实际问题与二次函数第一课时
实际问题与二次函数第一课时练习题
实际问题与二次函数第一课时基础扫描1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是. 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是。
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是，顶点坐标是。
当x= 时，y的最值是。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是。
当x= 时，函数有最值，是。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是.当x= 时，函数有最值，是。
实际问题与二次函数如何获得最大利润问题问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？合作交流问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。
该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？问题3.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。
如何定价才能使利润最大？问题4.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。
如何定价才能使利润最大？练习：某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?1.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
人教版九年级数学上册 (实际问题与二次函数)二次函数新课件(第1课时)
巩固训练
1. 用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩
形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
A.
64 25
m2
B.
4 3
m2
C.
8 3
m2
D. 4 m2
2. 某县在治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如 图，自建房占地是边长为 20 m 的正方形 ABCD，改建的绿地是矩形 AEFG，其中点 E 在 AB 上，点 G 在 AD 的延长线上，且 DG＝2BE. 如果设 BE 的长为 x(单位：m)，绿地 AEFG 的面积为 y(单位：m2)，
那么 y 与 x 的函数解析式为 y＝y＝－－22xx2＋2＋2200xx＋＋440000 ，绿地 AEFG 的 最大面积为 44550 m2.
3. 如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 点以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始 沿 BC 向 C 点以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，B 同时出 发，t 秒后，△ PBQ 的面积 y 与 t 的函数解析式为 y＝y＝(128(8－－22t)tt)t ，当
A. 40 米 C. 20 米
B. 30 米 D. 10 米
2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位： m)与小球的运动时间 t(单位：s)之间的关系式是 h＝30t－ 5t2(0≤t≤6)，其图象如图所示．
(1)小球运动的时间是 33 s 时，小球最高． (2)小球运动中的最大高度是 4455 m.
3. 实际问题的自变量有限制，二次函数可能不会在 顶顶点点处处 取最值，此时要根据 自自变变量量 的范围和抛物线的 增增减减性性 来确定最值．
高效课堂《实际问题与二次函数(第1课时)》公开课教案 (省一等奖)
实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数〔1〕．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小〔大〕值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小〔大〕值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小〔大〕值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．二、新课教学问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h 〔单位：m 〕与小球的运动时间t 〔单位：s 〕之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h 〔单位：m 〕与小球的运动时间t 〔单位：s 〕．然后画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象〔可见教材第49页图〕．根据函数图象，可以观察到当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m ．一般地，当a ＞0〔a ＜0〕，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低〔高〕点，也就是说，当x ＝－a b 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小〔大〕值ab ac 442 ． 探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．具体步骤可见教材第50页．三、稳固练习1．一个矩形的周长是100 cm ，设它的一边长为x cm ，那么它的另一边长为______cm ，假设设面积为s cm 2，那么s 与x 的函数关系式是__________，自变量x 的取值范围是________．当x 等于_____cm 时，s 最大，为_______ cm 2.2．：正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上任意一点，且AE =AF ，假设EC =x ，请写出△AEF 的面积y 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时y 最大．参考答案：1．50－x ，s=x (50－x )，0<x <50，25，6252．y ＝－21x 2＋4x ，当x ＝4时，y 有最大值8． 四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
人教版九年级数学上册：22.3 实际问题与二次函数(1)课件1
（2）此矩形的面积能是200m²吗？若能，00=L（30-L）得 L=10或20.即长、宽为10m、20m.
（3）此矩形的面积能是250m²吗？若能，请求出L的值； 若不能，请说明理由.
答：不能.当S=250时，250=L(30-L),此时 Δ＜0，即L没有实数根，所以不能.
（2）S=-2x²+32x=-2（x²-16x） =-2（x-8）²+128
∴当x=8（m）时，S有最大值，最大值为 128m²
2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房 价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间 每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲. 宾馆需对游客建筑的每个房间每天支出20元的各 种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元.设每个房间的房价每天增加x元（x为10的 正整数倍）.
（1）图中抛物线的顶点在哪里？ （2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最
高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹
的顶点坐标是什么？
探索新知
探究题1 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，
矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化. （1）你能求出S与L之间的函数关系吗？
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数（1）
R·九年级上册
新课导入
问题 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高 度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位： s）之间的关系是h=30t-5t²（0≤t≤6）.小 球运动的时间是多少时，小球最高？小球运 动中的最大高度是多少？
45
3
h=30t-5t²（0≤t≤6）
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日4时16分6秒16:16:067 November 2021
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
《实际问题与二次函数》第1课时示范公开课教学设计【部编新人教版九年级数学上册】
《实际问题与二次函数》教学设计第1课时一、教学目标1.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决面积问题；2.经历运用二次函数的性质解决实际问题的过程，体会“数形结合”的思想；3.通过建立实际问题与二次函数的联系，提高学生数学建模的能力；4.通过用二次函数解决实际生活中的问题，体会函数知识的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.二、教学重难点重点：应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题难点：从实际问题中建立二次函数模型并求出最值三、教学用具电脑、多媒体、课件四、教学过程设计教师展示图片，通过常见的打高尔夫球，球在空中形成的曲线要求球到达的最大高度，喷泉到达的最大高度，引出实际生活与二次函数的联系，并回顾二次函数的最值.问题：还记得如何求二次函数的最值吗？教师带领学生回顾如何求二次函数的最值问题：你能画一个周长为60 cm的矩形吗？思考1：这些矩形的面积一定相等吗？不一定思考2：当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？教师给出完整分析过程，并借助二次函数图象求出最大值.=-x²＋30x，求S的最大值S矩形当x=15时，S最大=-15²+30⨯15=225所以，矩形的最大面积为225 cm².【典型例题】【例】如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形与墙平行的一边长为x m ，则当x 为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？思考：(1)菜园另一边的长= m ，菜园的面积= .(2) x 的取值范围是 . (3) 当x = 时，菜园面积最大，最大面积= .解：菜园的一边长为x m ，则另一边的长 为(30)2x－m ，所以菜园的面积为21(30)3022x S x x x --＝＝＋（0＜x ≤32）所以，当x =30时，菜园的面积最大，最大面积为450 m².1．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm ，则这个直角三角形的最大面积为（ ） A ．25 cm 2B ．50 cm 2C ．100 cm 2D ．不确定2.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD ，则矩形花园ABCD 的最大面积为 .答案：1.B 2.144 m²3．若把一根长为120 cm 的铁丝分成两部分 ，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？解：设将铁丝分成长为x cm ，(120－x ) cm 的两段，并分别围成正方形，则正方形的边长分别为 4x cm ，1204x － cm ． 设它们的面积和为y cm 2，则当x=60时，y 的最小值为450． 所以，它们的面积和最小为450 cm 2．2222120115900(60)45001204488x x x y x x x -⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜()．。
2 实际问题与二次函数(第1课时)PPT课件(人教版)
3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,当a>0时,图象
开口向
,函数有最
值,等
于
;当a<0时,图象开口向
,函
数有最
值,等于
.
学习新知
问题：从地面竖直向上抛出一小球,小球的
高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之 间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的
时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高 度是多少?
1 2
gt
2
(其中g是常数,通常取10 m/s2).若v0=10
m/s,则该物体在运动过程中最高点距地
面 7 m.
解析:把g=10,v0=10代入
s
v0t
1 2
gt 2
，
得s=-5t2+10t=-5(t-1)2+5,它的图象是开口向下的
一条抛物线,所以函数的最大值为5,此时物体离
地面最高,为5+2=7(m).故填7.
分析：可以借助函数图象解决问题,画出函数图 象,视察图象,抛物线的顶点就是抛物线的最高点, 即t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
方法一
视察函数图象得,当 t
b 2a
30 2 (5)
3时，
h有最大值 4ac b2 302 45，
4a
4 (5)
即小球运动的时间是3 s时,小球最高,小球运 动中的最大高度是45 m.
以1 cm/s的速度向点C运动,∴AP=2t cm,AQ=t
cm,S△APQ=t2 cm2,∵0<t≤4,∴△APQ的最大面积是
16 cm2.故选B.
3.在距离地面2 m高的某处把一物体以
实际问题与二次函数第一课时导学案
九年级数学上册《实际问题与二次函数(1)》【学习目标】（1）能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，（2）能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。
【重点难点】重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决实际问题中最大（小）值问题。
难点：如何分析实际问题中的数量关系，从中构建二次函数模型，从而解决实际问题。
【课前准备】学生预习教材P22－23内容。
【教学过程】一．学前准备：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为；当 x= 时y有最大或最小值为。
二、合作探究【活动一】面积问题问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化。
当L是多少时，场地面积S最大？分析：先写出S与L的函数关系式，再求出使S最大的L值。
完成填空：矩形场地的周长是60 cm，一边长为L，则另一边长为 cm，场地的面积为，即S与L的函数关系式为，自变量的取值范围为。
解题如下：这个函数的简图如下：由图象可以看出：①这个函数的图象是抛物线的一部分；②抛物线的顶点是函数的图象的最高点，当L取顶点的横坐标时，S最大值为顶点的纵坐标。
即当L= 时S最大= 。
【活动二】利润问题问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[议一议] 涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？（1）在涨价的情况下，最大利润是多少？设商品每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化。
①每星期的销售量为件；②所获利润是元；③所获得利润为y与x的函数关系为：；④自变量x的取什范围是；⑤如何求最大值？。
解题如下：因此，当x＝时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元。
（2）在降价的情况下，最大利润又是多少呢？（我们用类似的方法进行分析）设每件降价a元，所获利润为b元，解题如下：因此，当a＝时，b最大，也就是说，在降价的情况下，降价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元。
《实际问题与二次函数》第一课时最值问题教案 教案
人教版数学九年级上22.3.1第一课时教学设计坐标是 .当x= 时，函数有最_______ 值，是 .讲授新课二、探究新知问题1: 体育课上，同学们都在准备体育测试。
小明从地面竖直向上抛出一个小球，铅球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是2305h t t =-（06t ≤≤）。
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动1：教师提出问题，学生尝试回答。
（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？教师追问：如何求出球的最大高度呢？小组内探究分析：画出2305h t t =-（06t ≤≤）的图象，借助函数图象解决实际问题：学生通过思考，循序渐进找到解答问题的突破口，从而学会运用二次函数解决实际问题。
学生分组分析讨论，并回答问题。
结合学生生活创设情境，引导学生思考实际问题。
通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。
()230506h t t t=-≤≤从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最值。
解：当= = 时，h有最大值244ac ba-= .∴小球运动的时间是时，小球运动到最大高度是.活动2：探究归纳如何求出二次函数y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？一般地，当a＞0（a____）时，抛物线_____(a≠0)的顶点是最低____( )点，也就是说，当x=（）时，y有最____（）值是_____。
巩固练习：教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x，由此可知铅球推出的距离是（）A．10m B．3m C．4m D．2m或10m 让学生自主探究归纳，得出求二次函数的最小（大）值的结论。
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数教案 新人教版
y (60 x)(300 10x) 40(300 10x)
其中， 0 x 30 ．
时，y 最大．在涨价情况下， 决， 并对解决方法进行反 元时，利润最大， 思，获得解决问题的经 验，感受数学的价值．
元，即定价 元．
最大利润是 教师关注：
（1）二次函数是生活中实际问题的 一种数学模型，可以解决现实问题； （2）通过数学模型的使用，感受数 学的应用价值． 问题与情境 师生行为 设计意图
26.3 实际问题与二次函数（第 3 课时） 教学任务分析 知识技能 数学思考 教 学 目 标 情感态度 1．通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情． 2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神． 解决问题 1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维． 2．在转化、建模中，学会合作、交流. 生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用． 在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
（4）变量 x 的范围如何确定？ （5）如何求解最值？ 教师关注： （1）学生能否用函数的观点来认识问 题； （2）学生能否建立函数模型； （3）学生能否找到两个变量之间 的关系； 2．解决问题 解：设每件涨价 x 元． 由题意得： （4）学生能否从利润问题中体会到函 数模型对解决实际问题的价值． 师生共同得到： 当x = 涨价 通过实际问题的解
x 在某一个范围如何求解最值．
[活动 2] 展示问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调 查反映：如果调整价格，每涨价 1 元， 每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件；已知 商品的进价为每件 40 元， 如何定价 才能使利润最大？ 教师展示并提出问题； 学生自主分析，得出结论： （1）利润随着价格的变化而变化； （2）利润＝销售额－进货额 销售额＝销售单价×销售量 进货额＝进货单价×进货量 教师关注： （1）学生对商品利润问题的理解； （2）学生对两个变量的理解． 问题与情境 [活动 3] 1．分析问题 （1）研究涨价的情况； （2）如何确定函数关系式？ （3）变量 x 有范围要求吗？ 师生共同分析： （1）销售额为多少？ （2）进货额为多少？ （3）利润 y 与每件涨价 x 元的函数关系 式是什么？ 通过对实际问题的 分析， 把问题转化为二次 函数求最值问题， 让学生 体会数学建模思想． 师生行为 设计意图 商品价格上涨， 销售 量会随之下降； 商品价格 下降，销售量会随之增 加． 这两种情况都会引起 利润的变化． 激发学生探 究的兴趣．
公开课《22.3实际问题与二次函数完整》1精ppt课件
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11
7．布置作业
• 教科书
• ．
第52页 第4题 第57页 第7题
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12
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题的 数学模型，能指导我们解决生活 中的实际问题，同学们，认真学 习数学吧，因为数学来源于生活 ，更能优化我们的生活。
河南省夏邑县县直一中九八班
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2014.10.11
球最高？小球运动中的最大高度是多少？ t2ba2 （ 305） 3， h4ac 4a b24 （ 30 25） 45．
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m．
3．类比引入，探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？
欢迎各位领导和老师 莅临九八班听课指导
县直一中 马春兰
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1
同学们，今天就让我们一 起去体会生活中的数学给
我们带来的乐趣吧！
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2
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（第一课时） 3
1．创设情境，引出问题
如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当
解： S（60l）l ， 2
整理后得 Sl23l（00＜l＜30）．
∴ 当 l2ba2（301）15时， S 有最大值为 4acb2 225．
4a 当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
4．归纳探究，总结方法
1．一般地，由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最
人教版九年级数学上册教案：22.3 实际问题与二次函数(第1课时)
22. 3实际问题与二次函数(2课时)第1课时用二次函数解决利润等代数问题教学目标知识技能能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．数学思考与问题解决1．能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活．2．体验由文字语言到数学语言的过程，培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力．3．利用二次函数的图象性质解决实际问题，体会数形结合的思想．情感态度通过实际问题与二次函数的联系，体验二次函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，培养用数学知识解决实际问题的意识和学有所用的成就感，了解数学对促进社会进步和发展所起的作用．重点难点重点：把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点：1.读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．教学设计一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a>0时，图象开口向________，当a<0时，图象开口向________．3．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动一：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？设计意图：通过举现实生活中的例子让学生直观地认识到生活中的最大值应在抛物线的最高点取得，深入浅出地揭示了抛物线的顶点坐标与二次函数的最值之间的关系．活动二：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件，所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件，所以y＝________，何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润：教师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动三：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润ω与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？(答案：(1)y＝－x＋180；(2)ω＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，ω最大为1 600元．)设计意图：延续前面的利润问题，适当进行变化，与一次函数相联系，让学生能够解决简单的综合性问题．三、课堂小结与作业布置小结：通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业：教材第51～52页习题22.3第1～3题，第8题．拓展：1.某旅游度假村修建有30个房间供旅客住宿，据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天时，就会有一个房间空置．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天·间(没住宿的不支出)．房价每天定为多少时，度假村的利润最大？2．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示. 销售量p(件) p ＝50－x销售单价q(元)当1≤x ≤20时，q ＝30＋12x ； 当21≤x ≤40时，q ＝20＋525x (1)第几天该商品的销售单价为35元？(2)求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式：(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？(答案：1.房价每天定为115元时，度假村的利润最大，为1 805元；2.(1)10或35；(2)y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋15x ＋500（1≤x ≤20），26 250x －525（21≤x ≤40）；(3)第21天获得的利润最大，为725元．) 板书设计用二次函数解决利润等代数问题当a>0(a<0)时，x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值4ac －b 24a. 活动二的解答过程活动三的过程及小结课堂小结作业布置。
22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。
22.3 实际问题与二次函数 第一课时
第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第一课时教学目标1、知识与技能：能根据实际问题构建二次函数模型，能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最值问题。
2、过程与方法：通过对”矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。
3、情感态度价值观：体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。
教学重难点1、重点：用二次函数做最值来解决实际应用问题。
2、难点：将实际问题转化为实际问题，并用二次函数性质进行决策。
教学步骤一、情境引入1、二次函数y=－x2＋2x－3， y=2x2-8x+5分别有最大值还是最小值？当x为何值时， y的值最小（大）？请学生回答。
2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S 最大？(1)如何解决这个问题？（2）由这个问题的解决你有什么收获？学生思考，相互交流解决问题的思路。
二、探究新知1、解决问题学生交流后汇报。
教师参与学生的讨论，并关注:(1)是否发现两变量；(2)是否发现矩形的长的取值范围；（3）是否能准确的建立函数关系；(4)是否能利用已学的函数知识求出最大面积；(5)是否能准确的探究出自变量的取值范围。
师生共同归纳后得到下列结论：（1）这类问题一般的步骤:列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；然后在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
（2）二次函数y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当X= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 .（3）二次函数是现实生活中的模型,可以用来解决实际问题；2、探究销售问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了？教师展示问题,学生先独立思考，然后分组讨论,如何利用函数模型解决问题。
实际问题与二次函数第一课时
E
F
解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x 从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x
∵AB≤10
∴6.25≤x
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口向下。
∴当x≥4.25时，S随x的增大而减小，
故当x=6.25时，S取最大值56.25
D A H E
G
3．类比引入，探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？ 60 l ， 解： S （ l） 2 整理后得 S l 2 30l（0＜l＜30）．
b 30 ∴ 当l 15 时， 2a 2 （1） 4ac b 2 225 ． S 有最大值为 4a 当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
5．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙 （墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿 化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如 下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m 2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系 A B 式，并写出自变量 x 的取值范围. （2）当 x 为何值时，满足条件 25 m 的绿化带的面积最大？ C D
A B
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
一养鸡专业户计划用 116m长的篱笆围成如图所 示的三间长方形鸡舍，门 MN宽2m，门PQ和RS的宽都 是1m，怎样设计才能使围 成的鸡舍面积最大？
变式：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米
的围墙，为了充分利用空间，小明的爸爸准备靠墙修建一 个矩形养鸡场，他买回了32米长的篱笆准备作为养鸡 场的围栏，为了喂鸡方便，准备在养鸡场的中间再围出 一条宽为一米的通道及在左右养鸡场各放一个1米宽的门 （其它材料）。养鸡场的宽AD究竟应为多少米才能使养鸡 场的面积最大？
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⑴ y=－x2＋2x－3;
⑵ y=－x2＋4x
y
2、图中所示的二次函数图像的解析式
为：y 2x2 8x 13
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值
分别为（ 55 ）、（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小
值分别为（ 55 ）、（ 13）。
求函数的最值问题，应注意什么?
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商
品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖 件10，x实际卖出 (300件-1,0销x)额 为 (60+x)(300-1元0x，) 买进商品需付 40(300元-1因0x此) ，
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实
函数为 y ax2
0
由抛物线经过点（－2，2），
x
可得 a 1
2
(-2,-2)
(2,-2)
所以，这条抛物线的二次函数
●
●
为：
y 1 x2 2
当水面下降1m时，水面的纵
抛物线形拱桥，当水面在 l时， 坐标为 y 3
拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 面下降1m，水面宽度增加多少？
当 y 3 时，x 6
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 60 x300 18x 40300 18x
18 x2 60 x 6000 (0≤x≤20)
当答x：定 2价ba 为 535时8 1，y元最大 时，利18润 最53 大2 ，60最大53 利6润00为0 66005500元 3
9
0
4
8
x
当x 8时，y 20 9
如图，建立平面 直角坐标系， 点（4，4）是图中这段抛物 线的顶点，因此可设这段抛 物线对应的函数为：
y ax 42 4 (0≤x≤8)
抛物线经过点 0，20
20
9
a0 42 4
9
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
若假设出手的角度和力度都不变, 探究 则如何才能使此球命中?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
所得利润为
y=(60+x)(300-10x)-40(300元-10x)
即 y 10 x2 1000 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100
5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
6y
4
0,
20 9
2
（4，4） （5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
用抛物线的知识解决运动场上或者生活 中的一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
寄语
生活是数学的源泉， 探索是数学的生命线.
作业
P28:2、3、4
y
解：设这条抛物线表示的二次
6
4
2
0
x
-4 -2
2
y
9
8 7 6 5 4 3 2
1
32 1 0 1 2 3 4 5 1 2
将抛物线y 1 x2 2
向右平移4个单位后， 再向下平移4个单位， 会得到哪条抛物线？
y 1 (x 4)2 4
x2
同学们，今天就让我们一 起去体会生活中的数学给
我们带来的乐趣吧！
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
y
（4，4）
20 9
a 1 9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？