正余弦函数的周期性PPT教学课件
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1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt
归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 ,4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？
正弦函数、余弦函数的性质17页PPT
Hale Waihona Puke xRy [1,1]
x2k 时， ymax 1
x2k时，ymin 1
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2 对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写 出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
16
17
单调性 奇偶性 周期性 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3
2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k
时， ymax
1
x
2
2k
时，ymin
1
x[-22k,22k] 增函数
x[22k,322k] 减函数
奇函数
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
y=cosx
y
1
0
2
3
2 5 x
2
2
-1
例2:比较下列各组数的大小：
(1)sin( )与sin( )
18
10
(2)cos(23 )与cos(17 )
5
4
例3：求函数 ysi1 nx()x , 2,2
23 的单调递增区间。
求函数 ysi n (1x)x , 2,2
32
的单调递增区间。
求函数 ycos2(x)
3
的单调递减区间。
谢谢！
具体做法：
(1)选择一个恰当的区间（这个区间的长为一个周期， 且仅有一个单增区间和一个单减区间）
x2k 时， ymax 1
x2k时，ymin 1
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2 对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写 出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
16
17
单调性 奇偶性 周期性 对称性
y=sinx
y
1
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2 5 x
2
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xR
y [1,1]
x
2
2k
时， ymax
1
x
2
2k
时，ymin
1
x[-22k,22k] 增函数
x[22k,322k] 减函数
奇函数
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
y=cosx
y
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2 5 x
2
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例2:比较下列各组数的大小：
(1)sin( )与sin( )
18
10
(2)cos(23 )与cos(17 )
5
4
例3：求函数 ysi1 nx()x , 2,2
23 的单调递增区间。
求函数 ysi n (1x)x , 2,2
32
的单调递增区间。
求函数 ycos2(x)
3
的单调递减区间。
谢谢！
具体做法：
(1)选择一个恰当的区间（这个区间的长为一个周期， 且仅有一个单增区间和一个单减区间）
高一数学《正弦余弦函数的周期性》PPT课件
……
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） ……
f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
铜仁学院数计系
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
-2π ]上的解析式.
4
铜仁学院数计系
谢谢指导！
再见
铜仁学院数计系
特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
铜仁学院数计系
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR;
2
解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π .
.
（3）的周期是2π.
3 f x sinx, xR;
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
铜仁学院数计系
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） ……
f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
铜仁学院数计系
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
-2π ]上的解析式.
4
铜仁学院数计系
谢谢指导！
再见
铜仁学院数计系
特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
铜仁学院数计系
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR;
2
解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π .
.
（3）的周期是2π.
3 f x sinx, xR;
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
铜仁学院数计系
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?
正余弦函数的周期性PPT课件
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正弦余弦函数的周期性
2020年10月2日
1
教材内容： 人教版《全日制普通 高级中学教科书（必 修 ） ·数 学 》 第 一 册 （ 下 ） 第 四 章 4.8 节 “正弦函数、余弦函 数的图象和性质”第3 课时（周期性）
2020年10月2日
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
2
一、教材分析
2020年10月2日
2.观察抽象，形成概念 4.精析例题，运用概念 6.练习反馈，巩固新知
5
三、过程分析
1.创设情景，引入课题
情景①
2020年10月2日
6
三、过程分析
1.创设情景，引入课题
情景②
某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 d 5 7.5 5 2.5 5 7.5 5 2.5 5
结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,
且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π. (4)周期函数是否一定有最小正周期? (5)我们怎样利用函数的周期性,简化对它们的图象和性
质的研究过程?
2020年10月2日
11
三、过程分析
4.精析例题，运用概念
教科书54页例3，求下列函数的周期：
正弦余弦函数的周期性
2020年10月2日
1
教材内容： 人教版《全日制普通 高级中学教科书（必 修 ） ·数 学 》 第 一 册 （ 下 ） 第 四 章 4.8 节 “正弦函数、余弦函 数的图象和性质”第3 课时（周期性）
2020年10月2日
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
2
一、教材分析
2020年10月2日
2.观察抽象，形成概念 4.精析例题，运用概念 6.练习反馈，巩固新知
5
三、过程分析
1.创设情景，引入课题
情景①
2020年10月2日
6
三、过程分析
1.创设情景，引入课题
情景②
某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 d 5 7.5 5 2.5 5 7.5 5 2.5 5
结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,
且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π. (4)周期函数是否一定有最小正周期? (5)我们怎样利用函数的周期性,简化对它们的图象和性
质的研究过程?
2020年10月2日
11
三、过程分析
4.精析例题，运用概念
教科书54页例3，求下列函数的周期：
正弦函数、余弦函数的周期性PPT优秀课件
正弦函数、余弦
函数的周期性
教师：傅启峰
引入:
三角函数是刻画圆周的数学模型, 那么“周而复始”的基本特征必定蕴含 在三角函数的性质之中. 三角函数到底有那些性质呢?
由单位圆中的三角函数线可 知,正余弦函数值的变化呈现出周 期现象.每当角增加(或减少)2π,所 得角的终边与原来的终边相同.故 两角的正弦、余弦函数值也分别 相同.即有:
判断下列函数的周期性：
1 . ysin xx R
2 . y sin xx R
正弦函数 余弦函数的图象和性质 ý Ò Õ Ï º ¯ Ê ý .Ó à Ò º Ï ¯ Ê ý µ Ä Í ¼ Ï ó º Í Ð Ô Ö Ê sin x ,x R 正弦函数 y 的图象
y
正弦曲线
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
2
4
-
6
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 2 , 0 , , 4 , 2 0 ,2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
注意: 1.x及x+T都应在函数的定义域内． 2.T≠0
3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)
4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，
则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
函数的周期性
教师：傅启峰
引入:
三角函数是刻画圆周的数学模型, 那么“周而复始”的基本特征必定蕴含 在三角函数的性质之中. 三角函数到底有那些性质呢?
由单位圆中的三角函数线可 知,正余弦函数值的变化呈现出周 期现象.每当角增加(或减少)2π,所 得角的终边与原来的终边相同.故 两角的正弦、余弦函数值也分别 相同.即有:
判断下列函数的周期性：
1 . ysin xx R
2 . y sin xx R
正弦函数 余弦函数的图象和性质 ý Ò Õ Ï º ¯ Ê ý .Ó à Ò º Ï ¯ Ê ý µ Ä Í ¼ Ï ó º Í Ð Ô Ö Ê sin x ,x R 正弦函数 y 的图象
y
正弦曲线
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因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 2 , 0 , , 4 , 2 0 ,2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
注意: 1.x及x+T都应在函数的定义域内． 2.T≠0
3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)
4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，
则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
正弦函数、余弦函数的性质 课件
类型二 三角函数奇偶性的判断
【典例】1.(沧州高一检测)函数f(x)= 的奇偶性为 ( )
sin2x2
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.判断函数f(x)=sin (3 x 3) 的奇偶性.
42
【审题路线图】1.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称 ⇒f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称⇒f(-x)与f(x)的 关系.
2
是偶函数,故选C.
2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=π,
所以 f( 5 π)＝f( 5 π－2π)＝f(－π )，
3
3
3
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以 f( 5 π)＝f(－π )＝f( π )＝sin π＝ 3 .
3
33
32
【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变,结果如何?
类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用
【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的
2
是( )
A.y=sin4x
C.y＝sin(4x＋π ) 2
B.y=cos 1 x
4
D.y＝cos( 1 x－π ) 42
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若
f(x)的最小正周期为π,且当x∈ [0，] 时,f(x)=sinx,
4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= ________. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6
5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是 ________函数.(填写奇或偶)
正余弦函数的周期性.ppt
正弦函数是周期函数， k (k Z 且k 0) 2
都是它的周期，最小正周期是 2 类似的，请同学们自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ探索 y y=cosx 余弦函数的周期性，并得出 结果
x
余弦函数是周期函数，2k (k Z 且k 0) 都是它的周期，最小正周期是
2
例2：求下列函数的周期
(1) y 3cos x, x R (2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6
基础达标
一、选择题 1．下列函数中，最小正周期为 π 的函数是( ) x x A．y＝sin2 B．y＝cos2 C．y＝cosx D．y＝cos2x 2π 2π 解析：A 中 T＝ 1 ＝4π；B 中 T＝ 1 ＝4π；C 中 T＝2π. 2 2 答案：D
2 π 2．函数 y＝5sin5x＋6的最小正周期是(
答案：4
小结：
• 1.周期性的定义 • 2.正余弦型函数周期的求法 • 3.周期性的运用
作业：
课本：
P46 习题3、10
你能从例2的解答过程中归纳一 下这些函数的周期与解析式中 哪些量有关吗？
2π T 自变量的系数的绝对值 A sin(x ) A sin(x 2 )
拓广延伸，总结方法
A sin[ ( x
结论：
2
) ]
y A sin(x x )( A , 0 0 y A sin( )(0A 0),的周期为 ) 2 2 的周期为 T T ( 0) y A cos(xx )( A)( A 0,) 0) y A cos( 0, 0 的周期为 22 的周期为 T T ( 0)
1.4.2第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性 课件(共25张PPT)
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章 三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
周期函数与最小 正周期的意义
―掌―握→
正、余弦函数的周 期性和奇偶性
重点难点 重点：正、余弦函数的性质． 难点：有关正、余弦函数的奇偶性的判定．
栏目 导引
第一章 三角函数
又 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin34x＋32π是偶函数．
栏目 导引
第一章 三角函数
(3)函数应满足 1＋sin x≠0， ∴函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋ 32π，k∈Z}． 显然定义域不关于原点对称， 故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x为非奇非偶函数．
栏目 导引
第一章 三角函数
精彩推荐典例展示
易错警示
周期函数的判定
例4 判断函数 y＝cos(2x－π6)，x∈[－π，π]是
否是周期函数． 【常见错误】 (1)直接利用 cos(2x－π6＋2π)＝cos(2x－
π6)，从而得出该函数的周期为 2π 的错误答案．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2) 由
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
2．求下列三角函数的周期：
(1)y＝sin(x＋π3)；(2)y＝cos 2x；(3)y＝3sin(x2＋π3)． 解：(1)令 z＝x＋π3，而 sin(2π＋z)＝sin z，即 f(2π＋z)＝f(z)．f[(x
＋2π)＋π3]＝f(x＋π3)．∴T＝2π. (2)令 z＝2x，则 f(x)＝cos 2x＝cos z＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π) ＝cos[2(x＋π)]，即 f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
周期函数与最小 正周期的意义
―掌―握→
正、余弦函数的周 期性和奇偶性
重点难点 重点：正、余弦函数的性质． 难点：有关正、余弦函数的奇偶性的判定．
栏目 导引
第一章 三角函数
又 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin34x＋32π是偶函数．
栏目 导引
第一章 三角函数
(3)函数应满足 1＋sin x≠0， ∴函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋ 32π，k∈Z}． 显然定义域不关于原点对称， 故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x为非奇非偶函数．
栏目 导引
第一章 三角函数
精彩推荐典例展示
易错警示
周期函数的判定
例4 判断函数 y＝cos(2x－π6)，x∈[－π，π]是
否是周期函数． 【常见错误】 (1)直接利用 cos(2x－π6＋2π)＝cos(2x－
π6)，从而得出该函数的周期为 2π 的错误答案．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2) 由
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
2．求下列三角函数的周期：
(1)y＝sin(x＋π3)；(2)y＝cos 2x；(3)y＝3sin(x2＋π3)． 解：(1)令 z＝x＋π3，而 sin(2π＋z)＝sin z，即 f(2π＋z)＝f(z)．f[(x
＋2π)＋π3]＝f(x＋π3)．∴T＝2π. (2)令 z＝2x，则 f(x)＝cos 2x＝cos z＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π) ＝cos[2(x＋π)]，即 f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.
1 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性(共42张PPT)
1．函数的周期性 (1) 周 期 函 数 ： 一 般 地 ， 设 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 D ， 如 果 存 在 一 个 ___非__零__常__数__T__，使得对每一个 x∈D 都有 x＋T∈D，且___f_(x_＋__T__)＝__f_(_x_)__， 那么函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周期． (2) 最 小 正 周 期 ： 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 存 在 一 个 最 小 的 __正__数____，那么这个最小__正__数____就叫做 f(x)的___最__小__正__周__期_____．
(4)若 T 是函数 f(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期． ( √ )
2．下列函数中，最小正周期为 4π 的是
A．y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝sinx2 答案：C
D．y＝cos 2x
()
3．函数 y＝2sin2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
＝sin 2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋52π是奇函数． (2)函数的定义域为 R， 且 f(－x)＝sin[cos(－x)] ＝sin(cos x)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(cos x)是偶函数．
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意] 与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公式化简，再 判断函数的奇偶性．
解：(1)显然 x∈R，f(x)＝sin 34x＋32π＝－cos 34x， 所以 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin 34x＋32π是偶函数． (2)显然 x∈R， f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin|x|是偶函数．
正余弦函数的周期性PPT优选课件
2020/10/18
7
三、过程分析
2.观察抽象，形成概念
(1)回顾：怎样由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象？
终边相同的角有相同的三角函数值
y=sinx,x∈[0,2π]的图象 将图象左右平移
y=sinx,x∈R的图象
2020/10/18
8
三、过程分析 (2)观察：
sin(x+2kπ)=sinx→f(x+T)=f(x) (5)翻译：
对于自变量的一切值→x取定义域内的每一个值；每增 加或减少一个定值，函数值重复取得→存在一个非零常数T， 使得f(x+T)=f(x)。
周期函数及周期的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫 做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,
且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π. (4)周期函数是否一定有最小正周期? (5)我们怎样利用函数的周期性,简化对它们的图象和性
质的研究过程?
2020/10/18
11
三、过程分析
4.精析例题，运用概念
教科书54页例3，求下列函数的周期：2020/10/18来自10三、过程分析
3.讨论问题，剖析概念
(1)对于函数y=sinx,x∈R,有
,能否说
是它的一个周期?为什么?
(2)f(x)=x2是周期函数吗?为什么?
(3)给出最小正周期的定义.提问：由周期函数的定义可知,正 弦、余弦函数是周期函数,那么它们的周期是什么?最小正周期又 是什么?
2020/10/18
正弦、余弦函数的周期性PPT优秀课件
量地刻画这种“周而复始”的变化规律
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x),
那么函数f(x)就叫周期函数（periodic function）, 非零常数T叫做这个函数的周期（period） 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小 正周期（minimal positive period）
例题理解
例 2求下列函数的周期： （1） y 3 cos x, x R ; （2） y sin 2 x, x R ;
（3） y 2 sin( 1 x ), x R.
26
思考：你能从例2的解答过程中归纳一下这些函数 的周期与解析式中的哪些量有关系吗？
探索规
4
律
2
f(x)=sinx
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x),
那么函数f(x)就叫周期函数（periodic function）, 非零常数T叫做这个函数的周期（period） 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小 正周期（minimal positive period）
例题理解
例 2求下列函数的周期： （1） y 3 cos x, x R ; （2） y sin 2 x, x R ;
（3） y 2 sin( 1 x ), x R.
26
思考：你能从例2的解答过程中归纳一下这些函数 的周期与解析式中的哪些量有关系吗？
探索规
4
律
2
f(x)=sinx
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
沪教版数学高一下册-6.1正弦函数和余弦函数的图像和性质 -正弦函数和余弦函数的周期 课件(共18张PPT)
f(x)cos2x是周期函数，周 。期为
正弦函数、余弦函数的周期性
，
算一算：
1、 函f数 (x)A si nx ()(其A 中 0， 0)
的最小正 2ωπ 周 。期为
2、函 f(x) 数 A cox s()(其A 中 0， 0) 2π 的最小正 ω 。 周期是
正弦函数、余弦函数的周期性
想一想?
函数 f(x) 3sin(1x)的周期是多
用数学语言描述函数的这个特征： f(x1)f(x)
正弦函数、余弦函数的周期性
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在 一个常数T (T≠0 )，使得当x取定义域D内 的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立， 那么这个函数f(x)叫做 周期函数。
常数T叫做函数f(x)的周期。
正弦函数、余弦函数的周期性 问题1：正弦函数 f(x)=sinx 是周期函数吗？
正弦函数、余弦函数的周期性 请你写出一个最小正周期为2的函数。
正弦函数、余弦函数的周期性
1、周期函数的概念：
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在一个常数T (T≠0 )，使得当 x取定义域D内的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立，那么这个函 数f(x)叫做 周期函数。常数T叫做函数f(x)的周期。
f(x2T) f(xTT) f(xT) f(x), f(x3T) f(x2TT) f(x2T) f(x), 对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做这个 函数的 最小正周期。
函数y=sinx和y=cosx的最小正周期是： 2π
正弦函数、余弦函数的周期性
问题4：是否所有的周期函数都有最小正周期？
对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存
正弦函数、余弦函数的周期性
，
算一算：
1、 函f数 (x)A si nx ()(其A 中 0， 0)
的最小正 2ωπ 周 。期为
2、函 f(x) 数 A cox s()(其A 中 0， 0) 2π 的最小正 ω 。 周期是
正弦函数、余弦函数的周期性
想一想?
函数 f(x) 3sin(1x)的周期是多
用数学语言描述函数的这个特征： f(x1)f(x)
正弦函数、余弦函数的周期性
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在 一个常数T (T≠0 )，使得当x取定义域D内 的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立， 那么这个函数f(x)叫做 周期函数。
常数T叫做函数f(x)的周期。
正弦函数、余弦函数的周期性 问题1：正弦函数 f(x)=sinx 是周期函数吗？
正弦函数、余弦函数的周期性 请你写出一个最小正周期为2的函数。
正弦函数、余弦函数的周期性
1、周期函数的概念：
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在一个常数T (T≠0 )，使得当 x取定义域D内的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立，那么这个函 数f(x)叫做 周期函数。常数T叫做函数f(x)的周期。
f(x2T) f(xTT) f(xT) f(x), f(x3T) f(x2TT) f(x2T) f(x), 对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做这个 函数的 最小正周期。
函数y=sinx和y=cosx的最小正周期是： 2π
正弦函数、余弦函数的周期性
问题4：是否所有的周期函数都有最小正周期？
对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
二、正弦余弦函数的性质
y
-
1-
-
-
-
-
-
6
4
-
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦函数y=sinx的图 象
每隔2 ，图象重复出现y
即 对 x ， y 任 s（ ix n 意 2 ） sixn 1-
-
4
-
6
-
4
4、正弦函数余弦函数的奇偶性
2
-
y
正弦函数y= si nx的图象
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
y
余弦函数y = c osx的图象
2
-
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
-
-
1）奇偶性 正弦函数y＝sinx：奇函数；余弦函数y＝cosx：偶函数 2）对称性： 正弦函数关于原点对称；余弦函数关于y轴对称。
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
二、正弦余弦函数的性质
y
-
1-
-
-
-
-
-
6
4
-
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦函数y=sinx的图 象
每隔2 ，图象重复出现y
即 对 x ， y 任 s（ ix n 意 2 ） sixn 1-
-
4
-
6
-
4
4、正弦函数余弦函数的奇偶性
2
-
y
正弦函数y= si nx的图象
1-
o -1-
2
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4
-
6
x
-
y
余弦函数y = c osx的图象
2
-
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
-
-
1）奇偶性 正弦函数y＝sinx：奇函数；余弦函数y＝cosx：偶函数 2）对称性： 正弦函数关于原点对称；余弦函数关于y轴对称。
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
1.4正弦函数、余弦函数(周期性)(共20张PPT)
2、通常我们用“＿五＿点＿法”来画正弦曲线和 余弦曲线，五点包含的是当x= ＿0＿、 ＿＿、 ＿π＿、 ＿＿、 ＿2＿π 时的点。
复习回顾
3、作正弦函数和余弦函数的简图中五点分别是？
.y
1
y=.sinx
.
O
π.
.
π
-1
2
.
y=c.osx
3 π.
.
2π x
2.
抛砖引玉
1、正弦曲线具有“周而复始”的变化规律， 即自变量每隔2π个单位函数值重复出现，这 一规律的理论依据是什么？
T=2π
26
解:(1)∵3cos(x+2π)=3cosx
∴由周期函数定义知，函数周期为2π。
典例分析
例1. 利用定义求下列函数的周期 f（x T） f（x）
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R (3) y 2sin(1 x )
T=2π
T=π
26
(2) ∵ sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x
sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z)
2、设f(x)=sinx，则sin(x+2kπ)=sinx如何表示？ 其数学意义如何？
f(x+2kπ)=f(x)
我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期。如何定义周期函数？
风采展示
1、周期函数
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，
（其中 A,,为常数，且
A
0
）周期是？T
2
即时练习：
求下列函数的最小正周期
(1) y sin 2x
T 2 2 2 || 1
复习回顾
3、作正弦函数和余弦函数的简图中五点分别是？
.y
1
y=.sinx
.
O
π.
.
π
-1
2
.
y=c.osx
3 π.
.
2π x
2.
抛砖引玉
1、正弦曲线具有“周而复始”的变化规律， 即自变量每隔2π个单位函数值重复出现，这 一规律的理论依据是什么？
T=2π
26
解:(1)∵3cos(x+2π)=3cosx
∴由周期函数定义知，函数周期为2π。
典例分析
例1. 利用定义求下列函数的周期 f（x T） f（x）
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R (3) y 2sin(1 x )
T=2π
T=π
26
(2) ∵ sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x
sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z)
2、设f(x)=sinx，则sin(x+2kπ)=sinx如何表示？ 其数学意义如何？
f(x+2kπ)=f(x)
我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期。如何定义周期函数？
风采展示
1、周期函数
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，
（其中 A,,为常数，且
A
0
）周期是？T
2
即时练习：
求下列函数的最小正周期
(1) y sin 2x
T 2 2 2 || 1
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浩大1的9“从58除年“四，可害中”持华运大续动地发。掀一展起时一”间股的，声全势 国角上度下对来老看鼠，、苍这蝇场、运蚊子动、是麻对雀展 开的大吗规模？围现剿在。被还株应连该的还开有展野吗猪、？
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
正弦余弦函数的周期性
教材内容：
人教版《全日制普通 高级中学教科书（必 修）·数学》第一册 （ 下 ） 第 四 章 4.8 节 “正弦函数、余弦函 数的图象和性质”第3 课时（周期性）
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
一、教材分析
1.教学内容的地位和作用 理论上是重要基础 实际中是重要工具 体现数形结合思想 培养学生思维能力 简化研究过程
三、过程分析
3.讨论问题，剖析概念
(1)对于函数y=sinx,x∈R,有
,能否说
是它的一个周期?为什么?
(2)f(x)=x2是周期函数吗?为什么?
(3)给出最小正周期的定义.提问：由周期函数的定义可知,正 弦、余弦函数是周期函数,那么它们的周期是什么?最小正周期又 是什么?
结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,
价
都需要野生生物。
值
美学价值：色彩纷呈的花木及神态各异
的动物都能给人以美的享受。
人们模拟苍蝇的平衡棒研制出运载火箭 的振动陀螺仪
神奇的山水配以绚丽的生物，给人 以美的感受。
间接使用价值
间接使用价值指生物多样性具有重要的生态功 能。
动物需要以特定的生物为食物，同时它的发展 又需要相应的生物来制约它；植物需要特定的动物 来为它传粉、散播种子，还需要各种微生物将不能 利用的有机物分解为无机盐以便重新利用。各种生 物共同维持生态系统的结构与功能。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。
生 ２、特有和古老的物种多。许多稀有古
物 老的物种都能在我国找到。
多
样 ３、经济物种丰富。我国有许多具有很
性
高经济价值的野生生物，有几十种
特
农作物及家养动物起源于我国。
点 ４、生态系统多样。海洋、沼泽、江
河、湖泊、高山、平原、沙漠等各
作业：教科书习题4.8第3题 思考题：
(1)求y=|sinx|(x∈R)的周期。 (2)证明y=sinx(x∈R)的最小正周期是2π。
四、教法分析
1.教学手段：CAI 2.教学方法：启发引导、讲授与讨论相结合 3.学法指导：观察、联想、抽象、概括
五、评价分析
1. 概念的形成 2. 重点的突出 3. 难点的分散 4. 学生的参与
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
性
剩圈养类型，近亲繁殖严重。
面
临 的 威 胁
生态系统多样性破坏：许多河湾、湖泊 湿地改造成农田。森林贮量骤减、 草原退化、沙漠化严重……
生物多样性面临威胁的原因
1、生存环境的改变和破坏 2、掠夺式的开发利用 3、环境污染 4、外来物种的入侵或引种到缺少 天敌的地区
生物多样性的保护
1、就地保护 2、迁地保护 3、较强教育和法制管理
2.能力目标：
渗透数形结合思想，培养学生从感性到理性的抽象概括能 力、从特殊到一般的归纳总结能力，培养学生探究问题的能力。
3.情感目标：
让学生感受数学的理性美，激发学习兴趣，培养学生不断 发现、探索新知识的精神，促进良好个性品质的发展。
三、过程分析
1.创设情景，引入课题 3.讨论问题，剖析概念 5.拓广延伸，总结方法 7.归纳小结，布置作业
2.重点难点及其成因 重点：正弦、余弦函数的周期性 难点：周期函数的意义
二、目标分析
1.知识目标：
（1）理解周期函数与周期的意义。 （2）能说明正弦函数及余弦函数是周期函数，并能说出 y=sinx，y=cosx的周期和最小正周期。 （3）掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数且A≠0， ω>0，x∈R)的周期是T= 2π/ω，且能用它直接写出函数的周期。
63
6
形：图象按照一定规律重复出现。 数：对于自变量的一切值每增加或减少一个定值时，
函数值重复取得。
三、过程分析
2.观察抽象，形成概念
(3)联想： 诱导公式 sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z)
(4)抽象：
sinx→f(x),2kπ→T,
sin(x+2kπ)=sinx→f(x+T)=f(x) (5)翻译：
特
河、湖泊、高山、平原、沙漠等各
点
式各样的生态系统为各种生物提供
了必要的生存环境。
我国有世界上最多的野生生 物物种，是不是说明我国的野生 生物资源十分丰富呢，像以前所 说的“地大物博”呢？
不！我国生物的多样性已面 临严重的威胁！
我 物种灭绝加速：目前光鸟类就每三年有
国
两种灭绝，其它物种更难统计。而
对于自变量的一切值→x取定义域内的每一个值；每增 加或减少一个定值，函数值重复取得→存在一个非零常数T， 使得f(x+T)=f(x)。
周期函数及周期的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫 做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
式各样的生态系统为各种生物提供
了必要的生存环境。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。
生
２、特有和古老的物种多。许多稀有古 老的物种都能在我国找到。
物
多
３、经济物种丰富。我国有许多具有很 高经济价值的野生生物，有几十种
样
农作物及家养动物起源于我国。
性 ４、生态系统多样。海洋、沼泽、江
2.观察抽象，形成概念 4.精析例题，运用概念 6.练习反馈，巩固新知
三、过程分析
1.创设情景，引入课题
情景①
三、过程分析
1.创设情景，引入课题
情景②
某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 d 5 7.5 5 2.5 5 7.5 5 2.5 5
三、过程分析
2.观察抽象，形成概念
(1)回顾：怎样由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象？
终边相同的角有相同的三角函数值
y=sinx,x∈[0,2π]的图象 将图象左右平移
y=sinx,x∈R的图象
三、过程分析 (2)观察：
2.观察抽象，形成概念
sin( 2 ) sin
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
野生生物的灭绝或严重减少将导致生态系统稳 定性的破坏，甚至造成生态灾难。
多种多样的生物共 同维持生态系统的 结构与功能
潜在使用价值
潜在使用价值指目前尚未被人发 现的使用价值。目前绝大多数野生 生物的使用价值都未被人充分发掘 出来。如果一种生物灭绝了，它的 任何使用价值都将永远找无法得到 了。
如广泛分布于广东各地山林中的三叉 苦，过去一直被人们砍来作柴烧，使用价 值很低。80年代科学家以它为主要原料生 产出三九胃泰及999感冒灵等药品，使得三 叉苦的身价一下子上升了几百倍。
思考：通过对这3道题的解答，你发现了什么规律？即 这些函数的周期只与什么有关？
三、过程分析
结论：函数
及函数
5.拓广延伸，总结方法
的周期
三、过程分析
6.练习反馈，巩固新知
教科书57页第5题 补充练习：
求函数
的周期
三、过程分析
7.归纳小结，布置作业
提问： (1)这节课我们学习了哪些知识？ (2)你对这节课有何感受？
沙漠化
生
物
多
森林、湿地变
草原过载退化
样
农田
性
面
临 的 威 胁
生态系统多样性破坏：许多河湾、湖泊 湿地改造成农田。森林贮量骤减、 草原退化、沙漠化严重……
我 物种灭绝加速：目前光鸟类就每三年有
国
两种灭绝，其它物种更难统计。而
生
且有加速趋势。
物
多 基因多样性减少：许多物种的野生类型
样
数量严重减少，濒临灭绝。有些只
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π. (4)周期函数是否一定有最小正周期? (5)我们怎样利用函数的周期性,简化对它们的图象和性
质的研究过程?
三、过程分析
4.精析例题，运用概念
教科书54页例3，求下列函数的周期：
分析：最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小的正数，这个最小的正数是对x而言的。 第(2)小题的解答可以改写成： ∵f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，∴T=π