高中数学 第三章 二倍角例题讲解素材 北师大版必修4(1)

二倍角例题讲解

两角和与差的三角函数以及由它们推出的倍角公式是平面三角学的重要内容，这部分内容是同角三角函数关系及诱导公式的发展，是三角变换的基础．它揭示了复角三角函数与单角三角函数间的相互关系和内在联系．是研究复角三角函数的性质和应用三角函数知识解决有关问题的有力工具．

三角变换涉及范围很广，包括求值、化简、恒等证明、三角形形状的判定、三角不等式的证明，三角数列求和、三角方程求解等等．虽然门类繁多，但从基本思想看，三角变换主要有以下几方面内容：

1．化多种三角函数为单一的三角函数．

2．化复角三角函数为单角的三角函数．

3．化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．

抓住这些基本点就可以很好地理解“倍角公式”在三角函数教学中的地位．使我们在教学的各个环节中，对学生进行有意识地启发诱导．在教知识，教方法的同时，发展学生的逻辑思维能力．

倍角公式：αααcos sin 22sin ⋅=，

ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-，

α

αα2tan 1tan 22tan -=， 揭示了三角变换中单角的三角函数与倍角的三角函数之间的关系．我们知道，把一个三角函数式等价地变成需要的形式，这就是三角变换．三角变换中利用倍角公式，可以对函数的结构作适当地调整．

例．已知：πθ<<0，求证：θθ

cot 12cot +≥．

分析：求证的式中有单角，有半角，我们可以从“变角”入手．

2cot 21

2cot 12cot )cot 1(2cot 2θθθθθ---=+-＝2

cot 2)12(cot 2θθ

-． πθ<<0 ，∴220πθ<<，02cot >θ，0)12

(cot 2≥-θ． ∴0)cot 1(2cot ≥+-θθ，即θθcot 12cot +≥．

这里注意倍角公式的使用．

我们在解决三角问题时．“已知”与“求证”“求解”之间存在着“差异”．这些“差异”无非是角的差异，函数名称的差异和运算结构的差异．一般来说，角的差异主要靠几个三角变换的公式（包括倍角公式）来消除，函数名称的差异主要靠同角的三角函数关系来消除，运算结构的差异则要通过代数变换来消除．因此，化“多”角为同角，化“复”角为单角，化同角“异名”为同角“同名”就是我们在解三角函数问题的中常常遵循的一条原则．而倍角公式正是我们实施转化思想的一个桥梁．它从βα+S ，βα+C 而来，又可推出2

22,,αααT C S ．因此在教师的教学中，要分析使用倍角公式解题的规律和方法．