等比数列的性质-PPT课件
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等比数列性质ppt课件(1)
an1 an
qn N , q
0
an a1q n1
例1.在等比数列an中,已知a3 20, a6 160,求an.
解：设等比数列的公比为q,那么
aa11qq52
20 160
① ②
解得
q=2 a1 5
所以an a1qn1 5 2n1.
思考：能否不求出首项a1 , 而将an求出？
证明： 设等比数列an的首项为 a1,公比为q，
例1：从种群中随机抽出100个个体，测知基因型 为AA、Aa和aa的个体分别是30、60和10个，那 么基因A和a的基因频率分别是多少？
A=
30×2 +60 100×2
=60%
， a=40%
例2：某工厂有男女职工各200名，经调查，女性色盲 基因的携带者15人，患者5人，男性患者11人，那么 这个群体中色盲基因的种群基因频率的平衡和变化
1、种群：生活在一定区域的同种生物的全部个体。
2、一个种群全部等位基因总和称为什么？ 基因库
3、基因频率：种群中，某一等位基因的数目占这个基因 可能出现的所有等位基因总数比例。
基因频率 =
某种基因的数目
×100%
控制同种性状的等位基因的总数
种群中一对等位基因的频率之和等于1。
n,
s,
t
N
，
若m n s t,则aman asat .
若m n 2s,则a a a 2.
mn
s
性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。
生物普遍存在变异 人们根据自己需要
选择合乎要求的变异个体，淘汰其他 数代选择 所需变异被保存
微小变异变成显著变异
从而an am
等比数列的性质_课件-课件ppt
自测自评
()
解析：利用等比数列的定义验证即可． 答案：A
2．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋ a4a6＝25，那a3＋a5的值等于( )
A．5
B．10
C．15
D．20
解析：a2a4＝a23，a4a6＝a52，故得(a3＋a5)2＝25， ∴a3＋a5＝±5，又 an＞0， 即 a3＋a5＝5. 答案：A
从而a1＋a3＝5， a1a3＝4.
解之，得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1， 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n. 法二：由等比数列的定义知 a2＝a1q， a3＝a1q2，代入已知得
法二：由等比数列的定义知 a2＝a1q， a3＝a1q2，代入已知得
解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6.① 又 a4＋a14＝5.② 由①、②组成方程组得
a4＝2，
或a4＝3，
a14＝3
a14＝2.
∵aa2100＝aa144＝23或32.
答案：C
等比数列的性质
求an.
已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，
解析：法一：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2，
1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得 出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性 质更重要．
2．适当记忆一些性质利用性质提高解题速度与解 题的正确率，如用等比数列的性质：若m＋n＝p＋k，则 aman＝apak，可以解决许多相关问题．
3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常 遇到，要准确判断用好定义与通项公式．
跟踪训练
等比数列ppt课件
第十一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2
3、m+n=s+t → am.an=as.at
第十二页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
1、b2=ac是a，b，c成等比数列的
_____条件。
谢谢观看
第十七页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
k (q≠1) 变：等差数列首项为-5，前11项的平均值为5，若从中抽取一项，余下10项的平均值为4.
比较an+1与bn+1的大小。 +an+k} 70a1+a2+. (3)a5=4,a7=6,求a9 等比数列的证明与判断只能用定义 (4)a5-a1=15,a4-a2=6,求a3 第六页，编辑于星期五：十三点 二十八分。 (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (5)a3+a8=124,a4a7=-512,且公比q是整数,an=?
数列的单调性： 1: a1>0,q>1 2: a1<0,q>1 3: a1>0,0<q<1
4: a1<0,0<q<1
第四页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
判断 : 1.定义法：
an q
a n1
a n a n1
2.递推公式：a n 1 a n
a
2 n
a n1a n1
第五页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等比数列
第一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等差等比抓首公；看清下标用性质。 五个元素三基本；求和项数很重要。
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2
3、m+n=s+t → am.an=as.at
第十二页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
1、b2=ac是a，b，c成等比数列的
_____条件。
谢谢观看
第十七页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
k (q≠1) 变：等差数列首项为-5，前11项的平均值为5，若从中抽取一项，余下10项的平均值为4.
比较an+1与bn+1的大小。 +an+k} 70a1+a2+. (3)a5=4,a7=6,求a9 等比数列的证明与判断只能用定义 (4)a5-a1=15,a4-a2=6,求a3 第六页，编辑于星期五：十三点 二十八分。 (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (5)a3+a8=124,a4a7=-512,且公比q是整数,an=?
数列的单调性： 1: a1>0,q>1 2: a1<0,q>1 3: a1>0,0<q<1
4: a1<0,0<q<1
第四页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
判断 : 1.定义法：
an q
a n1
a n a n1
2.递推公式：a n 1 a n
a
2 n
a n1a n1
第五页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等比数列
第一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
等差等比抓首公；看清下标用性质。 五个元素三基本；求和项数很重要。
等比数列-课件ppt
(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,
4.3.1等比数列的性质课件-高二下学期数学人教A版选择性
观察项的下标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？
猜想：若{an}是公比为 q 的等比数列，正整数 m，n，p， q 满足 m＋n＝s＋t，则 aman＝asat.
证明：
am a1qm1 an a1q n1
as a1q s1 at a1qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
aman a12qmn2
asat a12qst2
例3 已知数列an,bn都是项数相同的等比数列，则下列数列是
等比数列的是 _______ .
①an bn ② an2 ③an an1 ④can ⑤an bn
⑥an an1
⑦
1 an
⑧
an bn
⑨an 2
⑩ aknm
例4 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列，并求an
例1 已知{an}为等比数列. (1) an>0，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝_____. (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
（4）a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
选择性必修第二册 第四章 数列
4.3.1 等比数列的性质
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数
公比(q ) q可正、可负、不可零
从第2项起,每一项与它前
一项的差等于同一个常数
公差(d ) d 可正、可负、可零
an amqnm (n m, n, m N * ) G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
猜想：若{an}是公比为 q 的等比数列，正整数 m，n，p， q 满足 m＋n＝s＋t，则 aman＝asat.
证明：
am a1qm1 an a1q n1
as a1q s1 at a1qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
aman a12qmn2
asat a12qst2
例3 已知数列an,bn都是项数相同的等比数列，则下列数列是
等比数列的是 _______ .
①an bn ② an2 ③an an1 ④can ⑤an bn
⑥an an1
⑦
1 an
⑧
an bn
⑨an 2
⑩ aknm
例4 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列，并求an
例1 已知{an}为等比数列. (1) an>0，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝_____. (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
（4）a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
选择性必修第二册 第四章 数列
4.3.1 等比数列的性质
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数
公比(q ) q可正、可负、不可零
从第2项起,每一项与它前
一项的差等于同一个常数
公差(d ) d 可正、可负、可零
an amqnm (n m, n, m N * ) G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
等比数列求和公式及性质课件PPT
的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
等比数列的性质及其应用 课件
am
an
(ak
)2，其中k
m 2
n
a1.an a2.an1 ... ak .ank1
am
+an
2ak，其中k
m 2
n
a1+an a2 +an1 ... ak +ank1
仍成等比数列
仍成等差数列
an a1qn1 amqnm (1) am an ap aq (2) am an (ak )2 (3) a1.an a2.an1 a3.an2 ... ak .ank1(k N *) (4) q
3. a与b的等比中项是 G ab
4.等比数列的判定方法：
（1）定义法：an1 q(常数） an
（2）中项法：an2 an1an+（1 n 2) (3) 通项法：an A Bn ( A、B为常数）
1.若m, n, p, q N ,且m n p q,
则am an ap aq
等比数列的性质及其应用
1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项
的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
（1）an 是等比数列
an1 an
q (n
N*)
(q为非零常数）
（2）任一项an≠0且q≠0
（3） q= 1时，{an}为常数列
2.等比数列的通项公式：an a1qn1 an amqnm
例如：a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.若m, n, p, q N ,且m n p q,
则am an ap aq
例如：a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.若m, n, p, q N ,且m n p q,
则am an ap aq (调整） 左=a1qm1a1qn1 a12qmn2 右=a1q p1a1qq1 a12q pq2
等比数列及其性质PPT教学课件
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。 2、要自尊自信，不要自卑。
请看图片并分析自卑的危害：
轮椅上的科学巨匠
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。 2、要自尊自信，不要自卑。 3、要自尊自信，不要自傲自负。
“虚心使人进步，骄傲使人落后”。 虚心是自尊自信的表现。
）；
反之（
）。
你是班干部，威信很高，你的感受是（
）；
反之（
）。
你的学习成绩很优秀，你的感受是（
）；
反之（
）。
你自认为长得不好看，同学也因为你的丑嘲笑你，你的
感受是（
）；同学鼓励你，你的感受是（ ）。
结论
青少年是否具有自尊自信，能否正确对待自尊自信， 要受到多种因素的影响。这些因素包括：父母、老师对 自己的态度和评语；在学校集体中的位置；学习成绩的 优劣；个人对自己的认识和评价能力等等。
期末复习
等比数列及其性质
一、知识要点：
1、定义：{an}为等比数列
_a_ann_1__常__数_
2.通项公式：an _______
推广：an _________
3.前n项和公式: Sn
4.重要结论： 若{an}是等比数列
5.等比数列的性质
（1） an am gqnm
qnm an
求q
am
答案：（1）必要不充分 （2）充要
二、例题选讲：
1、在等比数列 an中，
（1）若 a4 5, a8 6, 则 a2 a10 30
a6 30 （2）若 a5 2, a10 10, 则 a15 50
（3）已知 a3 a4 a5 8,求a2 a3 a4 a5 a6 32
课件-2.4.2等比数列性质
一、旧知复习
等差数列
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列
定 义
符号 语言
an1 an d n N
等比数列的性质一 若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
若m+n=s+t , 则aman=asat
则aman=as2 若m+n=2s ,
1.等比数列an 中，an 0, a3 a6 32, 则 log 2 a1 log 2 a2 log 2 a8 ( C ) A.128
如：奇数项a1 , a3 , a5 , a7 ,, a2k -1 ,成等比数列，
等差数列的性质
若an 是公差为d的等差数列，则
（1）c an 是公差为d的等差数列； （2）c an 是公差为cd的等差数列.
等比数列的性质三
q （1） c an 0）是公比为_____的等比数列； （c
3. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024 则该数列的通项an= 2n . 4. 等比数列{an}中，a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比q=________
当a2=2,a3=4时，q=2 当a2=4,a3=2时，q=1/2
课堂小结：
1.若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
an1 qn N , q 0 an
通项 公式
an a1 n 1d
等差数列
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列
定 义
符号 语言
an1 an d n N
等比数列的性质一 若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
若m+n=s+t , 则aman=asat
则aman=as2 若m+n=2s ,
1.等比数列an 中，an 0, a3 a6 32, 则 log 2 a1 log 2 a2 log 2 a8 ( C ) A.128
如：奇数项a1 , a3 , a5 , a7 ,, a2k -1 ,成等比数列，
等差数列的性质
若an 是公差为d的等差数列，则
（1）c an 是公差为d的等差数列； （2）c an 是公差为cd的等差数列.
等比数列的性质三
q （1） c an 0）是公比为_____的等比数列； （c
3. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024 则该数列的通项an= 2n . 4. 等比数列{an}中，a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比q=________
当a2=2,a3=4时，q=2 当a2=4,a3=2时，q=1/2
课堂小结：
1.若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
an1 qn N , q 0 an
通项 公式
an a1 n 1d
等比数列定义及性质PPT课件
a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
等比数列的性质和应用PPT优秀课件
公式
2.在使用等比数列n的 项前 和的公式时， 一定要注意公比是1， 否若 为不能确定 公比是否1为 ，则一定要分类.讨论
28
3.等比数列的两个重要性 质
4.解等比数列题的解要法有主两种 (1)基本量法即化a1和 到q求解 (2)灵活运用性1和 质2求解
29
祝同学们学习愉快！
再见
30
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
11
点评：解法 2采用的是等比数列的 性质1，这一性质又称为“称对性” 利用这一性质解题可减以少运算量。
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例2、在等比 an数 中列 ，已知对任n,意正
有Sn 2n1,则a12a22an2
解：当n 2时，an Sn Sn1 (2n 1) (2n1 1) 2n1
4
一等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比都等于同一个常数(指与n无关的数), 那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫 做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an q(q0,q是常n 数 2,n ， N) an1
5
二、等比数列的通项公式
a n a1 q n1
a1 anq 1 q
126
,
q
1 2
18
又
an
a 1 q n 1 , 即：2
64
q n1
等比数列的性质 课件
(2)性质的特殊情况：若m+n=2p，则am·an=ap2.
2.等比数列四个常用性质
(1)下标成等差数列，则其对应项成等比数列.
(2)从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比
中项.
(3)奇数项(或偶数项)依次仍组成等比数列.
(4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an·bn}，
{λan}(λ≠0)，
所以an=5aaa383qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n2n-1.
【规律总结】解决等比数列问题常用的两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，然后求出其他量. 这是等比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用.缺点是 计算较烦琐. (2)数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程.巧妙地利 用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq和an·am=ap2 (m + n =2p，m，n， p∈N*)可以简化解题过程.
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
2.等比数列四个常用性质
(1)下标成等差数列，则其对应项成等比数列.
(2)从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比
中项.
(3)奇数项(或偶数项)依次仍组成等比数列.
(4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an·bn}，
{λan}(λ≠0)，
所以an=5aaa383qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n2n-1.
【规律总结】解决等比数列问题常用的两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，然后求出其他量. 这是等比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用.缺点是 计算较烦琐. (2)数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程.巧妙地利 用性质m+n=p+q⇒am·an=ap·aq和an·am=ap2 (m + n =2p，m，n， p∈N*)可以简化解题过程.
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
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• 1．等比数列的“子数列”是否成等比数列？
• 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 • (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比
数列；
• (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列； • 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； • (3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd
• A．6
B．10
• C．15
D．20
• 解析： 由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52 • ∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36， • ∴a3＋a5＝6，故选6. • 答案： A
• 3．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6 ＝40，则公比q＝________.
则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
【正解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
性质5
若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、 m∈N*)组成公差为md的等差数列
• 等比数列的常用性质
性质1 性质2
性质3
通项公式的推广：an＝am· qn－m (n，m∈N*) 若{则ana}为k·等al＝比数am列·a，n 且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，
若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，a1n， {an2}，{an·bn}，abnn仍是等比数列
B．公比为q2的等比数列
• C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
解析： 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan＋1.
所以aan＋na1an＋n＋12＝aan＋n 2＝q2，数列{bn}是公比为 q2 的等比数列．
• 答案： B
• 2 ． 已 知 {an} 是 等 比 数 列 ， 且 an>0 ， a2a4 ＋ 2a3a5＋a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于( )
【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根， 所以a5＋a9＝178， 又因为 a7 是 a5，a9 的等比中项，
a5·a9＝1. 所以 a72＝a5·a9＝1，即 a7＝±1.
【错因】 上述解法忽视了对 a7 符号的讨论，由于 a5，
a9 均为正数且公比为 q＝± aa57＝± aa97，所以不论 q 取正 还是取负，a7 始终与 a5 和 a9 符号相同．
解析： (1)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)…a9＝a917＝(－2)17 ＝－217.
(2)∵{an}成等比数列，∴a2，a6，a10 仍成等比数列， ∴a62＝a2a10， ∴a10＝aa622＝16222＝13 122. (3)∵{an}成等比数列， ∴a3·a4·a5，a6·a7·a8，a9·a10·a11 仍成等比数列， 此数列公式 q＝aa63aa74aa85＝234＝8， a9a10a11＝(a6a7a8)·q＝24×8＝192.
的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差 数列，则对应的项依次成等比数列．
• 2．等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列
等比数列
不 (1)强调每一项与前一项的 同 差； 点 (2)a1和d可以为零；
(3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的 比；
(2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值．
由题意得a－ad2＋a＋d＝21 ， a－d＋a＝18
解得ad＝ ＝162 或ad＝ ＝2－4792
，
∴这四个数为 3,6,12,18 或745，445，247，94.
• 方法三：设第一个数为a，则第四个数为21－ a，设第二个数为b，则第三个数为18－b， 则这四个数为a，b,18－b,21－a，
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)
性质2
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an
性质3
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝ a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
性质4
若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列，则 {pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
• (1)该市历年所建中低价房的累计面积
• (以2009年为累计的第一年)将首次不
• 少于4 750万平方米？
• (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积 的比例首次大于85%.
• 本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后， 找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．
[规范作答] (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意 可知，{an}是等差数列，其中 a1＝250，d＝50，
• 等比数列的性质
• 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质 的由来．
• 2.理解等比数列的性质并能应用． • 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
• 1.对等比数列性质的考查是本课时的热点． • 2.本课时内容常与等差数列、函数、不等式结
合命题．
• 3.多以选择题和填空题的形式考查.
• 等差数列的常用性质
• 3.2009年，某县甲、乙两个林场森林木材的存 量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比 上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年 递减20%.
• (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？
• (2)问两林场木材的总量到2013年能否翻一番？
解析： (1)由题意可得 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1， 解得 n＝2， 故到 2011 年两林场木材的总存量相等． (2)令 n＝5，则 a5＝16a544＋25a454<2(16a＋25a)， 故到 2013 年不能翻一番．
由题意得ab＋18－ 21b－＝ab＝2 218－b ，
解得ab＝ ＝36 或ab＝ ＝744455
，
∴这四个数为 3,6,12,18 或745，445，247，94.
[题后感悟] 合理地设出所求数中的三个，根据题意得 出另一个是解决这类问题的关键．一般来说，三个数成等比 数列时可设aq，a，aq；三个数成等差数列时可设 a－d，a，a ＋d；四个数成等差数列时，可设为 a－3d，a－d，a＋d，a ＋3d，但当四个数成等比数列时，不能设成qa3，aq，aq，aq3， 这样隐含了公比 q2>0 这一条件，可能会产生失根．
A．5 2
B．7
C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5 a7·a8·a9＝a83＝10 a4·a5·a6＝a53 又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32 ∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
• 答案： A • [题后感悟] 有关等比数列的计算问题，要灵
• 2.若条件改为：已知四个数，前3个数成等差 数列，后三个数成等比数列，中间两个数之 积为16，首尾两数之积为－128，则如何求 这四个数？
解析： 依题意设后三个数为aq，a，aq，
又∵前三个数成等差数列，
∴第一个数为2qa－a，则由已知得：
aq·a＝16
①
2qa－a·aq＝－128
②
由①得 a2＝16q
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知，
得 a23＝8，∴a2＝2.
设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
整理，得 2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2 或 q＝12.
∴aq1＝＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
an＝2n－1 或 an＝4·12n－1.
已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} 中 ， a1·a2·a3 ＝ 5 ， a7·a8·a9＝10，则 a4·a5·a6＝( )
解析： 根据 a1·a9＝a4·a6，
列方程组aa44＋ ·a6a＝6＝25460.， 解得aa46＝＝382，， 或aa46＝＝83，2. ∴q2＝aa46＝382＝14或 q2＝382＝4. ∴答q案＝：±12或±q12＝或±±22.
• 4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3 ＝7，a1·a2·a3＝8，求数列{an}的通项公式．
• (2)设新建住房面积构成数列{bn}， • 由题意可知，{bn}是等比数列， • 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n
－1，
• 由题意可知an>0.85bn， • 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满
足上述不等式的最小正整数n＝6.10分
• 故到2014年年底，当年建造的中低价房的面 积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.12分
• [题后感悟] 本题将实际问题抽象出一个数列 问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建 立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题， 是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立， 时间的推算．不要在运算中出现问题．
性质4
在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等， 即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列
• 1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的 数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
• A．公比为q的等比数列
相 (1)都强调每一项与前一项的关系； 同 (2)结果都必须是常数；