复变函数解析函数

所以 f ( z ) x 2 yi 的导数 不存在.
o
x 0
y
z

y 0
x
2、 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim f ( z0 ) 0, z 0 z
即当 f ( z ) 在 z z0 点可导时,
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim . z 0 z
注意 z z0 ( z 0) 的方式是任意的.
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导. 此时，对D内任意一点z, 有
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . z 0 z
也可用
dw df ( z ) , dz dz
等表示 f ( z ) 在z点的导数.
例1
设
f ( z ) z 2 , 则 f ( z ) 在复平面内
处处可导，且 f ( z ) 2 z . 解 因为
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
w f (z)
d
v
(w)
e
A
z0
o
x
o
u
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中
相关定理
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理2.1
设f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) z x iy z0 x0 iy0
( x cos y sin ) i ( x sin y sin ) 即 ，
u x cos y sin —旋转变换(映射) 见图2 v x sin y sin
y
(z)
v
o 图1-1
(w) u
o y、v
x
(z)、(w)
y、v
(z)、(w)

o
但是,
f ( z z ) f ( z ) z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi x yi
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的 方向趋向于 0, 即
x 0, y 0.
o
y
z

y 0
x
则 lim f ( z ) A u0 iv0
z z0 ( x , y ) ( x 0 , y0 ) ( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
u( x , y ) u0 v( x , y ) v0
lim
定理2.2
若 l i m f (z) A
z z0 z z0 z z0
l i m g( z ) B, 则
z z0 z z0 z z0
l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) A B l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) AB
于是
x 2yi x lim lim 1. x 0 x yi x 0 x y 0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x 0, y 0,
x 2yi 2yi lim lim 2. x 0 x yi y 0 yi y 0
故不连续。
( 2)在 负 实 轴 上 P ( x ,0)( x 0) lim arg z
y0 y0
y z o
(z)
lim arg z
P ( x ,0)
x
arg z在 负 实 轴 上不连续。
z
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理2.5 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (z)
故 u u( x, y ) v v( x, y )
w f ( z ) u iv u u( x , y ) v v( x, y )
例1
wz
2
2
令z x iy
2
w u iv
2 2
则 w ( u iv ) ( x iy ) x y 2 xyi
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ). 令 ( z ) z
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z ( z )z ,
再由 lim ( z ) 0, 所以
z 0
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
例2
求f ( z ) z
z 在z 0时的极限. z z 2( x 2 y 2 ) f (z) 在(0,0)处 极 限 不 存 在 . 2 2 x y
例3
证明 f ( z ) Re z
z
在z 0时的极限不存在.
函数的连续性
定义2.3
若 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f ( z )在z0处 连 续 ;
定义2.2 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e >0, 存在d >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<d 的z , 都有
f (z) A e
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做
lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z0 ).
w z
2 k z e 2 (k
0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为E，函数值集合为G， 那么
则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
复变函数的极限与连续性

1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性
复变函数的极限
x、 u o x、 u
图1-2
图2
例5 y
研究w z 2 所构成的映射 .
(z)

v
w z2
(w)
2
o y
x
o
u
(z)
w z2
w z2 6
v
(w)
3
o
x
x2 y2 4
w z2
o
u
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w z 为z=w2的反函数或逆映射
有界性：
设曲线 C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 内 在的 曲 线 段 若f ( z )在C上 连 续 M 0, 在 曲 线 上 恒 有 f (z) M
§2.2
解析函数的概念
一、复变函数的导数
1、 导数的定义 定义2.4 设 w f ( z ) 是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.
E 称为该函数的定义域.
若z 一个w值，称f ( z )是单值函数;
z 多个w值，称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。
该函数的值域为：
G = f (E) = {w w = f ( z) , z ? E}
z x iy ( x , y ); w u iv ( u, v ) w f ( z ) f ( x iy ) u( x , y ) iv ( x , y )
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
称w为z的象点 (映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
w=f(z)
v
(w)
G w
z
o
E
w=f(z) x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）

在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y
之间的对应关系，以便在研究和理解复变
f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0 点可导, 并把这个极
限值称为 f ( z ) 在 z z0 点的导数，记做 f ( z0 ).
定义中的极限式可以写为
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim , z 0 z
第二章
解析函数
2.1 复变函数的概念
2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件
2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念

1. 复变函数的定义
2. 映射的概念
3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义2.1设E是复平面上的点集, 若对任何z=x+iyE, 都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应, 则称在 E上
连续，但处处不可导. 证明 对复平面内任意点z, 有
f ( z z ) f ( z ) ( x x ) 2( y y )i x 2 yi x 2yi .
lim[ f ( z z ) f ( z )] 0. 故 z 0
这说明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处连续.
w z u x y
2
2
v 2 xy
实部等于实部 虚部等于虚部
1 1 例2 若已知 f ( z ) x 1 iy 1 2 2 2 2 x y x y 将 f ( z )表示成z 的函数 .
1 1 设z x iy , 则x ( z z ), y ( z z ) 2 2i 1 f (z) z z
z 来自百度文库 z0
若在区域 D内 处 处 连 续 ， 则 称 f ( z )在D内 连 续 ; 若z、z0 C , 且 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f (z)
z z0
在曲线 C上 点z0处 连 续 .
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f ( z ) arg z在 原 点 没 有 定 义 ，
z z0 z z0
i m f (z) f (z) l A z z0 lim ( l i m g ( z ) 0) z z0 g ( z ) l i m g ( z ) z z0 B
z z0

以上定理用极限定义证!
例1
证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限 . x 2 y, x y 2在平面上处处有极限
在 z0 x0 iy0 处连续的充分必要条件是 u( x , y ),
v ( x , y ) 都在 ( x0 , y0 ) 点连续.
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z a n z n在 整 个 复 平 面 内 是 连 的 续； P(z) R( z ) 在复平面内除分母0 为 点外处处连续 . Q( z )
函数问题时，可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射（变换）。
. 例3 研究w z 所构成的映射 解 设z r (cos i sin ) re i
z re i —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2
例4 研究w e i z (实常数）所构成的映射 . 解 设z re i w e i z e i re i re i ( ) w u iv (cos i sin )( x iy )
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) 2 z 2 lim z 0 z
lim(2 z z ).
z 0
所以 z 2 z .

2
例2
证明
f ( z ) x 2 yi 在复面内处处