2019-2020学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
上海市-曹杨二中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
曹杨二中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为2. 若120°角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为3. 已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为4. 在等差数列{}n a 中，165a a +=，43a =，则8a 的值为5. 若a 、b 为单位向量，且2()3a a b ⋅+=，则向量a 、b 的夹角为 （用反三角函数值表示）6. 已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为7. 若4sin 25θ=，且sin 0θ<，则θ是第 象限角 8. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅ 的取值范围是9. 若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=10. 走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于11. 如图，P 为△ABC 内一点，且1135AP AB AC =+，延长BP ， 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为12. 为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数x 、y 、z 满足229x xy y ++=，2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=二. 选择题13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ）A. 0d <B. 0d >C. 160a <D. 160a >14. 已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +⋅=+-（n *∈N ），则42a a 的值为（ ） A. 1615 B. 43 C. 13D. 8315. 在非直角△ABC 中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 在△ABC 中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A.4π B. 3π C. 23π D. 34π三. 解答题17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.（1）若()a tb +∥c ，求实数t 的值；（2）求c 在a 方向上的投影.18. 已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.（1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ+.19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长），已知||||10PA PB ==（米），4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设O A P θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.20. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ≤<）的最小正周期为2π，且其图像的 一个对称轴为2x π=，将函数()f x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，再将图像向 左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像. （1）求()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点；（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间[,]2t t π+上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求函数()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为△ABC 的外接圆半径.（1）若2R =，2a =，45B =︒，求c ；（2）在△ABC 中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .参考答案一. 填空题1. 22.3. 43(,)554. 75. 1arccos 3π- 6. 3 7. 三 8. [2,2]-9. 10. 21111. 310 12. 二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）8t =；（2）18.（1）3π；（2）22πθ-.19.（1）3sin()4S πθθ=-，3(0,)(,)444πππθ∈；（2）max 1)S =. 20.（1）()sin f x x =，单调递增区间[2,2]22k k ππππ-+，k ∈Z ；（2）6π，56π，32π；（321.（1（2）证明略；（3）当90A <︒时，c =；当90A >︒时，c =。
上海市曹杨二中2019_2020学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)
上海市曹杨二中2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（共12题，每题4分）1.被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为______. 【答案】{}|31,x x k k N =+∈ 【解析】 【分析】先表示出满足条件的自然数，再用集合表示，即可得出结果. 【详解】因为被3除余数等于1的自然数为31,=+∈x k k N ， 所以其对应的集合用描述法可表示为：{}|31,x x k k N =+∈. 故答案为：{}|31,x x k k N =+∈【点睛】本题主要考查集合的表示，熟记集合的表示法即可，属于基础题型. 2.若集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()()U U C A C B ______．【答案】{}0,1,4 【解析】 【分析】分别求U C A 和U C B ，再求并集. 【详解】{}4U C A =，{}0,1U C B =()(){}0,1,4U U C A C B ∴=故填：{}0,1,4.【点睛】本题考查列举法表示集合的补集和并集，属于简单题型. 3.若集合62S x ZZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合S 的非空真子集的个数为______. 【答案】254 【解析】 【分析】先由x ∈Z 且62∈-Z x ，得到x 的所有可能取值，确定集合S 中元素个数，进而可求出结果. 【详解】因为x ∈Z 且62∈-Z x ，所以21x -=±，2±，3±，6±， 因此3,1,0,4,1,5,8,4=--x ，所以集合S 共含有8个元素， 因此，其非空真子集的个数为：822254-=个： 故答案为：254【点睛】本题主要考查求解的非空真子集个数，熟记公式即可，属于基础题型. 4.命题“若2a b +≥，则a 、b 中至少有一个不小于1”的一个等价命题是______. 【答案】若a ，b 都小于1，则2a b +< 【解析】 【分析】根据互为逆否命题的命题真假性相同，可直接得出结果. 【详解】因为互为逆否命题的命题真假性相同，所以命题“若2a b +≥，则a 、b 中至少有一个不小于1”的一个等价命题是“若a ，b 都小于1，则2a b +<”.故答案为：若a ，b 都小于1，则2a b +<【点睛】本题主要考查逆否命题，熟记四种命题之间关系即可，属于基础题型. 5.对于n Z ∈，若P ：3n x =，q ：13x n =±，则p 是q 的______条件. 【答案】必要非充分 【解析】 【分析】先由31=±n k ，k Z ∈时，1,33=±∈n k k Z ；得到集合,3n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭包含1,3x x n n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭，从而可得出结果.【详解】当31=±n k ，k Z ∈时，1,33=±∈n k k Z ； 所以集合,3n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭包含1,3x x n n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭， 因此，p 是q 的必要非充分条件.故答案为：必要非充分【点睛】本题主要考查命题的必要非充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.6.以下三个条件：（1）0b a >>；（2）0a b >>；（3）0a b >>.其中能使不等式11a b<成立的序号是______. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】（1）若0b a >>，则10a <，10b >，所以11a b<； （2）若0a b >>，则110b a a b ab --=<，即11a b <； （3）若0a b >>，则110b a a b ab --=<，则11a b<. 故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，熟记不等式的性质即可，属于基础题型, 7.关于x 的不等式()()31170x x --≥的解集是______. 【答案】11,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由()()31170x x --≥化为()()31710--≤x x ，进而可求出结果. 【详解】因为等式()()31170x x --≥可化为()()31710--≤x x ， 解得：1173≤≤x . 故答案为：11,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.8.已知关于x 的不等式11axx <-的解集为{1x x <或}2x >，则实数a 的值为______. 【答案】12【解析】 【分析】先将不等式化为()11(1)0⎡⎤-+-<⎣⎦a x x ，根据不等式的解集，得到2(1)10-+=a ，从而可求出结果. 【详解】因不等式11ax x <-可化为不等式101-+<-ax x x ，等价于不等式()11(1)0⎡⎤-+-<⎣⎦a x x ；又关于x的不等式11axx <-的解集为{1x x <或}2x >， 所以2(1)10-+=a ，解得12a =.故答案为：12【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.9.若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】 【分析】先由绝对值不等式性质得到112-++≥x x ，再由题意，即可得出结果.【详解】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.10.不等式22411372x x x x -+≤-+的解集用区间表示为______.【答案】()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解析】 【分析】先将原不等式化为()()()21(1)0312--≥--x x x x ，得到()()()21(1)03120x x x x ⎧--≥⎪⎨-->⎪⎩或()()()21(1)03120x x x x ⎧--≤⎪⎨--<⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】因为22411372x x x x -+≤-+可化为222413720372-+-+-≤-+x x x x x x ，即222310372-+-≤-+x x x x ， 即222310372-+≥-+x x x x ，即()()()21(1)0312--≥--x x x x ； 所以有()()()21(1)03120x x x x ⎧--≥⎪⎨-->⎪⎩或()()()21(1)03120x x x x ⎧--≤⎪⎨--<⎪⎩，解得：2x >或13x <或112x ≤≤； 即原不等式的解集为：()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，灵活运用转化与化归的思想，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.11. 如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是__；【解析】试题分析：设明后两年的年均增长率为x ，设今年的产量为1，那么后年的产量为不低于1×2=2，()211x 2⨯+≥，1x +≥，1x +≤或1x +≥，所以x 1≥。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
上海市曹杨二中2019-2020学年高一数学上学期12月考试卷附答案解析
f
x
3 2
的图像向左平移
3 2
个单位得到，所以函数
f
x
的图象关于点
3 2
,
0
对称；即
①正确；
由
f
x
3 2
为奇函数可得
f
x
3 2
f
x
3 2
，则
f
x
f
x
3
，
又 f x 3 f x 0 ，所以 f x 3 f x ，则 f x f x 3 ，因此 f x f x ，
为____________.
16．设函数
f
x
2x 1 x
，区间 M
a,ba
b ，集合 N
y |
y
f
x, x M ，则使得 M
=
N
的实
数对 a, b 有____________对
三、解答题
17．设集合 A={x||x－a|<2}，B={x| 2x 1 <1}，若 A B，求实数 a 的取值范围． x2
11．设 x1 ， x2 是方程 lg2 x a lg x b 0 （ a ， b 为常数）的两个根，则 x1 x2 的值是______.
12．函数 f x a2 a x2aa2 是定义在 0, 上的增函数，则 a 的取值范围____________
13．光线通过某种玻璃时，强度损失10% ，要使光线强度减弱到原来的 1 以下，至少需要____________块这样 3
所以 f x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称；即②正确.
故选：A.
4．设 f x 是定义在 R 上的函数，下列关于 f x 的单调性的说法：
（1）若存在实数 a b ，使得 f a f b ，则存在实数 c d ，满足 c, d a,b ，且 f x 在c, d 上递
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
上海市上海中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________.2.函数y =________.3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______. 9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列 列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x .【解析】 【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=，所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x， 故答案为：18x. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.2.函数y =________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=，所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x .【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】 【分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】 【分析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果.【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】 由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果.【详解】由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=， 所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[ 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断，所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[.【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞.【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果.【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞，则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】13,24⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x xf x x x x x xx x x⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3xf x x xx≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f==，要使2(46)(4)f a a f a+=，则有以下几种情况：①246141a aa⎧+≤⎨≤⎩313313x---+≤≤；②22146 2.514 2.5464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a aa⎧+≥⎨≥⎩，解得34a≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为3313[,][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭，故答案为：3313[][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y fx -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <， 所以1201x x <<， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析. 三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】 【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数， 当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=， 所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--； （2）因为()f x 为奇函数， 当0x <时，0x ->，22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-， 且(0)0f =，所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩.【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】 【分析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0xx+-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果； （2）将式子1936(5)0xx k k k +-+-=整理得出309336x xk =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0xx k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x+-=， 解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =， （2）由1936(5)0xx k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=，所以309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，所以22315933636()24xxt t t -⋅+=-+=-+，由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154，当9t =时，2315()24t -+的最大值为60，所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤，所以k 的取值范围是1[,8]2.【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？ 【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车.. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围； （3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x=⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟，根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x--≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --≤≤因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3）令29060162030()+=1818xu x t t x x x x -=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增，结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M ，可得方程22lnln ln (2)115a a ax x =++++有实数解，即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+ 综上，实数a的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>， 故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>，故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题. 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】【分析】（1）将0c ，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c ，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+， 所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。
上海市曹杨第二中学2019-2020学年第一学期高一12月月考数学试题
2019~2020学年曹二高一上12月份月考试卷 2019.12.5一、填空题1. 不等式2016x <<的解集为____________2.“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的____________条件（填写“充分、充要、既不充分也不必要”）3. 3521x y ≤≤-≤≤-，，则x y -的取值范围是____________4. 函数()11f x x=-的定义域是____________ 5. 函数)1y x =>的最小值为____________6. 函数1423x x y +=+-的零点是____________7. 设12,x x 是方程()2lg lg 0x a x b ++=（,a b 为常数）的两个根，则12x x 的值是____________ 8. 函数()()222a a f x a a x -=-是定义在()0,+∞上的增函数，则a 的取值范围____________9. 光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的13以下，至少需要____________这样的玻璃10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递增，则下列函数：①()f x ；②()f x ；③()1f x ；④()()f x f x -；其中在(),0-∞上递减的是____________11. 已知函数()f x 是定义在区间[]3,3-上的奇函数，当(]0,3x ∈时，()f x 图像如图，则不等式()0f x ≤的解为____________12. 设函数()21xf x x=+，区间[](),M a b a b =<，集合(){}|,N y y f x x M ==∈，则使得M=N 的实数对(),a b 有____________对二、选择题13. 设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A. ()(),f x x g x =B. ()()()22,xf xg x x==C. ()()()01,1f x g x x ==-D. ()()29,33x f x g x x x -==-+14. 在下列图像中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能是（ ）15. 定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，给出以下2个命题：①函数()f x 的图像关于点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图像关于y 轴对称，其中，真命题是（ ）A. ①和②都是B. 只有①C. 只有②D. 都不是16. 设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c<d ，满足[][],,c d a b ⊆，且()f x 在[],c d 上递增 （2）若()f x 在R 上单调，则存在x R ∈，使得()()f f x x ≠-（3）若对任意0a >，存在d R ∈，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x R ∈成立，则()f x 在R上递增其中正确的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题17. 设集合{}21|2,|12x A x x a B x x -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A B ⊆，求实数a 的取值范围18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请你确定广告的高于宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小19. 函数()y f x =是定义在11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭上的奇函数，当12x ≥，()22f x x x =-.（1）求当12x ≤-时，()f x 的解析式；（2）若函数()()1f x g x x-=，求()g x 的值域.20. 已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，请满足对任意,x y R ∈. ()()()()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+=. （1）求()f x 的零点；（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x Z ∈时，求()f x 的解析式；②当x R ∈时，求()f x 的解析式.四、附加题21. 对于函数()()y f x x D =∈，若对任意12,x x D ∈，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称此函数为下凸函数，试证明函数()()23220x x f x x =+>是下凸函数.参考答案一、填空题1. ()()4,00,4-⋃2. 必要非充分3. [4,7]4. [)()2,11,-⋃+∞5. 26. 0x =7. 10a -8.（1,2）9. 11 10. ①② 11.[][]1,01,3-⋃ 12. 3 二、选择题13. B 14. A 15. A 16. B三、解答题 17. []0,1a ∈18. 当高为140cm ，宽慰175cm 时，广告面积取得最小值，最小为245002cm 19.（1）()212,2f x x x x =+≤-；（2）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20.（1）0；（2）奇函数，递增；（3）①()f x x =；②()f x x = 21. 证明略。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题． 7．函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________． 【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的，F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是__________ 2π【答案】2π【分析】根据扇形面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，扇形的面积为.12π22π2⨯⨯=故答案为：2π2．已知一元二次方程的两个实根为，则____ 20(0)x ax a a --=>12x x 、1211x x +=【答案】1-【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.1212,x x x x +12121211x xx x x x ++=【详解】因为一元二次方程的两个实根为， 20(0)x ax a a --=>12x x 、所以. 1212,x x a x x a +==-故121212111x x a x x x x a++===--故答案为： 1-3．函数的定义域是__________. 22log 1x y x +=-【答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解. 201x x +>-【详解】要使有意义，须， 22log 1x y x +=-201x x +>-即，解得或， (2)(1)0x x +->1x ><2x -即函数的定义域是. 22log 1x y x +=-(,2)(1,)-∞-+∞ 故答案为：.(,2)(1,)-∞-+∞4．已知，则__________cos160m = tan20= 【答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得的值，进而求得的值. sin20 cos20 【详解】因为，所以， cos160m = cos20cos160m=-=-所以，sin 20=== 所以sin 20tan 20cos 20===故答案为：5．定义且，若，则______{A B xx A -=∈∣}x B ∉{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==()()A B B A -⋃-=【答案】{}1,2,7,9【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.{}1,7,9A B -={}2B A -=【详解】根据集合且的定义可知， {A B xx A -=∈∣}x B ∉当时，可得，； {}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B =={}1,7,9A B -={}2B A -=所以 ()(){}1,2,7,9A B B A -⋃-=故答案为：{}1,2,7,96．将函数的图象向左平移__________个单位可得到函数的图象. 2x y =32x y =⋅【答案】2log 3【分析】根据指数对数的运算知，即可求解. 22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅【详解】因为，22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象. 2x y =2log 332x y =⋅故答案为：2log 37．当，时，则的最小值是__________． lg lg a b =()a b ≠13a b+【答案】【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． lg lg a b =a b ¹1ab =【详解】，且，而函数在上单调递增，lg lg a b = a b ¹lg y x =()0,+∞，即，且，，lg lg lg 0ab a b ∴=+=1ab =0a >0b >， 13a b ∴+≥=当且仅当，即13a b =b =a =故答案为：8．已知关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围___________.x 265x x a -+=a 【答案】.(0,4)【分析】由题知转化为函数与有个不同的交点，画出函数的图265y x x =-+y a =4265y x x =-+像即可求出的取值范围.a 【详解】方程有四个不相等的实数根，265x x a -+=等价于函数与有个不同的交点.265y x x =-+y a =4由函数的图像知：265y x x =-+的取值范围为：.a 04a <<故答案为：(0,4)【点睛】本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 形，则________． 123()()()D x D x D x ++=【答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．ABC A 【详解】，1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数或1，∴()0D x =存在三个点、、，使得为等边三角形，11(,())A x D x 22(,())B x D x 33(,())C x D x ABC A 不同时为0或1，∴123(),(),()D x D x D x 不妨设，123x x x <<分析得的位置有两种情况，ABC A第一种情况：当为有理数时，即，如图，1x 1()1D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，为无理数， 211x x AD x =+=31x x =即，，与图形不一致，舍去； 2()0D x =3()0D x =第二种情况：当为无理数时，即，如图，1x 1()0D x =过点作，垂足为，得，，B BD AC ⊥D 1BD =AD =AB AC BC ===可知，， 211x x AD x =+=31x x =存在，且 1x =210Q x x ==∈31x x ==即，与图形一致，符合题意， 2()1D x =3()0D x =此时，，123()()()0101D x D x D x ++=++=故答案为：1． 10．已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞，都有，则k 的取值范围是_________()0,x ∞∈+e x x k ≤【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值，对两边取自然对数，ln x x -e x x k ≤分离，利用不等式恒成立求解即可. ln k 【详解】因为在是严格增函数，在上为严格减函数， ()1ln xf x x+=(]0,1[)1,+∞所以. 1ln ()(1)1xf x f x+=≤=由，可得，0x >ln 1x x -≤- 又时，由可得， ()0,x ∞∈+e x x k ≤ln ln(e )ln x x k k x ≤=+即恒成立， ln ln x x k -≤所以，即.ln 1k ≥-1ek ≥故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二、单选题11．若为第三象限角，则（ ） αA ． B ． C ． D ．cos 20α>cos20α<sin 20α>sin 20α<【答案】C【解析】利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误. α2α【详解】因为为第三象限角，所以， α3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈可得 ， 24234k k ππαππ+<<+()k Z ∈所以是第第一，二象限角， 2α所以，不确定， sin 20α>cos 2α故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数（的单位:天）的Logistic 模型:其中为最大病毒感()I t t ()()0.23531e t K I t --=+K 染数.当时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月()0.95I t K ≥15日为天，以Logistic 模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（ ） 1t =A ．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期; B ．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期; C ．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期; D ．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者. 【答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可. 【详解】由题意知，，0.23(53)0.951et K K --≥+即：， 0.23(53)201e19t --+≤所以， ln19353535313660.230.23t ≥+≈+≈+=因为以2022年12月15日为天，所以天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗1t =66t ≥口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（ ）()()23log 2f x mx x m =-+A B A ．存在实数使得 m R A B ==B ．存在实数使得 m R A B =⊆C ．对任意实数 10,m A B -<<⋂≠∅D ．对任意实数 0,m A B >⋂≠∅【答案】D【分析】设，考虑，，，，，几种情22y mx x m =-+1m >1m =01m <<0m =10m -<<1m ≤-况，分别计算集合和，再对比选项得到答案..A B 【详解】设，当，即时， 22y mx x m =-+2440m ∆=->11m -<<设对应方程的两根为，，不妨取，1x 2x 12x x <当时，，，且； 1m >2440m ∆=-<R A =R B ≠B ≠∅当时，，；1m =()(),11,A =-∞+∞ R B =当时，，，； 01m <<2440m ∆=->()()12,,A x x =-∞+∞ R B =当时，，；0m =(),0A =-∞R B =当时，，，，故；10m -<<2440m ∆=->()12,A x x =max 1y m m =-31,log B m m ⎛⎤⎛⎫=-∞- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦当时，函数无意义.1m ≤-对选项A ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B ==对选项B ：根据以上情况知不存在的情况，错误； R A B =⊆对选项C ：假设任意实数，， 10m -<<A B ⋂≠∅取，解得，则， 119m m -=m =(],2B =-∞-对于，有220mx x m -+=1x =此时应满足，解得， 12x =<-405m -<<易得，错误； m =A B ⋂=∅对选项D ：根据以上情况知对任意实数，正确； 0,m A B >⋂≠∅故选：D【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合∆a A 和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.B三、解答题15．如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点ααx ，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 2,cos 3P α=OP O π2()11,Q x y(1)求的值; tan α(2)求的值. 1y【答案】 (2) 23【分析】（1）确定，计算得到答案.sin 0α>sin α=sin tan cos ααα=（2）设终边对应的角度为，则，，计算得到答案. OQ βπ2βα=+1cos y α=【详解】（1）角为锐角，，，则， αsin 0α>2cos 3α=sin α===sin tan cos ααα==（2）设终边对应的角度为，，OQ βπ,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，π2βα=+1π2sin sin cos 23y βαα⎛⎫==+== ⎪⎝⎭16．集合{为严格增函数}.S =()()(),0,f x f x x y x∈+∞=∣()()2121(0),(0)f x x x f x x x =+>=>(1)直接写出是否属于集合 ()()12,f x f x ;S (2)若.解不等式：()m x S ∈()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅(3)证明：“”的充要条件是“” ()()()()120H x af x bf x ab =+≠()H x S ∈0,0b a ><【答案】(1)不属于集合，属于集合 ()1f x S ()2f x S (2) ()3,1-(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）由，可得函数为增函数，不等式，即为不等式()m x S ∈()m x y x=()()223223e ee e x x xx m m -+⋅<⋅，再根据函数的单调性解不等式即可；()()222332e e e e x xxxm m ++<（3），即函数在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条()H x S ∈()H x y x=件的定义证明即可. 【详解】（1）因为在定义域内为减函数， ()()1110f x y x x x==+>所以不属于集合， ()1f x S 因为在定义域内为增函数， ()()20f x y x x x==>所以属于集合； ()2f x S （2）不等式，()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅即为不等式，()()222332e e e e x xxxm m ++<因为， ()m x S ∈所以函数为增函数， ()m x y x=所以，223e e xx+<所以，解得， 223x x +<31x -<<所以不等式的解集为；()()223223ee ee xxxx m m -+⋅<⋅()3,1-（3），()()()()2120H x af x bf x bx ax a ab =+=++≠则， ()()0H x abx a x x x=++>令， ()()0ag x bx a x x=++>当，则在上递增， ()H x S ∈()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+令，120x x <<则对任意的恒成立，()()210g x g x -≥12,x x ()()2121212112a x x a abx a bx a b x x x x x x -⎛⎫++-++=-- ⎪⎝⎭恒成立，()()211212x x bx x a x x --=≥即恒成立， 120bx x a -≥因为，所以， 0ab ≠0,0a b ≠≠当时，恒成立， 0b >12ax x b ≥因为，所以， 120x x >0ab≤又，所以， 0,0b a >≠a<0当时，恒成立， 0b <12ax x b≤因为没有最大值，所以不恒成立，与题意矛盾， 120x x >12ax x b≤综上所述，当在上递增时，， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+0,0b a ><当时， 0,0b a ><则函数在上都是增函数， ,ay bx y a x==+()0,∞+所以函数在上是增函数， ()()0ag x bx a x x=++>()0,∞+综上所述，“”的充要条件是“”.()H x S ∈0,0b a ><【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
上海曹杨中学数学高一上期末经典练习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12090]若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞4．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+5．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃9．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}11．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-< 12．(0分)[ID ：12044]函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-13．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1214．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值2，最小值1 C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值15．(0分)[ID ：12040]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题16．(0分)[ID ：12227]已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．17．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________18．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.19．(0分)[ID ：12179]已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.20．(0分)[ID ：12174]函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.21．(0分)[ID ：12169]已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.22．(0分)[ID ：12165]已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：12158]对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．24．(0分)[ID ：12192]定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________．25．(0分)[ID ：12173]定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：12306]节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n pn r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）27．(0分)[ID ：12294]已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值； （2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 28．(0分)[ID ：12281]已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.29．(0分)[ID ：12267]已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ）（1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.30．(0分)[ID ：12261]泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D11．C12．C13．B14．D15．D二、填空题16．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函18．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f（x）＝|x﹣2|当或时此时f（x）＝2∵f（4﹣2）＝21．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题22．【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（﹣11）分别讨论a＞0a＜0时f（x）＞g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题23．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力24．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ； ∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8)故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解. 【详解】已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，2112121113111a aa a a ->-⎧⎪∴-<-<∴<<⎨⎪-<-<⎩故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 9．C解析：C【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．D解析：D【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =. 而()2f x ax bx c =++的图象关于2b x a =-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D . 【点睛】 对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.11．C解析：C【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】 ()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数， ()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-<故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．12．C解析：C【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--（），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜，若10x -≤≤ ，则不等式0xfx （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．13．B解析：B【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 14．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．15．D解析：D【解析】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性二、填空题16．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤ 【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤ ；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=≠，则11x t ，所以()1131f t t =--， 所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.18．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭， 所以()F x 的值域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦，当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝解析：02m <<【解析】【分析】【详解】试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>可知{}()min 2f x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由2x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得44x -≤≤+当44x -≤+2x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2|当4x +＞或04x ≤-＜2x -＜，此时f （x ）＝∵f （4﹣2其图象如图所示，02m ＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点故答案为02m ＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.21．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解.【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题. 22．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题 解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．23．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.24．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周 解析：16【解析】【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称；又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16.【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+， 综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题26．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次 【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可； （2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =,所以当1n =时,()0.510015p r r r r +=--⋅, 即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.27．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值；（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值.【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+. （2）由题意得()2log 21x a <+恒成立， ()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤.（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去；2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<， 21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去； 3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m =->， 当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值， min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意； 当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值，min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去； 综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 28．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.（1）1k =（2）30a -≤≤【解析】【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =. 当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数. （2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立 即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立， 因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*） 在R 上任取1x ，2x ，且12x x <， 则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减；所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立，即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立.令()24g x x ax =+-， 因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩ 解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.。
上海市曹杨二中2023届高一上数学期末含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若点1(,)M a b 和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c ，则A.点P 和Q 都不直线l 上B.点P 和Q 都在直线l 上C.点P 直线l 上且Q 不在直线l 上D.点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上2．最小正周期为2π，且在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.y = sin x + cos xB.y = sin x - cos xC.y = sin x cos xD.y = sin cos xx3．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为A.2πB.4πC.2D.44．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为A.(442)π+B.(642)π+C.(842)π+D.(122)π+5．已知函数()3()log 91x f x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（） A.2⎛ ⎝⎭ B.(,0)(1,)-∞⋃+∞C.(0,1)D.(,1)-∞6．函数f (x )=ln(-x )-13x -2的零点所在区间为（ ） A.(-3，-e )B.(-4，-3)C.(-e ，-2)D.(-2，-1)7．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则()U B A ⋂=（） A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}8．设{}{}{}1234512145U A B ===，，，，，，，，，，则U A B ⋃（ ）A.{}1B.{}2C.{}123，，D.{}1245，，， 9．若()4tan 3πα+=-，α是第二象限角，则1sin sin 22παπα=+-⋅（） A.35B.3C.5D.5310．已知集合{}13,5A =,，{}2,,B a b =，若{}1,3A B =，则a b +的值为A.4B.7C.9D.10 11．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（）A.0B.1C.7D.8 12．已知函数()()13,1ln 2,1a x x f x x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A.(],4-∞-B.()4,1-C.[)4,1-D.()0,1二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为______14．函数2()(0)2x f x x x =+>的最小值是________. 15．给出下列四个命题：①函数y ＝2sin(2x －3π)的一条对称轴是x ＝512π； ②函数y ＝tan x 的图象关于点(2π，0)对称； ③正弦函数在第一象限内为增函数；④存在实数α，使sin α＋cos α＝32. 以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).16．若函数()sin(2)f x x θ=+的图象关于直线6x π=-对称，则||θ的最小值是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）当tan 3α=，求2cos 3sin cos ααα-的值； （2）设()()cos sin 2119cos sin 22f παπααππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 18．已知()224f x x x kx =-++ ()1若2k =，求方程()0f x =的解；()2若关于x 的方程()0f x =在区间()0,4上有两个不相等的实根1x 、2x ：①求实数k 的取值范围；②证明：12112x x +< 19．函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将()f x 的图象向右平移12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()1g x a =-在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，求a 的取值范围. 20．已知函数f （x ）2211x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞ （1）求f （f （﹣1））；（2）画出函数的图象并求出函数f （x ）在区间[0，4）上的值域21．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室 印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出，加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理（简称“五项管理”），是深入推进学生健康成长的重要举措．宿州市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行．现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；（2）求这20名学生测试成绩的标准差s ．（结果保留整数）22．已知()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π. （1）求关于x 的不等式()1f x >的解集；（2）求()f x 在[]0,π上的单调区间.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】由题意得：1111a b b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，易得点1,Q b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足1 1b c+= 由方程组得1111b a b c b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，两式相加得11c a +=，即点1,P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在直线:1l x y +=上， 故选B.2、B【解析】选项A 、B 先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项C 先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项D 直接利用正切函数图象的性质去判断即可.【详解】对于选项A ,sin cos y x x =+π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π2π1T ==, 单调递增区间为()πππ2π2π+242k x k k -≤+≤∈Z ，即()3ππ2π2π+44k x k k -≤≤∈Z ， 该函数在3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则选项A 错误； 对于选项B ,sin cos y x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为2π2π1T ==, 单调递增区间为()πππ2π2π+242k x k k -≤-≤∈Z ，即()π3π2π2π+44k x k k -≤≤∈Z ， 该函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项B 正确； 对于选项C ,1sin cos sin 22y x x x ==，最小正周期为2ππ2T ==, 单调递增区间为()ππ2π22π+22k x k k -≤≤∈Z ，即()ππππ+44k x k k -≤≤∈Z ， 该函数在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项C 错误； 对于选项D ,sin tan cos x y x x ==，最小正周期为πT =,在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为单调递增，则选项D 错误； 故选：B .3、C【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ== 故选C点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可 4、D【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为222222+=，∴该几何体的表面积S =π×22+2π×2×2+π×2×22=(12+42)π， 故选D.5、C【解析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10t t ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10t t ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++， 所以90t >，所以'()0g t >，所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)t g t t =++，利用函数的单调性解不等式.6、A【解析】先计算(3)0f ->，()0f e -<，根据函数的零点存在性定理可得函数1()ln()23f x x x =---的零点所在的区间 【详解】函数1()ln()23f x x x =---，0x <时函数是连续函数， (3)ln3120f -=+->，()1203e f e -=+-<， 故有(3)()0f f e --<，根据函数零点存在性定理可得， 函数1()ln()23f x x x =---的零点所在的区间为(3,)e --，故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理的应用，不等式的性质，属于基础题7、B【解析】根据题意和补集的运算可得{4678}U A =，，，，利用交集的概念和运算即可得出结果. 【详解】由题意知，{4678}U A =，，， 所以(){46}U B A =，.故选：B8、C【解析】先由补集的概念得到U B ，再由并集的概念得到结果即可 【详解】根据题意得{}U 23B =，，则{}U 123A B ⋃=，， 故选：C9、C 【解析】由题知43sin ,cos 55αα==-，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案. 【详解】解：因为()4tan tan 3παα+==-，α是第二象限角， 所以43sin ,cos 55αα==-，所以1122531cos sin sin cos cos 122225παπαααα====+-+⎛⎫⋅⋅+- ⎪⎝⎭. 故选：C10、A【解析】可知，或，所以．故选A考点：交集的应用11、D【解析】根据函数的新定义求解即可.【详解】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8.故选：D.12、C【解析】分段函数值域为R ，在x ＝1左侧值域和右侧值域并集为R.【详解】当()1,ln 2x f x x a ≥=-，∴当1≥x 时，()2f x a ≥-，∵()f x 的值域为R ，∴当1x <时，()()13f x a x =-+值域需包含(),2a -∞-， ∴10132a a a ->⎧⎨-+≥-⎩，解得41a -≤<， 故选：C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、6【解析】先由已知求出半径，从而可求出弧长【详解】设扇形所在圆的半径为r ，因为扇形的面积为9，圆心角为2弧度，所以21292r ⨯=，得3r =， 所以该扇形的弧长为236⨯=，故答案为：614、2【解析】直接利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为0x >， 所以22()2222x x f x x x =+≥⋅=， 当且仅当22x x=，即2x =时，取等号， 所以函数2()(0)2x f x x x =+>的最小值为2. 故答案为：2.15、①②【解析】对于①,将x ＝512π代入得55sin 1,6312x πππ⎛⎫-=∴= ⎪⎝⎭是对称轴,命题正确; 对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;对于③, 正弦函数在2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确； 对于④, sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,最大值为2,不正确; 故填①②.16、6π 【解析】根据正弦函数图象的对称性求解．【详解】依题意可知2()62k k ππθπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ， 得5()6k k πθπ=+∈Z ， 所以5||6k πθπ=+， 故当1k =-时，||θ取得最小值6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查三角函数的对称性．正弦函数sin y x =的对称轴方程是,2x k k Z ππ=+∈，对称中心是(,0),k k Z π∈三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）45-；（2【解析】（1）利用商数关系，化弦为切，即可得到结果；（2）利用诱导公式化简，代入3π即可得到结果. 【详解】（1）因为22222cos 3sin cos 13tan cos 3sin cos sin cos tan 1αααααααααα---==++，且tan 3α=， 所以，原式=21334315-⨯=-+ （2）∵()()()cos sin 2119cos sin 22sin sin f tan sin cos παπαααααππαααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,tan 33f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，涉及到正余弦的齐次式（弦化切），诱导公式，属于中档题.18、（1）2x =-（2）()7,2--①，②见解析【解析】()1当k 2=时，分类讨论，去掉绝对值，直接进行求解，即可得到答案()2讨论两个根1x 、2x 的范围，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行转化求解【详解】()1当2k =时，()2242f x x x x =-++， 当2x ≥时，()2224f x x x =+-， 由()22240f x x x =+-=，得220x x +-=，得1x =舍或2x =-； 当2x <时，()24f x x =+，由240x +=得2(x =-舍)；故当2k =时，方程()0f x =的解是2x =- ()2不妨设1204x x <<<，因为()22224,244,02x kx x f x x x kx kx x ⎧+-≥=-++=⎨+<<⎩， 若1x 、[)22,4x ∈，与122x x =-矛盾，若1x 、()20,2x ∈，与4y kx =+是单调函数矛盾，则12024x x <<≤<；则140kx +=…① 222240x kx +-=…② 由①，得：142k x =-<-， 由②，得：(]2222242427,2x k x x x -==-+--； k ∴的取值范围是()7,2--；联立①、②消去k 得：22214240x x x -⋅-=，即212212440x x x x --=， 即2122122x x x x =+，则212112x x x +=， 224x ≤<,222x ∴<，即12112x x +< 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，根据条件判断根的范围，以及利用一元二次方程与一次方程的性质进行转化是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性较强，属于中档试题19、（1）132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）01a <≤或122a +≤< 【解析】（1）根据图像可得函数的周期，从而求得ω，再根据314f ⎛⎫=-⎪⎝⎭可求得ϕ，从而可得函数解析式，再根据余弦函数的单调性借口整体思想即可求出函数的单调增区间； （2）根据平移变换和周期变换可得π()sin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1g x a =-在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，即为1y a =-与πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，令,,244t x t πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则作出函数sin y t =在,24t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的简图，结合图像即可得出答案. 【小问1详解】解：由题图得2π2T ω==，πω∴=，()cos(π)f x x ϕ∴=+， 33πcos 144f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3ππ2π4k ϕ∴+=+，k ∈Z ， π2π4k ϕ∴=+，k ∈Z ， 又0πϕ<<，π4ϕ∴=，π()cos π4f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 令π2ππ2ππ4k x k ≤+≤+，k ∈Z ， 解得132244k x k -≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ； 【小问2详解】解：将()f x 的图象向右平移12个单位长度得到1ππcos πsin π244y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将πsin π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数π()sin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 若()1g x a =-在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，则1y a =-与πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， 令,,244t x t πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则作出函数sin y t =在,24t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的简图，结合图像可得112a ≤-<或110a -<-≤，所以a 的取值范围为01a <≤或122a +≤<.20、（1）9（2）图像见解析；值域为[1，16）【解析】(1)先求出(1)f -的值，然后再求((1))f f -的值.(2)在同一坐标系中分别作出函数22,y x y x =-=的图像，在根据各自的定义域选取相应的图像，然后可根据函数图像得出函数在[0，4）上的值域.【详解】（1）∵f （﹣1）＝3，f （3）＝9，∴f （f （﹣1））＝f （3）＝9（2）图象如下：∵f （0）＝2，f （4）＝16，f （1）＝1，根据数图像，可得函数()f x 在区间[0，4）上值域为[1，16）【点睛】本题考查求分段函数的函数值和作出分段函数的图像，并根据函数图像求函数的值域，属于基础题.21、（1）77 （2）5s ≈【解析】（1）由已知可得甲、乙两组学生的人数分别为12、8，求得总分进而可得平均成绩.（2）方法一：由()2211ni s x x n ==-∑变形得()22211n i i s x nx n ==-∑，设甲组学生的测试成绩分别为123,,x x x ，，12x ，乙组学生的测试成绩分别为131415,,x x x ，，20x ．根据方差公式计算可得()22221212121675x x x +++=⨯+，()222213142082580x x x +++=⨯+．计算求得20人的方差，进而得出标准差.方法二：直接使用权重公式计算即可得出结果.【小问1详解】由题知，甲、乙两组学生的人数分别为12、8，则这20名学生测试成绩的平均数75128087720x ⨯+⨯==，故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77【小问2详解】 方法一：由()2211ni s x x n ==-∑变形得()22211n i i s x nx n ==-∑，设甲组学生的测试成绩分别为123,,x x x ，，12x ，乙组学生的测试成绩分别为131415,,x x x ，，20x 由甲组学生的测试成绩的方差()2222211212112751612s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦，得()22221212121675x x x +++=⨯+ 由乙组学生的测试成绩的方差()2222221314201880258s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦，得()222213142082580x x x +++=⨯+故这20名学生的测试成绩的方差 ()()22222222121213262012020s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦()()222112167582580207720⎡⎤=⨯++⨯+-⨯⎣⎦ 25.6=所以5s =≈（方法二）直接使用权重公式()()2221281675772580772020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 681225.65=+=所以5s =≈.22、（1）++,62x k x k k Z ππππ⎧⎫<<∈⎨⎬⎩⎭（2）单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出ω，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π-的范围，再跟正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 解：因为()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭所以()4cos sin cos cos sin 166f x x x x ππωωω⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅-+12cos 222cos 22sin 2226x x x x x πωωωωω⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由0>ω及()f x 的最小正周期为π，所以222Tπω==，解得1ω=； ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 由()1f x >得1sin 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()5+22+2666k x k k Z πππππ∴<-<∈，解得()++62k x k k Z ππππ<<∈， ∴所求不等式的解集为++,62x k x k k Z ππππ⎧⎫<<∈⎨⎬⎩⎭小问2详解】 解：()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,x π∈，112,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减， 令2662x πππ-≤-≤，解得03x π≤≤；令3112266x πππ≤-≤，解得56x ππ≤≤；令32262x <-<πππ，解得536x <<ππ； 所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5(,)36ππ；。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题．7．函数()()()3log 212xf x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A ．2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量的大小，得到函数值的大小，从而得到结果 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.2．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 3．设方程3|ln |x x -=的两个根1x 、2x ，则（ ） A ．120x x < B ．121=x xC ．121x x >D ．121x x <【答案】D【解析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案. 【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <，所以1201x x <<， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.4．己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+，可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B. 【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题5．方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x =. 【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案. 【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=， 所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x =， 故答案为：18x =. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.6．函数y =________. 【答案】[0,)+∞【解析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞. 【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 7．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x . 【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目. 8．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 9．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.10．若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果. 【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1). 【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.11．己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果. 【详解】 由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数. 【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目. 12．函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[【解析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】 因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减，根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断， 所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[. 【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.13．函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞【解析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 14．关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果. 【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞U ， 则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m 的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 15．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16．已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】3313,4424⎡---+⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎢⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x x f x x x x x x x x x ⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f ==，要使2(46)(4)f a a f a +=，则有以下几种情况： ①246141a a a ⎧+≤⎨≤⎩313313x ---+≤≤； ②22146 2.514 2.5464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a a a a a a ⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a a a ⎧+≥⎨≥⎩，解得34a ≥， ⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =； 所以a 的取值范围为31331313[,[,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U ， 故答案为：31331313[][,)24---+⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭U U .【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.三、解答题17．已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 的解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=，所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--；（2）因为()f x 为奇函数，当0x <时，0x ->， 22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-，且(0)0f =， 所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.18．设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0x x +-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果；（2）将式子1936(5)0x x k k k +-+-=整理得出309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0x x k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x +-=，解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =，（2）由1936(5)0x x k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=， 所以309336x x k =-⋅+， 令3,[0,2]x t x =∈，则[1,9]t ∈， 所以22315933636()24x x t t t -⋅+=-+=-+， 由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154， 当9t =时，2315()24t -+的最大值为60， 所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤， 所以k 的取值范围是1[,8]2. 【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车.（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..【解析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x =⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟， 根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x --≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --+≤≤ 因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟；（3）令29060162030()+=1818x u x t t x x x x-=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯ 303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增， 结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小.【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ；（2）若2()ln 1a f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析【解析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln1a f x x =+属于集合M ，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244x g x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ；（2）由2()ln 1a f x x =+属于集合M ， 可得方程22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解， 即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+综上，实数a 的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>，故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>， 故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.21．对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点；（2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性；（3）当0c =，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】（1）将0c =，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c =，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =-或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+，所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。
2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷1. 若120∘角的终边经过点P(−1,a)，则实数a 的值为______.2. 函数f(x)=√log 2x −1的定义域为______.3. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,14)，则f(x)的单调减区间为______.4. 设a 为常数，集合A ={(x,y)|y =1x 2+1}，集合B ={(x,y)|x =a}，则A ∩B 的元素个数为______.5. 设a 、b 为常数，若关于x 的不等式ax 2−x −3<0的解集为(−1,b)，则b =______.6. 设函数y =x 2+1(x ≥0)的反函数为y =f −1(x).若f −1(a)=2，则a =______.7. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)=2x −1，则函数y =f(x)的值域为______.8. 已知函数y =f(x)满足：对任意非零实数x ，均有f(x +1x )=x 2+1x 2，则f(3)=______. 9. 若sinα−cosαsinα+cosα=12，则sinαcosα+cos 2α=______.10. 已知1<a <3，设函数y =f(x)的表达式为f(x)=x +4x .若存在x 1∈[1,a]，x 2∈[a,3]，使得f(x 1)⋅f(x 2)≥452，则实数a 的最大值为______.11. 若实数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c ≤1，则a +b −c 的最大值为______. 12. 已知a ∈R ，若函数y ={12−x−a,x <1(x −a)(x −2a),x ≥1，恰有两个零点，则a 的取值范围是______.13. 已知α是第四象限的角，则点P(tanα,cosα)在( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 已知非零实数a ，b 满足a >b ，则下列不等式成立的是( ) A. a 2>b 2B. 1a <1bC. a 2b >ab 2D.a b2>b a 215. “北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：天)间的关系为：P =P 0⋅e −kt ，其中P 0表示初始含量，k 为正常数．令μ=|P 2−P 1t 2−t 1|为[t 1,t 2]之间海水稀释效率，其中P 1，P 2分别表示当时间为t 1和t 2时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(0,5],(5,10],(10,15],(15,20]分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高.( )A. Ⅰ期B. Ⅱ期C. Ⅲ期D. Ⅳ期16. 已知函数y =f(x)是区间(−∞,+∞)上的严格减函数，且其零点为x 0，则“x 0>0”是“存在非零实数a ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)对任意x ∈R 成立”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件17. 已知集合A ={x|2xx+2<1}，集合B ={x||x −a|≤2}.(1)当a =−1时，求A ∪B ；(2)若“x ∈B ”是“x ∉A ”的充分条件，求实数a 的取值范围．18. 已知函数y =f(x)的表达式为f(x)=x 2−(x +1)|x −a|.(1)若a =1，求方程f(x)=1的解集；(2)若函数y =f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格减函数，求实数a 的取值范围．19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v 和车流密度x 满足关系式：v ={50−x6,0<x ≤3065−k160−x ,30<x ≤120(k >0).研究表明：当隧道内的车流密度x =120时造成堵塞，此时车流速度v =0. (1)若车流速度v ≥40，求车流密度x 的取值范围；(2)定义隧道内的车流量为y =x ⋅v ，求隧道内的车流量y 的最大值，并指岀当车流量最大时的车流密度x.20. 设a 是大于1的常数，f(x)=a x +m ⋅a −x ，已知函数y =f(x)是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若对任意的实数x ，关于x 的不等式f(−2x 2+x)+f(2x +k)<0均成立，求实数k 的取值范围；(3)证明：关于x 的方程f(x)=1x−a −x 有且仅有一个实数解；设此实数解为x 0，试比较x 0与log a (2−x 0)的大小．21. 已知函数y =f(x)在区间[1,+∞)上有定义，实数a 、b 满足1≤a <b.若y =f(x)在区间(a,b]上不存在最小值，则称函数y =f(x)在区间(a,b]上具有性质P. (1)若函数y =|x −m|在区间(1,2]上具有性质P ，求实数m 的取值范围；(2)已知函数y =f(x)满足f(x +1)=f(x)−1(x ∈R)，且当1<x ≤2时，f(x)=x.试判断函数y =f(x)在区间(1,4]上是否具有性质P ，并说明理由；(3)已知对满足1≤a <b 的任意实数a 、b ，函数y =f(x)在区间(a,b]上均具有性质P ，且对任意正整数n ，当x ∈(n,n +1)时，均有|f(n)−f(x)|+|f(x)−f(n +1)|=|f(n)−f(n +1)|.证明：当x ≥1时，f(2x)>f(x).答案和解析1.【答案】√3【解析】解：由诱导公式得tan120∘=tan(180∘−60∘)=−tan60∘=−√3， 另一方面，由三角函数的定义得tan120∘=a −1=−a =−√3，解得a =√3，故答案为：√3.利用三角函数的定义以及诱导公式求出a 的值．本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题．2.【答案】[2,+∞)【解析】解：由题意得：log 2x ≥1， 解得：x ≥2，∴函数f(x)的定义域是[2,+∞). 故答案为：[2,+∞).解关于对数函数的不等式，求出x 的范围即可．本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．3.【答案】(0,+∞)【解析】解：设幂函数f(x)=x α(α为常数)， ∵图象过点(2,14)，∴14=2α，解得α=−2.∴f(x)=1x2.则f(x)的单调减区间为(0,+∞). 故答案为：(0,+∞).设幂函数f(x)=x α(α为常数)，由图象过点(2,14)，可得14=2α，解得α即可得出． 本题考查了幂函数的定义及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】1【解析】解：∵A ∩B ={(x,y)|{x =a y =1x 2+1}={(a,1a 2+1)}，∴A ∩B 的元素个数为1. 故答案为：1.由交集的定义求出A ∩B ，再确定元素的个数即可．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．5.【答案】32【解析】解：当a =0，不等式ax 2−x −3<0的解集为(−3,+∞)，与题意不符， 当a ≠0，不等式ax 2−x −3<0的解集为(−1,b)，则a >0， ∴x =−1，x =b 为ax 2−x −3=0的根，且b >−1， 所以{−1+b =1a−1⋅b =−3a ，解得a =2,b =32. 故答案为：32.根据条件分a =0和a ≠0两种情况求解即可．本题主要考查一元二次不等式及其应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题．6.【答案】5【解析】解：f(x)=x 2+1，x ≥0，且f −1(a)=2， 所以f(2)=22+1=a ，所以a =5， 故答案为：5.根据反函数的性质即可求解． 本题考查反函数的定义，属于基础题．7.【答案】(−1,1)【解析】解：当x >0时，−x <0，则f(x)=−f(−x)=−(2−x −1)=−2−x +1， 故f(x)={−2−x +1,x >02x −1,x ≤0，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数值域为(−1,1). 故答案为：(−1,1).根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到值域． 本题考查函数的奇偶性以及函数值域，属于基础题．8.【答案】7【解析】解：f(x +1x )=x 2+1x 2， 取x +1x =3，则x 2+1x 2=(x +1x )2−2=7，即f(3)=7. 故答案为：7.根据条件，取x +1x=3，由x 2+1x 2=(x +1x)2−2=7，即可得到答案．本题主要考查函数的值，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】25【解析】解：sinα−cosαsinα+cosα=tanα−1tanα+1=12，解得tanα=3， 所以sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+11+tan 2α=3+110=25.故答案为：25. 根据sinα−cosαsinα+cosα=12得到tanα=3，变换sinαcosα+cos 2α=tanα+11+tan 2α，计算得到答案．本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．10.【答案】9−√174【解析】解：因为存在x 1∈[1,a]，x 2∈[a,3]，使得f(x 1)⋅f(x 2)≥452， 所以只需f(x 1)max ⋅f(x 2)max ≥452. 由对勾函数的性质可知：f(x)=x +4x 在[1,2]上单减，在[2,3]上单增．而f(1)=1+4=5，f(3)=3+43=133，且f(x)=x +4x 在[1,3]上的最小值为f(2)=2+42=4，f(x)=x +4x 在[1,3]上的最大值为f(1)=5，所以f(x)>0恒成立． 所以f(x 1)max =f(1)=5. 设f(m)=m +4m=f(3)，解得：m =43.因为f(1)>f(3)，f(1)⋅f(3)=5×133=653<452， 所以要使f(x 1)⋅f(x 2)≥452成立，只需{f(1)⋅f(a)≥452a ≤43，即{5×(a +a 4)≥452a ≤43解得：a ≤9−√174. 由1<a <3，所以1<a ≤9−√174. 故实数a 的最大值为9−√174. 故答案为：9−√174.先分析出f(x 1)max ⋅f(x 2)max ≥452，由f(1)，f(3)的值可得f(1)⋅f(3)<452，转化为f(1)⋅f(a)≥452，求出实数a 的最大值．本题考查函数的最值问题，属于中档题．11.【答案】12【解析】解：因为(a +b)2=a 2+2ab +b 2≤2(a 2+b 2)， 所以a +b ≤√2(a 2+b 2)，即a +b ≤√2√c ， 所以a +b −c ≤√2√c −c ，因为a 2+b 2=c ≤1，所以0≤c ≤1，所以0≤√c ≤1， 所以a +b −c ≤√2√c −c =−(√c −√22)2+12， 所以当√c =√22时，a +b −c 取得最大值12. 故答案为：12.利用基本不等式得到a +b ≤√2(a 2+b 2)，把a +b −c 转化为a +b −c ≤√2√c −c ，利用二次函数的性质求出最大值．本题主要考查基本不等式及其应用，二次函数的性质，属于基础题．12.【答案】[12,+∞)【解析】解：当a =0时，令y =0，可得{x <112−x =0或{x ≥1(x −0)(x −0)=0，方程均无解，不符合题意；当a ≠0时，令y =0，可得{x <112−x −a =0或{x ≥1(x −a)(x −2a)=0 若0<a <1，由{x <112−x−a =0，解得x =2−1a <1，符合题意．因为函数y =f(x)恰有两个零点，所以{x ≥1(x −a)(x −2a)=0只有一解，所以x =2a ≥1符合题意，此时a ≥12.即12≤a <1. 若a ≤0或a ≥1时，{x <112−x−a =0，无解；要使函数y =f(x)恰有两个零点，则{x ≥1(x −a)(x −2a)=0有两解，所以需2a >a ≥1，解得a ≥1. 综上可得，a 的取值范围是[12,+∞). 故答案为：[12,+∞).令y =0，对两根的来源进行分析，对a 分类讨论，分别求出对应的范围．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：根据题意，α是第四象限角，则tanα<0，cosα>0， 则点P(tanα,cosα)在第二象限， 故选：B.根据题意，由α所在象限可判断三角函数的符号，可得tanα<0，cosα>0，可得答案． 本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：令a =1，b =−2，经检验 A 、B 、C 都不成立，只有D 正确， 故选：D.举特例，令a =1，b =−2，经检验 A 、B 、C 都不成立，只有D 正确，从而得到结论． 本题考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．15.【答案】A【解析】解：由于P =P 0⋅e −kt ，其中P 0表示初始含量，k 为正常数， 令μ=|P 2−P1t 2−t 1|为[t 1,t 2]之间海水稀释效率，可得第Ⅰ期的μ1=|P 0(e −5k −1)5|=P 0(1−e −5k )5； 同理可得第Ⅱ期的μ2=P 0e −5k (1−e −5k )5；第Ⅲ期的μ3=P 0e −10k (1−e −5k )5； 第Ⅳ期的μ4=P 0e −15k (1−e −5k )5，由于k >0，可得0>−5k >−10k >−15k ， 所以1>e −5k >e −10k >e −15k ， 则第Ⅰ期的稀释效率最高． 故选：A.由指数函数的性质和稀释效率的定义，化简整理，比较可得结论．本题考查函数在实际问题中的应用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：由题意，函数y =f(x)是区间(−∞,+∞)上的严格减函数，且零点为x 0，则f(x 0)=0. 先判断必要性：存在非零实数a ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)对任意x ∈R 成立， 因此有f(x 0+a)<f(x 0)+f(a)，即f(x 0+a)<f(a)， 所以x 0+a >a ，即x 0>0.所以“x 0>0”是“存在非零实数a ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)对任意x ∈R 成立”的必要条件． 再判断充分性：由x 0>0，则令a =x 0，则有f(x +a)=f(x +x 0)<f(x)=f(x)+f(x 0)， 故存在非零实数a ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)对任意x ∈R 成立．所以“x 0>0”是“存在非零实数a ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)对任意x ∈R 成立”的充分条件． 综上所述，“x 0>0”是“存在非零实数a ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)对任意x ∈R 成立”的充要条件． 故选：C.根据题意，先判断必要性，再判断充分性即可求解．本题考查函数性质、充分条件与必要条件相关知识，属于基础题．17.【答案】解：(1)A ={x|2xx+2<1}={x|−2<x <2}，B ={x||x −a|≤2}={x|a −2≤x ≤a +2}.当a =−1时，B ={x|−3≤x ≤1}.因为A ={x|−2<x <2}，所以A ∪B ={x|−3≤x <2}. (2)因为A ={x|−2<x <2}，所以出∁U A ={x|x ≤−2或x ≥2}. 因为“x ∈B ”是“x ∉A ”的充分条件， 所以B ⊆∁U A ，所以a +2≤−2或a −2≥2， 解得：a ≤−4或a ≥4.所以实数a 的取值范围为{a|a ≤−4或a ≥4}. 【解析】(1)解出集合A ，B ，进而求A ∪B ；(2)先求出∁U A ，利用集合的包含关系列不等式，即可求解． 本题考查集合的运算，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=x 2−(x +1)|x −a|={(a −1)x +a,x ≥a2x 2−(a −1)x −a,x <a，当a =1，即f(x)={1,x ≥12x 2−1,x <1，故当x ≥1，f(x)=1；当x <1，f(x)=2x 2−1=1⇒x =−1.故所求解集为{−1}∪[1,+∞).(2)∵函数y =f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格减函数，则有{a <1a−12≥a ，解得a ≤−1，故实数a 的取值范围为(−∞,−1].【解析】(1)对x 分类讨论得f(x)的分段函数，再解分段函数方程即可；(2)函数y =f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格减函数，由分段函数为减函数列不等式求解即可． 本题考查函数的单调性等相关知识，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知：当x =120时，v =0，所以0=65−k160−120，解得k=2600，所以v ={50−x6,0<x ≤3065−2600160−x ,30<x ≤120， 当0<x ≤30时，v =50−x 6≥40，解得x ≤60，所以0<x ≤30；当30<x ≤120时，v =65−2600160−x ≥40，解得：x ≤56，所以30<x ≤56， 综上，车流速度v ≥40，车流密度x 的取值范围为(0,56]. (2)由题意可得：y =x ⋅v ={5x −x 26,0<x ≤3065x −2600x160−x ,30<x ≤120， 当0<x ≤30时，y =50x −x 26=−16(x 2−300x)=−16(x −150)2+3750， 由二次函数的性质可知：当x =30时，y 取最大值为1350； 当30<x ≤120时，160−x >0，y =65x −2600x 160−x =65(x −40x 160−x )=65[x +40(x −160)+6400x −160]=65[(x −160)+6400x −160+200]=−65[(160−x)+6400160−x−200]≤−65(2×√(160−x)⋅6400160−x −200)=2600(当且仅当160−x =6400160−x ，即x =80时取等)， 所以当x =80时，y 取最大值为2600，综上可知：y 的最大值为2600，此时车流密度为80.【解析】(1)根据x =120时，v =0求出k 的值，然后分段讨论车流速度v ≥40时车流密度x 的取值，进而得出结论；(2)根据题意得出y 关于x 的函数表达式，根据x 的取值范围讨论车流量y 的最大值，最后进行比较得出结果．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)己知函数f(x)=a x +m ⋅a −x 是奇函数，f(0)=a 0+m ⋅a 0=0，解得m =−1，所以f(x)=a x −a −x (a >1).(2)对任意的实数x ，关于x 的不等式f(−2x 2+x)+f(2x +k)<0均成立， 则f(−2x 2+x)<−f(2x +k)，因为函数y =f(x)是奇函数，所以f(−2x2+x)<−f(2x+k)=f(−2x−k)，因为f(x)=a x−a−x，a>1，所以f(x)=a x−a−x在R上单调递增，所以−2x2+x<−2x−k对任意的实数x恒成立，所以2x2−3x−k>0对任意的实数x恒成立，所以Δ=9+4×2⋅(−k)<0，解得k<−98.即实数k的取值范围为(−∞,−98).(3)设g(x)=1x −f(x)−a−x=1x−a x，因为当x∈(−∞,0)时，g(x)<0，所以g(x)=0在区间(−∞,0)上无实数根，当x∈(0,+∞)时，因为g(1)=1−a<0，g(1a)=a−a1a>0，所以∃x0∈(1a,1)，使得g(x0)=0，又g(x)=1x−a x在(0,+∞)上单调递减，所以g(x)=0存在唯一实数根x0∈(1a,1)；所以方程f(x)=1x−a−x有且仅有一个实数解．因为1x0−a x0=0，所以log a x0+x0=0，又x0+1x0>2，所以2−x0<1x0，所以log a(2−x0)<log a1x0=−log a x0=x0.所以log a(2−x0)<x0.【解析】(1)由y=f(x)是奇函数可得f(0)=a0+m⋅a0=0，即可求出实数m的值；(2)由函数的奇偶性化简抽象不等式，利用单调性可得2x2−3x−k>0对任意的实数x恒成立，即Δ=9+4×2⋅(−k)<0，解不等式即可得出答案．(3)设g(x)=1x −f(x)−a−x=1x−a x，进而得唯一实数根x0∈(1a,1)，使得g(x0)=0，即1x0−a x0=0，故log a x0+x0=0，再结合x0+1x0>2得log a(2−x0)<log a1x0=−log a x0=x0得答案．本题主要考查不等式恒成立问题，函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)y=|x−m|={m−x,x<mx−m,x≥m，当m∈(1,2]时，函数在区间(1,m)上单调递减，在区间(m,2]上单调递增，y=|x−m|存在最小值f(m)；当m>2时，y=|x−m|在区间(1,2]上单调递减，最小值为f(2)；当m≤1时，y=|x−m|在区间(1,2]上单调递增，不存在最小值；所以实数m的取值范围为{m|m≤1}.(2)因为x>1时，f(x+1)=f(x)−1<f(x)，当1<x≤2时，f(x)=x.所以f(x)在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(3,4]上取到．另一方面，由f(x+1)=f(x)−1可得f(x)=f(x−1)−1，故f(x)={x,1<x≤2x−2,2<x≤3x−4,3<x≤4，f(x)在区间(3,4]上单调递增，不存在最小值，所以y=f(x)在区间(1,4]具有性质P.证明：(3)对于任意n∈N∗，当x∈(n,n+1)时，有|f(n)−f(x)|+|f(x)−f(n+1)|=|f(n)−f(n+1)|，所以[f(n)−f(x)][f(x)−f(n+1)]≥0.若f(n+1)≤f(x)≤f(n)成立，f(n)≥f(n+1)，f(x)在区间(n,n+1]上有最小值f(n+1)，所以f(x)在区间(a,b]上有最小值f(b)，不具有性质P，不合题意．所以f(n)<f(n+1)，当x∈(n,n+1]时，f(n)<f(x)≤f(n+1)，故f(x)在区间(a,b]上没有最小值，满足题意．当x=1时，f(2)>f(1)显然成立；当x>1时，则一定存在n∈N∗，使得x∈(n,n+1]时，则2x∈(2n,2n+2],2n≥n+1,∴f(2x)> f(2n)≥f(n+1)≥f(x),即f(2x)>f(x).所以综上所述：当x≥1时，f(2x)>f(x).【解析】(1)分别讨论m与1和2的关系，即可得出f(x)是否存在最小值，从而求出m的取值范围；(2)由题目条件可得出y=f(x)在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(3,4]上取到，找到函数在区间(3,4]上单调性，确定最小值是否存在；(3)首先证明对于任意n∈N∗，f(n)<f(n+1)，当x∈(n,n+1]时，f(n)<f(x)≤f(n+1)，2x∈(2n,2n+2],2n≥n+1,再证得结果．本题主要考查了抽象函数的应用，本题解题关键是：(1)含有绝对值的函数求最值，首先去掉绝对值，转化为分段函数，由每一段的单调性考查最值情况；(2)具有递推关系的函数，需要根据自变量的取值范围进行推理，用已知段的函数变形表示；(3)绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，注意等号成立条件ab≥0，||a|−|b||≤|a+b|等号成立条件ab≤0.第11页，共11页。
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上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知,,a b c ∈R 且0a ≠，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”求得等价条件即可辨析. 【详解】“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”即“240b ac -<且0a >”，所以“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的必要非充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确弄清二次函数的图象与性质. 2．已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式成立的是 ( )A ．xy yz >B ．xy xz >C ．xz yz >D ．x y y z >【答案】B【解析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为,0x y z x y z >>++=，所以0x >，所以xy xz >，故选B【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.3．若函数22y x x =-在区间[,]a b 上的值域是[1,3]-，则点(,)a b 位于图中的（ ）A ．线段AB 或线段AD 上B ．线段AB 或线段CD 上C ．线段AD 或线段BC 上D ．线段AC 或线段BD 上【答案】A【解析】根据二次函数图象，结合值域分析定义域区间端点满足的特征，即可得解.【详解】作出函数22y x x =-的图象，由题在区间[,]a b 上的值域是[1,3]-，所以1,13a b =-≤≤或11,3a b -≤≤=，即点(,)a b 位于图中的线段AB 或线段AD 上.故选：A【点睛】此题考查根据函数值域判断定义域特征，并用平面直角坐标系内的点表示满足条件的有序数对，其关键在于熟练掌握二次函数的图像和性质.4．已知集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，则B 中元素个数的最大值为（ ） A ．10B ．19C ．30D ．39【答案】D【解析】根据()()0a x b y --≤，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.【详解】由题：集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，作如下等价转化：考虑(,)a b ，(,)x y 是平面内的满足题目条件的任意两点，“()()0a x b y --≤”等价于“0a x -=或0b y a x-≤-”， 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线1,1y x ==两条直线上的整数点，共39个， （当然也可考虑直线20,20y x ==两条直线上的整数点，共39个）故选：D【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.二、填空题5．若集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B =U ________【答案】{1,3,5}【解析】根据两个集合的元素直接写出并集即可.【详解】由题：集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B =U {1,3,5}.故答案为：{1,3,5}【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目.6．若函数921()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((3))f f =________【解析】根据分段函数解析式，求出91lo (3)g 3=2f =，再计算((312))f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】由题：函数921()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩， 则91lo (3)g 3=2f =则12((3))212f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据分段函数求函数值，关键在于准确判定自变量取值所在的分段区间，准确代入解析式求解.7．函数12xy =-的单调递增区间为________【答案】(,0]-∞【解析】对函数进行去绝对值分段讨论单调性.【详解】 函数12,010221,1x x x y x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-，根据指数函数单调性可得，函数在(,0]-∞单调递增，在()0,+?单调递减， 所以函数12x y =-的单调递增区间为(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞【点睛】此题考查求函数的单调区间，关键在于根据函数解析式分段讨论，结合基本初等函数的单调性进行判断.8．若命题P 的逆命题为“若1x >，则21x >”，则命题P 的否命题为________【答案】若21x ≤，则1x ≤【解析】根据四个命题之间的基本关系可得一个命题的逆命题与否命题之间的关系是互为逆否命题，即可得解.【详解】命题P 的逆命题与其否命题互为逆否命题，所以若命题P 的逆命题为“若1x >，则21x >”，命题P 的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”.故答案为：若21x ≤，则1x ≤【点睛】此题考查四种命题之间的关系，可以根据逆命题写出原命题再得否命题，或直接根据逆命题与否命题之间的关系得解.9．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________1（0x ≥）【解析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =即得反函数()1fx -.【详解】 设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=± 因为x≥0，所以x =()11fx -=. 因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11fx -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】 本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10．函数1212xx y -=+的值域为 【答案】(1,1)-【解析】分离常数，结合指数函数的值域可得结果.【详解】()1221221122121x x x x x y -++--+++=+= 因为211x +>20221x ∴<<+ 12(1,1)12xxy y -∴-+=∈ 故答案为:(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数的值域以及指数函数的性质，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，则S T +=________（用列举法表示）【答案】{}4,2,1,0,1,2---【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.【详解】由题：对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，各取一个元素,a A b B ∈∈形成有序数对(),a b ，所有可能情况为()()()()()()()()()2,2,2,0,2,1,0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1------，所有情况两个数之和构成的集合为：{}4,2,1,0,1,2---故答案为：{}4,2,1,0,1,2---【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.12．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________【答案】6【解析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解.【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数，(2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =.故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.13．设函数2()1f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是________【答案】(0,1)【解析】结合图象分析出22012,11a b a b <<-=<-<，结合基本不等式求范围，考虑等号成立的条件，即可得解.【详解】由题：函数2()1f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，结合图象分析可得：22012,11a b a b <<-=<-<， 即222a b +=，由基本不等式可得2212a b ab +≤=， 当1a b ==时取等号，但是012a b <<<<01ab <<. 故答案为：(0,1)【点睛】此题考查根据方程的根的个数，求参数取值范围，关键在于对题中所给的等量关系进行等价转化，数形结合，利用基本不等式求解，注意考虑等号成立的条件.14．已知函数1y x =与函数log a y x =（0a >，1a ≠）的图像交于点00(,)P x y ，若02x >，则a 的取值范围是________【答案】4a >【解析】先讨论01a <<不合题意，再结合图象讨论1a >时，函数交点横坐标02x >列不等式组求解.【详解】由题：若01a <<，1x >时，log 0a y x =<，10y x =>，两个函数图象不可能有交点； 所以必有1a >，结合图象，若函数交点横坐标02x >，则1log 212log a a a a ⎧⎪⎨=><⎪⎩，解得：2,4a a >>. 故答案为：4a > 【点睛】此题考查根据函数交点横坐标取值范围，求解参数的取值范围，涉及分类讨论数形结合思想.15．函数()y f x =的定义域为[1,1]-，其图像如图所示，若()y f x =的反函数为1()y f x -=，则不等式111(())(())022f x f x --->的解集为________【答案】3(,1]4【解析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集.【详解】根据函数图象可得()f x 图象经过()()1,0,1,1-，所以[]11(),[1,1],()0,122f x x x f x =+∈-∈， 1122y x =+，得21x y =-， 所以()f x 的反函数[]1()21,0,1f x x x -=-∈不等式111(())(())022f x f x --->，[]0,1x ∈即[]110,22210,1x x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎝⎭--∈⎭， 解得：3(,1]4x ∈故答案为：3(,1]4【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.16．若实数,(0,2)a b ∈且1ab =，则1222a b+--的最小值为________【答案】2 【解析】根据1ab =，1b a=，变形1222a b +=--1212122212a a a a a+=+----()()()1142211123422a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式求解最值. 【详解】实数,(0,2)a b ∈且1ab =，1b a= 则1212122212a a a a a+=+---- 12214221a a a -+=+-- 1142221a a =++-- ()()()1142211123422a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭ ()21142211342212a a a a ⎛⎫--=++++ ⎪--⎝⎭(1313≥++23=+当()214242122a a a a --=--时，即22a =时取得等号，所以1222a b+--的最小值为2.故答案为：2 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于对代数式进行准确变形，构造基本不等式求解，注意考虑最值取得的条件.三、解答题17．已知集合{|||1}A x x a =-<，{|(3)(7)0}B x x x =+-<.（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[2,6]-；（2）(,4][8,)-∞-⋃+∞.【解析】（1）解出(){|||1}1,1A x x a a a =-<=-+根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）结合（1）解出的集合A ，根据集合关系求解参数的取值范围.【详解】（1）解不等式||1x a -<得11a x a -<<+，所以(){|||1}1,1A x x a a a =-<=-+，(){|(3)(7)0}3,7B x x x =+-<=-， 若A B ⊆，则3117a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得：[]2,6a ∈-； （2）若A B =∅I ，13a +≤-或17a -≥，解得：4a ≤-或8a ≥，即(,4][8,)a ∈-∞-⋃+∞.【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，根据集合交集的关系求参数的取值范围，关键在于根据集合特征列不等式组，准确辨析.18．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足: 415t ≤≤，平均每班地铁的载客人数()p t （单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足函数关系：2180015(9)49()1800915t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩， （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔t 的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），则当发车时间间隔t 为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【答案】（1）[4,5]；（2）7t =，最大值为260元.【解析】（1）根据题意即求解不等式()1560p t ≤；（2）根据题意求出6()7920100p t Q t -=-的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.【详解】（1）当915t ≤≤，()1800p t =超过1560，所以不满足题意；当49t ≤<，2()180015(9)p t t =--载客人数不超过1560，即2180015(916)50t --≤，解得5t ≤或13t ≥，由于49t ≤<所以[4,5]t ∈；（2）根据题意6()7920100p t Q t-=-， 则4410901520,492880100,915t t t Q t t⎧⎛⎫-++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≤≤⎪⎩根据基本不等式，44109026301260t t +≥=⨯=，当且仅当441090t t=，即7t =时取得等号，所以441090152012601520260t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭， 即当49t ≤<时，平均利润的最大值为260元，当915t ≤≤时，2880100Q t =-单调递减，2880100220Q t=-≤， 综上所述7t =，最大值为260元.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.19．已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若1a =，证明函数()f x 在区间[1,2]上单调递增.【答案】（1）0a =，偶函数；0a ≠，非奇非偶函数；见解析（2）证明见解析【解析】（1）分类讨论，0a =， 0a ≠，两种情况根据定义分析函数的奇偶性； （2）利用定义法作差证明函数的单调性.【详解】（1）当0a =时，1()f x x=，定义域()(),00,x ∈-∞+∞U ，()1()f x f x x -=-=-恒成立，所以函数为奇函数；当0a ≠时，21()f x ax x =+，定义域()(),00,x ∈-∞+∞U ，21()f x ax x-=-， ()2()2f x f x ax -+=不恒为零，()2()f x f x x--=-不为零，所以函数为非奇非偶函数；综上所述：当0a =时，函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数；（2）若1a =，21()f x x x=+， 任取1212x x ≤<≤，1212121211,01,0,2,x x x x x x x x ><<-<+> ()22121212121212111()()0f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12()()f x f x <，所以函数()f x 在区间[1,2]上单调递增.【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的辨析，利用定义判定函数的单调性和奇偶性，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握基本方法．20．已知函数21()log ()f x a x =+.（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程221()log [(21)31]0f x a x a x---+-=在区间(1,0)-上恰有一个实数解，求a 的取值范围；（3）设0a >，若存在1[,1]2t ∈使得函数()f x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）1(,)(0,)4-∞-+∞U ；（2）11(,)32；（3）1[,)3+∞.【解析】（1）根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；（2）将问题转化为2(21)31x a x a x a --+=-+在区间(1,0)-上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；（3）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【详解】（1）当3a =时，21()log (3)f x x=+，()0f x >， 即21log (3)0x +>，131x+>，120x x +>，与()210x x +>同解， 得1(,)(0,)4x ∈-∞-+∞U ；（2）由题意：关于x 的方程222log [lo (21)31]0g ()x a x a x a ---+-=+在区间(1,0)-上恰有一个实数解，2(21)310x a x a x a --+-=>+，22210x ax a -+-=，()()()1210x x a ---=在区间(1,0)-上恰有一个实数解，即1210a -<-<，解得：102a <<， 且210a a -+>，即13a >， 综上所述：11(,)32a ∈；（3）由题：0a >，1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[],2t t +上单调递减，最大值和最小值的差不超过1，即()()21f t f t -+≤ 2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++ 所以112()2a a t t +≤++即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min 122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可， 考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-， 根据勾型函数性质86y r r =+-在(r ∈单调递减， 所以86y r r=+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦， 116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+- 所以1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题以对数函数为背景，考查解不等式，考查方程的根的问题，考查不等式能成立求参数范围，转化为求函数最值，充分地体现出转化与化归的思想.21．对于定义在D 上的函数()y f x =，若存在实数k 及1b 、2b （12<b b ）使得对于任意x D ∈ 都有12()kx b f x kx b +≤≤+成立，则称函数()y f x =是带状函数；若21b b -存在最小值d ，则称d 为带宽.（1）判断函数10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，请说明理由；（2）求证：函数()g x 1x ≥）是带状函数；（3）求证：函数()11h x a x b x =++-是带状函数的充要条件是0a b +=.【答案】（1）是，带宽为2；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）根据函数关系()11f x -≤≤，即可判定是带状函数；（2）分别证明1x x -≤≤即可得证；（3）处理绝对值，将函数写成分段函数形式，分别证明充分性和必要性.【详解】（1）考虑两条直线，即： ()1,1,11y y f x ==--≤≤，断函数10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 是带状函数，带宽为2； （2）函数()g x =1x ≥）， 当1x ≥时，221x x -≤x ≤x ≤，当1x ≥时，2222,211,211x x x x x -≤--+≤--+≤-，即()2211x x -≤-所以有1x -≤1x ≥所以1x -≤，综上所述1x x -≤，所以函数()g x =1x ≥）是带状函数；（3）函数()(),1()11,11,1a b x a b x h x a x b x a b x a b x a b x ⎧-+-+≤-⎪=++-=+-<<⎨⎪++-≥⎩，充分性：当0a b +=时，,1()0,11,1a b x h x x a b x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，()a b h x a b --≤≤-，存在两条直线,y a b y a b =--=-满足题意，即该函数()h x 为带状函数；必要性：当()(),1(),11,1a b x a b x h x a b x a b x a b x ⎧-+-+≤-⎪=+-<<⎨⎪++-≥⎩为带状函数，则存在12()kx b h x kx b +≤≤+，假设0a b +≠不妨考虑0a b +>，则直线y kx b =+与两条直线()(),y a b x a b y a b x a b =-+-+=++-中至少一条相交，所以不满足12()kx b h x kx b +≤≤+，所以0a b +≠不满足题意.即0a b +=， 综上所述：函数()11h x a x b x =++-是带状函数的充要条件是0a b +=.【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据题目所给条件证明辨析，弄清其间的不等关系，证明充要条件一定不能混淆充分性与必要性的概念.。