《双曲线的定义及其标准方程》练习-学生

合集下载

双曲线双曲线及其标准方程练习题(带答案)

双曲线双曲线及其标准方程练习题（带答案）双曲线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A． B． C．或 D． 2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 4．P为双曲线上的一点，F 为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交 5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞） 6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（） A．m -a B． C． D．二、填空题 7．双曲线的一个焦点是，则m的值是________ _。

8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。

三、解答题 9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。

10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。

11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km， A若炮击P地，求炮击的方位角。

答案与提示一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2 8．三、9．提示：易知由双曲线定义知即① 即此时点的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（y≠0） 10．不存在 11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上联立解得∴ 又∴α=60° ∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°。

新高考数学总复习双曲线的定义标准方程及其几何性质课件教案练习题

则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
2 2
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 .

2 2
2 2
4.与双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2 - 2 =t(t≠0).

5.双曲线的离心率公式可表示为e= 1 +
9 7
返回 27
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=
2 2
2x是双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线,

且点(2 3,2 3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(
2 2
A. - =1
3 4
2 2
B. - =1
3 6
2 2
C. - =1
6 12
2 2
D. - =1
12 24
)
2 2

【解析】选C.由双曲线C: 2 - 2 =1,则其渐近线方程为y=± x,由题意可得: =

可得b= 2a,将(2 3,2
12 12
3)代入双曲线方程可得 2 - 2 =1,解得a2=6,b2=12,
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
返回 3
【命题说明】
考向
考法
高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准
方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题
或填空题形式出现.
预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在
A. 37+4

双曲线练习题(含答案)

双曲线及其标准方程习题一、单选题(每道小题 4分共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于．．．．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是．．．．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的．既非充分又非必要条件．充要条件．必要而非充分条件．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是．．．．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为．．．．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是．．．．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是．．．．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是．或．或．或．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　．．．．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是．．．．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、填空题(每道小题 4分共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

双曲线及其标准方程练习

∵0<a<c,∴令c2-a2=b2(b>0)
x 2 y2 2 1 (a 0,b 0, 2 a b a不一定大于b) y2 x 2 2 1 2 a b
【典例训练】
1.双曲线2x2-y2=k的焦距为6，则k的值为___________.
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围为_____. 2.方程 2m m 3 2 2 3.讨论方程 x y 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特 25 k 9 k
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”：若x2项的系数为正，
则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，ຫໍສະໝຸດ 双曲线的方程才具有标准形式.
求双曲线的标准方程【技法点拨】 1.求双曲线标准方程的三个关注点
x 2 y2 2.若方程 1 表示焦点在x轴上的双曲线，那么m,n的符 m n
号怎样？提示：m>0,n<0.
3.对双曲线标准方程的三点说明
x 2 y2 y2 x 2 双曲线的标准方程有两种不同类型： 2 2 1, 2 2(a>0,b>0)， 1 a b a b
分别表示焦点在x轴上和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0) 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小不确定.
②
③
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.
焦点三角形SPF1F2 b cot 2

双曲线及其标准方程(习题课)

处.
课堂练习(巩固及提高)
Thanks!
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360, 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线
x a
2 2

y b
2 2
1
2
的一支上，
2
依题意得 a = 680, c = 1020， b 2 ∴双曲线的方程为
x
2 2
c a
2
2
1020 680 5 340
2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
x
2

y
2
1( x 0)
1156 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
2

y
2 2
680
5 340
680
1
5
用 y=－x 代入上式，得 x
x 680 5 , y 680
，∵|PB|>|PA|,
5 , 680 5 ), 故 P O 6 8 0 1 0
5 , 即 P (680
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 6 8 0
10m
思考练习
思考 3: (2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上)

第6节第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。

双曲线方程及其性质(学生版)-高中数学

双曲线方程及其性质1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无2024年新Ⅱ卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标由递推关系证明等比数列向量夹角的坐标表示2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年新Ⅱ卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程直线的点斜式方程及辨析双曲线中的定直线问题2022年新I卷，第21题,12分求双曲线标准方程求双曲线中三角形(四边形)的面积问题根据韦达定理求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数2021年新I卷，第21题,12分求双曲线的标准方程双曲线中的轨迹方程双曲线中的定值问题2021年新Ⅱ卷，第13题,5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程由双曲线的离心率求参数的取值范围2020年新I卷，第9题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2020年新Ⅱ卷，第10题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算双曲线的离心率4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用5.会求双曲线中的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练知识讲解1.双曲线的定义平面上一动点M x ,y 到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 的距离的差的绝对值为定值2a 且小于F 1F 2 =2c 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F 1,F 2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离F 1F 2 叫做双曲线的焦距2.数学表达式：MF 1 -MF 2 =2a <F 1F 2 =2c3.双曲线的标准方程焦点在x 轴上的标准方程焦点在y 轴上的标准方程标准方程为：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)标准方程为：y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)4.双曲线中a ，b ，c 的基本关系(c 2=a 2+b 2)5.双曲线的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)范围x ≤-a 或x ≥ay ∈R y ≤-a 或y ≥ax ∈R 顶点坐标A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)B 1(0,-b )，B 2(0,b )A 1(0,-a )，A 2(0,a )B 1(-b ,0)，B 2(b ,0)实轴A 1A 2 =2a 实轴长，A 1O =A 2O =a 实半轴长虚轴B 1B 2 =2b 虚轴长，B 1O =B 2O =b 虚半轴长焦点F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0,-c )，F 2(0,c )焦距F 1F 2 =2c 焦距，F 1O =F 2O =c 半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)渐近线方程y =±baxy =±a bx离心率e =ca(e >1)e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=1+b a 2⇒e =1+b a2离心率对双曲线的影响e 越大，双曲线开口越阔e 越小，双曲线开口越窄6.离心率与渐近线夹角的关系e =1cos α7.通径：(同椭圆)通径长：MN =EF =2b 2a，半通径长：MF 1 =NF 1 =EF 2 =FF 2 =b 2a8.双曲线的焦点到渐近线的距离为b考点一、双曲线的定义及其应用1.(2024·河北邢台·二模)若点P 是双曲线C ：x 216-y 29=1上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则“PF 1 =8”是“PF 2 =16”的()A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件2.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A 、B 两点，且AB =5，若双曲线的实轴长为8，那么△ABF 2的周长是()A.5B.16C.21D.263.(2024高三·全国·专题练习)若动点P x ,y 满足方程x +2 2+y 2-x -2 2+y 2 =3，则动点P 的轨迹方程为()A.x 294-y 274=1 B.x 294+y 274=1C.x 28+y 24=1D.x 216-y 212=11.(2024·陕西榆林·模拟预测)设F 1，F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的左，右焦点，过F 1的直线与y 轴和C 的右支分别交于点P ，Q ，若△PQF 2是正三角形，则|PF 1|=()A.2B.4C.8D.162.(23-24高三下·山东青岛·阶段练习)双曲线x 2a2-y 212=1(a >0)的两个焦点分别是F 1与F 2，焦距为8;M 是双曲线上的一点，且MF 1 =5，则MF 2 =．3.(23-24高二上·四川凉山·期末)已知点M 2,0 ，N -2,0 ，动点P 满足条件PM -PN =2，则动点P 的轨迹方程为()A.x 23-y 2=1x ≥3B.x 23-y 2=1x ≤-3C.x 2-y 23=1x ≥1 D.x 2-y 23=1x ≤-1 考点二、双曲线的标准方程1.(2024高三下·全国·专题练习)双曲线方程为x 2k -2+y 25-k =1，则k 的取值范围是()A.k >5B.2<k <5C.-2<k <2D.-2<k <2或k >52.(2023高三上·湖北孝感·专题练习)过点2,2 且与椭圆9x 2+3y 2=27有相同焦点的双曲线方程为()A.x 26-y 28=1B.y 26-x 28=1C.x 22-y 24=1D.y 22-x 24=13.(22-23高二下·甘肃武威·开学考试)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5.4.(23-24高三上·河北张家口·开学考试)“k >2”是“x 2k +1-y 2k -2=1表示双曲线”的( )．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2024·辽宁·二模)已知双曲线C ：x 2-y 2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C 的方程为()A.x 2-y 2=1B.y 2-x 2=1C.x 2-y 2=2D.y 2-x 2=26.(2022高三·全国·专题练习)已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点P3,27,Q-62,7,求该双曲线的标准方程．考点三、双曲线的几何性质1.(2024·福建福州·模拟预测)以y=±3x为渐近线的双曲线可以是()A.x23-y2=1 B.x2-y29=1 C.y23-x2=1 D.y2-x29=12.(2024·广西柳州·模拟预测)双曲线x24-y216=1的一个顶点到渐近线的距离为( )．A.5B.4C.455D.233.(2024·河南新乡·三模)双曲线E:x2a2+a+2-y22a+3=1的实轴长为4，则a=.4.(2024·湖南益阳·模拟预测)已知双曲线x2m -y2n=1(m>0,n>0)与椭圆x24+y23=1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为()A.6B.7C.8D.95.(2022·福建三明·模拟预测)已知双曲线C1:x2+y2m=1m≠0与C2:x2-y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为( ).A.x±y=0B.2x±y=0C.x±3y=0D.3x±y=06.(2024·贵州·模拟预测)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”C:x2 25-2-y2b2=1(b>0)，则C的虚轴长为．1.(24-25高三上·江苏南通·开学考试)过点P2,3的等轴双曲线的方程为.2.(2024·安徽合肥·一模)双曲线C:x2-y2b2=1的焦距为4，则C的渐近线方程为()A.y=±15xB.y=±3xC.y=±1515x D.y=±33x3.(23-24高三上·河南漯河·期末)已知双曲线C:mx2-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为mx+3y =0，则C的焦距为.4.(24-25高三上·山东泰安·开学考试)若双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一个焦点F5,0，一条渐近线方程为y=34x，则a+b=．5.(2024·河南新乡·模拟预测)(多选)已知a>0,b>0，则双曲线C1:x2a2-y2b2=1与C2:x2a2-y2b2=4有相同的()A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线考点四、双曲线的离心率1.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为．2.(2024·上海·高考真题)三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.3.(2024·全国·高考真题)已知双曲线的两个焦点分别为0,4,0,-4，点-6,4在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.24.(2022·浙江·高考真题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A x1,y1，交双曲线的渐近线于点B x2,y2且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是．5.(2022·全国·高考真题)双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为()A.52B.32C.132D.1726.(2024·广东江苏·高考真题)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．1.(2024·河南周口·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C 的离心率为()A.5B.455C.355D.522.(2024·四川成都·模拟预测)双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则其离心率为( )．A.233B.63C.103D.2633.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线的倾斜角为5π6，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.54.(2024·山东·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与E 的右支交于A ，B 两点，且BF 2 =2AF 2 ，若AF 1 ⋅AB=0，则双曲线E 的离心率为()A.3B.173C.233D.1035.(2024·福建泉州·一模)O 为坐标原点，双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，点P 在E 上，直线PF 1与直线bx +ay =0相交于点M ，若PM =MF 1 =2MO ，则E 的离心率为．考点五、双曲线中的最值问题1.(22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习)P 为双曲线x 2-y 2=1左支上任意一点，EF 为圆C :(x -2)2+y 2=4的任意一条直径，则PE ⋅PF的最小值为()A.3B.4C.5D.92.(22-23高三下·江苏淮安·期中)已知F 1,F 2分别为双曲线x 29-y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，则PF 12-PF 2PF 2最小值为()A.19B.23C.25D.853.(22-23高二上·浙江湖州·期末)双曲线x 2m -y 2n =1(m >0,n >0)的离心率是2，左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线左支上一点，则PF 2 PF 1的最大值是()A.32B.2C.3D.41.(22-23高三下·福建泉州·阶段练习)双曲线C ：x 2-y 2=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，直线P A ，PB 与x =12分别交于M ，N 两点，则MN 的最小值为.2.(2022高三·全国·专题练习)长为11的线段AB 的两端点都在双曲线x 29-y 216=1的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为()A.75B.5110C.3310D.323.(23-24高二下·江苏南京·期中)已知A ,B 分别是双曲线C :x 29-y 25=1的左、右顶点，P 是双曲线C上的一动点，直线P A ，直线PB 与x =2分别交于M ,N 两点，记△PMN ，△P AB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S 1S 2的最小值为()A.316B.181 C.34D.2581考点六、双曲线的简单应用1.(23-24高三上·江西·期末)阿波罗尼斯(约公元前262年~约公元前190年)，古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =5，从F 2发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则sin ∠F 2F 1E =()A.56B.55C.45D.2552.(22-23高二上·山东德州·期末)3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm (数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处的直径为()A.5748cm B.2878cm C.5744cm D.2874cm 3.(2023·浙江杭州·二模)费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线(F 1，F 2为焦点)上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2．已知双曲线C ：x 24-y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P 3,102 处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则OM=．4.(2024·全国·模拟预测)在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线F 2P 和反射光线PE 互相垂直时(其中P 为入射点)，cos ∠F 1F 2P 的值为()A.5+14B.5-14C.7+14D.7-145.(2024·吉林延边·一模)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图)．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x 2-y 24=1(-2≤y ≤1)，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．6.(2023·广东茂名·三模)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，从F 2发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过F 1；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分∠F 1PF 2.若双曲线C 的方程为x 29-y 216=1，则下列结论正确的是()A.射线n 所在直线的斜率为k ，则k ∈-43,43B.当m ⊥n 时，PF 1 ⋅PF 2 =32C.当n过点Q7,5时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13D.若点T坐标为1,0，直线PT与C相切，则PF2=12一、单选题1.(23-24高三下·重庆·期中)已知双曲线y212-x2b2=1b>0的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±13x B.y=±3x C.y=±3x D.y=±33x2.(2024·湖南邵阳·模拟预测)若点-3,4在双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线上，则C的离心率为()A.259B.2516C.53D.543.(2024·全国·模拟预测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个顶点坐标为(-2,0)，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12x D.y=±22x4.(2024高三上·全国·专题练习)已知双曲线C的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C上的一点，且PF1=5,PF2=3,∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是()A.7B.72C.73D.745.(2024·全国·模拟预测)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F c,0到其渐近线的距离为32c，则该双曲线的离心率为()A.12B.32C.2D.26.(2024·四川·模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A ，B 两点，若AF 1 =2F 1B ，AB =BF 2 ，则cos ∠F 1BF 2=()A.118B.19C.29D.237.(2024·全国·模拟预测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率分别为e 1,e 2，若e 1∈55,1 ，则e 2的取值范围是()A.1,255B.1,355C.255,+∞D.355,+∞二、填空题8.(2024·湖南岳阳·三模)已知双曲线C 过点(1,6)，且渐近线方程为y =±2x ，则C 的离心率为．9.(2024高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C ，则C 的方程为.10.(2024高三·全国·专题练习)求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)过点A (3,2)和点B (23,1)的椭圆；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(-2,2)的双曲线．一、单选题1.(2024·江西·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，AB ⊥AF 2，tan ∠AF 2B =43，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±32xB.y =±3xC.y =±32x D.y =±62x 2.(2024·山西太原·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为0,-6 ，若动点P 位于y 轴右侧，且到两定点F 1-3,0 ，F 23,0 的距离之差为定值4，则△APF 1周长的最小值为()A.3+45B.3+65C.4+45D.4+653.(2024·广东广州·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，一条渐近线的方程为y =2x ，直线y =kx 与C 在第一象限内的交点为P .若PF =PO ，则k 的值为()A.52B.32C.255D.4554.(2024·湖南长沙·二模)已知A 、B 分别为双曲线C :x 2-y 23=1的左、右顶点，过双曲线C 的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P 、Q 两点(点P 、Q 异于A 、B )，则直线AP 、BQ 的斜率之比k AP :k BQ =()A.-13B.-23C.-3D.-325.(2024·河北·三模)已知O 是坐标原点，M 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 右支上任意一点，过点M作双曲线的切线，与其渐近线交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为12b 2，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.26.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若AB =83AF 1 ，且cos ∠F 1BF 2=14，则双曲线C 的离心率为()A.2B.53C.43D.37.(2024·宁夏银川·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为(0,b )，若C 上存在点P使得PB <b 成立，则C 的离心率取值范围是()A.2+12,+∞ B.5+32,+∞ C.2,+∞D.5+12,+∞二、填空题8.(2024·浙江·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线渐近线上的点，且F 1M ⋅F 2M=0，若MF 1 =2MF 2 ，则该双曲线的离心率e =.9.(2024·辽宁·模拟预测)设O 为坐标原点，F 1,F 2为双曲线C :x 29-y 26=1的两个焦点，点P 在C 上，cos ∠F 1PF 2=45，则|OP |=10.(2024·广西来宾·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上一点P 满足sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=3，以F 2为圆心的圆与F 1P 的延长线相切于点M ，且F 1M =3F 1P ，则双曲线的离心率为.1.(2024·天津·高考真题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=12.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.4553.(2023·全国·高考真题)设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-44.(2023·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2．过F 2向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若PF 2 =2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A.x 28-y 24=1B.x 24-y 28=1C.x 24-y 22=1D.x 22-y 24=15.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C 的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．6.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点-4,0 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P ．证明:点P 在定直线上.7.(2022·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，抛物线y 2=45x 的准线l 经过F 1，且l 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若∠F 1F 2A =π4，则双曲线的方程为()A.x 216-y 24=1B.x 24-y 216=1C.x 24-y 2=1D.x 2-y 24=18.(2022·北京·高考真题)已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y =±33x ，则m =．9.(2022·全国·高考真题)若双曲线y 2-x 2m2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2-4y +3=0相切，则m =．10.(2022·全国·高考真题)记双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值．11.(2021·全国·高考真题)双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为．12.(2021·全国·高考真题)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.13.(2021·北京·高考真题)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1离心率为2，过点2,3 ，则该双曲线的方程为()A.2x 2-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.5x 2-3y 2=1D.x 22-y 26=114.(2021·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则C 的焦距为．15.(2021·全国·高考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.。

高三数学双曲线的定义与标准方程测试题及答案

第三课时双曲线的定义与标准方程课时作业1.(2008年深圳二模)已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，⎪⎪⎪⎪MF 1→·⎪⎪⎪⎪MF 2→＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝12．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2009年沈阳二中月考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离4．(2009年中山一中统测)已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x <－1)B ．x 2－y 28＝1(x >1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y210＝1(x >1)5．(2008年枣庄统测)设F 1、F 2为双曲线x 2sin 2 θ－y 2b 2＝1(0<θ≤π2，b >0)的两个焦点，过F 1的直线交双曲线的同支于A 、B 两点，如果|AB |＝m ，则△AF 2B 的周长的最大值是( )A ．4－mB ．4C ．4＋mD ．4＋2m6．过点A (0,2)可以作________条直线与双曲线x 2－y24＝1有且只有一个公共点．7.P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为________．8．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 9．已知点M (－2,0)、N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝2 2.记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．10．(2008年广州二模)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ′：x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．参考答案1．A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.4 7.a 8.x 22－y 214＝1(x ≥2) 9．(1)x 22－y 22＝1(x ＞0) (2)210．解析：类似的性质为若MN 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．设点M 的坐标为(m ，n )，则点N 的坐标为(－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1.又设点P 的坐标为(x ，y )，由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m ，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2，代入得k PM ·k PN ＝b 2a 2.。

双曲线的定义及其标准方程练习

双曲线的定义及其标准方程练习1.知双曲线14822=-x y 的实轴长为.轴长为. 2.曲线32822=-y x 的焦点坐标为.虚轴长 .3.双曲线1422=-y x 的渐近线方程为离心率为 .4.双曲线1422-=-y x 的渐近线方程为离心率为 .5.双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是__________________. 6.若椭圆22125x y m+=与双曲线221515x y -=的焦点相同，求m 的值．7.已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．8.双曲线369422=-y x 的渐进线方程是_____________.9.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144．求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程.10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为y=x 34，则离心率为___________.11.已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是__________________.12.动点P 与点1(0,5)F -与点2(0,5)F 满足126PF PF -=,则点P 的轨迹方程为.13.已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.14.双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为______________.15.顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率e=45的双曲线为____________.16.若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则这条双曲线的方程是___________．17.已知俩点()()0,5,0,521F F -求与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程。

18.已知渐近线方程为x y 32±=且经过P ()2,6求该双曲线的方程.19.直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________20.过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是______________.。

双曲线及其标准方程习题

5．若点 M 在双曲线错误!－错误!＝1 上,双曲线的焦点为 F1,F2,且|MF1|＝3|MF2|,则|MF2|
等于
A．2
B．4
C．8
D．12
解析：选 B.双曲线中 a2＝16,a＝4,2a＝8,由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8,又|MF1|＝
3|MF2|,所以 3|MF2|－|MF2|＝8,解得|MF2|＝4.
以对于所求双曲线 a＝1,c＝2,b2＝3,焦点在 y 轴上,双曲线的方程为 y2－错误!＝1.
4．在方程 mx2－my2＝n 中,若 mn＜0,则方程表示的曲线是 A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线
解析：选 D.将方程化为错误!－错误!＝1.
A．5,10 C．10,＋∞
B．－∞,5 D．－∞,5∪10,＋∞
解析：选 A.由题意得 10－k5－k<0,解得 5<k<10.
3．以椭圆错误!＋错误!＝1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是
－y2＝1 －错误＝1
B．y2－错误!＝1 －错误!＝1
解析：选 B.椭圆错误!＋错误!＝1 的焦点为 F10,1,F20,－1,长轴的端点 A10,2,A20,－2,所
由错误!·错误!＝0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得 |PF1|2＋|PF2|2＝2c2,即|PF1|2＋|PF2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a. 两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2 得 20－2×2＝4a2,解得 a2＝4,从而 b2＝5－4＝1, 所以双曲线方程为错误!－y2＝1. 答案：错误!－y2＝1 3．设圆 C 与两圆 x＋错误!2＋y2＝4,x－错误!2＋y2＝4 中的一个内切,另一个外切．求 C 的圆心轨迹 L 的方程．解：设两圆 x＋错误!2＋y2＝4,x－错误!2＋y2＝4 的圆心分别为 F1－错误!,0,F2错误!,0, 两圆相离, 由题意得||CF1|－|CF2||＝4＜2错误!＝|F1F2|, 从而得动圆的圆心 C 的轨迹是双曲线, 且 a＝2,c＝错误!,所以 b＝错误!＝1, 所求轨迹 L 的方程为错误!－y2＝1. 4．如图,若 F1,F2 是双曲线错误!－错误!＝1 的两个焦点． 1 若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,求点 M 到另一个焦点的距离； 2 若 P 是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|＝32,试求△F1PF2 的面积．解：双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1, 故 a＝3,b＝4,c＝错误!＝5. 1 由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6,又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16,假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x,则|16－x|＝6,解得 x＝10 或 x＝22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. 2 将||PF2|－|PF1||＝2a＝6,两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36, ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos∠F1PF2＝错误! ＝错误!＝0, ∴∠F1PF2＝90°, ∴S△F1PF2＝错误!|PF1|·|PF2|＝错误!×32＝16.

双曲线的定义及其标准方程同步练习-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

双曲线的定义及其标准方程同步练习一．选择题1．已知动点P（x，y）满足﹣＝2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的左支D．双曲线的右支2．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|﹣|PF2|＝a（a为大于零的常数），则动点P的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线3．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．已知双曲线C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知定点F1（﹣4，0），F2（4，0），N是圆O：x2+y2＝4上的任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则||•||＝（）A．2B．4C．6D．87．设双曲线的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|：|PF2|＝3：4，则△PF1F2的面积等于（）A．18B．24C．36D．48二．填空题8．已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.9．已知双曲线的方程是﹣＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小（O为坐标原点）为．10．设点P在双曲线上．若F1、F2为双曲线的两个焦点，且PF1：PF2＝1：3，则△F1PF2的周长为．11．已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝．12．已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．13．已知A是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△F1PF2的重心，若＝λ，||＝，||+||＝8，则双曲线的标准方程为．14．已知双曲线方程为﹣x2＝1，点A的坐标为是圆（x﹣2）2+y2＝1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值是．三．解答题15．已知﹣＝﹣1，当k为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在x轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线．16．根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）a＝4且经过点A；（2）与双曲线＝1有公共焦点，且过点（3，2）；（3）双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上．17．已知动圆P与圆C1：（x+5）2+y2＝49和圆C2：（x﹣5）2+y2＝1，分别求满足下列条件的动圆圆心P的轨迹方程．（1）圆P与圆C1，圆C2都外切；（2）圆P与圆C1，圆C2都内切；（3）圆P与圆C1外切，圆C2内切．18．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，A（0，），当△APF周长最小时，则点P的纵坐标为多少？。

《双曲线的定义及其标准方程》练习

《双曲线的定义及其标准方程》
知识点一：双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点二：双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
1、求满足下列条件下的双曲线的标准方程
（1）若a＝3，b＝4
答案：－＝1或－＝1
（2）a＝2 ，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上
答案：－＝1.
（3）已知焦点F1(0，－6)，F2(0,6)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于8；
答案：－＝1.
（4）已知某双曲线与－＝1共焦点，且过点(3 ，2)
（4）与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3 ，2)；答案：－＝1
（5）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点；答案：y2－＝1
课后训练
类型一：双曲线的定义及应用
1、若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于
答案：－＝1
（5）以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)
答案：－＝1.
（6）与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)
答案：－y2＝1
（7）以椭圆＋＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3， )
答案：－＝1
（8）已知双曲线过点P1 和P2
答案：－＝1
（9）已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)பைடு நூலகம்点

高二数学课时作业2.1《双曲线及其标准方程》

高二数学课时作业§ 2.1《双曲线及其标准方程》一．单选题1.“”是“方程22113x y m m -=-+表示的曲线是双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知双曲线22119x y m -=-的一个焦点坐标为()4,0，则m 的值为（）A ．24B ．25C ．7D ．83.已知双曲线的两个焦点为()1F，)2F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，122MF MF ⋅= ，则该双曲线的方程是（）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=4.相距1600m 的两个哨所,A B ，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m /s ，在A 哨所听到的爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4s ．若以AB 所在直线为x轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（）A ．221(0)435600564400x y x -=>B ．22221(0)640480x y x -=>C ．221435600564400x y +=D ．22221640480x y +=5.已知曲线22:1C mx ny +=.下列正确的是（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，则C 是两条直线6.若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1，且存在12PF F ，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（）A ．2211615x y +=B ．2212524x y +=C ．22115y x -=D ．221x y -=二.多选题7.关于曲线22151x y m m +=--，下列叙述正确的是（）1>mA ．当2m =-时，曲线表示的图形是一个圆B ．当2m =时，曲线表示的图形是一个焦点在x 轴上的椭圆C ．当3m =时，曲线表示的图形是一个圆D ．当4m =时，曲线表示的图形是一个焦点在y 轴上的椭圆8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程31x y =-+表示的曲线是双曲线，则实数m 的取值可能为（）A ．B ．3C ．D ．4三.填空题9.过点()3,0-，且与圆()2234x y -+=外切．．的动圆圆心P 的轨迹方程为．10.已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 的直线与双曲线C的左支交于,A B 两点，若11224,AF F B AB BF ===，则双曲线C 的焦距为．四．解答题11.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =，经过点()2,5A -，焦点在y 轴上；(2)与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.12.在平面内，动点()M x y ，与定点()30F ，的距离和它到定直线1:3l x =的距离比是常数3．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线m 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥(O 为坐标原点)，求224OP OQ +的最小值．。

双曲线及其标准方程练习题一

《双曲线及其标准方程》练习题一1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分5．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或236．圆P 过点，且与圆外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（）．A ．； B ．C ．D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（）9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。

10．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。

11．已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．12．过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程为________．13．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．14．已知方程x 22－k ＋y 2k －1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k 的取值范围．15.已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是)0,1(1F ，求它的另一个焦点2F 的轨迹方程。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《双曲线的定义及其标准方程》
知识点一：双曲线的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二：双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴
x 轴 y 轴标准方程
图形焦点坐标
F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a ，b ，c 的关系式 a 2＋b 2＝c 2
题型一：双曲线的定义及应用
例1：若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点．若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离．
例2、已知方程x 21＋k －y 2
1－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是
题型二：求双曲线的标准方程
例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上；
（2）a ＝4，经过点A ⎝
⎛⎭⎫1，－4103；
（3）过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭
⎫－163，5且焦点在坐标轴上；
（4）与双曲线x 216－y 24
＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；
（5）以椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点。

课后训练
类型一：双曲线的定义及应用
1、若双曲线E ：x 29－y 216
＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于
2、若方程x 2k ＋3＋y 2
k ＋2
＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是
3、双曲线x 24－y 216
＝1的焦点坐标为________．
4、设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29
＝1的一个焦点，则m ＝________.
5、已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )
6、设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224
＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________.
7、已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在双曲线上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝
类型一：求双曲线的标准方程
1、求满足下列条件下的双曲线的标准方程
（1）若a ＝3，b ＝4
（2）a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上
（3）已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8；
（4）已知某双曲线与x 216－y 24
＝1共焦点，且过点(32，2)
（5）以椭圆x 216＋y 29
＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)
（6）与椭圆x 24
＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)
（7）以椭圆x 28＋y 25
＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，10)
（8）已知双曲线过点P 1⎝⎛⎭⎫－2，352和P 2⎝⎛⎭
⎫473，4
（9）已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点
（10）已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)
（11）与椭圆x 227＋y 2
36
＝1有共同的焦点且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4.
（12）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双
曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1。