分析力学第一章作业答案
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t2
(
t2
t1
dt
t2 t1
)2
dr l dte A cos (t t0 )dteX
dr 和 r
M
x
l
的区别如图所示：
z
m
M
M
l
x3
m
r
l
x3
m
dr
虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许 的位移。 实际位移除了和约束有关以外，还和物体 当前的运动状态有关；运动方程和约束允许， 在时间间隔内所发生的位移。
2
d (m 2 ) 0 dt
z0
3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 X A sin (t t0 )方式运动，如图所示，小球被限 t t0时悬线竖直向下。 制在 ( x, z )平面内运动，
（a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 r （b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 dt dr 与 r 时间后的位移 dr 。问：当 dt 0 时， 有何差别？ x M 解： （a）在任意时刻，约束所 容许的位移为虚位移，途中 l 的小球，受到细绳的和自身 m z 重力的约束，在这个时刻，
带入拉格朗日方程得到
U mxi Fi xi (i 1, 2,3)
这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程 即牛顿第二定律
2.已知柱坐标 ( , , z) 与笛卡尔坐标的关系是
x cos , y= sin , z z
如图．设质点在轴对称势能场 U ( ) 中运动， 写出其拉格朗日方程。
Байду номын сангаасD FT
W
坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线 所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴 （向下为正），并取 为广义坐标。
B、D点的x坐标： xB l sin
xD l sin a C点的y坐标： yC 2l cos tan FT rB ( FT rD ) W rC 0
a FT 0 sin 2l
3
杠对B的作用力向内 杠对B的作用力向外 杠对B无作用力
a FT 0 sin 2l
3
a FT 0 sin 2l
3
9．质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面 上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所 示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 X 和滑块相对于斜面的加速度 x 。
(a)证明：当按真实运动方式运动时，作用量是
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
(b)设 x(t1 ) a, x(t2 ) b，求 S0 ；并任意假定一种非真 实的运动方式，计算相应的作用量S1 ，验证 S1 S0 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运 动，速度为常数 。
dt t
1
f q, t s f q, t L q,q, t + q t q 1
q
那么
2 2 f q, t L ' L f q, t q q q tq q q
2 2 f q , t f q, t L ' L q q q tq q q
小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 l 。
（b）小球经过 dt 时间后的位移，可以看作由 两部分组成： （1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 l dte
（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位 移 Xdt A cos (t t0 )dteX
所以，小球的位移为
FT i ( xB i yB j ) ( FT i ) ( xD i yD j ) Wj ( xC i yC j ) 0 FT xB FT xD W yC 0 xB l cos xD l cos
解：系统的拉格朗日函数为
x
1 1 2 2 2 L m( X x cos ) mx sin O 2 2 X 1 2 x1 X x cos MX mgx sin 2 x2 x sin L L m( X x cos ) cos mx sin 2 mg sin x x L L 0 m( X x cos ) MX X X
那么
f q, t L ' L f q, t s L f q, t [ q ] q q q t q q q 1
d L ' d L f q, t [ ] dt q dt q q
S0 L( x, x, t )dt m 2 /2dt m 2 (t2 t1 ) / 2
t1 t1 t2 t2
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入拉氏方程：
m cos ( x cos X ) mx sin 2 mg sin m( X x cos ) MX 0
即有：
mx mX cos mg sin m( X x cos ) MX 0
解之得：
mg sin cos X M m sin 2 ( M m) g sin x M m sin 2
作业参考答案
2013年9月
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐 标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 dt q q ( 1, 2,3)
L为拉格朗日函数
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1, x2 , x3 ，那么
T mxi2 / 2
1 L T U = m( 2 2 2 z 2 ) U ( ) 2
L U ( ) 2 m
L m
L 0
L 0 z L mz z
L m 2
带入拉格朗日方程，则有：
dU ( ) m m , d
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速 度为时间的函数 (t ) ，且满足：
b a (t)dt
t2
那么
υ平方的 平均值大 于υ平均 值的平方。
t1
t2
t1
dt
2
1 1 t2 2 2 t2 t1 S1 m dt m dt t1 2 2 t1 2 2 t2 m m ( b a ) dt S0 t1 2(t2 t1 ) 2(t2 t1 )
W
解： 由虚功原理，在平衡状态下可得
( ) F 主 r 0
l
为了求棒中的张力，可将棒的约 束予以“释放”，以张力 FT 作为 主动力代替棒。此时系统的自由度 为1，系统受3个外力作用：作用于 B的张力 FT ，作用于D的张力 FT ， 作用于C点的W。
B FT
l
C
2 2a
A
l
l
d L L 将拉格朗日方程 dt q q d L L 得到 dt q q
2 2 f q , t f q, t d L q dt q tq q q
代入上两式
由L` 和L 得到的运动方程相同。
12．已知一维运动自由质点的拉氏量是 L m 2 / 2
解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知
dr e d e d ez dz
z
等式两边同时除以dt
r e e ez z
r
z
y
那么，系统的动能为
1 2 1 T = mr m( 2 2 2 z 2 ) 2 2
x
那么，系统的拉格朗日函数为
所以
系统的总能量
1 1 2 E m( X +x cos V ) 2 E m( X x cos ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 M ( X V ) mx sin MX mx sin 2 2 2 2 mgx sin mgx sin
i 1 3
2 L T U mx 所以， i / 2 U ( x1, x2 , x3 ) i 1
3
L 3 2 mxi / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) mxi xi xi i 1 L 3 U 2 mxi / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) xi xi i 1 xi
4. 长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可 以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD 两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距 2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接， 在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦 的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受 到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的 夹角为2 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD A F F 中的张力 T ，讨论 T 的方向 2 l l 2 a 与 的大小的关系。问：在 B D 什么情况下有 FT 0，说明其 l l 意义。 C
a yC (2l sin 2 ) sin
最后可得：
2FT l cos + 2Wl sin Wa csc2 0
2
a FT Wa / (2l sin cos ) W tan =W tan （ -1） 即有： 3 2l sin
P37 第5题
O
X
x
K系（桌面坐标系） 滑块的能量
K’系（沿X方向以速度V相 对于桌面运动的坐标系）
Em
斜面的能量
1 1 m( X +x cos V ) 2 m( X x cos ) 2 Em 2 2 1 2 2 1 2 2 mx sin mgx sin mx sin mgx sin 2 2 1 EM MX 2 1 M ( X V )2 EM 2 2
系统的能量在k系和 k 系之间的变换方程
10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ]证明， 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数 的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3 (3.13)式 ] 得 到的运动方程相同。 证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微分 df q, t f q, t s f q, t L ' L q,q, t L q,q, t q
(
t2
t1
dt
t2 t1
)2
dr l dte A cos (t t0 )dteX
dr 和 r
M
x
l
的区别如图所示：
z
m
M
M
l
x3
m
r
l
x3
m
dr
虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许 的位移。 实际位移除了和约束有关以外，还和物体 当前的运动状态有关；运动方程和约束允许， 在时间间隔内所发生的位移。
2
d (m 2 ) 0 dt
z0
3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 X A sin (t t0 )方式运动，如图所示，小球被限 t t0时悬线竖直向下。 制在 ( x, z )平面内运动，
（a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 r （b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 dt dr 与 r 时间后的位移 dr 。问：当 dt 0 时， 有何差别？ x M 解： （a）在任意时刻，约束所 容许的位移为虚位移，途中 l 的小球，受到细绳的和自身 m z 重力的约束，在这个时刻，
带入拉格朗日方程得到
U mxi Fi xi (i 1, 2,3)
这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程 即牛顿第二定律
2.已知柱坐标 ( , , z) 与笛卡尔坐标的关系是
x cos , y= sin , z z
如图．设质点在轴对称势能场 U ( ) 中运动， 写出其拉格朗日方程。
Байду номын сангаасD FT
W
坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线 所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴 （向下为正），并取 为广义坐标。
B、D点的x坐标： xB l sin
xD l sin a C点的y坐标： yC 2l cos tan FT rB ( FT rD ) W rC 0
a FT 0 sin 2l
3
杠对B的作用力向内 杠对B的作用力向外 杠对B无作用力
a FT 0 sin 2l
3
a FT 0 sin 2l
3
9．质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面 上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所 示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 X 和滑块相对于斜面的加速度 x 。
(a)证明：当按真实运动方式运动时，作用量是
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
(b)设 x(t1 ) a, x(t2 ) b，求 S0 ；并任意假定一种非真 实的运动方式，计算相应的作用量S1 ，验证 S1 S0 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运 动，速度为常数 。
dt t
1
f q, t s f q, t L q,q, t + q t q 1
q
那么
2 2 f q, t L ' L f q, t q q q tq q q
2 2 f q , t f q, t L ' L q q q tq q q
小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 l 。
（b）小球经过 dt 时间后的位移，可以看作由 两部分组成： （1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 l dte
（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位 移 Xdt A cos (t t0 )dteX
所以，小球的位移为
FT i ( xB i yB j ) ( FT i ) ( xD i yD j ) Wj ( xC i yC j ) 0 FT xB FT xD W yC 0 xB l cos xD l cos
解：系统的拉格朗日函数为
x
1 1 2 2 2 L m( X x cos ) mx sin O 2 2 X 1 2 x1 X x cos MX mgx sin 2 x2 x sin L L m( X x cos ) cos mx sin 2 mg sin x x L L 0 m( X x cos ) MX X X
那么
f q, t L ' L f q, t s L f q, t [ q ] q q q t q q q 1
d L ' d L f q, t [ ] dt q dt q q
S0 L( x, x, t )dt m 2 /2dt m 2 (t2 t1 ) / 2
t1 t1 t2 t2
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入拉氏方程：
m cos ( x cos X ) mx sin 2 mg sin m( X x cos ) MX 0
即有：
mx mX cos mg sin m( X x cos ) MX 0
解之得：
mg sin cos X M m sin 2 ( M m) g sin x M m sin 2
作业参考答案
2013年9月
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐 标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 dt q q ( 1, 2,3)
L为拉格朗日函数
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1, x2 , x3 ，那么
T mxi2 / 2
1 L T U = m( 2 2 2 z 2 ) U ( ) 2
L U ( ) 2 m
L m
L 0
L 0 z L mz z
L m 2
带入拉格朗日方程，则有：
dU ( ) m m , d
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速 度为时间的函数 (t ) ，且满足：
b a (t)dt
t2
那么
υ平方的 平均值大 于υ平均 值的平方。
t1
t2
t1
dt
2
1 1 t2 2 2 t2 t1 S1 m dt m dt t1 2 2 t1 2 2 t2 m m ( b a ) dt S0 t1 2(t2 t1 ) 2(t2 t1 )
W
解： 由虚功原理，在平衡状态下可得
( ) F 主 r 0
l
为了求棒中的张力，可将棒的约 束予以“释放”，以张力 FT 作为 主动力代替棒。此时系统的自由度 为1，系统受3个外力作用：作用于 B的张力 FT ，作用于D的张力 FT ， 作用于C点的W。
B FT
l
C
2 2a
A
l
l
d L L 将拉格朗日方程 dt q q d L L 得到 dt q q
2 2 f q , t f q, t d L q dt q tq q q
代入上两式
由L` 和L 得到的运动方程相同。
12．已知一维运动自由质点的拉氏量是 L m 2 / 2
解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知
dr e d e d ez dz
z
等式两边同时除以dt
r e e ez z
r
z
y
那么，系统的动能为
1 2 1 T = mr m( 2 2 2 z 2 ) 2 2
x
那么，系统的拉格朗日函数为
所以
系统的总能量
1 1 2 E m( X +x cos V ) 2 E m( X x cos ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 M ( X V ) mx sin MX mx sin 2 2 2 2 mgx sin mgx sin
i 1 3
2 L T U mx 所以， i / 2 U ( x1, x2 , x3 ) i 1
3
L 3 2 mxi / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) mxi xi xi i 1 L 3 U 2 mxi / 2 U ( x1 , x2 , x3 ) xi xi i 1 xi
4. 长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可 以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD 两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距 2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接， 在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦 的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受 到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的 夹角为2 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD A F F 中的张力 T ，讨论 T 的方向 2 l l 2 a 与 的大小的关系。问：在 B D 什么情况下有 FT 0，说明其 l l 意义。 C
a yC (2l sin 2 ) sin
最后可得：
2FT l cos + 2Wl sin Wa csc2 0
2
a FT Wa / (2l sin cos ) W tan =W tan （ -1） 即有： 3 2l sin
P37 第5题
O
X
x
K系（桌面坐标系） 滑块的能量
K’系（沿X方向以速度V相 对于桌面运动的坐标系）
Em
斜面的能量
1 1 m( X +x cos V ) 2 m( X x cos ) 2 Em 2 2 1 2 2 1 2 2 mx sin mgx sin mx sin mgx sin 2 2 1 EM MX 2 1 M ( X V )2 EM 2 2
系统的能量在k系和 k 系之间的变换方程
10．直接用拉格朗日方程[ 1.1.2 (2.21) 式 ]证明， 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数 的两个拉格朗日函数L` 和L [1.1.3 (3.13)式 ] 得 到的运动方程相同。 证明：L和L’相差一个广义坐标和时间的全微分 df q, t f q, t s f q, t L ' L q,q, t L q,q, t q