复变函数解析函数
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
复变函数2-1解析函数的概念
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
19
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
u v u v , . x y y x
23
证明：必要性
设f ( z )在z x iy处可导，记作 f ( z ) a ib，
'
则由定义有f ( z 源自 ) f ( z ) (a ib)z ( z )
(a ib)(x iy) ( z )
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
9
二、解析函数的概念与求导法则
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导,那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中一个非常重要的分支，也是其它自然科学中涉及到复数的问题所必须掌握的基础知识。
它的研究对象是由复变量组成的函数，在复平面上有非常丰富的性质和应用。
解析函数是复变函数中的一个重要概念，是指在某个区域内可导的复变函数，它在物理、工程、数学等领域中有着广泛的应用。
一、复变函数基础复数包含实数和虚数两个部分，即 $z=a+b i$，其中 $a$ 和$b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复平面可使用一个点 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b i$，其中向上为正方向，向右为正方向。
我们可以将复平面分为实轴和虚轴两部分，实轴上的点是实数 $a$，虚轴上的点是复数 $b i$。
对于一个复变量 $z=x+y i$，可以分别表示为实部 $x$ 和虚部$y$，即 $x=Re(z), y=Im(z)$。
其中，共轭复数（conjugate complex）的实部不变、虚部相反，即 $z^* = x - yi$。
绝对值定义为模长（modulus）或者复数的模数（magnitude）：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。
表示复数 $z$ 在复平面上到原点的距离。
二、复变函数的概念在实数域上，函数是由一个或多个自变量构成的表达式或规则，对应一个或多个因变量。
像$y=f(x)$ 这样的表达式就是一个函数。
在复数域上，一个函数 $f(z)$ 由一个复变量 $z=x+y i$ 构成，可看作 $(x,y)$ 上的某种标量函数。
即对于 $x,y \in \mathbb{R}$，$z=x+y i \in \mathbb{C}$，$f(z)$ 可以表示为$f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ 的形式，其中 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是实函数。
我们可以把 $\mathbb{C}$ 中的点 $z$ 对应到复平面上，把点$z$ 对应的函数值 $f(z)$，对应到复平面上的另一个点 $w$。
复变函数的解析函数与调和函数
复变函数的解析函数与调和函数复变函数是数学分析中的一个重要概念，它与解析函数和调和函数密切相关。
本文将介绍复变函数的解析函数与调和函数，并讨论它们的性质和应用。
一、复变函数的解析函数与调和函数1. 解析函数：解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它在其定义域内处处可导，并且导数连续。
具体而言，设复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy为复平面上的任意点，则f(z)在其定义域内解析的充分必要条件是它满足柯西—黎曼方程，即满足以下两个偏微分方程：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
2. 调和函数：调和函数是解析函数的一种特殊情况，即当解析函数的虚部为零时，即v(x, y) ≡ 0，此时其实部u(x, y)就是一个调和函数。
调和函数满足拉普拉斯方程，即在定义域内满足以下二阶偏微分方程：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。
二、解析函数与调和函数的性质比较1. 解析函数的性质：(1) 解析函数的实部和虚部都是调和函数；(2) 解析函数与其共轭函数的乘积是调和函数；(3) 解析函数的实部和虚部满足柯西—黎曼方程，从而具有一些重要的性质，如旋度为零、偏导数的连续性等。
2. 调和函数的性质：(1) 调和函数具有最大值原理和平均值原理；(2) 调和函数的解存在一定的唯一性；(3) 调和函数具有良好的逼近性质，可以用调和函数逼近光滑函数。
三、解析函数与调和函数的应用1. 解析函数的应用：(1) 解析函数常用于描述电磁场、流体力学、热传导等自然科学领域中的问题；(2) 解析函数在工程与技术中的应用广泛，例如电路分析、图像处理、通信系统等。
2. 调和函数的应用：(1) 调和函数在物理学中有广泛的应用，如波动方程的求解、电势场的描述等；(2) 调和函数在几何学和偏微分方程中也具有重要的作用，如调和映射、调和分析等。
总结：本文介绍了复变函数的解析函数与调和函数，讨论了它们的性质和应用。
复变函数解析函数
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
z lim
z z0
lim
z z0
z z0
n ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 1 ) n lim nz0 1 z z0 z z0
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
2
实 函 数 中 f ( x ) x 在( , )内 可 导 , ; 复 函 数 中 f (z) z 的 可 导 性 , ?
2
1 例2 已 知 f ( z ) ( z 5 z ) ， 求f ' ( z ) z 1 1 2 解 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析；
如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
复变函数第2章解析函数
2019/8/11
20
证 : (1) 若 f (z) 0，即
f (z) u i v 1 u v 0 x x i y y
于是 u v u v 0 x x y y
所以 u、v 为常数, 即 f (z) u iv 为常数。
（7）f (z) 1 , 其中, w f (z) 与 z (w) 是两个 ( w )
互为反函数的单值函数且 (w) 0。
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7
4、解析函数概念
定义. 若函数 w f (z) 在点 z0 及 z0 的某领域内 处处可导, 称 f (z) 在 z0 解析。
点 z0 z D, 若极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在, 则称函数 f (z) 在 z0 点可导或可微。此极限值 称为 f (z) 在 z0 点的导数, 记作 :
f (z0 )
或
dw dz zz0
2019/8/11
2
即
f (z0 )
lim
z0
于是,由定理知 f (z) 在复平面上处处解析。
(2) f (z) x2 iy2
u( x, y) x2 , v( x, y) y2
u 2x, u 0, v 0, v 2 y
x
y x y
在复平面连续且 u v y x
但仅当 y x 时才有 u v x y
有理分式函数 P(z) 在 Q(z) 0的区域内为解析函数。 Q(z)
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二、函数解析的充分必要条件
定理 ( 函数解析的充要条件 )
函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义域 D内解析的充要 条件是 :
大学复变函数的解析函数
大学复变函数的解析函数复变函数是数学中的一门重要课程，它研究了在复平面上定义的函数。
其中，解析函数是复变函数中的一类特殊函数，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍关于大学复变函数中解析函数的定义、性质以及实际应用等方面的内容。
1. 解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
具体地，如果函数f(z)在区域D内对复平面上的任意一点z定义了导数，则称f(z)是D上的解析函数。
2. 解析函数的性质解析函数具有以下几个重要的性质：2.1. 可微性：解析函数在其定义域内处处可导，并且导数在定义域内也是解析函数。
2.2. 全纯性：解析函数无奇点，即在其定义域内处处解析。
2.3. 可积性：解析函数可以在其定义域上进行积分，并且积分与路径无关。
2.4. 唯一性：由于解析函数的可微性，其导数也是唯一确定的。
2.5. 极值点：解析函数没有极值点，即在其定义域内不存在局部极大值或极小值点。
3. 常见的解析函数复变函数中有许多常见的解析函数，包括：3.1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。
3.2. 指数函数：f(z) = e^z。
3.3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.4. 对数函数：f(z) = ln(z)。
4. 解析函数的实际应用解析函数在科学、工程和数学领域中有广泛的应用，例如：4.1. 工程设计中的电路分析和控制系统设计需要用到解析函数，如电容、电感和电阻等元件的阻抗计算。
4.2. 物理学中的波动现象研究需要用到解析函数，如光学中的折射和衍射等现象。
4.3. 金融学中的统计模型和风险管理需要用到解析函数，如利率模型和期权定价等。
4.4. 数学领域中的傅里叶分析和调和函数研究需要用到解析函数，如信号处理和信号重构等。
综上所述，解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，具有许多重要的性质和应用。
了解和掌握解析函数的定义、性质以及实际应用对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
《复变函数》第二章 解析函数
28
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
z z
x x
iy iy
1 1
i i
y
x y
1 ik 1 ik
x
18
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim h(z0 z) h(z0 )不存在.
z0
z
因此 h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
0, 0, 使得当 0 | z | 时,
有
f
( z0
z) z
f
(z0 )
f
(z0 )
,
令 (z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
9
则 lim (z) 0, z0
因为 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
所以
lim
z0
f
( z0
3
例1 求f (z) z2的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
ห้องสมุดไป่ตู้
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数专业：工程力学 姓名：李小龙 学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。
一、 基本概念1、 复数 指数表示：cos sin ,i i e i z re r z Argzθθθθθ=+===宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。
若θ是z 的辐角，则2n θπ+也是其辐角，其中,n Z Z ∈是整数集合，若限制2θπ≤<，所得的单值分支称为主值分支，记作argz 。
做球面与复平面相切于原点O ，过O 点作直线OZ 垂直于复平面，与球面交于N ，即球的北极。
设z 是任意复数，连接Nz ，与复球面交于P ，z 与P 一一对应，故复数也可用球面上的点P 表示，该球面称为复球面。
当,z P N →∞→，作为N 的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作∞，包括∞的复平面称为扩充复平面。
2、 复变函数领域：由等式0z z ε-<所确定的点集，称为0z 的ε领域，记作0(,)N z ε，即以0z 为中心，ε为半径的开圆（不包括圆周）。
区域：非空点集D 若满足：一、D 是开集，二、D 是连通的，即D 中任意两点均可以用全属于D 的折线连接。
则我们称D 为区域。
单通与复通区域：在区域D 内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D 称为单通区域，否则称为复通区域。
复变函数：以复数为自变量的函数。
记 ,z x iy w u iv =+=+ 则：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。
它给出了z 平面到w 平面的映射或变换。
复变函数的连续性： 如果00lim ()()z z f z f z →=则称()f z 在0z 处连续。
3、 解析函数复变函数的导数：复变函数()w f z =定义在区域D 上，0z D ∈，如果极限0000()()limlim z z f z z f z wz z ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在且有限，则称()w f z =在0z 处可导或可微（differentiable ），且该极限称为()w f z =在0z 处的导数或微商（derivative ），记作：00'00000()()()lim lim z z z zz z f z z f z dw df wf z dz dz z z==∆→∆→+∆-∆====∆∆ 解析函数：若函数f(z)在区域D 内可导，则称为区域D 内的解析函数，也称全纯函数。
复变函数：第2章 解析函数
• 知 zlim f ( z ) = f ( z 0 )，故 →z
0
f (z )在点 z 0 处连续.
• 2.1.3 复变函数的微分 • 定义2 称函数 f (z)的改变量 ∆w的线性部分 定义 f ′( z0 )∆z 为函数 f (z)在点 z 0 处的微分，记作
n
k ( z + ∆z ) n = ∑ C n z k ( ∆ z ) n − k = n k =0
1 2 n ( ∆z ) n + C n (∆z ) n −1 z + C n ( ∆z ) n − 2 z 2 + ⋯ + C n ( ∆z ) n − n z n
所以，由导数定义有
n
( z + ∆z ) − z f ′( z ) = ( z )′ = lim ∆z →0 ∆z
n
n
= lim [(∆z )
∆z →0
n −1
+ C (∆z )
1 n
n−2
z +⋯+ C
n −1 n −1 n
z
]
= nz
n −1
• 例2 求 f ( z ) = • 解 由例1
z 的导数.
2
df f ′( z ) = = 2z dz
• 2.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 w = f (z )在点 z 0处可导，则 点 z 0 处必连续. • 证 因为
dw 或 dz
，即
z = z0
dw f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z →0 ∆z
复变函数-第二章-解析函数
23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e
Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一
复变函数第2章解析函数
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
复变函数解析函数
面积分公式
总结词
面积分公式是复变函数解析函数的另一个重要性质，它描述了函数在一个平面区域上的 积分与边界路径之间的关系。
详细描述
如果一个复函数在一个平面区域D内有定义，且在区域D的边界周围解析，那么该函数 在区域D内的积分可以通过在区域D的边界上的函数值和边界周围的路径上的积分来表
示。
体积分公式
未来研究还可以进一步探索解 析函数在各个领域中的应用， 例如在人工智能、大数据分析 、量子计算等领域的应用。
THANKS
感谢观看
解析函数在其定义域内的任意点都可微，且 其一阶导数不为零。
整体性质
解析函数在其定义域内是单值的，即对于定义域内的 任意两个不同的点z1和z2，f(z1)≠f(z2)。
柯西定理
如果f(z)是单连通域内的解析函数，且z0是域 内任意一点，则对于任意正实数r，有∫(c: z0→z0+r) f'(z) dz = f(z0+r) - f(z0)。
复变函数解析函数
• 引言 • 解析函数的定义与性质 • 解析函数的表示方法 • 解析函数的积分公式 • 解析函数的应用 • 结论
01
引言
复数与复变函数简介
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi， 其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位， 满足 i^2=-1。
复变函数
以复数为自变量的函数，其值也是复 数。
解析函数的重要性
解析函数的性质
在数学分析中，解析函数是一类具有导数的函数，其导数在定义域内连续且具有连续的偏导数。解析函数的性质 包括具有连续的导数、可微性、可积性等。
解析函数的应用
解析函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在解决偏微分方程、积分方程、复变积分等数学问题 时，解析函数可以提供有效的解决方案。此外，在信号处理、控制系统等领域，解析函数也具有实际应用价值。
复变函数课件02章 解析函数
试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
w f (z)
d
v
(w)
e
A
z0
o
x
o
u
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中
相关定理
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理2.1
设f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) z x iy z0 x0 iy0
即当 f ( z ) 在 z z0 点可导时,
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim . z 0 z
注意 z z0 ( z 0) 的方式是任意的.
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导. 此时，对D内任意一点z, 有
故 u u( x, y ) v v( x, y )
w f ( z ) u iv u u( x , y ) v v( x, y )
例1
wz
2
2
令z x iy
2
w u iv
2 2
则 w ( u iv ) ( x iy ) x y 2 xyi
w z u x y
2
2
v 2 xy
实部等于实部 虚部等于虚部
1 1 例2 若已知 f ( z ) x 1 iy 1 2 2 2 2 x y x y 将 f ( z )表示成z 的函数 .
1 1 设z x iy , 则x ( z z ), y ( z z ) 2 2i 1 f (z) z z
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ). 令 ( z ) z
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z ( z )z ,
再由 lim ( z ) 0, 所以
z 0
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
则 lim f ( z ) A u0 iv0
z z0 ( x , y ) ( x 0 , y0 ) ( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
u( x , y ) u0 v( x , y ) v0
lim
定理2.2
若 l i m f (z) A
z z0 z z0 z z0
z z0
若在区域 D内 处 处 连 续 ， 则 称 f ( z )在D内 连 续 ; 若z、z0 C , 且 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f (z)
z z0
在曲线 C上 点z0处 连 续 .
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f ( z ) arg z在 原 点 没 有 定 义 ，
确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.
E 称为该函数的定义域.
若z 一个w值，称f ( z )是单值函数;
z 多个w值，称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。
该函数的值域为：
G = f (E) = {w w = f ( z) , z ? E}
z x iy ( x , y ); w u iv ( u, v ) w f ( z ) f ( x iy ) u( x , y ) iv ( x , y )
函数问题时，可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射（变换）。
. 例3 研究w z 所构成的映射 解 设z r (cos i sin ) re i
z re i —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2
例4 研究w e i z (实常数）所构成的映射 . 解 设z re i w e i z e i re i re i ( ) w u iv (cos i sin )( x iy )
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
称w为z的象点 (映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
w=f(z)
v
(w)
G w
z
o
E
w=f(z) x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y
之间的对应关系，以便在研究和理解复变
例2
求f ( z ) z
z 在z 0时的极限. z z 2( x 2 y 2 ) f (z) 在(0,0)处 极 限 不 存 在 . 2 2 x y
例3
证明 f ( z ) Re z
z
在z 0时的极限不存在.
函数的连续性
定义2.3
若 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f ( z )在z0处 连 续 ;
f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0 点可导, 并把这个极
限值称为 f ( z ) 在 z z0 点的导数，记做 f ( z0 ).
定义中的极限式可以写为
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim , z 0 z
但是,
f ( z z ) f ( z ) z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi x yi
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的 方向趋向于 0, 即
x 0, y 0.
o
y
z
y 0
x
于是
x 2yi x lim lim 1. x 0 x yi x 0 x y 0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x 0, y 0,
x 2yi 2yi lim lim 2. x 0 x yi y 0 yi y 0
定义2.2 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e >0, 存在d >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<d 的z , 都有
f (z) A e
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做
lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z0 ).
w z
2 k z e 2 (k
0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为E，函数值集合为G， 那么
则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性
复变函数的极限
x、 u o x、 u
图1-2
图2
例5 y
研究w z 2 所构成的映射 .
(z)
v
w z2
(w)
2
o y
x
o
u
(z)
w z2
w z2 6
v
(w)
3
o
x
x2 y2 4
w z2
o
u
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w z 为z=w2的反函数或逆映射
所以 f ( z ) x 2 yi 的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
2、 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim f ( z0 ) 0, z 0 z
有界性：
设曲线 C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 内 在的 曲 线 段 若f ( z )在C上 连 续 M 0, 在 曲 线 上 恒 有 f (z) M
§2.2
解析函数的概念
一、复变函数的导数
1、 导数的定义 定义2.4 设 w f ( z ) 是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . z 0 z
也可用
dw df ( z ) , dz dz
等表示 f ( z ) 在z点的导数.
例1
设
f ( z ) z 2 , 则 f ( z ) 在复平面内
处处可导，且 f ( z ) 2 z . 解 因为
l i m g( z ) B, 则
z z0 z z0 z z0
l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) A B l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) AB
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) 2 z 2 lim z 0 z
lim(2 z z ).
z 0
所以 z 2 z .
2例2源自证明f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
故不连续。
( 2)在 负 实 轴 上 P ( x ,0)( x 0) lim arg z