函数单调性练习(附 答案)
函数单调性练习题及答案详解(拔高)
函数单调性（拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,][0,)2-∞-⋃+∞ B ．(0,)+∞C ．1[,)2-+∞D ．1[,0)2-2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2xf x =，若对任意[]0,21x t ∈+，均有()()3f x t f x ≥⎡⎤⎣⎦+，则实数t 的最大值是（ ） A ．49-B ．13-C ．0D ．163．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且()()40f x f x -+=，则使得不等式()2f x x ++()20f x <成立的实数x 的取值范围是（ ）A ．41x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．4x <-或1x >4．已知函数()f x 的定义域为R ，图象恒过()0,1点，对任意12,x x R ∈当12x x ≠时，都有()()12121f x f x x x ->-，则不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦的解集为（ ） A ．()ln 2,+∞B ．(),ln 2-∞C ．()ln 2,1D ．()0,ln 25．已知函数()f x x x =，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)2,⎡+∞⎣ B ．()2,+∞C ．(0,2⎤⎦D ．(2⎤-⎦6．已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （﹣1）＝﹣1，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f （a ）+f （b ））＞0成立，若f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣2，2）D ．（﹣2，0）∪（0，2）7．已知定义在R 上函数()f x ，对任意的[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，若函数()2017y f x =+为奇函数，()()201720170a b --<且4034a b +>，则（ ）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．以上都不对8．已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，（0a ≠），若对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,0)4B ．1(,]4-∞-C ．1[,0)2-D ．1(,]2-∞-9．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x e x e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e10．已知函数()y f x =的定义域为R ,(1)y f x =+为偶函数，对任意12,x x ，当121x x >≥时，()f x 单调递增，则关于a 的不等式(91)(35)a a f f +<-的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．3(,log 2)-∞C ．3(1,log 2)D ．(1,)+∞11．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为增函数,且1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,则(1)f 等于（ ）A B C D12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．11,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．{},20(][2,)∞-⋃⋃+∞D ．{}11,0(][,22)∞-⋃⋃+∞13．已知函数())20192019 2019 2x xf x log x -=-+++,则关于x 不等式()() 23 4f x f x +->的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．(),2-∞D ．()1,+∞14．已知函数())44log 42xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为( )A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞15．若定义在[]2015,2015-上的函数()f x 满足：对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有1212()()()2014,f x x f x f x +=+-且0x >时，有()2014,()f x f x >的最大值、最小值分别为,,M N 则M N += A ．2013B ．2014C ．4026D ．402816．已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．[]5,2m ∈-- B ．[],2m ∈-∞- C ．[]3,2m ∈- D ．[]3,m ∈+∞二、填空题17．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>．若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的取值范围是________．18．已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．19．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．20．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．21．已知2223,0()43,0x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨++>⎩，若关于x 的不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)在区间[a －1，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.22．已知函数()1()lg 2xf x m -=+，m R ∈.任取12,[,2]x x t t ∈+，若不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.23．设()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有()()2f x f x x +-=成立，()()22x g x f x =-，若()y f x =在(],0-∞上单调递增，且()()222f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是______.参考答案1．C 【分析】题目比较综合，先要通过()()f x g x 、的奇偶性，列出关于()()f x g x 、的方程组，用方程组的方法求出关于()g x 的解析式，()()12122g x g x x x ->--，可以变形为1122()2()2g x x g x x +<+，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在1,2单调递增，最后根据新函数在区间1,2的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围 【详解】由题得：()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-；()g x 是偶函数，所以()()g x g x -= 将x -代入2()()2f x g x ax x +=++得：2()()2f x g x ax x +=--+联立22()()2()()2f xg x ax x f x g x ax x +=++-+-=+⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：()22g x ax =+1212()()2g x g x x x ->--，1212x x <<<等价于()1212()()2g x g x x x -<--， 即：1122()2()2g x x g x x +<+，令()()2222h x g x x ax x =+=++，则()h x 在1,2单增①当0a >时，函数的对称轴为2102x a a=-=-<，所以()h x 在1,2单增 ②当0a <时，函数的对称轴为2102x a a=-=->，若()h x 在1,2单增，则12a -≥，得：102a -≤< ③当0a =时，()h x 单增，满足题意 综上可得：12a ≥-故选：C 【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到： ①函数奇偶性的应用②通过方程组法求解函数的解析式 ③构造新函数④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围 需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决 2．A 【分析】根据函数为偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，得到|||3|x t x +≥，化简解出即可. 【详解】易知，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴12102t t +>⇒>-，又∵()()()33f x t f x f x ⎡⎤+≥=⎣⎦，且函数为偶函数，∴|||3|x t x +≥，两边平方化简，则22820x xt t --≤在[0,21]t +恒成立，令()2282g x x xt t =--，则()()002421039g t g t ⎧≤⎪⇒-≤≤-⎨+≤⎪⎩. 综上：t 的最大值为49-.故选：A. 3．D 【分析】由已知可得函数()f x 的对称性，然后结合函数()f x 在[)2,+∞单调递减，所以可判断()f x 在定义域上的单调性，进而利用单调性可解. 【详解】解：()()40f x f x -+=，则()f x 关于()2,0对称， 因为()f x 在[)2,+∞单调递减， ∴()f x 在R 上单调递减， 又()()242f x f x =--∴()()222042())0(f x x f x f x x f x ++<⇔+--<，∴()2()42f x x f x +<-，∴2421x x x x +>-⇔>或4x <-， 故选：D . 【点睛】结论点睛：若()f x 满足()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. 4．D 【分析】 由()()12121f x f x x x ->-，设12x x >，得到()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，然后将不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦，转化为()()ln 10x g e g ⎡⎤-<⎣⎦，利用()g x 的单调性求解. 【详解】 因为()()12121f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则()()1122f x x f x x ->-， 令()()g x f x x =-，在R 上递增， 又()01f =，所以不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦， 即为()()()ln 1ln 1100xx f e e f ⎡⎤---<=-⎣⎦， 即()()ln 10xg e g ⎡⎤-<⎣⎦， 所以()ln 10xe -<，则011x e <-<， 解得 0ln 2x <<， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121f x f x x x ->-，构造函数()()g x f x x =-，利用其单调性得解. 5．B 【分析】显然函数()f x 在R 上单调递增，又())3f x f=，由()()3f x t f x +≥结合函数的单调性可知)1t x ≥，构造函数)()1g x x =，即)()max ()12t g x t ≥=+恒成立，解不等式即可得解. 【详解】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，∴函数()f x 在R 上单调递增，又())33x x f x f===()()()))31f x t f x f x t fx t t x ⇔∴+≥+⇔+≥⇔≥≥所以对[],2x t t ∀∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，即不等式)1t x ≥恒成立，令)()1g x x =，[],2x t t ∈+，即max ()t g x ≥又)()1g x x =在[],2t t +上单调递增，)()max ()(2)12g x g t t ∴=+=+)()()21122212t t t t ≥+⇒≥⇒≥=所以实数t 的取值范围是()2,+∞ 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立. 6．B 【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：,[1,1]a b ∈-时，()(()())0a b f a f b -->，根据增函数的定义推得函数()f x 在[1,1]-上是增函数，从而求得最大值为(1)1f =，然后将已知不等式先对x 恒成立，再对t 恒成立，就可以求出m 的范围 【详解】解：因为f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f（a ）+f （b ））＞0成立，所以将b 换为b -，可得()(()())0a b f a f b -->， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数， 所以max ()(1)(1)1f x f f ==--=，所以f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，等价于2121m tm <-+， 即220tm m -<对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，令2()2g t tm m =-，则(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩，即222020m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩， 解得2m <-或2m >， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和单调性，含3个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题，解题的关键是按顺序先对一个变量恒成立，转化为求最值，再对另一个变量恒成立，转化为求最值即可，考查数学转化思想 7．B 【分析】根据题意，由于[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，利用单调性的定义得出()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减，根据函数()2017y f x =+为奇函数，得出()20170f =，且根据奇函数的性质，得出()f x 图象关于点()2017,0对称，从而得出()f x 在R 上单调递减，最后根据()()201720170a b --<且4034a b +>，结合单调性和对称性，即可得出结论. 【详解】解：由题可知，定义在R 上函数()f x ，[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠， 由于()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减， 因为函数()2017y f x =+为奇函数，则()()20172017f x f x -+=-+， 当0x =时，则()()20172017f f =-，即()20170f =，又因为()2017y f x =+图象关于原点()0,0对称，则()f x 图象关于点()2017,0对称， 所以，()f x 在R 上单调递减，因为()()201720170a b --< 设a b <，则2017,2017a b <>， 则有()()0,0f a f b ><，又因为4034a b +>，则()()0f a f b +<. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的综合应用，考查单调性、奇偶性、对称性的定义和性质，考查解题运算能力. 8．D 【分析】根据由于()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，得到2()2g x ax =+，结合对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--，得到函数()()F x g x x =+在(1,2)单调递减，分类讨论即得解. 【详解】由于()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，因此：()()2()()2f x g x f x g x ax x -+-=-+=-+，2()2g x ax ∴=+由于对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--()()()()()()1212121122121212+[+]100g x g x g x g x x x g x x g x x x x x x x x ---+-<-⇔<⇔<---因此2()2F x ax x =++在(1,2)单调递减， （1）当0a >时，对称轴102x a=-<，()F x 在(1,2)单调递增，不成立；（2）当0a <时，对称轴102x a=->，()F x 在(1,2)单调递减，11122a a ∴-≤∴≤- 故选：D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性综合，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于难题. 9．C 【分析】设()2ln 2x f x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-再通过函数()f x 的单调性可知，即可求出t 的值，得到()f x 函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间． 【详解】设()2ln 2x f x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-，因为()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，所以由解析式可知，()f x 在()0,∞+上单调递增．而()12f e t =-+，()1f t e =-，故1t =，即()2ln 1xf x e x =+-． 因为()110f e =->，11112ln 13e e f e e e e ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，由于11ln ln 3ln 30e e e -=-<，即有13e e <，所以1130e f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭．故()110f f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 的零点所在区间为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，零点存在性定理的应用，意在考查学生的转化能力，属于较难题． 10．B 【分析】首先根据函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，得到函数()y f x =关于1x =对称，根据函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，得到函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.从而将不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--，解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数， 所以(1)(1)-+=+f x f x ，得到函数()y f x =关于1x =对称. 因为函数()y f x =在[1,)+∞为增函数， 所以函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--即369369a a a a⇒->->或369a a -<-令3a t =，(0)t >得到：260t t -+<或260t t +-< 当260t t -+<时，无解. 当260t t +-<时，(3)(2)0t t +-<，解得：2t <，即32a <，3log 2a <. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的平移，函数的奇偶性和单调性，同时还考查了绝对值不等式的解法，属于难题. 11．A 【分析】设(1)f t =,当0t =时,即(1)0f =,则1(1)011f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭不成立,故0t ≠.令1x =,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,得:1(1)f t t +=.令1x t =+,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭得:1(1)(1)11f t f f t t ⎛⎫+⋅++= ⎪+⎝⎭,结合(0,)+∞上函数()f x 为增函数,即可求得(1)f .【详解】 设(1)f t =,当0t =时,即(1)0f =∴ 1(1)011f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭不成立,故0t ≠.令1x =,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ 得:1(1)(1)11f f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,即111t f t ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,故: 1(1)f t t +=.令1x t =+,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ 得: 1(1)(1)11f t f f t t ⎛⎫+⋅++= ⎪+⎝⎭即: 11111f t t t ⎛⎫⋅+= ⎪+⎝⎭,故111f t t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭(1)111f tf tt t =⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭⎩即:1111t t +=+,整理可得:210t t --= 解得:1t =2t = 结合(0,)+∞上函数()f x 为增函数.当(1)1f t ==>时,则(1)(1)1f t f +>>,但1(1)1f t t +=<,矛盾!∴1t =.所以t =故(1)f =故选:A. 【点睛】本题考查了复合函数和抽象函数.本题解题关键是设出(1)f t =,令1x =和1x t =+代入已知条件,得到111f t t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,结合单调性,讨论解是否合理.12．C 【分析】先计算函数()f x 的最大值为1，得到220t at -≥恒成立，得到不等式222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩，计算得到答案. 【详解】奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，则()max (1)(1)1f x f f ==--=()221f x t at ≤-+恒成立，即2212120t at t at ≤-+∴-≥恒成立将22y t at =-看作a 为变量，定义域为[]1,1-的函数，则函数最值一定在端点上即222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩ 解得2t ≥或2t ≤-或0t = 故选C 【点睛】本题考查了恒成立问题，将22y t at =-看作a 为变量的函数是解题的关键. 13．B 【分析】设()())201920192019 x xg x h x log x -=-=，，易知()(),g x h x 都是R 上递增的奇函数，故()2f x -为R 上递增的奇函数，()() 23 4f x f x +->可转化为()()22320f x f x -+-->，利用奇函数的性质即可求解.【详解】设()())201920192019 x xg x h x log x -=-=，.易得()(),g x h x 都是R 上递增的奇函数，设()()() m x g x h x =+，则()m x 是R 上递增的奇函数，若()() 234f x f x +->，则()()22320f x f x -+-->，即()()230m x m x +->，即()()23m x m x >--,即()() 23m x m x >-+，即23x x >-+，解得1x <, 所以(),1x ∈-∞. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，属于中档题. 14．A 【分析】可先设())44log 4xx g x x -=+-，根据要求的不等式，可以判断()g x 的奇偶性及其单调性，容易求出()()g x g x -=-，通过解析式可判断其单调性，从而原不等式可变成，()()31g x g x +>-，而根据()g x 的单调性即可得到关于x 的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集. 【详解】设())44log (4,xx g x x -=+-则())44log 4xx g x x --=+-，可得()g x +()0g x -=， 由解析式易知()g x 在R 上单调递增；∴由()()314f x f x ++>得，()()31224g x g x ++++>；()()31g x g x ∴+>-，即为()()31g x g x +>-，得31x x +>-， 解得14x >-，∴原不等式的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算，奇函数的判断方法，函数单调性的应用，属于中档题．判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 15．D 【分析】由题对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有()()()12122014f x x f x f x +=+- ∴令120x x == ，得()02014f = ，再令120x x += ，将()02014f = 代入可得()()4028f x f x +-= ． 设1212[20152015]x x x x ∈-＜，，，， 则()()()21212102014x x f x x f x f x ->-=+--， ，()()2120142014f x f x ∴+--> ． 又()()114028f x f x -=- ，()()21f x f x ∴>，即函数()f x 是递增的，()()()()20152015max min f x f f x f ∴==-， ． 又()()201520154028f f +-= ，M N ∴+ 的值为4028．故选D ．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，以及函数求值等知识.其中利用赋值法，证明函数的单调性是解题的关键． 16．A 【解析】∵()f x 是定义在[]22-,的奇函数， ∴(0)0f =，当(]0,2x ∈时，(]()210,3xf x =-∈，∴当[]2,2x ∈-时，()f x 的值域为：[]3,3-； ∵2()2g x x x m =-+，对称轴为：1x =， ∴min ()(1)1g x g m ==-，max ()(2)8g x g m =-=+， 即()g x 的值域为[]1,8m m -+．∵对于任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，便得21()()g x f x =， 则max ()3g x ≥且min ()3g x -≤， 即83m +≥且13m --≤， 解得：52m --≤≤，所以实数m 的取值范围是：[]5,2--， 故选A ．点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空． 17．14,29⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】根据函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞单调递增，转化为3x t x +≥对任意[]0,21x t ∈+恒成立，进而可得结果. 【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>，∴()()1xf x aa =>，则[]()()333()3x xf x a af x ===，则()[]3()f x t f x +≥等价于()()3f x t f x +≥，当0x ≥时()f x 为增函数，则3x t x +≥，即22820x tx t --≤对任意[]0,21x t ∈+恒成立， 设()2282g x x tx t =--，则()()22000210273080g t g t t t ⎧≤⎧-≤⎪⇔⎨⎨+≤++≤⎪⎩⎩，解得2439t -≤≤-，又210t +≥，所以1429t -≤≤-.故答案为：14,29⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为3x t x +≥对任意[]0,21x t ∈+恒成立. 18．(),8-∞ 【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围．【详解】函数222()()131x x f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131x x x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x x xx x F x F x -----===-++，所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->， 即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-，因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31xF x x =-+在(0,)+∞上为增函数， 由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++， 令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈， 由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增， g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <， 即实数a 的取值范围是(,8)-∞． 故答案为：(,8)-∞． 【点睛】方法点睛：数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 19．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a +∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点， 设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，1x=0<=，122x +=0==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4ax 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a +∞上单调递增，欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤， 综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 20．710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数， ∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+，∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.21．1,(2,)4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先确定函数()f x 单调性，再根据单调性化简不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)，然后利用恒成立问题，根据二次函数最值分类求解. 【详解】223y x x =-++在(,0]-∞上单调递增，243y x x =++在(0,)+∞上单调递增，2202030403-+⨯+=+⨯+，所以2223,0()43,0x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨++>⎩，在(,)-∞+∞上单调递增，因为不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)在区间[a －1，a ＋1]上恒成立， 所以22x a a x +>-，2a x x ∴<+在区间[a －1，a ＋1]上恒成立，当131,22a a +≤-≤-时，()22min(1)1xxa a +=+++，2(1)1a a a ∴+++>，a R ∴∈， 32a ∴≤-当13111,222a a a -<-<+-<<时，()22min1122xx⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，21122a ⎛⎫∴--> ⎪⎝⎭， 14a ∴<-， 3124a ∴-<<- 当111,22a a -≥-≥时， ()22min (1)1x x a a +=-+-，2(1)1a a a ∴-+->，2a ∴>或0a <，2a ∴>， 综上：14a <-或2a > 故答案为：1,(2,)4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分段函数单调性、不等式恒成立、二次函数最值，还考查了分类讨论思想和运算求解能力，属较难题.22．23m >- 【分析】先将问题转化为()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，再结合不等式恒成立问题，可将问题转化为392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立，然后求最值即可得解. 【详解】解：由不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，即()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，又()()12max max min ||()()f x f x f x f x -=-，又函数()1()lg 2x f x m -=+在[,2]x t t ∈+为减函数， 即()()1112max ||lg(2)lg(2)t t f x f x m m ----=+-+，即11lg(2)lg(2)1t t m m ---+-+<对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即max 39(),2tm ->[2,1]t ∈--， 即23m >-， 故答案为：23m >-. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.23．1a ≤【分析】由题可求，()()0g x g x +-=，又由()y f x =在(],0-∞上单调递增可知()()22x g x f x =-在(],0-∞也单增，结合()g x 为奇函数，可判断()g x 在R 上单增，再由()()222f a f a a --≥-通过拼凑法得()()22(2)2022a a f a f a ----+≥，可转化为()()2g a g a -≥，即可求解【详解】由()()()()2222x x g x f x g x f x =-⇒-=--，()()0g x g x +-=，故()g x 在R 上为奇函数， 由()y f x =在(],0-∞上单调递增⇒()()22x g x f x =-在(],0-∞也单增，故()g x 在R 上单增， ()()()()22(2)2222022a a f a f a a f a f a ---≥-⇔---+≥， 即()()2g a g a -≥，2a a -≥，解得1a ≤故答案为：1a ≤【点睛】本题考查由奇偶性和增减性解不等式，能够通过()f x 对应表达式推导出()g x 为奇函数，并能判断()g x 为增函数是解题关键，解题过程不易考虑到这两步转化，属于难题。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数2)(－＝x x f ，∈x ｛0，1，2，4｝的最大值为_____.（2）函数123)(－＝x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____.2、利用单调性的定义证明函数21)(xx f ＝在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明.4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)f(15)与6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1）上是减函数，且)23()1(－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x xx x x 2221123-----+||（4）2012－－＝x x y 8、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．9、判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)axx 21-10、求函数xx x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1）11)1()(－＋－＝x x x x f ；（2）a x f ＝)(（R x ∈）；（3）3232)52()52()(－－＋＝x x x f 12、若32)1(2＋＋－＝mx x m y 是偶函数，则m ＝_________．13、已知函数c bx ax x f ＋＋＝2)(（0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ＋＋＝23)(是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数14、已知函数b a bx ax x f ＋＋＋＝3)(2是偶函数，且其定义域为[1－a ,a 2]，则（）A．31=a ，b ＝0B．a ＝－1，b ＝0C．a ＝1，b ＝0D．a ＝3，b ＝015、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2－＝，则)(x f 在R 上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）16、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数17、若)(x ϕ，)(x g 都是奇函数，2)()()(＋＋＝x bg x a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则)(x f 在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－318、函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．19、判断函数＝)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧0130132323＜，－＋＞，＋－x x x x x x 的奇偶性.20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．21、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式为_______，)(x g 的解析式为_______.22、已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R，y ∈R），且f （0）≠0.试证f （x ）是偶函数．23、设函数y＝f（x）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f（x 1·x 2）＝f（x 1）＋f（x 2）.求证f（x）是偶函数．函数单调性和奇偶性专项练习答案1、【答案】（1）2（2）3，312、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为0≥x 和0＜x 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4)；（2）∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)6、【答案】实数a 的取值范围是（31，43）7、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，21）；减区间是[21，5)和（5，＋∞）8、【答案】a 的取值范围是0≤a ≤1．9、【答案】当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得)2(f ＝4是最小值，)1(f ＝5是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）0＝a ，)(x f 既是奇函数又是偶函数；0≠a ，)(x f 是偶函数；（3）)(x f 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A 14、【答案】选B 15、【答案】选D 16、【答案】选B 17、【答案】选C 18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x ＞0和x ＜0两种情况，分别证明)()(x f x f ＝－－即可.20、【答案】解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．21、【答案】11)(2-=x x f ，1)(2－＝x xx g 22、证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．23、证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.无减区间答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( )A.，B.，C.，D.，答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性7.若是奇函数，则实数a的值为( )A.1B.-1C.0D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( )A.±1B.1C.-1D.-3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( )A.[-1，2]B.[-1，0)∪(1，2]C.(0，1)D.(-∞，0)∪(1，+∞)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶函数图象的对称性。
函数的单调性练习题(含标准答案)
函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
2022届高考数学 函数的单调性练习题(含答案)
函数的单调性一、单选题1．函数()f x = ）A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．已知2(2)ln f x xx -=-，则()f x 的单调增区间为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(2,0)-C ．(0,)+∞D ．(0,2)3．函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ． 13,2⎛⎤--⎥⎝⎦4．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件5．设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减6．设函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠），则函数()f x 的单调性（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关C ．与a 有关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 无关7．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[-2,2]B ．[-2,1]C ．[1,3]-D ．[0,4]8．若2222log log 41a a a b b b -+=-++，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a >+9．已知()(0)1x x f x =>+，则()f x 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810．已知函数()()22log 14f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6 B ．13 C ．22 D ．3311．已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（ ）A ．11x y<B ．--+<+x yy x e e e e C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >12．已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>13．已知函数f (x )=221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩，在(0,3)a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[3，5]C ．(3，4]D ．(]3,514．已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(,4)-∞-D ．(,4]-∞-二、填空题15．函数243y x x =-++，[]0,3x ∈的单调递增区间是_____．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 满足：()()()12f x y f x f y +=++，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当12x >时，()0f x >.给出以下结论:①()102f =-;②()312f -=-;③()f x 为R 上的减函数;④()12f x +为奇函数;⑤()1f x +为偶函数.其中正确结论的序号是________.17．设()21,0f x x x =⎨--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系_______.18．若函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，实数a 的取值范围是________． 三、解答题19．已知函数()21xf x x=+，[]1,1x ∈-. （1）用单调性的定义证明函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）求关于x 的不等式()()1f x f x -<的解集.20．已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，比较()x f b 与()x f c 的大小关系21．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+． （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围． （3）解不等式()2f x x ≥+．22．定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-． （1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．答案解析1.【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数()f x =(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数()f x =[3,)+∞.故选：B.2.【解析】因为对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数，反比例函数2y x=-在()0,∞+上也是增函数， 所以2ln y x x=-在定义域()0,∞+上单调递增； 又()f x 是由(2)f x -向左平移两个单位得到，所以()f x 的单调增区间为(2,)-+∞.故选：A. 3.【解析】由题意知()f x 的定义域为()3,2-．令26t x x =--+， 则函数t 在13,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增在1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减．又13log y =在其定义域上递减．故由复合函数的单调性知原函数的递增区间是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选：B 4.【解析】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件.故选：A.5.【解析】由310310x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩得：13x ≠±，()f x ∴定义域为1111,,,3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又()()ln 31ln 31ln 31ln 31f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴为定义域内的偶函数，可排除BD ；当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()()2ln 31ln 31ln 91f x x x x =--+-+=-，291t x =-在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，ln y t =单调递增，()f x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，可排除A ；()f x 为偶函数且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确.故选：C.6.【解析】函数()11x a f x b a -=+-（0a >，1a ≠）， 当01a <<时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 当1a >时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 则0a >且1a ≠，b R ∈，()11xa f xb a -=+-的单调性都为单调递减. 所以函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠）的单调性与a b ，无关.故选：D 7.【解析】因为函数()f x 在R 上的奇函数，且(2)1f -=，所以()2(2)1f f =--=-， 又因为()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数，因为1(2)1f x -≤-≤， 所以()()21(2)12f f x f =-≤-≤=-，则222x -≤-≤，解得04x ≤≤，故选：D 8.【解析】根据题意，可知，0a >，0b >，∵22log 41b b b -++()22log 1(2)b b b =+-+()222log log 22(2)b b b b =+-++22log (2)2(2)b b b b -=++，∴222222log log (2)2(2)log (2)2(2)a a a b b b b b b b -+=-++>-+，令()()22()lo ,g 0f x x x xx =-∈++∞，即()()2f a f b >，∵211ln 2(2ln 2)()12ln 2ln 2x x f x x x x -⋅+⋅'=-+=⋅⋅， 令2()(2ln 2)ln 21g x x x =⋅-⋅+，∵0ln 21<<， ∴2(ln 2)8ln 2ln 2(ln 28)0∆=-=⋅-<，即对于任意的x ，恒有()0()0g x f x '>⇒>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴2a b >.故选：A.9.【解析】令1,(0)t x x =+>，所以()1,1x t t =->;所以()236(0)1x x x x f x ++=>+转化为()()()231116t t y t t-+-+>=； 即()()()21316411y t t t t tt =++-+-+=>,又函数y 在()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增， 所以当2t =时，y 取到最小值，最小值为5； 即当1x =时，()f x 取到最小值，最小值为5. 故选：B. 10.【解析】()22log f x x =+，22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，14x ≤≤，∴21414x x ⎧⎨⎩， 22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，的定义域是{}|12x x ．令2log x t =，因为12x ，所以01t ，则上式变为266y t t =++，01t ，266y t t =++在[]0,1上是增函数，当1t =时，y 取最大值13，故选：B ．11.【解析】A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误， B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误. 故选：C .12.【解析】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>=，0.822<， 即：0.8331log log 9.1210->>，又()f x 是定义在R 上的减函数， ()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数，3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>. 13.【解析】函数221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，画出函数()f x 的大致图象，如图所示：函数()f x 在(0,3)a -上单调递减，∴由图象可知：032a <-≤，解得：35a <≤， 故实数a 的取值范围是：(]3,5.故选：D.14.【解析】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+， 令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，只需对称轴：14a -≥，解得4a ≤-.故选：D.15.【解析】243y x x =-++的图象开口向下，又243y x x =-++的对称轴为42(1)2x =-=-⨯，()f x ∴的单调递增区间是[]0,2.16.【解析】由题意和,x y 的任意性，取0x y ==代入()()()12f x y f x f y +=++， 可得()()()01020=++f f f ，即1(0)2f =-，故①正确； 取12x =， 12y 代入可得()1110222⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f ，即1110222⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭f ，解得112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ； 再令12x y ==-代入可得()111122232122⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭f f f ，故②正确；令y x =-代入可得11(0)()()22-==+-+f f x f x ，即11()()022++-+=f x f x ，故1()2+f x 为奇函数，④正确；取1y =-代入可得()()()1112-=+-+f x f x f ，即()()()111102---=+=-<f x f x f ，即()()1f x f x -<，故()f x 为R 上减函数，③错误；⑤错误，因为11()1()22+=++f x f x ，由④可知1()()2=+g x f x 为奇函数，故11()()2()22-+--=-g x g x g x 不恒为0，故函数()1f x +不是偶函数.故答案为：①②④17.【解析】当0x ≥时，()11f x x =+≥，且()f x 在[)0,+∞上单调递增， 当0x <时，()211f x x =--<-，且()f x 在(),0-∞上单调递增，()f x ∴为R 上的增函数，又()()00.50.70.70.50.50.5log 5log 10log 1log 0.7log 0.510.70.7-<==<<==<，即c b a <<，()()()f a f b f c ∴>>18.【解析】设2log u x =，则其在区间(0,)+∞上单调递增； 设23v x ax =++，其开口向上，对称轴为直线2a x =-；在区间(,)2a-∞-上单调递减、在区间(,)2a-+∞上单调递增. 由复合函数的单调性知当内外层函数的单调性都为单调递增时，复合函数才单调递增. 所以要使函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，则需32a-≤， 同时还得保证其真数大于0，即令：2(3)3330v a =++≥，解得4a ≥-. 故答案为：[)4,-+∞.19.【解析】（1）令1211x x ，则()()()()()()()()22221221121212121222222212121211()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，∵22121211,(1)(1)0x x x x -≤<≤++>，1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，故函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）由（1）结论，及()()1f x f x -<知：111111x xx x -<⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112x <≤.因此，不等式()()1f x f x -<的解集为112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.20.【解析】∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-∞，上递减，在[)1+∞，上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥， ∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．21.【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=--+-=--又()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，（2）作出函数()f x 的图像，如图所示：要使()f x 在[1,2]a --上单调递增，结合()f x 的图象知2121a a ->-⎧⎨-≤⎩，所以13a <≤，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，解不等式()2f x x ≥+，等价于2022x x x x ≥⎧⎨-+≥+⎩或2022x x x x <⎧⎨+≥+⎩，解得：∅或2x -≤ 综上可知，不等式的解集为(],2-∞-22.【解析】（1）令1x y ==，()()()()11110f f f f +=⇒=． （2）()f x 在()0,∞+单调递减，设120x x >>，令1xy x =，2x x =，则12x y x =，所以1y >，()0f y <， 得()()()()211112220⎛⎫⎛⎫+=⇒-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f f x f x x x f x f x x ， 即对任意()12,0,x x ∈+∞，若12x x >，则()()12f x f x <，()f x 在()0,∞+单调递减．（3）因为()1f e =-，令x y e ==，()()()22=+=-f e f e f e ， 令x e =，1y e =，()()110⎛⎫=+= ⎪⎝⎭f f e f e ，11f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为函数单调递减，所以()max 11⎛⎫== ⎪⎝⎭f x f e ，()()2min 2==-f x f e ．。
函数单调性及奇偶性练习(含答案)
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 2、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）3、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4、若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－35、已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <， 则 （ ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-6、定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ ）Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］7、已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ) 是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ ） Ａ．1[1,)2- Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（11,2-） 8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根 之和为________10、已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列 说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数 ；②f(x)为偶函数 ；③f(x)＋1为奇函数 ；④f(x)＋1为偶函数12、若(1)()()x x a f x x++=是奇函数，则a =___13、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是________.14、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为15、 设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．16、设函数f(x)=21xb ax ++是定义在（－1，1）上的奇函数，且f(21)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）用定义证明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t) < 0。
函数的单调性及奇偶性测试题(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.无减区间答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性7.若是奇函数，则实数a的值为( )A.1B.-1C.0D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( )A.±1B.1C.-1D.-3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( )A.["-1，2"]B.C.(0，1)D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶函数图象的对称性。
高中数学函数的单调性练习题和答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2)，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞)设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义]2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )..答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )..答案：B、解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )..无减区间答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( ) （A.，B.，C.，D.，答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )..答案：B解题思路：#试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性7.若是奇函数，则实数a的值为( )D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( )A.±1~答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( )A.[-1，2]B.C.(0，1)D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶函数图象的对称性。
高中数学函数的单调性测试题(含答案)
高中数学函数的单调性测试题(含答案)一、选择题（每小题5分，计512=60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案1. 在区间上为增函数的是: （）A．B. C. D.2. 已知函数，则与的大小关系是:（）A. B. = C. D.不能确定3. 下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数, 有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（）A.1B.2C.3D.04．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)5．函数f(x)= 在区间(－2，＋)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0，) B．( ，＋) C．(－2，＋) D．(－，－1)(1，＋) 6．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D ．f(13)＜f(－1)＜f(9)7．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A．a B．a－3 C．a D．a38．已知f(x)在区间(－，＋)上是增函数，a、bR且a＋b0，则下列不等式中正确的是（）A．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］D．f (a)＋f(b)f(－a)＋f(－b) 9．定义在R上的函数y=f(x)在(－，2)上是增函数，且y=f(x ＋2)图象的对称轴是x=0，则（）A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)10. 已知函数在上是单调函数,则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，计44=16分）11. 设函数,对任意实数都有成立,则函数值中,最小的一个不可能是_________12. 函数是R上的单调函数且对任意实数有. 则不等式的解集为__________13．已知函数，当时，14. 设设为奇函数, 且在内是减函数, ,则不等式的解集为．15. 定义在（－，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下面是关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在［0，1］上是增函数；④f（x）在［1，2］上是减函数；⑤f（2）=f（0）.其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）三、解答题（共计74分）16. f(x)是定义在( 0，＋)上的增函数，且f( ) = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值．（2）若f(6)= 1，解不等式f( x＋3 )－f( ) ＜2 ．17. 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
高中数学函数的单调性练习题及其答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)3C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y )4（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取5值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx618.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；7③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
(完整版)函数单调性的习题及答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0,＋∞）上不是增函数的函数是 （ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f （x )=4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1）等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x ）在区间(－2，3)上是增函数，则y =f （x ＋5）的递增区间是 ( ） A ．（3,8） B ．（－7，－2) C ．（－2，3) D ．(0，5)4．函数f （x ）=21++x ax 在区间（－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．（0，21)B ．( 21，＋∞）C ．（－2，＋∞)D ．（－∞,－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f （x ）在区间［a ，b ]上单调，且f (a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x ）=8＋2x －x 2，如果g (x ）=f ( 2－x 2)，那么函数g （x ) （ ） A ．在区间(－1,0)上是减函数 B ．在区间（0，1)上是减函数 C ．在区间（－2，0)上是增函数 D ．在区间（0，2)上是增函数7．已知函数f （x )是R 上的增函数,A （0,－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1）|＜1的解集的补集是 ( ） A ．（－1，2) B ．(1，4） C ．（－∞，－1)∪[4,＋∞) D ．(－∞,－1)∪［2，＋∞)8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f （5＋t )＝f (5－t ）,那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1）＜f (9）＜f (13） B ．f (13)＜f (9）＜f (－1) C ．f （9)＜f (－1)＜f （13） D ．f （13)＜f (－1)＜f （9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间（－∞,＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a ）＋f (b ）] B ．f （a ）＋f （b )≤f （－a ）＋f （－b ） C ．f (a ）＋f （b ）≥－f （a )＋f （b ）] D ．f (a )＋f （b ）≥f （－a )＋f （－b ) 12．定义在R 上的函数y =f （x ）在（－∞，2）上是增函数，且y =f (x ＋2）图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1）＜f （3) B ．f （0）＞f （3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f （3）二、填空题:13．函数y =（x －1)—2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___．15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性(含答案)函数的单调性及奇偶性1.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是上的增函数，若$x>0$，则下列不一定正确的是()答案：D解题思路：$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，所以选项D不一定正确。
2.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)=ax^2+bx+c$，则实数$a$的取值范围是()答案：C解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，即$a>0$，$b^2-4ac<0$，所以$a$的取值范围是$(0,+\infty)$，选项C正确。
3.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是()答案：B解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$a>0$，$b^2-4ac<0$，且$b\geq0$，所以$a\leq\frac{1}{4}$，选项B正确。
4.函数$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$的单调递减区间是()答案：A解题思路：求出$f'(x)$，令其小于0，解得$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$，即$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$上单调递减，选项A正确。
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函数单调性一． 填空题 1. 函数()12x f x x -=+的单调递增区间是__________________. 2. 函数()232f x x x =-+的单调递减区间是__________________.3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是_________.5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.7. 已知()()()()23411a x a x f x xx --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上增函数，那么a 的取值范围是______.8. 函数()12||1f x x =+-的递增区间是______________.9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________.10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) 11. 已知函数()f x =[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .二． 选择题13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ ）A . ()12y x =- B . ()21y x =-+ C . 1xy x=- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（ ）A .a b <B . a b >C . a b <D . 0a b ≤<或0a b >≥15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( )A .增函数且最小值是5-B .增函数且最大值是5-C .减函数且最大值是5-D .减函数且最小值是5-16. 函数()f x =--------------------------------------------------------------------------（ ）A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减三． 解答题17. 试讨论函数()f x =在区间[]1,1-上的单调性．18. 已知函数()()211f x x =-（1） 用单调性定义证明：()f x 在(（2） 作出函数()f x 的大致图象.19. 已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．函数单调性(答案)一. 填空题 1. 函数()12x f x x -=+的单调递增区间是__________________.()(),2,2,-∞--+∞ 2. 函数()232f x x x =-+的单调递减区间是__________________.(]3,1,,22⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.[)2,+∞4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是_________. 增函数5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.减函数 增函数6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.()(]2,02,5-7. 已知()()()()23411a x a x f x xx --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上增函数，那么a 的取值范围是______.2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭8. 函数()12||1f x x =+-的递增区间是______________.()(),1,1,0-∞--9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________. ()(),22,-∞-+∞10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) > 11. 已知函数()f x =[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.02a <≤12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .[)3,+∞二. 选择题13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ C ）A . ()12y x =- B . ()21y x =-+ C . 1xy x=- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（C ）A .a b <B . a b >C . a b <D . 0a b ≤<或0a b >≥15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( A )A .增函数且最小值是5-B .增函数且最大值是5-C .减函数且最大值是5-D .减函数且最小值是5-16. 函数()f x =--------------------------------------------------------------------------（ B ）A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减三. 解答题17. 试讨论函数()f x =在区间[]1,1-上的单调性．.解： 设[]12,1,1x x ∈-，且12x x <．()()12f x f x -=2211x x ---==∵ x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴ 当210x x >>时，120x x +>，那么()()12f x f x >．当210x x >>时，120x x +<，那么()()12f x f x <．故()f x =[]1,0-上是增函数，在区间[]0,1上是减函数．18. 已知函数()()211f x x =-（3） 用单调性定义证明：()f x 在(-∞（4） 作出函数()f x 的大致图象. 解：（1）设121x x <<， ()()12f x f x -=所以()f x 在(),1-∞上为增函数19. 已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.解：设122x x <<，由()()()()221221121212121212120x a x a x x x x af x f x x x a x x x x x x x x ++---=-=-+=-<恒成立．即当122x x <<时，12x x a >恒成立．又124x x >，所以04a <≤．20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=，∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，即不等式的解集为⎛ ⎝⎭．。