列{}n a 满足12a =，21a =，且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，则此数列的第10项为______．二、解答题：9．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a ＝24，011=S ．（1）求n a ．（2）求数列{n a }的前n 项和n S ．（3）当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值．10．已知数列}{n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且142111-=-+n n n S a a （*∈N n ）. （1）求2a 的值．（2）设nn n n a a a b -=+1，求数列}{n b 和{}n a 的通项公式．等差数列一、填空题：1．解析：16a =，2d =-，6166562S a d ∴=+⨯= 2．解析：19959()9272a a S a +===，53a =，10515a a d -==，100109098a a d =+=3．解析：19959()9362a a S a +===-，54a =-；11313713()131042a a S a +===-，78a =-57662a a a +∴==-4．解析：由5353a a =，得1a d =，51315105332S a d S a d +==+5．解析：由39108a a a a +=-，得622a d =，6a d =6(6)(5)0n a a n d n d =+-=-=，5n ∴=6．解析：12112671212()()022S a a a a =+=+>，670a a ∴+>，13113713()1302S a a a =+=<， 70a ∴<，60a ∴>，∴当n =6时，n S 取得最大值．7．解析：6180n n S S --=，661()180366()n n n S S S a a --+=+=+，136n a a +=， 1()183242n n n S a a n =+==，18n ∴= 8．解析：111111n n n n a a a a -+-=-，即11211n n n a a a -+=+，1{}na 是等差数列，公差211112d a a =-= 111(1)222n n n a =+-=，2n a n =， 1015a =二、解答题：9．解：（1）3a ＝24，011=S ．∴⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+0210111124211d a d a ，解得⎩⎨⎧-==8401d a ，∴n a n 848-=. （2）由（1）知，1a ＝40，n a n 848-=， ∴ n S ＝1()(40488)22n a a n n n ++-=＝2444n n -+.（3）由（2）有，n S ＝2444n n -+＝－42112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋121， 故当5=n 或6=n 时，n S 最大，且n S 的最大值为120．10．解：（1）142111-=-+n n n S a a ，当1n =时，解得3142=a . （2）由142111-=-+n n n S a a ，得14211-=-++n n n n n S a a a a ，所以nn n n n a a a a S -=-++11214① 所以21121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---=+++++++1112121222，因为01≠+n a ， 所以n n n n n n a a a a a a ---=++++11222，所以211121=---+++++nn n n n n a a a a a a ， 即11121=---++++nn n n n n a a a a a a ，即11=-+n n b b ，所以数列}{n b 是公差为1的等差数列. 因为431211=-=a a a b ，所以数列}{n b 的通项公式为41-=n b n . ∴411-=-+n a a a n n n ，即143414111-+=+-=+n n n a a n n ，即141)1(41-=-++n a n a n n ，104(1)141n n a a n n +-=+--，所以数列}14{-n a n 是等差数列. 由321141=-⨯a ，所以)14(32-=n a n .。
江苏省苏州市2017届高三调研测试数学试题
苏州市2017届高三第一学期期末调研数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}1>=x x A ，{}3<=x x B ，则集合=B A ． 2、已知复数iiz 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 3、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为 ． 4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ． 5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，目标未受损的概率为40.，则目标受损 但未完全击毁的概率为 ．6、阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的 取值范围是 ．7、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=28、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知过点),(11M 的直线l 与圆52122=-++)()(y x 相切，且与直线01=-+y ax 垂直，则实数10、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面 积没有变化，则圆孔的半径为 ． 11、已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 ． 12、若832παtantan =，则=-)tan(8πα ．13、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=05042x e x x x f x ,,)(，若关于x 的方程05=--ax x f )(恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 个．14、已知C B A ,,是半径为1的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则⋅+⋅+⋅的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、已知函数212232--=x x x f cos sin )(． （1）求函数)(x f 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合 （2）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3=c ，0=)(C f ，若A B sin sin 2=，求b a ,的值．16、如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，F 是1BB 的中点，M 是线 段1AC 的的中点．（1）求证：直线//MF 平面ABCD ；（2）求证：平面⊥1AFC 平面11A ACC ．17、已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下：其中，点E A ,为x 轴上关于原点对称的两点，曲线BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线 段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为],[,22482-∈+=x xy ，曲线段DE AB ,均 为开口向上的抛物线段，且E A ,分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔 接处),(D B 的切线的斜率相等．（1）求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A 经B 到C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：=P M （该点P 与桥顶间的水平距离）⨯（设计图纸上该点P 处的切线的斜率），其中P M 的单 位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力， 它们的爬坡能力分别为80.米，51.米，02.米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20、已知函数x k x x f )(ln )(1--=（R ∈k ）． （1）当1>x 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若对于任意],[2e e x ∈，都有x xf ln )(4<成立，求实数k 的取值范围； （3）若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：ke x x 221<．附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A . 选修4-1:几何证明选讲如图,E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G 为切点,已知EF=FG ,求证:EF ∥CB.(第21-A 题)B . 选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A=2113⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求矩阵C ,使得AC=B.C . 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0,已知直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D . 选修4-5:不等式选讲已知a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by )(bx+ay )≥xy.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;(2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).23.在平面直角坐标系xOy中,已知两点M(1,-3),N(5,1),若点C的坐标满足=t+(1-t)(t∈R),且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.(1) 求证:OA⊥OB;(2) 在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.苏州市2017届高三第一学期期末考试答案1.(1,3)2.-12思路分析先化z=a+b i(a ,b ∈R)的形式或设z=a+b i(a ,b ∈R),再去分母.解法1z=(1-i )i 2i ·i=1+i-2=-12-12i,所以z 的虚部是-12.解法2设z=a+b i(a ,b ∈R),则2i(a+b i)=1-i,即-2b+2a i =1-i,所以-2b=1,得b=-12易错警示复数z=a+b i(a ,b ∈R)的虚部是b ,不是b i .3.3思路分析先求出a 2∶b 2∶c 2.由已知,得a 2∶b 2∶c 2=3∶6∶9,得e 2=22=3,所以e=3.4.900思路分析根据分层抽样的特点,建立比例式.设该校学生总数为n ,则300 =45-20-1045,得n=900.5.0.4设“目标受损但未完全击毁”为事件A ,则其对立事件 是“目标未受损或击毁目标”.P (A )=1-P ( )=1-(0.4+0.2)=0.4.解后反思在数学中,“但”与“且”的意义本质上是相同的.6.[-2,-1]流程图表示输出分段函数f (x )=2 ,∈[-2,2],2,∉[-2,2]的值.令f (x )得≤ ≤2,≤2≤12,解得-2≤x ≤-1.7.5思路分析先画出可行域,并解出.可行域是以A (3,1),B (3,2),C (2.5,1.5)为顶点的△ABC 及它的内部.z=2x-y=(2,-1)·(x ,y )≤(2,-1)·(3,1)=5.解后反思利用向量数量积的几何意义——一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积,比平移直线更直观.8.-13思路分析可先求出基本量a 1,d ,再求a 7;也可利用S 7=7a 4先求出a 4.在等差数列{a n }中,S 7=7a 4=-7,所以a 4=-1.又a 2=7,所以公差d=-4,从而a 7=a 4+3d=-1-12=-13.9.12思路分析可用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程(x-1)-a (y-1)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点M 在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x-y-1=0.由两直线的法向量(2,-1)与(a ,1)垂直,得2a-1=0,即a=12.思想根源以圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点T (x 0,y 0)为切点的切线方程为(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2.10.3思路分析先不考虑在哪个面上钻孔,考察圆柱半径与高的关系,再检验.设圆柱的底面半径为r ,高为h ,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面,多了一个圆柱侧面.由题意,得πr 2+πr 2=2πrh ,得r=h.经检验,只有r=3符合要求,此时在8×9的面上打孔.易错警示实际应用问题须检验.11.94解法1令x+2=a ,y +1=b ,则a+b=4(a>2,b>1),4 +1 =14(a+b 4≥14(5+4)=94,当且仅当a=83,b=43,即x=23,y=13时取等号.解法2(幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则4 +2+1+1=4 +1 =22+12 ≥(1+2)2 +=94.解法3(常数代换)设a=x+2,b=y+1,则4+2+1+1=4 +1 = ++ + 4 =54+ + 4 ≥94,当且仅当a=2b 时取等号.思想根源(权方和不等式)若a ,b ,x ,y ∈(0,+∞),则 2 + 2 ≥( + )2+,当且仅当 =时取等号.12.思路分析可先记t=tan π8,最后再代入化简.解法1记t=tan π8=1-cos π4sin π4=2-1,则tan α=32t.所以tan=32 - 1+32 2= 2+3 2解法2tan =32tan π8-tan π81+32tan 2π8=tan π82+3tan 2π8=sin π8cos π82cos 2π8+3sin 2π8sin π4解后反思有时,“硬做”也是必须的.13.-e ,-5ln5,2思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点.关键是两条动直线关于x 轴对称,其交点在x 轴上.方程|f (x )|-ax-5=0⇔f (x )=ax+5或f (x )=-ax-5.所以曲线C :y=f (x )与两条直线l :y=ax+5和m :y=-ax-5共有三个公共点.由曲线的形状可判断直线l 与曲线C 总有两个交点,所以可有情况是:直线m 与曲线C 相切,直线m 与曲线C 相交两点但其中一点是l ,m 的交点-5,0.由m 与C 相切,得当a>0时,y=-ax-5与f (x )图像在x ≤0的一侧相切.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=2x 0=-a ,x 0=-2.又切线方程为y-y 0=-a (x-x 0),得y=-ax+ax 0+y 0=-ax+a ·-+ 24-4=-ax- 24-4=-ax-5,得a=2.同理当a<0时,可得a=-e .由题易知a ≠0,从而m 与C 相切时,a=2或a=-e;由点-5,0在C 上,得当a>0时,交点位于f (x )图像在x ≤0的一侧,此时有f =25 2-4=0,a=52;当a<0时,交点位于f (x )图像在x>0的一侧,此时有f e -5-5=0,a=-5ln5,故由交点在C 上得a=52或a=-5ln5.经判断,a 的这四个值均满足要求.解后反思先确定a 的可能值,再检验,较易操作.也可考虑定曲线y=|f (x )|与动直线y=ax+b 的公共点的问题.14.-43,4思路分析固定顶点A ,B 后,就是一个双动点问题,与单个动点问题类似.解法1在平面直角坐标系xOy 中,设A (-1,0),B (1,0),C (cos α,sin α),P (r cos β,r sin β),其中α∈(0,π),r ∈[0,1],β∈R .· + · + · =3r 2-1-2r cos(β-α)∈[3r 2-2r-1,3r 2+2r-1]⊆-43,4,当r=13,β=α时,取得最小值-43;当r=1,β=π+α时,取得最大值4.解法2 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2-24+2 ·= 2+2 ·-1.以O 为坐标原点,建立直角坐标系,设P (x 0,y 0),C (cos θ,sin θ),则 2+2 · -1=3 02+3 02-2x 0cos θ-2y 0sin θ-1,其中x 0cos θ+y 0sin θ= 02+ 02sin(θ+φ)∈[- 02+ 02, 02+ 02].令t= 02+ 02∈[0,1],则3t 2-2t-1≤ 2+2 · -1≤3t 2+2t-1,得到 2+2 · -1∈-43,4.解法3 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2- 24+2 · = 2+2 ·-1.若知道 · =( - )·( + )=PO 2-OB 2, · + · =( + )· =2 · ,可加快计算速度.实际上,PO 2-OB 2=r 2-1,由向量数量积的定义知2 · =2 ·( - )∈[2r 2-2r ,2r 2+2r ].更进一步, · + · + · =3 2-2 · -1=3 -13 2-43.思想根源设G 是△ABC 的重心,P 是平面ABC 上任意一点,则 · + · + ·=3 2- 2+ 2+ 26.15.思路分析(1)首先把函数化简为f (x )=A sin(ωx+φ)+B 的形式,其中A>0,ω>0.(2)利用正弦、余弦定理,列出关于边a ,b 的方程组.规范解答(1)因为f (x )x-12(1+cos2x )-12(2分)=sin 2 1,(4分)所以函数f (x )的最小值是-2,(5分)此时2x-π6=2k π-π2,k ∈Z,得x=k π-π6,k ∈Z,即x 的取值集合为 = π-π6, ∈Z .(7分)(2)由f (C )=0,得sin 2 1.又C ∈(0,π),所以2C-π6=π2,得C=π3.(9分)由sin B=2sin A 及正弦定理,得b=2a.(11分)由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得a 2+b 2-ab=3.(13分)由=2 , 2+ 2- =3,解得 =1,=2.(14分)16.思路分析(1)要证MF ∥平面ABCD ,只要证MF 与平面ABCD 内的某直线平行.当F 沿 移到B 时,M 恰好移到AC 的中点E.也可以找MF 所在的平面AC 1F 与底面ABCD 的交线.(2)只要先证MF ⊥平面ACC 1A 1,只要证EB ⊥平面ACC 1A 1.规范解答(1)证法1如图1,连结AC ,取AC 的中点E ,连结ME ,EB.因为M ,E 分别是AC 1,AC 的中点,所以ME 12C 1C.(2分)又F 是B 1B 的中点,且B 1B C 1C ,得FB12C 1C ,所以MEFB ,四边形MFBE 是平行四边形,(4分)所以MF ∥EB.因为MF ⊄平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图1证法2如图2,延长C 1F ,CB 相交于点G ,连结AG.因为FB12C 1C ,所以F 是GC 1的中点.(2分)又因为M 是AC 1的中点,所以MF ∥AG.(4分)因为MF ⊄平面ABCD ,AG ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图2(2)如图1,因为底面ABCD 是菱形,得BA=BC ,又E 是AC 的中点,所以EB ⊥AC.因为A 1A ⊥平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以A 1A ⊥EB.(9分)由(1)知,MF ∥EB ,所以MF ⊥AC ,MF ⊥A 1A.(11分)又因为A 1A ∩AC=A ,A 1A ,AC ⊂平面ACC 1A 1,所以MF ⊥平面ACC 1A 1.(13分)因为MF ⊂平面AFC 1,所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17.思路分析(1)由e 求得a ∶b ∶c.(2)最简单直接的解法是:利用PA ,PB 的斜率互为相反数,直接求出A ,B 的坐标.规范解答(1)由e==得a ∶b ∶c=2∶1∶3,椭圆C 的方程为 24 2+ 22=1.(2分)把P (2,-1)的坐标代入,得b 2=2,所以椭圆C 的方程是 28+ 22=1.(5分)(2)由已知得PA ,PB 的斜率存在,且互为相反数.(6分)设直线PA 的方程为y+1=k (x-2),其中k ≠0.由+1= ( -2),2+4 2=8,消去y ,得x 2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k 2)x 2-8k (2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.(8分)因为该方程的两根为2,x A ,所以2x A =4(2 +1)2-81+4 2,即x A =8 2+8 -21+4 2.从而y A =4 2-4 -14 2+1.(10分)把k 换成-k ,得x B =8 2-8 -21+4 2,y B =4 2+4 -14 2+1.(12分)计算,得k AB = --=8-16 =-12,是定值.(14分)解后反思利用直线PA 与椭圆C 已经有一个交点P (2,-1),可使得解答更简单.由+1= ( -2), 2+4 2=8,得+1= ( -2),4( 2-1)=4- 2,当(x ,y )≠(2,-1)时,可得+1= ( -2),4 ( -1)=- -2.解得=8 2+8 -24 2+1,=4 2-4 -14 2+1.以下同解答.下面介绍一个更优雅的解法.由A ,B 在椭圆C :x 2+4y 2=8上,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,所以k AB = 1- 2 1- 2=-14· 1+21+2.同理k PA =1+1 1-2=-14· 1+21-1,k PB =2+1 2-2=-14· 2+22-1.由已知,得k PA =-k PB ,所以1+1 1-2=-2+1 2-2,且1+2 1-1=-2+2 2-1,即x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)-(x 1+x 2)+4,且x 1y 2+x 2y 1=(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4.从而可得x 1+x 2=2(y 1+y 2).所以k AB =-14· 1+ 21+2=-12,是定值.18.思路分析(1)首先B (-2,1).设曲线段AB 对应函数的解析式为f (x ),则f (-2)=1且f'(-2)=12.(2)先算出M P 的最大值.规范解答(1)首先B (-2,1),由y'=-16 (4+ 2)2,得曲线段BCD 在点B 处的切线的斜率为12.(2分)设曲线段AB 对应函数的解析式为y=f (x )=a (x-m )2(x ∈[m ,-2]),其中m<-2,a>0.由题意,得 (-2)= (-2- )2=1,'(-2)=2 (-2- )=12,解得=-6,=116.(4分)所以曲线段AB 对应函数的解析式为y=116(x+6)2(x ∈[-6,-2]).(5分)(2)设P (x ,y ),记g (x )=M P =(0-x )+6), ∈[-6,-2],∈[-2,0].(7分)①当x ∈[-6,-2]时,g (x )的最大值为g (-3)=98;(10分)②当x ∈[-2,0]时,g (x )-g (-2)=-( 2-4)2(4+ 2)2≤0,即g (x )≤g (-2)=1,得g (x )的最大值为g (x )max =98.(13分)综上所述,g (x )max =98.(14分)因为0.8<98<1.5<2,所以,游客踏乘的观光车不能过桥,蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥.(16分)19.思路分析(1)利用a n =1, =1,- -1,≥2,得到a n+1与a n 的关系.(2)与(1)类似,相当于(-1) n 项和为1.当n ≥2时,(-1)n+1 2 +1=1 -1-1.(3)即c n+1-c n >0对n ∈N *恒成立.考虑分离出λ.规范解答(1)a 1=S 1=2.由a n+1=S n+1-S n =(2a n+1-2)-(2a n -2),得a n+1=2a n .(2分)所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,a n =2n .(4分)(2)由1 1= 12+1,得b 1=32.(5分)当n ≥2时,1-1 -1=(-1)n+12 +1,得b n =(-1)n 2 +12.(8分)所以b n =1,1) 2 +12,≥2.(9分)(3)假设数列{c n }是单调增数列,则c n+1-c n =2n +λ(b n+1-b n )>0对n ∈N *恒成立.①当n=1时,由2+0,得λ<8;(11分)②当n ≥2时,b n+1-b n =(-1)n+12 +1+12 +1-(-1)n 2 +12=(-1)n+12 +2+32 +1.若n=2k ,k ∈N *,则λ<12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递增,当n=2时取最小值3219,得λ<3219;(13分)若n=2k+1,k ∈N *,则λ>-12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而-12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递减,当n=3时取最大值-12835,得λ>-12835.(15分)综上所述,存在实数λ,且λ的取值范围是-12835(16分)解后反思特别要注意对n=1时的单独处理.20.思路分析(1)只要注意对k 的讨论.(2)分离出k ,转化为k>K (x )恒成立问题.(3)先说明0<x 1<e k <x 2,从而只要证e k <x 2<e 2 1,只要证f (x 1)=f (x 2)转化为关于x 1的不等式对0<x 1<e k 恒成立问题.规范解答(1)f'(x )=ln x-k ,其中x>1.(1分)①若k ≤0,则x>1时,f'(x )>0恒成立,f (x )在(1,+∞)上单调递增,无极值;(2分)②若k>0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增,(4分)有极小值f (e k )=-e k ,无极大值.(5分)(2)问题可转化为k>1x-1对x ∈[e,e 2]恒成立.(7分)设K (x )=1x-1,则K'(x )=42ln x+11=4 2(ln x-1)+1.当x ∈[e,e 2]时,K'(x )≥1>0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max =K (e 2)=1-8e2.(9分)所以实数k 的取值范围是1-8e 2,+∞.(10分)(3)因为f'(x )=ln x-k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增.不妨设0<x 1<e k <x 2.要证x 1x 2<e 2k ,只要证x 2<e 21.因为f (x )在[e k ,+∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)=f (x 2)即要证(ln x 1-k-1)x 1<(k-ln x 1-1)e 21.(12分)令t=2(k-ln x 1)>0,只要证(t-2)e t +t+2>0.设H (t )=(t-2)e t +t+2,则只要证H (t )>0对t>0恒成立.H'(t )=(t-1)e t +1,H ″(t )=t e t >0对t>0恒成立.所以H'(t )在(0,+∞)上单调递增,H'(t )>H'(0)=0.(14分)所以H (t )在(0,+∞)上单调递增,H (t )>H (0)=0.综上所述,x 1x 2<e 2k .(16分)21.A.规范解答由切割线定理,得FG 2=FD ·FA.(2分)因为EF=FG ,所以EF 2=FD ·FA ,即 =.(5分)又因为∠EFA=∠DFE ,所以△EFA ∽△DFE.所以∠EAF=∠DEF.(8分)因为∠EAF=∠BAD=∠BCD ,所以∠DEF=∠BCD.所以EF ∥CB.(10分)B.规范解答因为AC=B ,所以C=A -1B.(2分)由|A|=2113=6-1=5,得A -13-112.(6分)所以3-112110-1341-3=35-15-3(10分)C.思路分析化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程,可利用直线l 的标准参数方程的几何意义求线段AB 的长.规范解答因为曲线C 经过极点,所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ-4ρcos θ=0,(2分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的直角坐标方程为y 2-4x=0.(4分)把直线l 的标准参数方程代入,得t 2+82t=0,解得t 1=0,t 2=-82.(8分)所以AB=|t 2-t 1|=82.(10分)易错警示必须先说明“曲线C 经过极点”,才能在方程ρsin 2θ-4cos θ=0两边同乘ρ,否则新方程表示的曲线可能比曲线C 多一个极点.D.思路分析化x 2+y 2为xy ,显然可用基本不等式x 2+y 2≥2xy.规范解答因为a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,所以(ax+by )(bx+ay )=ab (x 2+y 2)+(a 2+b 2)xy ≥ab ·2xy+(a 2+b 2)xy=(a+b )2xy=xy.(9分)当且仅当x=y 时,取等号.(10分)22.思路分析本质上就是要求出ξ的分布,否则怎么说明理由?规范解答(1)设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X ,Y.则P (X=1)=P (Y=1)=P (X=2)=P (Y=2)=38,P (X=3)=P (Y=3)=28.随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.(2分)P (ξ=2)=P (X=1)P (Y=1)=964,P (ξ=3)=P (X=1)P (Y=2)+P (X=2)P (Y=1)=932,P (ξ=4)=P (X=1)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=2)=2164,P (ξ=5)=P (X=2)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=2)=316,P (ξ=6)=P (X=3)P (Y=3)=116.(7分)所以当ξ=4时,其发生的概率最大.(8分)(2)由(1)可知E (ξ)=2×964+3×1864+4×2164+5×1264+6×464=24064=154.(10分)解后反思利用ξ=X+Y 来计算P (ξ=k ),条理清楚,不易出错.思想根源实际上,因为ξ=X+Y ,所以E (ξ)=E (X )+E (Y )=158+158=154.23.思路分析可直接判断点C 的轨迹是直线MN ,也可设C (x ,y ),得关于(x ,y )的参数方程.(1)只要证 · =x 1x 2+y 1y 2=0.可利用根与系数的关系.(2)设弦为EF ,则 ·=0,可设直线EF 的方程为x-m=λy.规范解答(1)由 =t +(1-t ) ,得 - =t ( - ),即 =t .所以点C 的轨迹就是直线MN ,其轨迹方程为x-y-4=0.(2分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由- -4=0,2=4 ,消去x ,得y 2-4y-16=0,所以y 1y 2=-16.而x 1x 2= 124· 224=16,所以 · =x 1x 2+y 1y 2=0.所以OA ⊥OB.(4分)(2)设经过点P (m ,0)的弦EF 所在的直线方程为x-m=λy.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则以EF 为直径的圆经过原点等价于x 1x 2+y 1y 2=0.由- = ,2=4 ,得y 2-4λy-4m=0.当Δ=16λ2+16m>0时,y 1+y 2=4λ,y 1y 2=-4m.从而x 1x 2=12 2216=m 2.所以m 2-4m=0,解得m=0或m=4.(6分)①若m=0,则λ≠0,此时圆心D (x ,y )满足 =2 2,=2 (λ≠0).圆心的轨迹方程为y 2=2x (y ≠0).(8分)②若m=4,则λ∈R,此时圆心D (x ,y )满足=2 2+4, =2 .圆心的轨迹方程为y 2=2(x-4).(10分)易错警示不要轻易舍去m=0的情况.。
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． （1）【2017年江苏,1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =，则实数a 的值为_______． 【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=，解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年江苏,2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+,其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． (3）【2017年江苏,3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=,则应从丙种型号的产品中抽取630018100⨯=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． (4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图:若输入x 的值为116,则输出y 的值是_______． 【答案】2-【解析】初始值116x =，不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5）【2017年江苏，5,5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=．【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题．（6)【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
(江苏)高三数学-江苏省苏州2017届高三上学期10月月考数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省苏州高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省苏州高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。
【试卷】江苏省苏州市2017届高三数学一模试卷Word版含解析
【关键字】试卷2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B= （1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递加，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn= （1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn ﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n﹣1．数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b3，利用数列{b n}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12S n﹣a14n2=16b m，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，，即=2，∴=a n+1∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n•4n﹣1．∵b n=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{b n}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
【江苏省苏州市】2017届高三上学期期末数学试卷
江苏省苏州市2017届高三上学期期末考试数学试卷1．若集合{|1}A x x =>，{|3}B x x =<，则A B =__________． 2．复数1i 2iz -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是_________． 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22136x y -=的离心率为__________． 4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_________人．5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为_________．6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，则输入的实数x 的取值范围是_________．7．已知实数x ，y 满足134y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值是_________． 8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若27a =，77S =-，则7a 的值为__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()1,1M 的直线l 与圆()()22125x y ++-=相切，且与直线 10ax y +-=垂直，则实数a =__________．10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为___________．11．已知正数x ，y 满足1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________． 12．若π2tan 3tan 8α=，则π8α⎛⎫- ⎪⎝⎭tan =___________．13．已知函数()24,0e 5,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()50f x ax --=恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为_________．14．已知A ，B ，C 是半径为l 的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则PA PB PB PC PC PA ++的取值范围为__________．15．已知函数()212cos 2f x x x --． （1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，F 为棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． 求证：（Ⅰ）直线MF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）平面1AFC ⊥平面11ACC A ．17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，并且过点()2,1P -（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过p 点作两条直线分别交椭圆C 于两点()11,A x y ，()22,B x y ，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．18．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A ，E 为x 轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD 是桥的主体，C 为桥顶，并且曲线段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为[]()282,24y x x ∈-=+，曲线段AB ，DE 均为开口向上的抛物线段，且A ，E 分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(),B D 的切线的斜率相等． （1）曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A 经B 到C 爬坡，定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：M =（该点P 与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点P 处的切线的斜率）其中P M 的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22n n S a n -=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1312231121212121n n n n b b b b a +=-+++++-+-，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}n c ()*n ∈N 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20．已知函数()()()ln 1f x x k x k =--∈R（1）当1x >时，求()f x 的单调区间和极值．（2）若对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求k 的取值范围．（3）若12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：212k x x e <．。
专题：基本不等式常见题型归纳
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b2)2)，当且仅当a＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x yxy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43，当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b 时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+214x －12≥21212，当且仅当54x 2=214x ，即x 4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
2020届江苏省苏州市2017级高三上学期期末考试数学试卷及答案
2020届江苏省苏州市2017级高三上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(满分160分,考试时间120分钟)2020．2 参考公式：锥体的体积V＝13Sh,其中S为锥体的底面积,h是锥体的高．球的体积V＝43πr3,其中r表示球的半径．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分．1. 已知集合A＝{x|x≥1},B＝{－1,0,1,4},则A∩B＝________．2. 已知i是虚数单位,复数z＝(1＋bi)(2＋i)的虚部为3,则实数b的值为________．3. 从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动,则选中的恰好是一男一女的概率为________．4. 为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况,随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数,得到以下频率分布直方图(如图)．已知在[5,7)之间通过的车辆数是440辆,则在[8,9)之间通过的车辆数是________．(第4题)(第5题)5. 如图是一个算法流程图,若输入的x 值为5,则输出的y 值为________．6. 已知等比数列{a n }中,a 1＞0,则“a 1＜a 2”是“a 3＜a 5”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1,F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,点P 的坐标为(0,b)．若∠F 1PF 2＝120°,则该双曲线的离心率为________．8. 若x,y 满足约束条件⎩⎨⎧x≥0，x －y≤0，x ＋y －1≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．。
江苏省苏州市高三(上)2012--2018届数学期末汇编：集合,命题,简易逻辑
集合1. （2018·苏州期末·2）已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a =． 【答案】22. （苏州市2017届高三上期末调研测试）、已知集合{}1>=x x A ，{}3<=x x B ，则集合=B A 【答案】{}13，3. （苏州市2016届高三上期末）设全集U ＝｛x |x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x |x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ð＝ ▲ ． 【答案】{2}4. （苏州市2015届高三上期末）已知集合{|22},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B =【答案】(－2，1]5. （苏州市2014届高三上期末调研测试）1.已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ▲ ． 【答案】{-1，0}6. （苏州市2013届高三第一学期期末）1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A B = ．【答案】{-1,2}7. （苏州2018届高三期初1.）已知集合 A= {x|-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B=。
【答案】{-1,0}8. （苏州2017届高三期初1．）设集合{}1,0,1-=M ，{}02≤+=x x x N ，则=N M ． 【答案】{}0,1-9. （苏州2016届高三期初1、）已知集合},0,1{},1,0{-==B A 则=B A【答案】}1,1,0{-10. （苏州2015届高三期初）1．已知集合{1,cos }A θ=，1{0,,1}2B =，若A B ⊆，则锐角θ=． 【答案】3π 11. （苏州2014届高三期初1、）已知集合，，则______. 【答案】12. （苏州2013届高三期初1、）已知集合U ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{0， 4}，N ＝{2，4}，则()U C M N ＝＿＿＿ 【答案】{1,3}13. （江苏省苏州市2016-2017高三（上）期中）1．已知集合A={x |0≤x ≤2}，B={x |﹣1＜x ≤1}，则A∩B= 【答案】{x |0≤x ≤1}．14. （江苏省苏州市2015-2016高三（上）期中）1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B= 【答案】{x|0≤x≤2}15. （江苏省苏州市2014-2015高三（上）期中）1.集合{}1,2的子集个数为 ▲ ． 【答案】416. （江苏省苏州市2013-2014高三（上）期中）1．已知全集,集合,,则▲ ．【答案】{}417.（江苏省苏州市2012-2013高三（上）期中）1.集合中实数t的取值范围是. 【答案】18.（江苏省苏州市2012-2013高三（上）期中）3.如果和是两个命题，若是的必要不充分条件，则是的条件.【答案】充分不必要19.（江苏省苏州市2012-2013高三（上）期中）2.若不等式的解集为，函数的定义域为，则.【答案】20.（江苏省苏州市2012-2013高三（上）期中）15.（本小题满分14分）已知函数的值域为集合，关于的不等式的解集为，集合,集合（1）若,求实数的取值范围；（2）若,求实数的取值范围.【答案】试题解析：（1）因为，所以在上，单调递增，所以，2分又由可得：即：，所以，所以，4分又所以可得：，5分所以，所以即实数的取值范围为6分（2）因为,所以有,,所以, 8分对于集合有:①当时,即时,满足 10分②当时,即时,所以有:,又因为,所以 13分综上：由①②可得：实数的取值范围为14分21. （江苏省苏州中学2010-2011高三（上）期中）1．已知集合M ＝｛x |x ＜33N ＝｛x |log 2x＞1｝，则M ∩N ＝ 【答案】(2,3)简易逻辑22. （苏州市2012届高三高三调研测试）2.命题”x ∃∈R ,使得sin 10x x -≤”的否定是__________.【答案】∀x ∃∈R ,使得sin 10x x -≤>023. （苏州2017届高三期初2．）命题“1>∃x ，使得22≥x ”的否定是． 【答案】1>∀x ，使得22<x24. （苏州2015届高三期初）11．函数1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 的图像经过四个象限的充要条件是．【答案】63516a -<<-25. （江苏省苏州市2017-2018高三（上）期中）3. 设命题;命题,那么p 是q 的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 【答案】充分不必要26. （江苏省苏州市2016-2017高三（上）期中）2．若命题p ：∃x ∈R ，使x 2+ax +1＜0，则￢p ：【答案】∀x ∈R ，使x 2+ax +1≥027. （江苏省苏州中学2010-2011高三（上）期中）2．下列命题中的假命题．．．是 （填序号） （1）,lg 0x R x ∃∈=；（2）,tan 1x R x ∃∈=；（3）3,0x R x ∀∈>；（4） ,20x x R ∀∈>。
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，
y
16x 4 x2
2
，且
B -2,1
，则曲线在
B
处的切线斜率为
1 2
，
∴
2
a
2
2 2 a
1 1
，∴
a
6
，
1 16
，
2
∴曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式为 y 1 x 62 -6 x 2 ；
16 （2）设 P 为曲线段 AC 上任意一点．
【分析】由集合 A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合 A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，
∴A∩B={x|1＜x＜3}，
故答案为：{x|1＜x＜3}
2．2．复数 z 1 i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部是__ 1 ___．
要证 x1x2
e2k ，只要证 x2
e2k x1
，即证，
∵ f x 在区间 ek , 上单调递增，
∴
f
x2
f
e2k
x1
，
又
f
x1
f
x2 ，即证
f
x1
f
e2k
x1
，
构造函数 h x
f
x
2 2
，∴
y1
y2
k
x1
x2
4k
．
即
y1
y2
k x1
x2 4k
k
16k 1
2 4 4k 2
4k
1
8k 4k
2
， x1
x2
1
16k 4k
2
．
8k
∴直线 AB 的斜率为 kAB
y1 y2 x1 x2
1 4k2 16k
1 ． 2
恒成立，令
g
x
x
4 ln
x
x
，则
g'
x
4 ln
x x2
x
4
，
令
t
x
4
ln
x
x
4
，
x
e,
e2
，则
t
x
4 x
1
0
，
∴ t x 在区间 x e,e2 上单调递增，故 t xmin t e e 4 4 e 0 ，故 g x 0 ，
82
（2）证明：由题意，设直线 PA 的方程为 y 1 k x 2 ，
联立
x2 4y2 8
y k x 2
1
，得
1 4k2
x2 8 2k 2 k
x 16k2 16k 4 0 ．
∴
2x1
16k 2 16k 1 4k 2
∴数列an 是等比数列，公比为 2，首项为 2．∴ an 2n ．
（2）∵
1 2n
1 an
b1 2 1
b2 22
1
b3 23
1
1 n1
bn 2n
1
∴
1 2n1
b1 2 1
b2 22 1
b3 23 1
∴
1 2n
1 2n1
1
17．（1）解：由 c a
3 2
，得
c a
a2 b2 a2
3 4
，即 a2
4b2 ，
∴椭圆 C 的方程可化为 x2 4y2 4b2 ．
2 / 18
又椭圆 C 过点 P2,1 ，
∴ 4 4 4b2 ，得 b2 2 ，则 a2 8 ． ∴椭圆 C 的方程为 x2 y2 =1；
,
．
证明：（3）∵ f x1 f x2 ，由（1）知，函数 f x 在区间 0,ek 上单调递减，
在区间 ek , 上单调递增，且 f ek1 0 ，
不妨设 x1 x2 ，则 0 x1 ek x2 ek ，
．
20．解：（1）∵ f x ln x k 1 xk R ，
∴ x 0 ， f (x) 1 x ln x k 1 ln x k ， x
①当 k 0 时，∵ x 1，∴ f x ln x k 0 ，
函数 f x 的单调增区间是 1, ，无单调减区间，无极值；
∴由余弦定理可得： 3 2 a2 b2 2abcos π ，可得： a2 b2 ab 3 ②，…13 分 3 ∴联立①②解得： a 1， b 2 …14 分 16．证明：（Ⅰ）延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N ，连接 AN ．因为 F 是 BB1 的中点， 所以， F 为 C1N 的中点， B 为 CN 的中点．又 M 是线段 AC1 的中点， 故 MF∥AN ． 又 MF 不在平面 ABCD 内， AN 平面 ABCD ， ∴ MF∥平面 ABCD ． （Ⅱ）连 BD ，由直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ， 可知 A1A 平面 ABCD ，又∵ BD 平面 ABCD ， ∴ A1A BD ． ∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AC BD ． 又∵ AC A1A A， AC ， A1A 平面 ACC1A1 ， ∴ BD 平面 ACC1A1 ． 在四边形 DANB 中， DA∥BN 且 DA BN ，所以四边形 DANB 为平行四边形， 故 NA∥BD ，∴ NA 平面 ACC1A1 ，又因为 NA 平面 AFC1 ， ∴平面 AFC1 ACC1A1 ．
江苏省苏州市 2017 届高三上学期期末考试数学试卷 答案
1．x |1 x 3
2． 1 2
3． 3 4．900 5． 0.4
6．
4 3
,
4
7．5 8． 13 9． 1
2 10．3 11． 1
2
12． 5 2 1 49
13．
e,
5 ln 5
,
2,
5 2
②当 k 0 时，令 ln x k 0 ，解得 x ek ，
当1 x ek 时， f x 0 ；当 x ek ， f x 0 ，
∴函数 f x 的单调减区间是 1,ek ，单调减区间是 ek , ， 在区间 1, 上的极小值为 f ek k k 1ek ek ，无极大值．
2i
2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z= =
，
∴复数 z 的虚部是﹣ ．
故答案为： ．
3．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线 ﹣ =1，可知 a= ，c=3，则双曲线的离心率为： = ．
n1
bn 2n 1
，
1 n1
bn 2n 1
∴ bn
1n
1 2n
1
当n
1 时，
b1 3
1 2
，解得 b1
3 2
．∴ bn
3 2
,nLeabharlann 1
1n
1 2n
1, n
． 2
（3） cn 2n bn ，
∴n
3 时， cn
∵ 0.8 9 1.5 2 ， 8
∴游客踏乘不能顺利通过该桥；蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥．
19．解：（1）由 Sn 2an 2 n N* ，可得 a1 2a1 2 ，解得 a1 2
n 2 时， an Sn Sn1 2an 2 2an1 2 ，化为： an 2an1 ．
14．
4 3
,
4
15．解：（1）∵ f x
3 sin 2x cos2 x 1
2
2
3 2
sin
2
x
1
cos 2
2x
1 2
sin
2x
π 6
1
，…4
分
∴当 2x π 2kπ π ，即 x kπ π k Z 时， f x 的最小值为 2 ，…6 分
128 35
．
②当 n 为大于或等于 3 的奇数时，
1
3 22n1
1 2n2
，当且仅当 n 3 时， 32 19
．
当
n
2
时，
c2
c1
22
5 4
2
3 2
0
，即
λ＜8．
综上可得：
的取值范围是
128 35
,
32 19
1 4k 2
18．解：（1）由题意 A 为抛物线的顶点，设 Aa，0a 2 ，则可设方程为