SEC4_信号与系统的频域分析
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信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
系统的频域分析
X i (s) X o (s)
10 GK ( s) s 1
X o (s)
xoss (t ) ?
10 10 GB ( s) s 1 10 s 11 1 s 1 10 GB ( j ) 11 j
A( )
10 10 11 j 121 2
( ) 10 11 j
=0 arctan
11
arctan
11
xoss (t ) A( ) sin(t 30 ( )) 10
2
121 10 1 sin(t 30 arctan ) 11 121 1
sin(t 30 arctan
) 11
频率特性的物理意义
T 1 T
2
如若输入位移是正弦函数，即x(t)=x0sint，根 据式（4-8），其输出位移应为
y( t ) x0 A( )sin t ( ) x0 1 T
2
sin t arctan T
（4-19）
频率特性G(j)的物理意义
本例用定义法求频率特性。直观，但较繁琐。 寻找新的求解频率特性的方法：
X O ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) X I ( s ) am s m am 1 s m 1 a1 s a0
当输入为一正弦波，即 xi ( t ) X i sin t X i X I ( s) 2 2 s
(3) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有 储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量 或电容、电感这些储能元件，它们在能量交 换时，对不同频率的信号使系统显示出不同 的特性。
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
8
4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图
29
这就是任一周期信号傅里叶变换的计算公式。 该式说明，周期信号的傅里叶变换即频谱密度由无 穷多个冲激构成，各冲激函数位于基波频率的整数 倍位置，强度为周期信号幅度谱|Fn|的 2π 倍。因 此，对一般的周期信号，可以先求出其傅里叶系数 ，再按上式求得其傅里叶变换。
第4章 连续信号的频域分析
信号和系统时域分析方法的基本思想是将任 意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对 LTI 系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷 积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响 应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可 以分解为一系列正交函数的线性组合。
1
4.1 周期信号的傅里叶级数 所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构 成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可 以用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的 线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为 这些正交函数的加权和。
信号与系统 第4章 信号复频域分析
些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析
受到限制；
f t d t
•在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷
积分求解困难。
1 f (t ) 2
F ωe j t d ω F 1 f (t )
4 信号的复频域分析
第4章 信号与系统的复频域分析
全s域平面收敛
st0
L t t0 t t0 e d t e
4 信号的复频域分析
t n ut 5．
L t t n e std t
n 0
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) N ( s) F ( s) k k ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) D( s )
k ; z j , j 1, 2, , M ; pi i 1, 2, 3, , N .
3.正弦型信号
s L[cos(0t )u (t )] 2 > 2 s 0
0 L[sin(0t )u (t )] 2 > 2 s 0
4.单位冲激信号
L t t e std t 1
0
st 0
e
α t st
e dt
1 αs
σ > α
L[e L[e
- j0 t
1 ] （ > s +j0 ] > s -（ 0 +j0） 1
（ 0 +j0）t
信号与系统PPT教学课件-第4章 信号的频域分析(一)
x(t)
a0 2
n1
An
cos n0t
n
其中 An an2 bn2 n arctan bn an
a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
12
4.1.1 周期信号的Fourier级数表示
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号 ~x(t) ~x(t) ~x (t)
2. 掌握连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离 散非周期信号的频域分析方法，从数学概念、物理概念及 工程概念理解信号时域与频域的关系。
3. 掌握常见连续时间信号的频谱，以及傅里叶变换的基本性 质、物理含义及应用。
4. 深刻理解和灵活应用时域抽样定理和频域抽样定理。 5. 能够利用MATLAB进行信号的频域分析。
~x (t) 不连续时，|Cn|按1/n 的速度衰减 ~x (t)连续而其一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减
29
4.1.2 周期信号的频谱
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号
的有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
A
t
T0 T0 / 2 0
T0 / 2 T0
an
2 T0
T0 T0
2 2
x(t)
cos(n0t)dt
4 T0
T0 0
2
x(t) cos(n0t)dt
bn
2 T0
T0 T0
2 2
x(t) sin(n0t)dt
0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中
信号与系统的频域分析
三、Ｆourier级数系数的对称性质：
• 1、偶函数：f(t) ＝f(－t)
4 a n f t cos(n1 t )dt T bn 0 an 2 Fn f t cos(n1 t )dt 2 T
T 2 0
T 2 0
2、奇函数：f(t) ＝－f(－t)
an 0 4 b n f t sin(n1 t )dt T T jb n 2 2 Fn j f t sin(n1 t )dt 2 T 0
xt g t dt 0
i
• （i为任意正整数），则此函数集称为完备正 交函数集。
四、信号的分解
Y
• A=c1x+c2y+c3z • X,y,z,为单位向量 若{ ri(t) }为n维正 交函数集
y x
z Z
A
X
.f(t)=c1.r1(t)+ c2.r2(t)+ c3.r3(t)+…..+ cn.rn(t)
§３－１
信号的正交分解
f1 t cf 2 t
• 一、正交函数：
若
t1 , t 2
•确定使方均误差最小的系数C：
2 t2 1 2 t t1 f1 t cf 2 t dt t 2 t1 2 t2 d2 d 1 t1 f1 t cf 2 t dt dc dc t 2 t 1
二、奇异信号：
1. t 1
重要推论：
•
２、常数１
e
j xy
dy 2 x
1 2
３、符号函数：（sign function）
1 t 0 sgnt 1 t 0 2 j F 0 0 0
信号与系统4New [兼容模式]
![信号与系统4New [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/39979a1ea8114431b90dd89a.png)
3 奇半波对称
f t
1
T
T f (t ) f (t ) 2
a0 an bn 0 T 42 an f (t ) cos( (n0t ) dt T 0 T 42 bn f (t ) sin(n0t ) dt T 0
4
2011-11-08
t 1T t1 cos m1t sinn1tdt 0
m, n 为任意整数
mn
t 1 T t 1 T cos m t cos n tdt 1 1 t 1 t 1 sin m 1 t sin n 1 tdt 0
t 1T t 1T 2 T 2 cos n tdt 1 t1 t1 sin n1tdt 2
f (t )
C g (t )
i i i 1
n
三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集 1、三角函数集： 角 数集
1, cos 1 t , cos
2 1 t , cos n 1 t , , sin 1 t , sin 2 1 t , sin n 1 t ,
t 1T
t 1T
t1
f ( t ) sin n 1 tdt
t1
5
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2.复指数函数集：e jn 1 t
（其中 n 0, 1, 2 )
t 1 T t1
e
jm 1 t
e
jn 1 t
dt
0
m n
t 1 T t1
e
2
2
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发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传 导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理 奠定了傅里叶级数的理论基础 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔 的前景。 的前景 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
信号与系统—信号的频域分析
(3)信号的有效带宽
• 0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信
号的有效频带宽度,即
B
2
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。
即 越大，其ωB越小；反之， 越小，其ωB越大
物理意义：若信号丢失。有效带宽以外的谐波成分，
不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
3. 三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有
Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
Cne jn0t
n
n1
C0
Cne jn0t Cne jn0t
n1
C0 2 Re( Cne jn0t )
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
1.2
1 N=5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f2 (t)
1
t
f2 (t) 0.5
n1
Sa ( n ) cos(nt )
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
第12讲 信号的频域分析04
F ( j ) = A Sa (
2
)
应用频移特性可得
F [ f ( t ) cos 0 t ] =
A 2
第12讲 信号的频域分析04 p 15
1 2
F [ j( 0 )] +
1 2
F [ j( + 0 )]
=
{Sa
( 0 ) 2
+ Sa
( + 0 ) 2
F [ f (t )e
1 2
j 0 t
]
1 2
F [ j( 0 )] +
F [ j( + 0 )]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
同理
F [ f ( t ) sin 0 t ] =
1 2j
F [ f (t )e
若 f 1 ( t ) F1 ( j )；
F
F
f 2 ( t ) F 2 ( j )，
F
则 af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) aF 1 ( j ) + bF 2 ( j )
其中a和b均为常数。
第12讲 信号的频域分析04 p 4
2. 共轭对称特性
= F1 ( j ) F 2 ( j )
第12讲 信号的频域分析04 p 23
j j t j t
dt
d t ]d
d
例5 求如图所示信号的频谱。
解：
f (t ) = p 2 (t ) * p 2 (t )
p 2 ( t ) 2Sa ( )
第12讲 信号的频域分析04 p 12
2
)
应用频移特性可得
F [ f ( t ) cos 0 t ] =
A 2
第12讲 信号的频域分析04 p 15
1 2
F [ j( 0 )] +
1 2
F [ j( + 0 )]
=
{Sa
( 0 ) 2
+ Sa
( + 0 ) 2
F [ f (t )e
1 2
j 0 t
]
1 2
F [ j( 0 )] +
F [ j( + 0 )]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
同理
F [ f ( t ) sin 0 t ] =
1 2j
F [ f (t )e
若 f 1 ( t ) F1 ( j )；
F
F
f 2 ( t ) F 2 ( j )，
F
则 af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) aF 1 ( j ) + bF 2 ( j )
其中a和b均为常数。
第12讲 信号的频域分析04 p 4
2. 共轭对称特性
= F1 ( j ) F 2 ( j )
第12讲 信号的频域分析04 p 23
j j t j t
dt
d t ]d
d
例5 求如图所示信号的频谱。
解：
f (t ) = p 2 (t ) * p 2 (t )
p 2 ( t ) 2Sa ( )
第12讲 信号的频域分析04 p 12
第三章 信号与系统的频域分析
余弦形式的傅氏级数
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
《信号与系统》第4章 连续系统的复频域分析 PPT课件
eat (t)estdt
例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。
j
j
j
－ o
－ o
o
(a)
(b)
(c)
图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域
4.1.3 单边拉普拉斯变换
信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为
与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足
f (t) etdt 0
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的 收敛域。因为f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉 普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯 变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边区域，可表示为
f (t) F (s), f1(t) f (at b) (at b),
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解 因为
5. 时域卷积
证 根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，则
例 4.2-6 已知图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号fτ(t)的关系为f(t)=fτ(t)*fτ(t)， 求f(t)的单边拉氏变换。
0
1
t
(b)
f ′(t)
(2 )
1
0
t
(－ 1)
(c)
图 4.2-3 例 4.2-9 图
方法二 f(0-)=-1，f(t)的一阶导数为
信号与系统——频域分析
k 1
信号与系统分析（第2版）电子教案
15
3.1 信号的能量与功率
2. 信号的正交分解
② 常见的完备正交函数系
三角函数系：
cos 0t , cos 20t ,, cos k0t ,, sin 0t ,
在时间区间 (t 0 , t 0 T ) T
称 k (t )为正交基底函数。
如果在正交函数集{1 (t ),2 (t ),n (t )}之外不存在函数 (t ) 满足等式：
t2
t1
(t )i (t )dt 0 (i 1, 2,, n)
则此函数称为完备正交函数 使用构成完备正交函数系的规范正交基底函数可以精确地表示 信号 xt 。 x(t ) C k k (t )1. 能量信号与功率信号
1.能量信号与功率信号
任何信号通过系统时都伴随着一定能量或功率的传输， 表明信号具有能量或功率特性。 将信号 x(t ) 施加于 1Ω 电阻上，它所消耗的瞬时功率为 x(t )， 则定义： 信号的能量 W
2
x(t ) dt
2
1 信号的功率 P T
T 0
2
①、正交矢量——相互垂直的两个矢量
两个矢量A1和 A2，若想用C12A2近似A1，有
C12 A2
A1 Ae
A2
A1
A1 C12 A2 Ae
A1 A2 A1 A2 cos
A1 A2 A1 cos C12 A2 A2
Ae
A2
C12 A2
A1
Ae
A2
误差矢量 最小的几 C A1 A2 A1 A2 12 2 何解 A2 A2 A2 两矢量互相垂直时有
第三章信号和系统的频域分析PPT课件
2he (n) n 0
h(n) (n) (n 1)
H (e jw ) 1 e jw
时域离散信号的Z变换
一、 Z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
n
其中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 n在
±∞之间求和，称为双边Z变换
若 n：0→∞之间求和
即
X (z) x(n)zn
即 x(n) xe (n) xo (n)
x*(n) xe*(n) xo*(n)
其中：
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xe (n) xo (n)
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
⑷、同样，一个序列x(n)的傅立叶变换X (e j ) 也可分解为
共轭对称部分X e (e j ) 与共轭反对称部分X o (e j ) 。
2
N 1
X (k) (
2
k
2 r)
N k0
N
LTI系统的频域分析
一、连续系统的频率响应H(j)
f t
T (h t )
y t
系统的响应 y t f (t) * h(t)
Y ( j) F ( j)H ( j)
其中 Y ( j)、F ( j)、H ( j) 分别是 y t 、f (t)、h(t)
2
X(ej ) 特点： 1) X(ej )是连续的 2) X(ej )是周期为2的周期函数
二、离散周期信号——离散傅立叶级数
一个离散周期序列 x(n)，其周期为N，可展开成
傅里叶级数，其傅立叶级数的系数为X (k)
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
第3章连续信号与系统的频域分析精品PPT课件
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但 运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶 级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
A 0A n[e j(n tn)ej(n tn)]
2 n12
A 2 01 2n 1A nejnej n t1 2n 1A ne jne j n t
上述三个条件称为狄里赫利条件。
3.2 周期信号的傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当 满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三 角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
f(t)a 2 0n 1anco n s t) (n 1b nsin n t)(
§ 3 连续信号与系 统的频域分析
§ 3.1 引 言
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号 yf (t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号e jωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域 分析。
35
n
二、波形的对称性与谐波特性
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn (t)dt
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
A 0A n[e j(n tn)ej(n tn)]
2 n12
A 2 01 2n 1A nejnej n t1 2n 1A ne jne j n t
上述三个条件称为狄里赫利条件。
3.2 周期信号的傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当 满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三 角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
f(t)a 2 0n 1anco n s t) (n 1b nsin n t)(
§ 3 连续信号与系 统的频域分析
§ 3.1 引 言
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号 yf (t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号e jωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域 分析。
35
n
二、波形的对称性与谐波特性
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn (t)dt
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，
信号与系统的频域分析
信号与系统的频域分析信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。
频域分析是指将信号在频域上进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的频率成分和频率响应。
一、频域分析的基本概念和原理频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。
在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。
二、傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术，适用于周期信号的频域分析。
傅里叶级数展开后，通过求解各个频率分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量分布。
傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的方法。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量，同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。
三、频域分析的应用频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。
在通信系统中，频域分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。
在自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。
四、常见的频域分析方法除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。
这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。
熟练掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。
五、总结频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统的行为。
傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。
连续时间信号与系统的频域分析实验报告（共9篇）
连续时间信号与系统的频域分析实验报告(共9篇)信号与系统实验五__连续时间信号的频域分析实验名称：连续时间信号的频域分析报告人：姓名班级学号一、实验目的1、熟悉傅里叶变换的性质；2、熟悉常见信号的傅里叶变换；3、了解傅里叶变换的MATLAB实现方法。
二、实验内容及运行结果1、编程实现下列信号的幅度频谱：（1）求出f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F（w）;请与f1(t) u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F1（w）进行比较，说明两者的关系。
%(1)f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)与f(t)=u(t+1)-u(t-1) syms t w t1 w1Gt=sym('Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)');Gt1=sym('Heaviside(t1+1)-Heaviside(t1-1)');Fw=fourier(Gt,t,w);Fw1=fourier(Gt1,t1,w1);FFw=maple('convert',Fw,'piecewise');FFw1=maple('convert',Fw1,'piecewise');FFP=abs(FFw);FFP1=abs(FFw1);subplot(2,1,1);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.5]);subplot(2,1,2);ezplot(FFP1,[-10*pi 10*pi]);grid;axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]);不同点：F1(w)的图像在扩展，幅值是F（w）的两倍。
（2）三角脉冲f2(t)=1-|t|;|t|=1;ft=sym('(1+t)*Heaviside(t+1)-2*t*Heaviside(t)+(t-1)*Heaviside( t-1)');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw)); g2)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =exp(-4*t)*heaviside(t)-exp(4*t)*heaviside(-t)（2）F(w)=((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)syms t wFw=sym('((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =dirac(t)+(2*exp(-5*t)-3*exp(-t))*heaviside(t)三、讨论与总论通过本实验，掌握了信号的傅里叶变换的性质以及方法，对傅里叶变换的性质有进一步的提高。
第6章信号与系统控制的频域分析法
▪ 1) 频域分析法
▪ 系统的频域分析法则以虚指数信号 e j t 作为基本信号，对 LTI系统进行分析。
▪ 系统的频域分析法如图6.2-35所示。
f (t)
LTI 系统
yf (t)
-1
F ( j)
GH ( j)
Y f ( j)
图6.2-35 系统的频域分析法
▪ 利用时域分析中，LTI系统的零状态响应 Yf (t)可通过外作
6.1.2 频域分析法的特点
1）明确的物理意义——信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成 和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基 本滤波性能。
2）图解与渐近逼近——信号的“离散”或“连续”频谱，非常直 观、明析；系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出，且容易 修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。
“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将 周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号（序列）或虚指 数信号（序列）的叠加；将非周期信号分解为相应信号（序 列）的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在 通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。
“系统控制的频域分析”是一种图解法，可以渐近画出 系统的频率特性曲线，具有简单、形象、快速的特点；不仅 可以利用系统的开环频率特性（Bode图）去判断系统的闭环 性能，而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响， 确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确 的物理意义，可以用实验方法测定；可以通过实验帮助解决 数学建模问题。
6.1 频域分析法及其特点
▪ 6.1.1 什么是频域分析法 ▪ 6.1.2 频域分析法的特点
6.1.1 什么是频域分析法
频域分析法（ 傅立叶 —— J.Fourier, 1768～1830 ）是 一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常 用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、 研究信号与系统控制的问题，包括“信号的频域（频谱）分 析”和“系统控制的频域分析”两方面。
▪ 系统的频域分析法则以虚指数信号 e j t 作为基本信号，对 LTI系统进行分析。
▪ 系统的频域分析法如图6.2-35所示。
f (t)
LTI 系统
yf (t)
-1
F ( j)
GH ( j)
Y f ( j)
图6.2-35 系统的频域分析法
▪ 利用时域分析中，LTI系统的零状态响应 Yf (t)可通过外作
6.1.2 频域分析法的特点
1）明确的物理意义——信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成 和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基 本滤波性能。
2）图解与渐近逼近——信号的“离散”或“连续”频谱，非常直 观、明析；系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出，且容易 修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。
“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将 周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号（序列）或虚指 数信号（序列）的叠加；将非周期信号分解为相应信号（序 列）的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在 通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。
“系统控制的频域分析”是一种图解法，可以渐近画出 系统的频率特性曲线，具有简单、形象、快速的特点；不仅 可以利用系统的开环频率特性（Bode图）去判断系统的闭环 性能，而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响， 确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确 的物理意义，可以用实验方法测定；可以通过实验帮助解决 数学建模问题。
6.1 频域分析法及其特点
▪ 6.1.1 什么是频域分析法 ▪ 6.1.2 频域分析法的特点
6.1.1 什么是频域分析法
频域分析法（ 傅立叶 —— J.Fourier, 1768～1830 ）是 一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常 用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、 研究信号与系统控制的问题，包括“信号的频域（频谱）分 析”和“系统控制的频域分析”两方面。
信号与系统复频域分析
实验五 信号与系统复频域分析一、 实验目的1.学会用MATLAB 进行部分分式展开；2.学会用MATLAB 分析LTI 系统的特性；3.学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。
二、实验内容与步骤1、求信号)()(3t u te t f t -=的拉普拉斯变换。
f=sym(' t*exp(-3*t)'); F=laplace(f) 实验结果： F =1/(s+3)^22、求函数23795)(223+++++=s s s s s s F 的部分分式展开式,以及反变换。
format rat; num=[1,5,9,7]; den=[1, 3,2];[r,p]=residue(num,den) 实验结果： r =-1 2 p =-2 -1 反变换：F=sym('(s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2)'); ft=ilaplace(F) ft =dirac(1,t)+2*dirac(t)-exp(-2*t)+2*exp(-t)4、已知一个因果系统的系统函数为)2)(1()(++=s s ss H ，该系统的零点和极点分别位于？从时域和零极点分布特征两个方面说明该系统是否是稳定的系统？从频率响应特性上看，该系统具有何种滤波特性？ num=[1,0]; den=[1,3,2]; sys=tf(num,den); figure(1);pzmap(sys); title('零极点分布图') t=-10:0.02:10;f=t./(t.^2 + 3* t + 2); figure(2);plot(t,f) xlabel('s') ylabel('H(s)')title('H(s)的时域波形图') [H,w]=freqs(num,den); figure(3);plot(w,abs(H)) xlabel('\omega') title('频率响应图')5、输入因果的系统函数12211)(232++++=s s s s a s H ① 此处a 取1，执行程序。
SEC4_信号与系统的频域分析
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信号与系统的频域分析
二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数φ1(t)和φ 2(t),若满足 (两函数的内积为0) 则称φ 1(t)和φ 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数φ 1(t)， φ 2(t)，…， φ n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
在区间t1t2ft所含能量恒等于ft在完备正交函数集中分解的各所以系数代入得最小均方误差函数ft可分解为无穷多项正交函数之和电气工程学院信号与系统的频域分析小结函数ft可分解成无穷多项正交函数之和????1jjjftct?????2211t????1jjjtcfttdtk???巴塞瓦尔能量公式??22121iijtt?ckftdt????电气工程学院信号与系统的频域分析42周期信号的傅里叶级数三角函数集1cosntsinntn12
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T = 4τ
(b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么， 谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信 号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
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4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换 一、傅里叶变换的引出 T
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根据傅里叶级数
考虑到：T→∞，Ω →无穷小，记为dω ； n Ω → ω 由离散量变为连续量），
而
同时，
于是，
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
F(jω )称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω )的傅里叶反变换或原函数。
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信号与系统的频域分析
发展历史
1822年，法国数学家傅立叶（J.Fourier,1768-1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数 展开为正弦级数的原理，奠定了傅立叶级数的理论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Guass）等人把这一成果应用到电 学中去，得到广泛应用。 进入20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 在控制与通信系统的理论研究与工程实际应用中。傅立叶变 化法具有很多的优点。 “FFT”快速傅立叶变换为傅立叶分析法赋予了新的生命力。
代入，得最小均方误差
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小结 函数f(t)可分解成无穷多项正交函数之和
f t C j j t
j 1
1 2 Cj f t j t dt Kj t
1
t
巴塞瓦尔能量公式
t2
t
f t dt Ci 2 K i
n的偶函数： an , An , Fn n的奇函数： bn ,n
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四、周期信号的功率——Parseval等式
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
直流分量能量
见书p.147 式4-40
含义：直流和n次谐波分量在1Ω 电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。
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例：周期信号f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω ，画出它的 单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。
解:
首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
显然1是该信号的直流分量。
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω =2π /T = π /12
根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=
作业：p.202 4-6
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三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利 用cosΩt=(ejΩt+ e–jΩt)/2
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cosΩt=(ejΩt+ e–jΩt)/2
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二、波形的对称性与谐波特性
参见教材 P.135 掌握
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数——对称于原点 an =0，展开为正弦级数。
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3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时其傅里叶级数中只含奇 次谐波分量，而不含偶次谐波分 量即a0=a2=…=b2=b4=…=0
n = 0, ±1, ±2，…
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傅立叶系数之间的关系
Fn Fn e jn 1 Ane jn 1 an jbn 2 2 Fn 1 an2 bn2 1 An an An cos n bn An sinn 2 2 b n arctan n an
cosωt=(ejωt+ e–jωt)/2
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频域分析
从本章开始对系统的分析从时域转入变换域进行分析， 首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函 数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立 叶分析。将信号f(t)进行正交分解，即分解为三角函数 sinωt或虚指数函数ejωt的组合。 频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示了信号内 在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切 关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重 要概念。
2 j 1
1
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4.2 周期信号的傅里叶级数 三角函数集 三角函数集{1，cos(nΩ t)，sin(nΩ t)，n=1,2,…} 是在区间(t1，t1+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。
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一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率Ω =2π /T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数
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根据傅里叶级数
考虑到：T→∞，Ω →无穷小，记为dω ； n Ω → ω 由离散量变为连续量），
而
同时，
于是，
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
F(jω )称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(jω )的傅里叶反变换或原函数。
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SEC4 信号与系统的频域分析
4.1 信号的正交分解P5 4.2 周期信号的傅里叶级数P12
4.3 周期信号的频谱及特点P22
4.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换P28
4.5 傅里叶变换的性质P36
4.6 周期信号的傅里叶变换P59
4.7 LTI系统的频域分析P63
(c)
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信号与系统的频域分析
虚指数函数集{ejnΩ t，n=0，±1，±2，…}是典型的在区 间(t1，t1+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。
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信号与系统的频域分析
三、信号的正交分解 设有n个函数φ 1(t)， φ 2(t)，…， φ n(t)在区间(t1，t2)构 成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性 组合来近似，可表示为 f(t)≈C1 φ 1+ C2 φ 2+…+ Cn φ n 问题：如何选择各系数Ci使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1， t2)内为最小。 均方误差为
则上式写为 上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，φ– n= –φn， 傅里叶级数的指数形式 令A0=A0ejφ0ej0Ω t φ0=0 所以
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信号与系统的频域分析
傅里叶级数的指数形式 令复数
j
称其为复傅里叶系数， 简称傅里叶系数。书上用Cn
t
表明：任意周期信号f(t)可分解为 许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为nΩ 的分量的系数，F0 = A0/2 为直流分量。
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
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信号与系统的频域分析
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{φ 1(t)， φ 2(t)，…， φ n(t)}之外， 不存在任何函数φ (t)(≠0）满足
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩ t)，sin(nΩ t)，n=1,2,…} 是在区间(t1，t1+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。 (a) (b)
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T = 4τ
(b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么， 谱ห้องสมุดไป่ตู้间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信 号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
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4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换 一、傅里叶变换的引出 T
为使上式最小（系数Ci变化时），有
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在用正交函数去近似f(t)时，所取的项数越多，即n越大， 则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误 差为零。此时有 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0， 写为 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明：在区 间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 即 正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 所以系数
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
系数an , bn称为傅里叶系数
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。 将上式同频率项合并，可写为 A0 = a0
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A0 = a0
可见An是n的偶函数， φn是n的奇函数。 an = Ancos φn， bn = –Ansin φn，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(Ω t+ φ1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期 信号相同； A2cos(2Ω t+ φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一 般而言。 Ancos(nΩ t+ φn)称为n次谐波。
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Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4τ 画图。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） 零点为 所以
m为整数。
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信号与系统的频域分析
T = 4τ
特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基 频Ω 的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。 谱线的结构与波形参数的关系： (a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的 / /T)=T/增多。 谱线数目：1/=（2）/(2
4.8 取样定理P77
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信号与系统的频域分析
4.0 引言
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信 号可分解为一系列冲激函数；而
yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejω t为基本信号，任意输 入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。