九年级数学《圆心角》课件
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圆心角与弧的度数.gsp
讲例
例1：如图，⊙O中两条相等的弦AB、 CD分别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
B M A O C N D F E
基础训练
1、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4， 则弦AB所对的圆心角为 。 2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 则弦AB所对的圆心角的度数为 。 3、如图5，在⊙O中弧AB=弧AC，∠C=75°，求 A ∠A的度数。
哪些方法？你能归纳一下吗？
1 ＝OM，求证：AP= BQ 3
P B O Q
M
A
O M E F P N
2.如图，⊙O的半径OP＝5，E是OP上的点，且EP＝ 2，MN经过点E，ME∶EN＝1∶2，OF⊥MN于F， 求OF的长.
课堂小结
1.圆心角定理的内容？
2.运用这个定理时应注意什么问题？ 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用
心为圆心。圆的中心对称性
是其旋转不变性的特例.
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB ,
B
圆心角 AOB 所对 的弧百度文库 AB， 所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,
M O A
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离， 叫弦心距 , 如图，OM为AB弦的弦心距。
实验
圆心角相等的实验.gsp
24.2.2圆心角定理
猜一猜
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个
圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度，
都能与原来的圆重合。因此,
圆是中心对称图形，对称中
延伸 等对等定理整体理解： (1) 圆心角 B 知 一 得 三
α
(2) 弧
(3) 弦 (4) 弦心距
Oα A′ B′
A
探索总结“知一推三”
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：（1）在同圆或等圆中，“等角”对等弦、等弧，
O
B 图5
C
基础训练
4、如图6，AD=BC，那么比较弧AB与弧CD的 大小。
A C
O D
B
图6
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于 点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：弧AC=弧BD
O E C A B
F D
一题多解
图1
创新探究
1.如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与
CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.
你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？
A E
C
N
B
O
M D
P
随堂练习
已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD 不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD， 那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什 么？
（3）若 ∠ A O B = ∠ C O D 则 、 、 。
例题解析
例1 如图1，在⊙O中，弧AB=弧AC， ∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
B
A
O
C
证明： ∵弧AB=弧AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别
是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB. 求证：AC=BD C D
A
M O
N
B
综合应用
如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，
且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长.
D C
A
O
B
试一试
1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
等弦、等弧对“等角”（等角是指相等的圆心角）；
（2）等弧对等弦、等角.（但不能说等弦对等弧？） 特别提醒：在“同圆或等圆中”的含义.
举反例加以说明
D B O 80 A O B m
C
A
推理格式：如图所示
A
、 、 。 。
C O B F D
（1）若 A B = C D ，
则 则 、 、
E
（2）若 A B = C D ，
A C
解：连结OM、ON， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
M O
N
B
D
图2
第二课时
忆一忆：
应用
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
圆心角与弧的度数关系
讲例
例1：如图，⊙O中两条相等的弦AB、 CD分别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
B M A O C N D F E
基础训练
1、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4， 则弦AB所对的圆心角为 。 2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 则弦AB所对的圆心角的度数为 。 3、如图5，在⊙O中弧AB=弧AC，∠C=75°，求 A ∠A的度数。
哪些方法？你能归纳一下吗？
1 ＝OM，求证：AP= BQ 3
P B O Q
M
A
O M E F P N
2.如图，⊙O的半径OP＝5，E是OP上的点，且EP＝ 2，MN经过点E，ME∶EN＝1∶2，OF⊥MN于F， 求OF的长.
课堂小结
1.圆心角定理的内容？
2.运用这个定理时应注意什么问题？ 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用
心为圆心。圆的中心对称性
是其旋转不变性的特例.
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB ,
B
圆心角 AOB 所对 的弧百度文库 AB， 所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,
M O A
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离， 叫弦心距 , 如图，OM为AB弦的弦心距。
实验
圆心角相等的实验.gsp
24.2.2圆心角定理
猜一猜
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个
圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度，
都能与原来的圆重合。因此,
圆是中心对称图形，对称中
延伸 等对等定理整体理解： (1) 圆心角 B 知 一 得 三
α
(2) 弧
(3) 弦 (4) 弦心距
Oα A′ B′
A
探索总结“知一推三”
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：（1）在同圆或等圆中，“等角”对等弦、等弧，
O
B 图5
C
基础训练
4、如图6，AD=BC，那么比较弧AB与弧CD的 大小。
A C
O D
B
图6
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于 点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：弧AC=弧BD
O E C A B
F D
一题多解
图1
创新探究
1.如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与
CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.
你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？
A E
C
N
B
O
M D
P
随堂练习
已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD 不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD， 那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什 么？
（3）若 ∠ A O B = ∠ C O D 则 、 、 。
例题解析
例1 如图1，在⊙O中，弧AB=弧AC， ∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
B
A
O
C
证明： ∵弧AB=弧AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别
是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB. 求证：AC=BD C D
A
M O
N
B
综合应用
如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，
且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长.
D C
A
O
B
试一试
1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
等弦、等弧对“等角”（等角是指相等的圆心角）；
（2）等弧对等弦、等角.（但不能说等弦对等弧？） 特别提醒：在“同圆或等圆中”的含义.
举反例加以说明
D B O 80 A O B m
C
A
推理格式：如图所示
A
、 、 。 。
C O B F D
（1）若 A B = C D ，
则 则 、 、
E
（2）若 A B = C D ，
A C
解：连结OM、ON， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
M O
N
B
D
图2
第二课时
忆一忆：
应用
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
圆心角与弧的度数关系