变限积分函数及牛莱公式
微积分牛顿莱布尼茨公式
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
高等数学牛顿—莱布尼茨公式
3
22
例4. 计算例5. 计算
例6. 计算正弦曲线 的面积 .
y y sin x
o
x
例 见书
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
6.3 牛顿——莱布尼茨公式
1 . 变上限的定积分 2. 牛顿——莱布尼茨公式公式
1. 变上限的定积分
x
f (t )dt
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 a
x
a f (t )dt
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积，
如 图 中 阴 影 部 当分x 在所区示间 [a的, b]面上变积化时. ,
a
a
“Newton—Leibniz公式”
例 3 计算下列定积分.
(1)
1 0
1
1 x
2
dx;
(2) 3 sin x dx. 0
解
(1)
1 0
1
1
1 0
arctan1 arctan0 ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos ( cos 0) 1 1 1
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，
那么
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的
F (b) F (a) 记 作 F ( x) b , 这样 上面公式就写成如下形式： a
牛顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些
⽜顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些⽜顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭⽰了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
那么，⽜顿布莱尼茨公式是什么呢？下⾯⼩编整理了⼀些相关信息，供⼤家参考！⽜顿布莱尼茨公式⽜顿-莱布尼兹公式,⼜称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了⼀个完善、令⼈满意的⽅法.⽜顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个⼩区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很⼩时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)⽜顿布莱尼茨公式意义⽜顿-莱布尼茨公式的发现，使⼈们找到了解决曲线的长度，曲线围成的⾯积和曲⾯围成的体积这些问题的⼀般⽅法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或⼀定精度的近似值。
⽜顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之⼀。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为⼀门真正的学科。
⽜顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主⼲，利⽤⽜顿⼀莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第⼀中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛莱公式
解: 原式 =
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
证明 只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
d x, 因此
所以 其中
In = In−1
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结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理 若 则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt
a
Φ(x)
x ξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) − Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
∫
x2
−x
e dt = ∫ 3
t
1
−x
e dt + ∫ e dt = ∫ et dt − ∫ 3
t t 1
x2
x2
− x3
1
1
et dt
d x2 t d x2 t d − x3 t ⇒ ∫−x3 e dt = dx ∫1 e dt − dx ∫1 e dt dx
3-2变上限积分NL公式-文档资料
证 x f ( x ) x F x C F ( x ) f ( x )
令 x a 得 C F a
x
f ( t ) dt F ( x ) F ( a ), a
故 f t dt F b F a Newton—Leibniz公式
a
b
F( x)a f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a
b
b
b
注意 当 a b f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 时 ， 仍 成 立 . a 例3
一、问题的提出
在变速直线运动中, 已知位移函数 s ( t ) 与速度函数 v ( t ) 之间有关系:
s ( t ) v ( t )
物体在时间间隔 [T 内经过的路程为 1, T 2]
v ( t ) d t s ( T ) s ( T ) 2 1 T
1
T 2
这里 s ( t)称为 v ( t) 的原函数 .
t f (t )dt F (x ) 0
x
x
0 , )内为严格单调递增函数 . 在(
x
0
x
f (t ) d t
只要证 F ( x ) 0
) tf( t) d t xf(x ) f( t) d tf(x 0 0 证: F (x ) x 2 f (t)dt
0
f( x ) t ) d t (xt) f(
a
x
f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导数是
(a x b)
x x
( x x ) ( x ) 证
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
5-2微积分基本公式
s(T2 ) − s(T1 )，即：s = ∫ v( t )dt = s(T2 ) − s(T1 )
T1
T2
那么这个结论是否具有普遍性？
2
即若f ( x )在[ a, b]上连续， 则:∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a )
10
例、已知F ( x) = ∫
x2 x
dF e dt , 求 : dx
−t 2
lijuan
2 x d 4 2 dF −t 2 − x − x ( ∫ e dt ) = e 2 x − e 1 解： = dx dx x 2 2 4 2 − x − x −x −x = e (2 xe − 1) = 2 xe − e
x
2
⇒b=0
1+ t lim x →0 sin x − ax
⎧−2 =⎨ ⎩0
15
∫
x
t
2 2
b
dt
洛
x2
2 2 1 + x x = lim = lim x →0 cos x − a x → 0 cos x − a
a =1 a ≠1
∴ 解得： (a = 1, b = 0, c = −2), (a ≠ 1, b = 0, c = 0)
a x
则解决了第四章中若f ( x )连续，则可积这个问题。
定理2、若f ( x)在[ a, b]上连续，则Φ ( x) = ∫ f (t ) dt
a
x
为f ( x)在[ a, b]上的一个原函数。
（∫ f ( x )dx , ∫ f (t )dt , ∫ f ( x )dx的区别）
a a x b
高等数学牛莱公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(x)
d
x
b
,
则
2. 求
的递推公式(n为正整数) .
解：由于 In1
2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
定理1. 若
则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
y f (x)
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10 5t) d t
10t
5 2
t
2
2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
第五章 2牛莱公式课件
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
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一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t) d t
s(T2 )
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10
5t
)
d
t
10t
5 2
t
2
2
0
10 (m)
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xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
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说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
x
0
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
361000 3600
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
微积分基本公式牛顿—莱布尼茨公式
;
x x e 2t 2 dt 0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x) 为连续函数，证明:
x
f (t )( x t )dt
xt
( f (u)du)dt
.
0
00
六、求函数 f ( x)
x 0
t
3t 2
1 t
dt 1
在区间
0
,
1
上的最
大值与最小值 .
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
x
( x) a f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
思考题
设
f
(
x
)
在[a
,
b]上连续，则 x a
f
(t )dt 与
b
x
f
(u)du是 x的函数还是t
与u
的函数？它们
高数微积分牛莱公式
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )
? ?
T2 v(t)dt ?
T1
s(T2 ) ?
s(T1 ).
其中 s?(t) ? v(t).
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
?a f ( x)dx? ?a f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
记
?
(x) ?
x
?a
f (t)dt.
积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数?
(x)
?
x
?a
f (t)dt在[a, b]上具有导数，且它的导
的一个原函数，则
b
?a
f
( x)dx
?
F (b) ?
F (a).
证 ? 已知F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，
又?
x
? ( x) ? ?a f (t)dt也是 f ( x) 的一个原函数,
? F ( x) ? ? ( x) ? C x ? [a,b]
12
? F (x)? ? (x) ? C
b( x )
a( x)
? ?0 f (t)dt ? ?0 f (t)dt,
F ?( x) ? f ?b( x)?b?( x) ? f ?a( x)?a?( x)
7
?1e ? t2 dt
例1 求 lim cos x .
变限积分函数及牛莱公式
x
1
x
1 3 x [0,1) 3x , 综上, ( x ) 1 1 x 2 , x [1,2] 61 2 1 , , 所以, ( x )在(0,2)内连续. (1 0) 在x=1处, (1) (1 0) 3 3
21
3 1 2 1 1 1 2 t dt ( x 1) 2 x 6 3 2
0 2
2 sin 4 x 2 8 sin 4 x 2 8 lim lim 3 x 0 x 2 3 x 0 4 x 2 3
例6. 设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，且 在 [a, b] 上恒等于零。
b
a
f 2 ( x)dx 0, 则 f ( x)
证明：令 (u) f 2 ( x)dx, a u b, 则
10:13
8
积分上限函数的性质
定 理 １ 如 果 f ( x ) 在 [a , b ] 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 x ( x ) f ( t )dt 在 [a , b] 上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 是
( x ) d x f ( t )dt f ( x ) a dx
Sn f i xi
i 0
n 1
f i
F ( xi 1 ) F ( xi )
i 0
n 1
Largrange中值定理：
F ( xi 1 ) F ( xi ) F '(i ) xi 1 xi xi i
xi 1
4
f ( ) x x , x , x i i 1 i i i i 1 10:13
5.2微积分基本公式
x0
2x
1 2e
例2. 求
0
0
9x2 4 729x18 2x 4 x12
解: 原式 lim
x0
4x
lim 9x 4 729x18 2 4 x12
x0
4
1
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式 3. 利用定积分计算极限
思考题： 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a f (x)dx F(x) F(a)
得
记作
例3. 计算
解:
高等数学课件第五章牛莱公式
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
第二节
微积分的基本公式
第五章
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
则变上限函数
证:
则有
定理1. 若
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
内容小结
则有
1. 微积分基本公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
Hale Waihona Puke 作业P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证:
根据定理 1,
故
因此
得
记作
定理2.
函数 ,
则
例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线
的面积 .
解:
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
例1. 求
解:
原式
例2.
积分学中的变限积分计算与曲线面积
积分学中的变限积分计算与曲线面积在微积分中，积分是一个非常重要的概念。
积分可以用于解决许多问题，包括计算曲线下的面积。
变限积分是积分的一种常见形式之一，用于求解曲线的长度、面积以及体积等问题。
本文将重点讨论变限积分的计算方法以及其在求解曲线面积问题中的应用。
首先，我们来了解一下变限积分的基本概念。
变限积分是指在积分的上下限中，至少有一个是变化的情况。
一般来说，变限积分可以表示为：∫[a,b] f(x)dx其中，a和b是积分的下限和上限，f(x)是要求积分的函数。
变限积分的计算方法与定积分非常相似，只是多了对上下限的处理。
在计算变限积分时，我们可以利用积分的基本性质和定积分的计算方法。
一种常见的方法是使用牛顿-莱布尼茨公式，根据函数的原函数来计算。
我们可以首先求得函数f(x)的一个原函数F(x)，然后利用F(x)来计算变限积分。
根据牛顿-莱布尼茨公式，变限积分∫[a,b] f(x)dx可以表示为：F(b) - F(a)这个公式可以方便地计算变限积分，尤其是对于一些简单的函数。
然而，并不是所有的函数都有原函数，因此我们需要通过其他方法来计算变限积分。
另一种计算变限积分的方法是利用定积分的基本性质。
我们可以通过重新调整积分的上下限，将变限积分转化为定积分。
例如，如果我们需要计算∫[a,b] f(x)dx，我们可以将其转化为∫[0,b] f(x)dx - ∫[0,a] f(x)dx。
这样，我们就将变限积分转化为两个定积分的减法运算，从而可以通过定积分的计算方法来求解。
变限积分在计算曲线的面积时，尤其有重要的应用。
曲线的面积计算是微积分中一个常见的问题，通过变限积分可以很方便地求解。
我们知道，曲线下的面积可以通过积分来计算。
对于一条曲线y=f(x)，我们可以计算其在区间[a,b]上的面积，表示为∫[a,b] f(x)dx。
利用变限积分的计算方法，我们可以通过求解该积分来得到曲线下的面积。
需要注意的是，在计算曲线面积时，我们需要确定曲线在区间[a,b]上的上下界限。
D5_2牛莱公式
b
( 牛顿 - 莱布尼茨公式 )
∫a f ( x) dx 是 f ( x) 的一个原函数 , 故 x F ( x ) = ∫ f ( x ) dx + C a x 令 x = a , 得 C = F (a ) , 因此 ∫ f ( x) dx = F ( x ) − F (a) a
证: 根据定理 1,
a
是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个原函数 .
Φ ( x)
O a xξ b x 证: ∀ x , x + h ∈ [a , b] , 则有 x+h Φ ( x + h) − Φ ( x ) 1 x + h x = [∫ f (t ) d t − ∫ f (t ) d t ] h
a h a 1 x+h = ∫ f (t ) d t = f (ξ ) ( x < ξ < x + h) h x
F ′( x ) > 0
x f ( x ) ∫ f (t ) d t− f ( x) ∫ t f (t ) d t
0
( ∫0 f (t ) d t )
x
0 x
x
2
=
f ( x ) ∫ ( x − t ) f (t ) d t
( ∫ 0 f (t ) d t ) 2
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=
f ( x ) ⋅ ( x − ξ ) f (ξ ) x
x2 2 − cos x 1 洛 e ⋅ ( − sin x ) 解: 原式 = − lim = x →0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 a x − sin x lim x = c (c ≠ 0). 2 x →0 ln( 1 + t )d t ∫
变上限积分无穷小阶数公式
变上限积分无穷小阶数公式上限积分是微积分中的重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
在计算上限积分时，我们通常需要使用一些特定的公式，以简化计算过程和得到更精确的结果。
本文将介绍一些常用的上限积分无穷小阶数公式。
一、基本公式1. n次幂函数的积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C 为常数。
2. 常数倍公式：∫k*f(x) dx = k*∫f(x) dx，其中k为常数。
3. 和差公式：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx。
二、三角函数公式1. 正弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
2. 余弦函数的积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C。
3. 正切函数的积分：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
4. 余切函数的积分：∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
5. 正切平方函数的积分：∫tan^2(x) dx = tan(x) - x + C。
6. 正切立方函数的积分：∫tan^3(x) dx = (1/2)tan^2(x) - ln，cos(x)， + C。
7. 余切平方函数的积分：∫cot^2(x) dx = -cot(x) - x + C。
8. 余切立方函数的积分：∫cot^3(x) dx = (-1/2)cot^2(x) - ln，sin(x)， +C。
三、指数和对数函数公式1. 自然指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C。
2. 自然对数函数的积分：∫ln(x) dx = x*ln(x) - x + C。
3. 一般指数函数的积分：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a>0且a≠14. 一般对数函数的积分：∫log_a(x) dx = (x*ln(a) - x)/(ln(a)) + C，其中a>0且a≠1四、反三角函数公式1. 反正弦函数的积分：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) + C。
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15
因此 ( u ) 在[ a , b ] 上是单调非减的，从而有
0 (0 ) (u ) (b )bf2 (x )d x 0 a
于是 ( u ) 在[ a , b ] 上恒为常数，其导数必为零，即
'(u)f2(u)0 , aub .
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二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式
e 例1 .
x et2 dt
'
2
x2
例2 . 3cos2 tdt ' xcos2tdt ' cos2x
x
3
例3 . d
x2 sint dt
dx 1 t
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变限积分求导公式
d x
dx a
f (t) d t
f (x)
d dx
b
x
f
(t)
dt
f(x)
d (x)
dx a
f
(t)dt
f[(x) ](x)
d
dx
(x)
f (t)dt
(x)
d d x a(x)f(t)dta (x)f(t)dt
f [( x ) ( ] x ) f [( x ) ( ] x )
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12
解：令 (u) u sintdt 则 '(u) sin u ,
1t
,
x [0,1) x [1,2]
在x=1处, (1)
2
(10)
6
1 3
,
(10) 1 ,
3
所以, ( x )在(0,2)内连续.
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21
问题： ( x ) 在 x 1 是否可导？
'(1 ) lx i m 0 (1 xx )(1 ) lx i m 01 3(1 x x)31 31
[a, b]上定义了一个函数。
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8
积分上限函数的性质
定 理 １ 如 果 f ( x) 在[a,b]上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
( x)
x
a
f
(t )dt
在 [a,b]
上
具
有
导
数
，
且
它
的
导
数
是
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
(a x b)
y
证
x x
(x x)a f(t)dt
2 sin4x2
lim 3 x0
x2
83lx im0 si4nx42x2
8 3
例6. 设
f (x)
在区间 [ a , b ]
上连续，且
b f 2(x)dx 0, a
则
f (x)
在 [ a , b ] 上恒等于零。
证明：令 (u)uf2(x)dx, aub, 则 a
'(u)f2(u)0
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u
dx2sintd td (x2) '(x2)(x2)'
d x1 t d x
sinx2
sinx2
2x2
x2
x
例4 .
x2 x3
etdt
'
0 exdx
x3
x2
'
exdx
0
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x3exd x ' x2exd x 3 x2 ex32 xex2 0 0
13
一般地 如果
当 n时，或者说当每一个 xi 0 时，
f(i)f(i),
= 上面的“ ” 化为
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5
于是我们就得到了
b
af(x)dx lixm 0SnF(b)F(a)
即
b
a f(x)dxF(b)F(a)
这就是著名的牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式
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6
Isaac Newton ，1671年写了 《流数法和无穷级数》，与
x xxb x
f (),
x
lim lim f()
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
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10
定 理 2： (原 函 数 存 在 定 理 )如 果 函 数 f(x)在 [a,b]上 连 续 ，
则 函 数 (x)
x
f(t)dt
a
就 是 f(x)在 区 间 [a,b]上 的 一 个 原 函 数
'(1 ) lx i m 0 (1 x x )(1 ) lx i m 0 1 2(1 x )x 21 61 3 1
' (1) ' (1)
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例12. 设
f(x)x2
a
f(x)dx,且a
1,
求
a
f (x)dx
0
0
解：方程两边积分，得
af(x )d xax 2 d xa
2
a x 0 x 1 L x n 1 x n b
f x0
f x1
f x2
f x3
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x0 a x 1
x2
x 3 x4 b
3
若已知 F'(x)f(x) 则 F (x i 1 ) F (x i)f(i) x i
n1
Sn f i xi i0
f i
n1
F(xi1)F(xi) i0
( x x ) ( x )
x x
x
f(t)d t f(t)dt
a
a
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(x)
o a x xxb x
9
x
x x
x
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
a(x)
f(t)d,t
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
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例5 .
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
x3
0sin t2dt'
lim x0
2x
(x3)'
lx i0msin23(xx)22(2x)'
0
33
例8.
1 2
2x 1
0
dx 2
1 2
x
1
dx 2
0 1 x2
0 1 x2
0
1 dx 1 x2
1
(2 1x2 ) 2
0
1
arcsinx 2 0
2 3
6
2
1
2
例9 . |1 x | dx (1x)dx (x1)dx
0
0
1
(x 1 x2) 1 (1 x2 x) 2
2 02
F
(x)
b
a
a
F
(
x) b a
核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数， 则可以轻易地求出定积分的值，即原函数在积分 区间上的增量。
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
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例7. 1 dx ln x 1 ln 1ln 2ln2
2 x
2
1 x2dx x 3 1 1
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令 xa F ( a ) ( a ) C ,
a
(a)af(t)d t0 F (a)C ,
x
F (x)af(t)d tC ,
x
af(t)d tF (x )F (a ),
b
令 xbaf(x )d x F (b )F (a ).
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b f(x)dxF(b)F(a)
f (t) 连续，a( x ) 、b( x)可导，则
F(x)
b(x)
f(t)dt
的导数 F(x) 为
a(x)
F(x)ddxab((xx))f(t)dt f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
证
F(x) 0
b(x)
f(t)dt
a(x) 0
b(x) f(t)dt
Gottfriend Wilhelm Leibniz 同时独立创建微积分
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一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为[a,b]
上的一点，考察定积分
x
(x) a f (t)dt
如果上限 x在区间[a,b]上任意变动，则对于每
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
强调：在利用Newton—Leibniz定理的时候，验证定理条件 是否满足是必要的！
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小结
1.积分上限函数的性质，其导数的计算；
2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 的证明及应用
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定理 3（微积分基本公式）
如果 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上的一个原
函数，则
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
.
证 已知 F ( x) 是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x