九年级数学《圆心角》课件
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初中数学人教版九年级上册《圆周角》课件
∵BC是直径，
∴∠B=90°32°=58°．
C.64°
判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
×
×
√
×
×
的中点，M是半径OD上
如图， A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是
任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(
A.45°
B.60°
D.85°
解：连接AO，BO，
∵B是的中点，
1
∠AOB.
2
知识点1
例 我们来证明一下上面的结论.
(
证明： 在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角和圆周
角有下面几种位置关系.
知识点1
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心O在∠BAC的一条边上.
OA OC A C
1
A BOC.
BOC A C
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆周角
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角， ∠AOB.
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点?
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
C.115°
圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
径的关系
90°（直角）.
圆周角
∴∠B=90°32°=58°．
C.64°
判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
×
×
√
×
×
的中点，M是半径OD上
如图， A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是
任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(
A.45°
B.60°
D.85°
解：连接AO，BO，
∵B是的中点，
1
∠AOB.
2
知识点1
例 我们来证明一下上面的结论.
(
证明： 在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角和圆周
角有下面几种位置关系.
知识点1
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心O在∠BAC的一条边上.
OA OC A C
1
A BOC.
BOC A C
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆周角
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角， ∠AOB.
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点?
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
C.115°
圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
径的关系
90°（直角）.
圆周角
3.4圆心角 (第一课时)课件-浙教版数学九年级上册
2
同理由OF⊥CD，得 CF DF 1 CD
2
∴AE=DF. 又∵OA=OD， ∴Rt△AOE≌Rt△DOF（HL） ∴OE=OF.
，内化提升
圆的旋转不变性
圆心角定理
角等
？
等量关系
弧 弦 弦心距
弧的度数
3.4圆心角（第一课时）
一、问题引入，动态感悟
1.圆这一图形非常美观，你觉得它的美主要体现在哪里？ 2.圆的对称轴是什么？ 3.基于圆的对称性，我们主要学习了哪些知识？
C
O
O
CD⊥AB
AE BE
AD BD, AC BC
A
E
B
D
4.圆除了是轴对称图形，是否是中心对称图形呢？ 5.一个圆绕圆心旋转任意角度能够与本身重合吗？
●
O
圆的旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意角度后，仍与原来的圆重合.
二、立足本质，引出概念
A
O●
弧AB是圆心角∠AOB所对的弧
弦AB是圆心角∠AOB所对的弦
B
圆心角 ∠AOB
圆心角的概念：顶点在圆心的角叫作圆心角
辩一辩：下列哪些角是圆心角？
●
圆内 (1)
圆外
●
(2)
●
●
圆上
(3)
(4)
三、合作学习，探究定理
２、过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D. 点A，B，C，D就把⊙O四等分.
例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦
CD的弦心距.求证：OE=OF.
证明 ∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）. ∵OE⊥AB，∴ AE BE 1 AB
同理由OF⊥CD，得 CF DF 1 CD
2
∴AE=DF. 又∵OA=OD， ∴Rt△AOE≌Rt△DOF（HL） ∴OE=OF.
，内化提升
圆的旋转不变性
圆心角定理
角等
？
等量关系
弧 弦 弦心距
弧的度数
3.4圆心角（第一课时）
一、问题引入，动态感悟
1.圆这一图形非常美观，你觉得它的美主要体现在哪里？ 2.圆的对称轴是什么？ 3.基于圆的对称性，我们主要学习了哪些知识？
C
O
O
CD⊥AB
AE BE
AD BD, AC BC
A
E
B
D
4.圆除了是轴对称图形，是否是中心对称图形呢？ 5.一个圆绕圆心旋转任意角度能够与本身重合吗？
●
O
圆的旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意角度后，仍与原来的圆重合.
二、立足本质，引出概念
A
O●
弧AB是圆心角∠AOB所对的弧
弦AB是圆心角∠AOB所对的弦
B
圆心角 ∠AOB
圆心角的概念：顶点在圆心的角叫作圆心角
辩一辩：下列哪些角是圆心角？
●
圆内 (1)
圆外
●
(2)
●
●
圆上
(3)
(4)
三、合作学习，探究定理
２、过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D. 点A，B，C，D就把⊙O四等分.
例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦
CD的弦心距.求证：OE=OF.
证明 ∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）. ∵OE⊥AB，∴ AE BE 1 AB
圆心角-课件ppt
O
C B
8.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
圆内接四边形：
（顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
A
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
思考：如何证明？
已知EA=3,EB=6,EC=8,则ED=___
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过
A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,
∠ACB就是”危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于”
危险角”时,就有可能触礁.
(1)当船与两个灯塔的夹角∠a 等于“危险角”时,船位于哪 个区域?为什么?
C
C
●O
B
●O
B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 150°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A D
E
.O
C
B
5.(1)如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E，则△ACE 与△ DBE有什么关系？并说明理由。
A D
E
.O
C
B
5.(2) 线段EA、EB、EC、ED有什么关系？并说明理 由。
圆周角数学九年级上册(共16张PPT)
24.1.4 圆周角
温故知新
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2.右图中哪个角是圆心角？
∠BOC
概念定义
请同学们观察图中的∠BAC有哪些特征？
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
定义：
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．
(
？
圆心在圆周角一边
分类证明
圆心在圆周角内部
相加
由可知
分类证明
圆心在圆周角外部
相减
分类证明
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
推论1：同弧 所对的圆周角相等．
或等弧
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
(3)∠3=∠ ;
(4)∠5=∠ .
4
7
6
8
学以致用
4.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
50°
课堂小结
谈谈这节课你有哪些收获？
思想方法：
知识层面：
分类讨论、转化、从特殊到一般
布置作业：第88页2、3题，习题24.1第14题
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳定理
学以致用
120°
1.求圆中角x的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O.Leabharlann X120°B
温故知新
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2.右图中哪个角是圆心角？
∠BOC
概念定义
请同学们观察图中的∠BAC有哪些特征？
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
定义：
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．
(
？
圆心在圆周角一边
分类证明
圆心在圆周角内部
相加
由可知
分类证明
圆心在圆周角外部
相减
分类证明
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
推论1：同弧 所对的圆周角相等．
或等弧
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
(3)∠3=∠ ;
(4)∠5=∠ .
4
7
6
8
学以致用
4.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
50°
课堂小结
谈谈这节课你有哪些收获？
思想方法：
知识层面：
分类讨论、转化、从特殊到一般
布置作业：第88页2、3题，习题24.1第14题
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳定理
学以致用
120°
1.求圆中角x的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O.Leabharlann X120°B
人教版九年级数学上册《 圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角》课件
OD于F.求证：AE=CD=BF
O·
A C
B D
3. ⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2 的中点，过M作一直线交⊙O1于A、 B ，交⊙O2于C、D 。
求证：A⌒B=C⌒D
B
·O1
E
C AM
D F
·O2
4. 如图，∠BAC=50°，则
∠D+∠E=____2_3__0_°__
5.在Rt△ ABC中，AB=6， BC=8，则这个三角形的外
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
O·
A C
B D
3. ⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2 的中点，过M作一直线交⊙O1于A、 B ，交⊙O2于C、D 。
求证：A⌒B=C⌒D
B
·O1
E
C AM
D F
·O2
4. 如图，∠BAC=50°，则
∠D+∠E=____2_3__0_°__
5.在Rt△ ABC中，AB=6， BC=8，则这个三角形的外
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
圆心角之圆心角与弧的度数PPT课件
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8
㎝,那么⊙o的半径是 5㎝
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,
那么⊙O的半径为
5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
C
E
·O
A
D
B
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/24
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和 ∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
求证：AB＝CD
M
A
O
P
C
N
E
B
D
F
已知：如图，AD=BC. 求证：AB＝CD
C
A
E
O
B
D
已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB,弧EC的 度数为40°，求∠BOD的度数。
②AB=A′B′
④ OD=O′D′
把圆分成360等份，
每一份所对的角叫做一度角。
记作 “1°” 。
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
110°
E
70°
A
C
70°O40°
D B
已知：如图， PB＝PD. 求证： AB=CD 。
C
A
F PE
O
B
2圆心角和圆周角第一课时-冀教版九年级数学上册课件
∴∠AOM=∠BOM，AM=BM
∵AE=BF
O
∴EM=FM，而OM⊥AB
∴OE=OF
A
E MF
B ∴∠EOM=∠FOM ∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM
C
D 即∠AOC=∠BOD
∴AC=BD
巩固提升
圆心角性质的应用 在圆中 1.求弧相等可以转化为求角相等或线段相等； 2.求线段相等可以转化为求角相等或弧相等； 3.求角相等可以转化为求线段相等或弧相等.
A
●
MO
N
OM=ON (OC=OD)
B
△COM≌△DON(HL)
∠AOC=∠BOD
同圆中相等的圆心角 所对的弧相等
A⌒D=B⌒C
典例精析
例1.（变式）已知，如图，AB为⊙O的直径，
点M,N分别是AO,BO的中点， CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别⌒为M⌒、N.求证：
AC=BD. C
方法二：连接OC、OD、AC、BD
③②①在在在⊙⊙⊙OO中O中中
B′
∵ABA∵∴⌒=BAA∵∴⌒A=BBA∠'A⌒B==B⌒A'AA'B，=O⌒'''ABB,B⌒∠'''B=,AA∠',⌒OCAABBB'O===∠BAA'A''CB⌒'OB' 'B'
·
O
A
∠AOB=∠A'OB'
C ●
结论
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的 两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要 有一组量相等，其他两组量就分别相等.
方法一：连接OC、OD
A
M ON ●
九年级数学上册《圆心角定理》课件
∠AOB=∠COD OE=OF
______________,__________,____________。
AB=CD
OE=OF
_________,________,_________ 。 ⌒ ⌒
AB=CD AB=CD
2.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
Ｂ Ｄ Ｃ
· Ｏ
Ａ
随堂训练 3.已知AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。 CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。 求证：⌒ ⌒ Ｄ AC=BD Ａ Ｍ o
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的 弦的弦心距相等。
对于等圆的情况 ，因为两个等 圆可叠合成同圆，所以等圆问题 可转化为同圆问题，命题成立。
图5
条件
在同圆或等圆中 那么 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一பைடு நூலகம்圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
冀教版九年级数学上册《圆心角和圆周角》PPT精品教学课件
同理∠B+∠D＝180°.
【归纳总结】
圆内接四边形的对角互补.
例
如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为
四边形ABCD的一个外角.求证∠DCE=∠BAD.
证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
+
=
+ ,
∵
= .∴∠AOC=∠BOD.
∴
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.
又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.
随堂训练
本题答案不
唯一哦！
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
28.3 圆心角和圆周角
第1课时
学习目标
1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关
系及推论. （重点）
2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算
和证明. （难点）
新课导入
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？
由此你得到什么结论呢？
180°
A
圆是中心对称图形.
证明：连接OA,OB,OC,OD.
C
B
AD BC，
AOD BOC.
O
.
AOD+BOD=BOC +BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
A
D
课堂小结
圆心角
定义：顶点在圆心的角
【归纳总结】
圆内接四边形的对角互补.
例
如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为
四边形ABCD的一个外角.求证∠DCE=∠BAD.
证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
+
=
+ ,
∵
= .∴∠AOC=∠BOD.
∴
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.
又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.
随堂训练
本题答案不
唯一哦！
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
28.3 圆心角和圆周角
第1课时
学习目标
1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关
系及推论. （重点）
2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算
和证明. （难点）
新课导入
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？
由此你得到什么结论呢？
180°
A
圆是中心对称图形.
证明：连接OA,OB,OC,OD.
C
B
AD BC，
AOD BOC.
O
.
AOD+BOD=BOC +BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
A
D
课堂小结
圆心角
定义：顶点在圆心的角
人教版九年级数学上册 (弧、弦、圆心角)圆教学课件
︵︵ 又∵OE＝OB，∴∠B＝∠E，∴∠AOC＝∠AOE，∴AC＝AE.
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基础过关
1．下图中，∠ACB是圆心角的是( B)
数学·九年级（上）·配人教
5
A
B
C
D
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数学·九年级（上）·配人教
6
︵︵ 2．【教材 P85 练习 T2 变式】如图，在⊙O 中，AB＝AC，∠AOB＝40°，则∠ AOC 的度数是( A )
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数学·九年级（上）·配人教
20
︵
︵︵ ︵︵
解：AB＜2CD．理由：取AB的中点 E，连接 EA、EB．∵AB＝2CD，∴EA ＝EB
︵ ＝CD，∴EA＝EB＝CD．在△ABE 中，AE＋BE＞AB，∴AB＜2CD．
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21
思维训练
14．【核心素养题】如图，△ABC 的三个顶点在⊙O 上，AD⊥BC，D 为垂足，
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10
︵︵
︵︵
6．如图，在⊙O 中，∠AOD＝∠BOC，则AB与CD的大小关系是__A_B_＝__C__D__.
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数学·九年级（上）·配人教
11
︵︵ 7．已知，如图所示，OA、OB、OC 是⊙O 的三条半径，AC＝BC，M、N 分别 是 OA、OB 的中点，求正：MC＝NC．
数学·九年级（上）·配人教
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
弧、弦、圆心角
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2
以练助学
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基础过关
1．下图中，∠ACB是圆心角的是( B)
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5
A
B
C
D
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6
︵︵ 2．【教材 P85 练习 T2 变式】如图，在⊙O 中，AB＝AC，∠AOB＝40°，则∠ AOC 的度数是( A )
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20
︵
︵︵ ︵︵
解：AB＜2CD．理由：取AB的中点 E，连接 EA、EB．∵AB＝2CD，∴EA ＝EB
︵ ＝CD，∴EA＝EB＝CD．在△ABE 中，AE＋BE＞AB，∴AB＜2CD．
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21
思维训练
14．【核心素养题】如图，△ABC 的三个顶点在⊙O 上，AD⊥BC，D 为垂足，
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10
︵︵
︵︵
6．如图，在⊙O 中，∠AOD＝∠BOC，则AB与CD的大小关系是__A_B_＝__C__D__.
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11
︵︵ 7．已知，如图所示，OA、OB、OC 是⊙O 的三条半径，AC＝BC，M、N 分别 是 OA、OB 的中点，求正：MC＝NC．
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
弧、弦、圆心角
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2
以练助学
《圆心角和圆周角》PPT课件
好经过圆心，则A︵mB等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝2C︵D，则下列结论正确的是( C )
A．AB＞2CD
B．AB＝2CD
C．AB＜2CD
D．以上都不正确
13．(9分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上四点，若AC＝BD，求证： AB＝CD.
15．(10分)如图，以⊙O的直径BC为边作等边△ABC，AB，AC分别 交⊙O于点D，E. 求证：BD＝DE＝EC.
连 接 OD ， OE ， ∵ ∠ B ＝ 60° ， OD ＝ OB ， ∴ △ OBD 为 等 边 三 角 形 ， ∴BD＝OD，∴同理DE＝EC＝OD，∴BD＝DE＝EC
16．(10 分)如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且A︵D ＝C︵E，BE 与 CE 的大小有什么关系？为什么？
∠POF＝x°，则x的取值范围是( B )
A．60≤x≤120
B．30≤x≤60
C．30≤x≤90
D．30≤x≤120
13．如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN＝CO时，∠NMB的度 数是____3_0_°__．
14．(10分)在⊙O中，半径为5 cm，弦AB＝5 cm，求弦AB所对圆周角 的度数． 解：连接OA，OB.∵半径为5cm，AB＝5cm，∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°.∴弦AB所对的劣弧所对的圆周角的度数为30°，弦AB 所对的优弧所对的圆周角的度数为150°.
Hale Waihona Puke 16．(12分)如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC 交⊙O于点E，∠BAC＝45°. (1) 求∠EBC的度数； (2)求证：BD＝CD.
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（3）若 ∠ A O B = ∠ C O D 则 、 、 。
例题解析
例1 如图1，在⊙O中，弧AB=弧AC， ∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
B
A
O
C
证明： ∵弧AB=弧AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
哪些方法？你能归纳一下吗？
圆心角与弧的度数.gsp
讲例
例1：如图，⊙O中两条相等的弦AB、 CD分别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
B M A O C N D F E
基础训练
1、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4， 则弦AB所对的圆心角为 。 2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 则弦AB所对的圆心角的度数为 。 3、如图5，在⊙O中弧AB=弧AC，∠C=75°，求 A ∠A的度数。
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别
是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB. 求证：AC=BD C D
A
M O
N
B
综合应用
如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，
且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长.
D C
A
O
B
试一试
1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
24.2.2圆心角定理
猜一猜
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个
圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度，
都能与原来的圆重合。因此,
圆是中心对称图形，对称中
O
B 图5
C
基础训练
4、如图6，AD=BC，那么比较弧AB与弧CD的 大小。
A C
O D
B
图6
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于 点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：弧AC=弧BD
O E C A B
F D
一题多解
A C
解：连结OM、ON， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
M O
N
B
D
图2
第二课时
忆一忆：
应用
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
圆心角与弧的度数关系
心为圆心。圆的中心对称性
是其旋转不变性的特例.
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB ,
B
圆心角 AOB 所对 的弧为 AB， 所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,
M O A
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离， 叫弦心距 , 如图，OM为AB弦的弦心距。
实验
圆心角相等的实验.gsp
等弦、等弧对“等角”（等角是指相等的圆心角）；
（2）等弧对等弦、等角.（但不能说等弦对等弧？） 特别提醒：在“同圆或等圆中”的含义.
举反例加以说明
D B O 80 A O B m
C
A
推理格式：如图所示
A
、 、 。 。
C O B F D
（1）若 A B = C D ，
则 则 、 、
E
（2）若 A B = C D ，
延伸 等对等定理整体理解： (1) 圆心角 B 知 一 得 三
α
(2) 弧
(3) 弦 (4) 弦心距
Oα A′ B′
A
探索总结“知一推三”
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：（1）在同圆或等圆中，“等角”对等弦、等弧，
1 ＝OM，求证：AP= BQ 3
P B O Q
M
A
O M E F P N
2.如图，⊙O的半径OP＝5，E是OP上的点，且EP＝ 2，MN经过点E，ME∶EN＝1∶2，OF⊥MN于F， 求OF的长.
课堂小结
1.圆心角定理的内容？
2.运用这个定理时应注意什么问题？ 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用
图1
创新探究
1.如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与
CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙关系？为什么？
A E
C
N
B
O
M D
P
随堂练习
已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD 不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD， 那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什 么？
例题解析
例1 如图1，在⊙O中，弧AB=弧AC， ∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
B
A
O
C
证明： ∵弧AB=弧AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
哪些方法？你能归纳一下吗？
圆心角与弧的度数.gsp
讲例
例1：如图，⊙O中两条相等的弦AB、 CD分别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
B M A O C N D F E
基础训练
1、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4， 则弦AB所对的圆心角为 。 2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 则弦AB所对的圆心角的度数为 。 3、如图5，在⊙O中弧AB=弧AC，∠C=75°，求 A ∠A的度数。
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别
是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB. 求证：AC=BD C D
A
M O
N
B
综合应用
如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，
且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长.
D C
A
O
B
试一试
1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
24.2.2圆心角定理
猜一猜
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个
圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度，
都能与原来的圆重合。因此,
圆是中心对称图形，对称中
O
B 图5
C
基础训练
4、如图6，AD=BC，那么比较弧AB与弧CD的 大小。
A C
O D
B
图6
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于 点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：弧AC=弧BD
O E C A B
F D
一题多解
A C
解：连结OM、ON， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
M O
N
B
D
图2
第二课时
忆一忆：
应用
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
圆心角与弧的度数关系
心为圆心。圆的中心对称性
是其旋转不变性的特例.
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB ,
B
圆心角 AOB 所对 的弧为 AB， 所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,
M O A
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离， 叫弦心距 , 如图，OM为AB弦的弦心距。
实验
圆心角相等的实验.gsp
等弦、等弧对“等角”（等角是指相等的圆心角）；
（2）等弧对等弦、等角.（但不能说等弦对等弧？） 特别提醒：在“同圆或等圆中”的含义.
举反例加以说明
D B O 80 A O B m
C
A
推理格式：如图所示
A
、 、 。 。
C O B F D
（1）若 A B = C D ，
则 则 、 、
E
（2）若 A B = C D ，
延伸 等对等定理整体理解： (1) 圆心角 B 知 一 得 三
α
(2) 弧
(3) 弦 (4) 弦心距
Oα A′ B′
A
探索总结“知一推三”
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：（1）在同圆或等圆中，“等角”对等弦、等弧，
1 ＝OM，求证：AP= BQ 3
P B O Q
M
A
O M E F P N
2.如图，⊙O的半径OP＝5，E是OP上的点，且EP＝ 2，MN经过点E，ME∶EN＝1∶2，OF⊥MN于F， 求OF的长.
课堂小结
1.圆心角定理的内容？
2.运用这个定理时应注意什么问题？ 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用
图1
创新探究
1.如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与
CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙关系？为什么？
A E
C
N
B
O
M D
P
随堂练习
已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD 不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD， 那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什 么？