第七章 时变电磁场
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《电磁场与电磁波》课程教学大纲
《电磁场与电磁波》课程教学大纲一、课程基本信息课程编码：07S2117B中文名称：电磁场与电磁波英文名称：E1ectromagneticFie1dandE1ectromagneticWave课程类别：专业核心课总学时：48总学分：3适用专业：电子科学与技术专业先修课程：高等数学、大学物理、场论、数学物理方程二、课程性质及目标教学性质：电磁场与电磁波是电子科学与技术专业学生的一门专业核心课程。
通过本课程的学习，要求学生系统地理解电磁场与电磁波的基本概念、基本性质和基本规律，掌握求解电磁场问题的基本方法，为进一步学习其他课程特别是专业课打下基础。
课程目标：1.通过本课程知识的学习，使学生了解电磁场论的发展历程，掌握电磁场论的基本概念、基本性质和基本规律，掌握求解电磁场问题的基本方法，为后续专业课程奠定基础。
引导学生学习科技发展史，树立科技强国意识，感受中国在电子领域的先进成果，激励学生自觉融入到实现中华民族伟大复兴的中国梦进程中。
2.通过本课程知识的学习，使学生掌握电磁场论计算理论的基本方法，并能在具体电子科学与技术专业的具体问题中加以应用。
培养学生解决问题方法的多样性，提高学生数学分析的能力。
3.通过本课程知识的学习，使学生掌握电磁场论分析问题的基本方法，并能在复杂的实际情况中加以应用。
培养学生逻辑思维和创新能力，提高学生设计、开发系统的能力。
不同介质和边界条件对应的场方程形式不同，引导学生用发展的眼光看问题，终身学习，与时俱进，始终拥有先进的理念和较高的职业素养。
I.采用启发式、案例式教学，激发学生主动学习的兴趣，培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。
2.结合科研生产中的实际例子对课程进行讲解，通过课堂讲解，加强学生对基础知识及基本理论的理解。
3.教学以课堂讲授为主，多媒体辅助教学，提高课堂教学信息量，增强教学的直观性、形象性。
4.通过课内讨论与课外答疑、线下辅导与线上交流相结合的方式，调动学生学习的主观能动性，培养学生的自学能力。
第07章 时变电磁场(2)PPT文档共31页
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
第07章 时变电磁场(2)
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易Leabharlann 安。谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
第07章 时变电磁场(2)
6
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露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
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吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易Leabharlann 安。谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
第7章 时变电磁场
位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它
揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。
注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。
电磁场与电磁波
第 7 章 时变电磁场
17
例 7.2.1 海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为 81 ，求频 率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
C
s
t
全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可 以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶 关系。
电磁场与电磁波
第 7 章 时变电磁场
16
2. 位移电流密度
D Jd t
r Jd
电位移矢量随时间的变化率，能像电
流一样产生磁场，故称“位移电流”。
位移电流只表示电场的变化率，与传 导电流不同，它不产生热效应。
电磁场与电磁波
第 7 章 时变电磁场
1
7.1法拉第电磁感应定律 7.2位移电流 7.3麦克斯韦方程组 7.4电磁场边界条件 7.5动态矢量位和标量位 7.6坡印廷定理和坡印廷矢量 7.7波动方程
电磁场与电磁波
第 7 章 时变电磁场
2
7.1 电磁感应定律 1881年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，
• 感应电场是有旋场。
• 感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外
的空间。
• 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有
C
r Ein
r dl
d dt
rr B dS
S
若空间同时存在由电荷产生的电场
r
工程电磁场导论时变电磁场
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，适用于处理规则的几 何形状和网格划分。
边界元法
01
边界元法是一种将偏微分方程的求解域离散化为边界离散点的 方法，通过在边界上应用离散化的方程来求解问题。
02
在时变电磁场中，边界元法可以用来求解电磁波散射和辐射等
问题。
边界元法的优点在于精度高，适用于处理复杂的几何形状和边
介电常数
描述电场中物质电容特性的物理量，单位 为法拉/米（F/m）。介电常数的大小与物 质的极化程度有关。
VS
磁导率
如前所述，描述材料对磁场响应能力的物 理量。在时变电磁场中，磁导率是复数， 其实部表示物质的磁性，虚部表示物质的 损耗。
铁电材料与铁磁材料
铁电材料
具有自发极化且在一定温度范围内铁电体从 顺电相转变为铁电相的材料。其特点是具有 较高的介电常数和较弱的磁导率。
包括四个基本方程，其中三个描述了电场和磁场的变化，一个描述了电荷 与电流的关系。
适用于所有频率和波长的电磁波，包括无线电波、可见光、X射线等。
波动方程
是描述波动现象的基 本方程，包括声波、 光波、电磁波等。
波动方程是偏微分方 程，需要求解以获得 电场和磁场的分布和 变化。
在时变电磁场中，波 动方程描述了电场和 磁场在空间中的传播 和变化。
铁磁材料
具有显著磁性的材料，其特点是具有较高的 磁导率和较弱的介电常数。在时变电磁场中， 铁磁材料的磁导率可能表现出强烈的非线性。
06
时变电磁场中的数值计算 方法
有限元法
01
有限元法是一种将连续的求解 域离散化为有限个小的、相互 连接但不重叠的单元，然后对 每个单元进行求解的方法。
02
在时变电磁场中，有限元法可 以用来求解复杂的电磁问题， 如电磁波传播、电磁散射和辐 射等。
边界元法
01
边界元法是一种将偏微分方程的求解域离散化为边界离散点的 方法，通过在边界上应用离散化的方程来求解问题。
02
在时变电磁场中，边界元法可以用来求解电磁波散射和辐射等
问题。
边界元法的优点在于精度高，适用于处理复杂的几何形状和边
介电常数
描述电场中物质电容特性的物理量，单位 为法拉/米（F/m）。介电常数的大小与物 质的极化程度有关。
VS
磁导率
如前所述，描述材料对磁场响应能力的物 理量。在时变电磁场中，磁导率是复数， 其实部表示物质的磁性，虚部表示物质的 损耗。
铁电材料与铁磁材料
铁电材料
具有自发极化且在一定温度范围内铁电体从 顺电相转变为铁电相的材料。其特点是具有 较高的介电常数和较弱的磁导率。
包括四个基本方程，其中三个描述了电场和磁场的变化，一个描述了电荷 与电流的关系。
适用于所有频率和波长的电磁波，包括无线电波、可见光、X射线等。
波动方程
是描述波动现象的基 本方程，包括声波、 光波、电磁波等。
波动方程是偏微分方 程，需要求解以获得 电场和磁场的分布和 变化。
在时变电磁场中，波 动方程描述了电场和 磁场在空间中的传播 和变化。
铁磁材料
具有显著磁性的材料，其特点是具有较高的 磁导率和较弱的介电常数。在时变电磁场中， 铁磁材料的磁导率可能表现出强烈的非线性。
06
时变电磁场中的数值计算 方法
有限元法
01
有限元法是一种将连续的求解 域离散化为有限个小的、相互 连接但不重叠的单元，然后对 每个单元进行求解的方法。
02
在时变电磁场中，有限元法可 以用来求解复杂的电磁问题， 如电磁波传播、电磁散射和辐 射等。
第07章 时变电磁场(3)
Im ( 2H ) j Im
即 同理可得
பைடு நூலகம்
2J j 2D j 2J j 2D
以及
Re ( 2H ) Re
E j B B 0 D
J j D E BH
式中 E (r ) 及 H * (r ) 均为有效值。
又可用场强最大值表示为
1 (r ) H * (r ) Sc (r ) Em m 2
那么，复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为
1 Re( Sc ) Em (r ) H m (r ) cos( e h ) 2
正弦函数的初始相位。
正弦电磁场又称为时谐电磁场。
由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定
条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电 磁场是具有实际意义的。
正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。虽
然场的变化落后于源，但是场与源随时间的变化规律是相同的，所以 正弦电磁场的场和源具有相同的频率。 对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅
实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值）， 以
表示正弦量的有效值，则 E (r )
式中
(r ) E(r )e j e ( r ) E Em (r ) E (r ) 2
所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为 (r ) 2 E (r ) Em 有的书刊将正弦电磁场表示为
已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式表 考虑到正弦时间函数的时间导数为 示麦克斯韦方程。 jt E (r , t ) (r )e ) Im( j 2 E (r )e jt ) Im( j Em t 因此，麦克斯韦第一方程 H E E 可表示为 t
第七章 时变电磁场
v v ∂D v (J + ) ⋅ ds = 0 ∫s ∂t
全电流的无散性和连续性
4、推广的安培回路定律的几点说明： 、推广的安培回路定律的几点说明： ①分布电流和时变的电场都是磁场的源
v v r ②位移电流 ∂ D / ∂ t 与分布电流 J 有着本质的区别，∂ D / ∂ t 的
存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。 ③定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时 变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。
π
π
8 频率为 f = 4 × 10 Hz ，写成对应的瞬时表达式。
解： 利用公式 j = e
j
π
2
将所给表达式写成模值和辐角的形式
π
2
H y = 120π e
j
e
− j[ ( x − 2 y − z )+ ] 3 4
π
π
= 120π e
− j[ ( x − 2 y − z )− ] 3 4
π
π
对应的瞬时分量表达式为
例7.1 试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明：①导线上的传导电流是 I = ∂ Q ∂ t 假设电容器极板面积为S，电荷在极板 上均匀分布，则 Q = ρ s S
K I
S
S1
v d ∂ ρs D 所以传导电流为 I =S ∂t S2 ②由导体的边界条件知 D = ρ s I ∂ D ∂ ρs Jd = = 则位移电流为 图7－1 接有电容器的电路 ∂t ∂t ∂ ρs ③因此 Id = Jd S = S =I ∂t ★位移电流作为传导电流的继续，从电极1 流到电极2
所以复矢量表达式为
π v j[ ( 2 x + ˆ E ( x, y, z ) = x120π e 3
全电流的无散性和连续性
4、推广的安培回路定律的几点说明： 、推广的安培回路定律的几点说明： ①分布电流和时变的电场都是磁场的源
v v r ②位移电流 ∂ D / ∂ t 与分布电流 J 有着本质的区别，∂ D / ∂ t 的
存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。 ③定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时 变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。
π
π
8 频率为 f = 4 × 10 Hz ，写成对应的瞬时表达式。
解： 利用公式 j = e
j
π
2
将所给表达式写成模值和辐角的形式
π
2
H y = 120π e
j
e
− j[ ( x − 2 y − z )+ ] 3 4
π
π
= 120π e
− j[ ( x − 2 y − z )− ] 3 4
π
π
对应的瞬时分量表达式为
例7.1 试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明：①导线上的传导电流是 I = ∂ Q ∂ t 假设电容器极板面积为S，电荷在极板 上均匀分布，则 Q = ρ s S
K I
S
S1
v d ∂ ρs D 所以传导电流为 I =S ∂t S2 ②由导体的边界条件知 D = ρ s I ∂ D ∂ ρs Jd = = 则位移电流为 图7－1 接有电容器的电路 ∂t ∂t ∂ ρs ③因此 Id = Jd S = S =I ∂t ★位移电流作为传导电流的继续，从电极1 流到电极2
所以复矢量表达式为
π v j[ ( 2 x + ˆ E ( x, y, z ) = x120π e 3
《电磁场》课件—第七章 时变电磁场2(复数表示边界条件动态位)
ε ∇ ⋅ E = ρ
E + ∂ A = −∇ϕ ∂t
( ) µ J+ µε ∂ E = ∇ ∇ ⋅ A − ∇2 A ∂t
∇ ⋅ A = ?
∇2ϕ + ∇ ⋅ ∂ A = − ρ ∂t ε
∇2 A − µε ∂2 A ∂t
=
−µ
J+
∇
µε
∂ϕ ∂t
+
∇
⋅
A
（1）库仑规范
∇2ϕ + ∇ ⋅ ∂A = − ρ ∂t ε
( ) eˆ n ⋅ B2 − B1 = 0
( ) eˆ n × E2 − E1 = 0
( ) eˆ n × H 2 − H1 = K
H 2
Kêu
E 2
γ1=∞
γ2=0
理想导体和理想介质的分界面
E1 = 0, D1 = 0; B1 = 0, H1 = 0
D2 n = σ
eˆ n ⋅ D 2 = σ
E2t = 0
γ =∞
一般 导体？
1）根据 J = γ E ，理想导体内部不可能存在电场，否则将会导致电流
无限大 ∞ = ∞ × 有限值。
E = 0
2）根据∇ × E = −∂B / ∂t ，电场既然为零，磁场只能为常数，如果不
考虑与时间无关的量，可设为零。即理想导体内部不可能存在磁场。
B = 0
3）根据 ∇ × H=
⋅
dS
∫SB ⋅ dS = 0
E1
β ∆L
êt
P
ε1
E 2
ε2
ên
E2t − E1t =0 + 0
( ) eˆ n × E2 − E1 = 0
时变电磁场的边界条件
时变电磁场的边界条件
1、在任何边界上电场强度的切向分量是连续的（条件：磁感应强度的变化率有限）
2、在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的
3、电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。
两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的
4、磁场强度的切线分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的（条件：电通密度的时间变化率有限）。
但在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的
5、理想导体内部不可能存在电场，否则将会导致无限大的电流；理想导体内部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导体内部会产生时变电场。
在理想导体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这种时变的传导电流在理想导体内部会产生时变磁场。
所以，在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。
6、在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，只可能存在法向电场及切向磁场，也就是说，时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。
7、无源区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量唯一地确定。
第07章 时变电磁场(1)
在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；
在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。
例 1 已知 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，
位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
E ex Em cos t
则位移电流密度为
D Jd ex 0 r Em sin t t
其振幅值为 传导电流的振幅值为
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
J cm Em 4 Em
J dm 1.125 10 3 J cm
故
例 2 自由空间的磁场强度为
H ex H m cos(t kz ) A/m
式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。
解：E 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦 方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E 相应的其它场矢量。
B E (ex t Ex e y e y z
对时间 t 积分，得
ey ez ) ex Ex x y z E0 cos(t kz ) ey kE0 sin(t kz ) z
H y k 2 Em ex ex sin(t kz ) z z Hz
由
D H t
D Dx ex ex Em sin(t kz ) t t
k
2 2
习题7-4
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦
而由 H J
J 0 t J ( H ) 0
第07章 时变电磁场(2)
对于各向同性的线性介质，上式又可写为
1E1n 2 E2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
或写成矢量形式
H1t H 2t en ( H2 H1 ) 0
已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令
B 式中 A 称为矢量位。将上式代入式 E 中，得 t
E ( A) t
B A
A 上式又可改写为 E 0 t A 由此可见，矢量场 E 为无旋场。因此它可以用一个标量 t 场 的梯度来表示，即可令 A E t
由式 v
dV
r r J r , t v A(r , t ) 4π V r r
dV
r r 上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻 t v
的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强不是由同一
D1t D2 t
即可获得上面结果。 对于各向同性的线性媒质，上式又可写为
1
2
第二, 在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。
由磁通连续性原理，即可证明
或写成矢量形式
B1n B2n en ( B2 B1 ) 0
对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为 1H1n 2 H 2 n
或
en D S
由于理想导电体表面存在表面电流 J ，设表面电流密度J S 的方 S
第7章 电磁感应与电磁场
一、 动生电动势
动生电动势的非静电力——洛仑兹力 洛仑兹力 动生电动势的非静电力 取导线长dl 导体中载流子速度为u 取导线长 , 导体中载流子速度为
υ Fm
11
Fk = Fm = eυ × B Fm Ek = =υ × B e
d ε 动 = (υ × B ) ⋅ d l
ε = ∫ (υ × B ) ⋅ dl
1 ε i = − BωL2 2
15
二、感生电动势
由于磁场发生变化而激发的电动势
电磁感应
动生电动势 非静电力 洛仑兹力 感生电动势 非静电力 ?
实验表明，非静电力只能是磁场变化引起。 实验表明，非静电力只能是磁场变化引起。 磁场变化引起 而这种非静电力能对静止电荷 静止电荷有作用 而这种非静电力能对静止电荷有作用 因此，应是一种与电场力类似的力。 力，因此，应是一种与电场力类似的力。
1833年，楞次总结出： 年 楞次总结出： 闭合回路中感应电流的方向， 闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所 激发的磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量 的变化. 的变化 产生 感应电流 磁通量变化 a × × × × × 阻碍 产 生
× × × ×
f
× ×
×
× ×
×
×
×
υ
×
导线运动
感应电流
×
×
b
l
r
l
Er
∫ E涡 ⋅ dl = −∫
l
E涡dl cos 00 = −∫ ∫
∂B dS cos1800 S ∂t
∂B ⋅ dS S ∂t
∂B 2 E涡2πr = πr ∂t r ∂B E涡 = 2 ∂t
∂B ∵ >0 ∂t
∴ E涡与 l积分方向切向同向 积分方向切向同向
时变电磁场071
e ˆn(D v2D v 1)S
e ˆn(P v 2P v 1)S'
W eVw edVV(1 2D vE v)dV
3. 静电场的边值问题
2
2x22 y22 2z2
4. 恒定电流场
Ñ SJ vdS v q tV tdV
v J
t
Ñ v v JdS0
v J 0
S
Ñ l
v J
v dl
0vຫໍສະໝຸດ vvvBdS0
B0
l vv v
v vS
vv
v
e ˆn (H 2 H 1) J S e ˆn(B 2B 1)0 (M 1 M 2) e ˆn J S
6. 电磁感应
e d
dt
Ñ lE vdlvtSB vdSv
v E
v B
t
11112
L11
11 I1
M 12
12 I2
wm
1 2
v H
v B;
wm
麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831～1879）英 国物理学家，经典电磁理论的奠基人。1831年6月13日出生 于爱丁堡。父亲受的是法学教育，但思想活跃，爱好科学技 术，使他从小就受到科学的熏陶。 1850年考人剑桥大学， 1854年以优异成绩毕业并获得了学位，留校工作。1856年 起任苏格兰阿伯丁的马里沙耳学院的自然哲学讲座教授，直 到1874年。经法拉第举荐，自1860年起任伦敦皇家学院的 物理学和天文学教授。1871年起负责筹划卡文迪什实验室， 随后被任命在剑桥大学创办卡文迪什实验室并担任第一任负 责人。1879年11月5日麦克斯韦因患癌症在剑桥逝世，终年 仅48岁。麦克斯韦一生从事过多方面的物理学研究工作，他 最杰出的贡献是在经典电磁理论方面。
电磁场与电磁波第7章 电磁波的辐射
是球面波。由于等相位面上任意点的E、H
振幅不同，所以又是非均匀平面波。Eθ/Hφ=η是一常数，等于媒 质的波阻抗。
第七章 电磁波的辐射
③ 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/λ成正比。 值得注意，场的振幅与电长度dl/λ有关，而不是仅与几何尺寸dl 有关。
④ 场的方向性：远区场的振幅还正比于sinθ，在垂直于天线 轴 的 方 向 (θ=90°) ， 辐 射 场 最 大 ； 沿 着 天 线 轴 的 方 向 (θ=0°) ， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向 性也是天线的一个主要特性。
k1r(k1)r2(k1)r3,ejkr1
ErjI2dc lro 3 s42p r3co s
第七章 电磁波的辐射
EjI2ds lir3n 4pr3sin
H
Idlsin 4r2
式中p=Qdl是电偶极矩的复振幅。 因为已经把载流短导线看成一 个振荡电偶极子，其上下两端的电荷与电流的关系是I=jωQ。
H J j E E J m j H D B m
第七章 电磁波的辐射
2.
当kr>>1时，r>>λ/2π，即场点P与源点距离r远大于波长λ的 区域称为远区。 在远区中，
k1r(k1r)2 (k1r)3
远区电磁场表达式简化为
E
j
Idl2ksinejkr 4r
j
Idlsinejkr 2r
E
j
Idlskinejkr 4r
j
Idlsinejkr 2r
第七章 电磁波的辐射
以空气中的波阻抗 0
0 120 0
代入， 可得
Pr
402
Idl2
2
式 中 I 的 单 位 为 A( 安 培 ) 且 是 复 振 幅 值 ， 辐 射 功 率 Pr 的 单 位 为 W(瓦)，空气中的波长λ0的单位为m(米)。
振幅不同，所以又是非均匀平面波。Eθ/Hφ=η是一常数，等于媒 质的波阻抗。
第七章 电磁波的辐射
③ 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/λ成正比。 值得注意，场的振幅与电长度dl/λ有关，而不是仅与几何尺寸dl 有关。
④ 场的方向性：远区场的振幅还正比于sinθ，在垂直于天线 轴 的 方 向 (θ=90°) ， 辐 射 场 最 大 ； 沿 着 天 线 轴 的 方 向 (θ=0°) ， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向 性也是天线的一个主要特性。
k1r(k1)r2(k1)r3,ejkr1
ErjI2dc lro 3 s42p r3co s
第七章 电磁波的辐射
EjI2ds lir3n 4pr3sin
H
Idlsin 4r2
式中p=Qdl是电偶极矩的复振幅。 因为已经把载流短导线看成一 个振荡电偶极子，其上下两端的电荷与电流的关系是I=jωQ。
H J j E E J m j H D B m
第七章 电磁波的辐射
2.
当kr>>1时，r>>λ/2π，即场点P与源点距离r远大于波长λ的 区域称为远区。 在远区中，
k1r(k1r)2 (k1r)3
远区电磁场表达式简化为
E
j
Idl2ksinejkr 4r
j
Idlsinejkr 2r
E
j
Idlskinejkr 4r
j
Idlsinejkr 2r
第七章 电磁波的辐射
以空气中的波阻抗 0
0 120 0
代入， 可得
Pr
402
Idl2
2
式 中 I 的 单 位 为 A( 安 培 ) 且 是 复 振 幅 值 ， 辐 射 功 率 Pr 的 单 位 为 W(瓦)，空气中的波长λ0的单位为m(米)。
时变电磁场
据此如果将这根通电导线周围的所有导线都弯曲变成通电线圈，那么不能与中心这根通电导线产生引力的通 电线圈，就都会在斥力的作用之下产生绕轴的翻转运动。
如果这些通电线圈，就是摆放在通电导线周围，处在同一平面上的小磁针，此时通电导线周围的所有小磁针， 就会在通电导线周围形成一圈NS二极首尾相连的小磁针的圆形分布。这就是通电导线周围的小磁针能够产生绕轴 旋转，在通电导线周围能够形成NS二极首尾相连的小磁针圆圈分布的原因。
同理，如果将右边的通电导线向左弯曲成平面线圈，线圈就与左边的通电导线之间产生的就是斥力，若右边 的通电线圈可以绕着中心轴旋转，右边的通电线圈就会在斥力的作用下产生绕轴的翻转运动，就会直至翻转到能 够与左边的通电导线产生最大引力的位置为止，此时向左弯曲线圈中的电流方向就会因翻转转的运动変成会与向 右弯曲线圈中的电流方向一致，不会再产生绕轴的翻转运动了。
术语
Байду номын сангаас
时变电磁场是随时间变化着的电磁场。时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而 产生的效应。这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。
时变电磁场如果将二根通入同向电流的平行导线，右边的那根导线向右弯曲成平面线圈，该平面线圈就成了 最简单的磁石，那么根据平行电流的相互作用产生引斥力的结论，此时右边的通电平面线圈与左边的通电导线之 间产生的就是引力。
关系
坡印廷矢量
电磁场的能量
电磁场的动量
线性媒质中电场能量密度we与磁场能量密度wm分别为
式中D为电位移矢量；E为电场强度；B为磁感应强度；H为磁场强度。在时变电磁场中，它们均随时间而变化， 根据能量守恒原理，自然伴随有能量的流动。
用S表示， S=E×H，在闭合面A上的面积分代表单位时间内由该闭合面A内向外传播的能量，即能流。坡印廷 矢量则代表单位时间内在单位面积上由内向外传播的能量，即能流面密度。在无线电工程中常用它来分析天线的 辐射能量或辐射功率。
如果这些通电线圈，就是摆放在通电导线周围，处在同一平面上的小磁针，此时通电导线周围的所有小磁针， 就会在通电导线周围形成一圈NS二极首尾相连的小磁针的圆形分布。这就是通电导线周围的小磁针能够产生绕轴 旋转，在通电导线周围能够形成NS二极首尾相连的小磁针圆圈分布的原因。
同理，如果将右边的通电导线向左弯曲成平面线圈，线圈就与左边的通电导线之间产生的就是斥力，若右边 的通电线圈可以绕着中心轴旋转，右边的通电线圈就会在斥力的作用下产生绕轴的翻转运动，就会直至翻转到能 够与左边的通电导线产生最大引力的位置为止，此时向左弯曲线圈中的电流方向就会因翻转转的运动変成会与向 右弯曲线圈中的电流方向一致，不会再产生绕轴的翻转运动了。
术语
Байду номын сангаас
时变电磁场是随时间变化着的电磁场。时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而 产生的效应。这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。
时变电磁场如果将二根通入同向电流的平行导线，右边的那根导线向右弯曲成平面线圈，该平面线圈就成了 最简单的磁石，那么根据平行电流的相互作用产生引斥力的结论，此时右边的通电平面线圈与左边的通电导线之 间产生的就是引力。
关系
坡印廷矢量
电磁场的能量
电磁场的动量
线性媒质中电场能量密度we与磁场能量密度wm分别为
式中D为电位移矢量；E为电场强度；B为磁感应强度；H为磁场强度。在时变电磁场中，它们均随时间而变化， 根据能量守恒原理，自然伴随有能量的流动。
用S表示， S=E×H，在闭合面A上的面积分代表单位时间内由该闭合面A内向外传播的能量，即能流。坡印廷 矢量则代表单位时间内在单位面积上由内向外传播的能量，即能流面密度。在无线电工程中常用它来分析天线的 辐射能量或辐射功率。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第7章
第七章 时变电磁场7-1 设真空中电荷量为q 的点电荷以速度)(c v v <<向正z 方向匀速运动，在t = 0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流。
（不考虑滞后效应）解 选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位 置为),0 ,0(vt ，且产生的场强与角度φ无关，如习题图7-1 所示。
设) , ,(z r P φ为空间任一点，则点电荷在P 点产生的电场强度为304R q πεRE =，其中R 为点电荷到P 点的位置矢量，即)(vt z r z r -+=e e R 。
那么，由tt d ∂∂=∂∂=ED J 0ε，得 ()()()()()()()25222225224243vt z rr vt z qv vt z r vt z qrv zr d -+--+-+-=ππe e J 。
7-2 已知真空平板电容器的极板面积为S ，间距为d ，当外加电压t V V sin 0ω=时，计算电容器中的位移电流，且证明它等于引线中的传导电流。
习题图7-1 P (r ,φ,z )x解 在电容器中电场为t dV E sin 0ω=，则 t dV t D J d cos 00ωωε=∂∂=， 所以产生的位移电流为t dSV S J I d d cos 00ωωε==；已知真空平板电容器的电容为dSC 0ε=，所带电量为t CV CV Q ωsin 0==，则传导电流为t dSV t CV t QI cos cos d d 000ωωεωω===； 可见，位移电流与传导电流相等。
7-3 已知正弦电磁场的频率为100GHz ，试求铜及淡水中位移电流密度与传导电流密度之比。
解 设电场随时间正弦变化，且t E m x sin ωe E =，则位移电流t E tm r x d cos 0ωωεεe DJ =∂∂=， 其振幅值为m r d E J ωεε0=传导电流t E m x ωσσsin e E J ==，振幅为m E J σ=，可见σωεε0r d J J =； 在海水中，81=r ε，m S /4=σ，则5.11241021036181119=⨯⨯⨯⨯=-ππJJ d；在铜中，1=r ε，m S /108.57⨯=σ，则871191058.9108.5102103611--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=ππJ J d。
第七章 时变电磁场
仍从电磁场基本方程组出发,
由 B 0
由 E B t
B A
A A E ( E )0 t t
A, 称为矢量位和标量位.
由 H J D
t
1
A J
A ( ) t t
b a
在 y = b 的内壁上
x
z
S e y ( 0 E y ) 0 Ey
JS e y ( H x H z ) ez H x ex H z
在 x = 0 的侧壁上，H x 0
JS ex ez H z 0 sin( t kz z) e y H z 0 sin( t kz z)
( J J d ) dS 0
(J J d ) 0
上式称为全电流连续性原理。它包括了传导电流，运流电流及位 移电流。 由上可见，位移电流是并不是由自由运动的电荷产生的,而只 是代表电场对时间的变化率。位移电流只不过是代表电场随时间
的变化率而引入的一个假想的电流密度。
在静电场中，由于 D 0 ，自然不存在位移电流。
D1t D2 t
对于各向同性的线性媒质，上式又可写为
1
2
第二, 在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。
由磁通连续性原理 B dS 0 ，得
S
B1n B2n
或写成矢量形式
②
en
en ( B2 B1 ) 0
①
对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为 1H1n 2 H 2 n
普遍规律，首先从理论上预言了电磁波的存在，并指出光波也是一 种电磁波，电磁波在真空中的传播速度等于光速。近代无线电技术 的实践证实了这个预言的正确性。 从这两个方程可知，电场激发的磁场时右旋的，而磁场激发 的电场却是左旋的。
时变电磁场
对于均匀的导体， 和 是空间位置的常数，可以
14
E 0 t
第七章 时变电磁场
0 提到散度之外，有 D t 0 再将 D 代入上式得 t t e 解之得 0
e
0 为零时刻的电荷密度，而 e 称为 其中， 电荷弛豫时间。
因为
jt H r , t Im H r e jt J r , t Im J r e D r , t Im D r e jt
D H JC t
对应的积分形式为
D l H dl S J C d S S t d S
7
第七章 时变电磁场
电位移矢量 D 对于时间的微分具有和电流密度相同
的量纲，所以称之为位移电流密度，可表示为
第七章 时变电磁场
电荷产生静电场，而恒定电流产生恒定磁场。这两种 场都是不随时间变化的，且相互独立。第七章所要学 习的是时变的电场产生磁场和时变的磁场产生电场。 时变的电场与时变的磁场之间相互依存，不可分割， 所以统称为电磁场。 7.1 麦克斯韦方程组 7.1.1 电磁感应定律和全电流定律 1. 电磁感应定律 电磁感应现象：导线的回路静止地处于磁场之中，如 果通过回路所围曲面的磁通随时间变化，则回路中会
例 7.1
11
第七章 时变电磁场
7.1.2 麦克斯韦方程组 积分形式 微分形式
D l H dl S J d S S t d S B dS E dl l S t S B dS 0 D d S dV V S dq + S J d S dt
14
E 0 t
第七章 时变电磁场
0 提到散度之外，有 D t 0 再将 D 代入上式得 t t e 解之得 0
e
0 为零时刻的电荷密度，而 e 称为 其中， 电荷弛豫时间。
因为
jt H r , t Im H r e jt J r , t Im J r e D r , t Im D r e jt
D H JC t
对应的积分形式为
D l H dl S J C d S S t d S
7
第七章 时变电磁场
电位移矢量 D 对于时间的微分具有和电流密度相同
的量纲，所以称之为位移电流密度，可表示为
第七章 时变电磁场
电荷产生静电场，而恒定电流产生恒定磁场。这两种 场都是不随时间变化的，且相互独立。第七章所要学 习的是时变的电场产生磁场和时变的磁场产生电场。 时变的电场与时变的磁场之间相互依存，不可分割， 所以统称为电磁场。 7.1 麦克斯韦方程组 7.1.1 电磁感应定律和全电流定律 1. 电磁感应定律 电磁感应现象：导线的回路静止地处于磁场之中，如 果通过回路所围曲面的磁通随时间变化，则回路中会
例 7.1
11
第七章 时变电磁场
7.1.2 麦克斯韦方程组 积分形式 微分形式
D l H dl S J d S S t d S B dS E dl l S t S B dS 0 D d S dV V S dq + S J d S dt
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2E J 1 E 2 t t
2
2H H J 2 t
2
2E J 1 E 2 t t
2
2H H J 2 t
2
由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过 程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之 有效的。 已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令
a x
b z
π H z H z 0 cos x sin( t k z z ) a
y
z
x
a
其坐标如图示。试求 波导中的位移电流分
g
x 电场线 b
布和波导内壁上的电
荷及电流分布。波导
磁场线
z
内部为真空。
y
解
①
由前式求得位移电流为
在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它
们只可能分布在理想导电体的表面。 E≠0 H≠0 E(t), B (t), J (t) = 0 J≠0 H≠0
J = E
E≠0
已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分
量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法
S
( J J d ) dS 0
引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传 导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。 由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是 电场的时间变化率。 在静电场中，由于 D 0 ，自然不存在位移电流。
t
E D H B 0 t t t t
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电
场与磁场不再相关，彼此独立。
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦
克斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上 的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比 我们指出的要丰富得多。 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容 只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像 牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此 处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。 假使我们已知此处 的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在 时间上稍为迟一些所发生的事件”。
3. 时变电磁场的边界条件 适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。 第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即
E1t E2t
或写成矢量形式
en ( E2 E1 ) 0
②
①
en
因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定 律的积分形式
E dl
向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须 与其表面相切。
en
et
,
H
E H2t JS H1t
② ①
因 D1n 0 ，由前式得
D2n S
或
en D S
由于理想导电体表面存在表面电流 Js ，设表面电流密度的方向与 积分回路构成右旋关系，因 H1t 0，求得
对于各向同性的线性介质，上式又可写为
1E1n 2 E2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
H1t H 2t
或写成矢量形式
en ( H 2 H1 ) 0
在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分 量是不连续的。
一个十年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性
琐事而黯然失色”。
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到 微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
J dS 0
S
J 0
对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推 出电流连续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩 充前述的电流概念。 真空电容器中通过的时变电流是什么？
S
不是由电子运动形成的传导电流或运流 电流，而是人为定义的位移电流。
静电场的高斯定律 D dS q 同样适用于时变电场。代入上述电 荷守恒定律，得
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。
时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷
守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
J t
D E
BH
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
Jd
②
D π e y E y 0 sin x sin( t k z z ) t a
在 y = 0 的内壁上
S e y ( E y ) E y
J S e y ( H x H z ) e z H x e x H z
在 y = b 的内壁上
在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。 在电导率较低的媒质中， J d J c
在良导体中， J d J c
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律变为
H dl
l
S
( J J d ) dS
H J D t
麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于 人类历史的进程也起了重要作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“ 弗曼物理学讲义 ”
中写道“ 从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来
看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦 克斯韦对于电磁定律的发现， 与这一重大科学事件相比之下， 同
H 2t J S
或
en H J S
例
已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为
y
π E y E y 0 sin x cos( t k z z ) a π H x H x 0 sin x cos( t k z z ) a
即
H dl ( J
l S
D ) dS t
上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以
及位移电流共同产生的。 已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生
时变磁场。 电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦
引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能 会在空间形成电磁波。
S S
B dS t
D ) dS t
H J
D t B E t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
A E t
式中 称为标量位。由此得
A E t
注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。 当它们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和静 态场完全相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标
量电位。
为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，
第七章 时变电磁场
主 要 内 容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。 电荷守恒原理表明
q J dS S t
原理，即
J
t
对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性
l
S
B dS t
D t B E t
磁通连续性原理
高斯定律
B dS 0
S
B 0
D
S
D dS q
积分形式
微分形式
S
H dl ( J
l
E dl
l
S
B dS 0 D dS q
B A
式中 A 称为矢量位。将上式代入式 E
B 中，得 t
E
( A) t
上式又可改写为
A E 0 t
A E 为无旋场。因此它可以用一个标量 由此可见，矢量场 t 场 的梯度来表示，即可令
S e y ( E y ) E y
J S e y ( H x H z ) e z H x e x H z
在 x = 0 的侧壁上，H x 0
J S e x e z H z 0 sin( t k z z) e y H z 0 sin( t k z z)
2
2H H J 2 t
2
2E J 1 E 2 t t
2
2H H J 2 t
2
由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过 程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之 有效的。 已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令
a x
b z
π H z H z 0 cos x sin( t k z z ) a
y
z
x
a
其坐标如图示。试求 波导中的位移电流分
g
x 电场线 b
布和波导内壁上的电
荷及电流分布。波导
磁场线
z
内部为真空。
y
解
①
由前式求得位移电流为
在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它
们只可能分布在理想导电体的表面。 E≠0 H≠0 E(t), B (t), J (t) = 0 J≠0 H≠0
J = E
E≠0
已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分
量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法
S
( J J d ) dS 0
引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传 导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。 由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是 电场的时间变化率。 在静电场中，由于 D 0 ，自然不存在位移电流。
t
E D H B 0 t t t t
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电
场与磁场不再相关，彼此独立。
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦
克斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上 的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比 我们指出的要丰富得多。 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容 只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像 牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此 处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。 假使我们已知此处 的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在 时间上稍为迟一些所发生的事件”。
3. 时变电磁场的边界条件 适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。 第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即
E1t E2t
或写成矢量形式
en ( E2 E1 ) 0
②
①
en
因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定 律的积分形式
E dl
向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须 与其表面相切。
en
et
,
H
E H2t JS H1t
② ①
因 D1n 0 ，由前式得
D2n S
或
en D S
由于理想导电体表面存在表面电流 Js ，设表面电流密度的方向与 积分回路构成右旋关系，因 H1t 0，求得
对于各向同性的线性介质，上式又可写为
1E1n 2 E2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
H1t H 2t
或写成矢量形式
en ( H 2 H1 ) 0
在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分 量是不连续的。
一个十年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性
琐事而黯然失色”。
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到 微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
J dS 0
S
J 0
对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推 出电流连续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩 充前述的电流概念。 真空电容器中通过的时变电流是什么？
S
不是由电子运动形成的传导电流或运流 电流，而是人为定义的位移电流。
静电场的高斯定律 D dS q 同样适用于时变电场。代入上述电 荷守恒定律，得
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。
时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷
守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
J t
D E
BH
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
Jd
②
D π e y E y 0 sin x sin( t k z z ) t a
在 y = 0 的内壁上
S e y ( E y ) E y
J S e y ( H x H z ) e z H x e x H z
在 y = b 的内壁上
在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。 在电导率较低的媒质中， J d J c
在良导体中， J d J c
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律变为
H dl
l
S
( J J d ) dS
H J D t
麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于 人类历史的进程也起了重要作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“ 弗曼物理学讲义 ”
中写道“ 从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来
看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦 克斯韦对于电磁定律的发现， 与这一重大科学事件相比之下， 同
H 2t J S
或
en H J S
例
已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为
y
π E y E y 0 sin x cos( t k z z ) a π H x H x 0 sin x cos( t k z z ) a
即
H dl ( J
l S
D ) dS t
上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以
及位移电流共同产生的。 已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生
时变磁场。 电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦
引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能 会在空间形成电磁波。
S S
B dS t
D ) dS t
H J
D t B E t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
A E t
式中 称为标量位。由此得
A E t
注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。 当它们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和静 态场完全相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标
量电位。
为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，
第七章 时变电磁场
主 要 内 容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。 电荷守恒原理表明
q J dS S t
原理，即
J
t
对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性
l
S
B dS t
D t B E t
磁通连续性原理
高斯定律
B dS 0
S
B 0
D
S
D dS q
积分形式
微分形式
S
H dl ( J
l
E dl
l
S
B dS 0 D dS q
B A
式中 A 称为矢量位。将上式代入式 E
B 中，得 t
E
( A) t
上式又可改写为
A E 0 t
A E 为无旋场。因此它可以用一个标量 由此可见，矢量场 t 场 的梯度来表示，即可令
S e y ( E y ) E y
J S e y ( H x H z ) e z H x e x H z
在 x = 0 的侧壁上，H x 0
J S e x e z H z 0 sin( t k z z) e y H z 0 sin( t k z z)