2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题1
2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题6
第8章 第6节一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4[答案] D[解析] ∴右焦点2．已知点则这个圆与A ．相交 C ．相离 [答案] B[解析] B ；由点M 作准线l则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2 ＝DM 2＝MF 2，∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB 的中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，∵A 、B 在抛物线y2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y12＝2px1 ①y22＝2px2 ② ①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)，＝y1－y2＝2p ＝p ，∵4y2＝C [[(x ，y2＝2px5P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3 1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝∴|AM|＝3解得y0＝∴点A 7．(2010·2反射后通过抛物线A ．y2＝－C ．y2＝4xD ．y2＝－4x[答案] D[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q(x ，y)，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y)＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D. 8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx ＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )[答案] A[解析] 若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn<0，此时抛物线y2＝－mn x 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－A ．±23 C ．±34 [答案] D[解析] ∵－|BB1|＝|AF|－∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x2＝12y ，过点A(0，－4)和点B(t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得， 2x2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t2－32<0， ∴t>22或[点评] 相切的直线与抛物线切点为M(x0，∵过A ∴x0＝±2令y ＝0得二、填空题11．已知点P 的坐标是[答案] (0,0) [解析] 设P⎝⎛⎭⎫－y24，y ，则AP→＝⎝⎛⎭⎫－y24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA1⊥l ，BB1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A1、B1、Q ，作BM ⊥AA1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF|＝t ，则|NF|＝t2，|MA|＝t ＋32，∵3x.(理)(2010·y 2p>0)点A 、B 、C[答案] y2[解析] ＝|BF|，∵|BC|＝|BC |∴p ＝12|CF|解法2，又|AF|＝3，从而点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF|＋12|AF|＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32.13．已知F 为抛物线C ：y2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． [答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA1|＋|BB1|＝|AB|，|AA1|－|BB1|＝22|AB|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA1|＝2＋24|AB||BB1|＝2－24|AB|，∴|AA1||BB1|＝3＋22，即|FA||FB|＝3＋2 2.14．(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. [答案] 2[解析] 则⎩⎪⎨⎪⎧y12＝y22＝∵y1＋y2＝(理)(2010·衡水市模考A 、B [答案] 8[解析] 过＝|AA1|＋|BB1|＝三、解答题15．(文)若椭圆C1：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的离心率等于32，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上． (1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b2， 由离心率e ＝c a ＝4－b22＝32得，b2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y ＝14x2，∴y ′＝12x ，∴切线l1，当l1⊥l2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x x2＝4y 由Δ＝(－4×(又x1·x2∴直线l (理)在△(AB ＋C 在x 轴上移动．(1)求B (2)过点F ⎝⎛0，求直线l的方程．[解析] (1)设B(x ，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2， ∴2x0·y0－x0＝－1，于是x02＝2y0①M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)， 所以M 是BC 的中点，可得⎩⎪⎨⎪⎧x0＋x2＝0y ＋02＝y0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－x ②y0＝y2 ③ 把②③代入①，得y ＝x2(x≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x2(x≠0)． (2)点F⎝⎛0y ＝kx －14，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x2Δ＝k2－∵FH →＝12HG →∴x1＝12x2∵x1＋x216．(文) 1. (1)求点P (2)设过点AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：x －12＋y2－x ＝1，化简得：y2＝4x (x≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k(x －m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m y2＝4x，得ky2－4y －4km ＝0，∴y1＋y2＝4k ，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x1·x2＋y1·y2＝0.即m2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F(1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y2＝4x.(理)已知抛物线y2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →(2)若线段[解析] (1)4)x ＋4＝0①设A(x1y1y2＝(kx1∵OA →·OB →＝4，∴1± 2. ∴直线AB (2)设线段02＝2k ， ∴线段AB y －2k ＝－1k ⎝⎛令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k2＝2k2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32. 又由k>－12且k≠0得1k <－2，或1k >0，∴n>2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过点K(－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D. (1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为x ＝my －1(m≠0)(1)将x ＝my －1(m≠0)代入y2＝4x 并整理得y2－4my ＋4＝0，从而y1＋y2＝4m ，y1y2＝4①直线BD 的方程为y －y2＝y2＋y1x2－x1(x －x2) 即y －y2＝4y2－y1⎝⎛⎭⎫x －y224 令y ＝0，得x ＝y1y24＝1，所以点F(1,0)在直线BD 上－(x1＋x2)BD 的距离由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y2＝49. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A 、B 是⊙O ：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝12|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x ，y)，有(x2＋y2)＋[(x －1)2＋y2]＝9，化简得，x2－x ＋y2＝4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x ，y)，根据题意知，x12＋y12＝9，x22＋y22＝9,2x ＝x1＋x2,2y ＝y1＋y2，∴4x2＝x12＋2x1x2＋x22,4y2＝y12＋2y1y2＋y22故4x2＋4y2＝(x12＋y12)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x22＋y22)＝18＋2(x1x2＋y1y2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x －1，代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x －1)，化简得，x2－x ＋y2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x x2－x ＋y2＝4得，x2＋3x －4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
平面解析几何与立体几何第一轮复习测试题
平面解析几何与立体几何第一轮复习测试题
张千
【期刊名称】《中学生数理化（尝试创新版）》
【年(卷),期】2012(000)012
【摘要】做题不能追求数量，而要讲究质量，要学会以点带面，多角度理解，只有这样才能跳出题海的怪圈．选择好题，选择成功!为此，我们特推荐以下习题，希望同学们能够融会贯通，学以致用，从多种角度分析思考、积极探索解题规律，摸索出获得最优解法的途径．
【总页数】4页(P12-15)
【作者】张千
【作者单位】湖南
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.平面解析几何与立体几何第一轮复习测试题 [J], 于洪占
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3.平面几何与立体几何第一轮复习测试题 [J], 任志兵
4.平面几何与立体几何第一轮复习测试题 [J], 任志兵
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高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (1)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。
2012高三数学一轮复习阶段性测试题(8)：平面解析几何1(2021年整理)
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阶段性测试题八（平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。
)1．（2011·辽宁沈阳二中阶段检测）“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案］B［解析］两直线平行的充要条件是错误!＝错误!≠错误!，即两直线平行的充要条件是a ＝±2。
故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集,则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件,若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．2．（2011·福州市期末）若双曲线x2a2－错误!＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )A. 5 B．5C。
错误!D．2［答案] A[解析］焦点F(c,0)到渐近线y＝错误!x的距离为d＝错误!＝2a，两边平方并将b2＝c2－a2代入得c2＝5a2，∵e＝错误!>1，∴e＝错误!,故选A.3．(2011·黄冈期末）已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点,椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A．6x－5y－28＝0 B．6x＋5y－28＝0C．5x＋6y－28＝0 D．5x－6y－28＝0[答案］A［解析］由椭圆方程错误!＋错误!＝1知,点B（0，4），右焦点F（2,0），∵F为△BMN的重心,∴直线BF与MN交点D为MN的中点,∴错误!＝错误!错误!＝（3，－6），又B（0,4),∴D（3，－2），将D点坐标代入选项检验排除B、C、D,选A。
高考数学一轮复习 第三十七讲 平面解析几何
第三十七讲 直线的倾斜角、斜率及直线方程班级________ 某某________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角解析：所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率． 答案：B2．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由图象知－1a >－1c >0，－b a <0，－dc>0，从而c <a <0，b <0，d >0.答案：C3．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角是( )A ．－π7B.π7C.5π7D.6π7解析：由题意得：直线方程为y ＝－tan π7·x ，∴k ＝－tan π7＝tan 67π，∵0≤α＜π，∴α＝67π.答案：D4．直线2x cos α－y －3＝0(α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3)的倾斜角的变化X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[]1，3.设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[]1，3，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.选B.答案：B评析：当斜率表达式中含有字母又需求直线的倾斜角的X 围时，应先求斜率的X 围，再结合正切函数的图象，利用正切函数的单调性来解决倾斜角的取值X 围问题．其中必须注意的是：正切函数y ＝tan x 在区间[0，π)上并不是单调的，但它在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上都是递增的．5．若原点O 和点P (1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值X 围是( ) A ．a <0或a >2 B ．a ＝0或a ＝2C ．0<a <2D ．0≤a ≤2解析：因为原点O 和点P 位于直线两侧，所以(－a )·(1＋1－a )<0，解得0<a <2.故选C.答案：C6．过点(1,3)作直线l ，若l 经过点(a,0)和(0，b )，且a 、b ∈N ＋，则可作出这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．多于3解析：由题意可知l ：x a ＋y b＝1，∴1a ＋3b＝1∴b ＝3a a －1＝3(a －1)a －1＋3a －1＝3＋3a －1(a ≥2，且a ∈N ＋) ∴a －1为3的正约数，当a －1＝1时，b ＝6，当a －1＝3时，b ＝4，所以这样的直线有2条，故选B. 答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.答案：y ＝－13x ＋138．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3.答案：39．(2010·某某月考)若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于________．解析：因为A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)三点共线，所以k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，整理得1a －1b＝1，于是a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b＝2－b a －a b＝2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ≥2＋2＝4，即a －b 的最小值等于4. 答案：410．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点________． 解析：将直线方程化为点斜式，得y －1＝k (x －3)，所以直线过定点(3,1)． 答案：(3,1)评析：将含有参数的直线方程化成点斜式y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则直线必过点(x 0，y 0)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围． 分析：注意截距概念的运用和直线的图象特征．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)解法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴(1)0(1)0.2020a a a a >⎧⎧⎨⎨⎩⎩－＋，－＋＝，或－≤，－≤ ∴a ≤－1.综上可知a 的取值X 围是a ≤－1. 解法二：将l 的方程化为： (x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R )．它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率－(a ＋1)≥0，即a ≤－1时，直线l 不经过第二象限．评析：忽略直线l 在两坐标轴上截距均为0的情形，直接设出直线的截距式方程进行求解，从而导致错误．每种直线方程的形式均有其适用X 围，对于不能由所设直线方程的形式来表达但又符合题意的直线，应注意进行单独考查，并将其加上．12．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：y ＝x 3＋103，l 2：y ＝－2x ＋8所截得的线段恰好被点M 平分，求此直线方程．解：解法一：(利用点斜式方程)过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求方程为y －1＝kx ，即y ＝kx ＋1，它与已知两直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，且A 、B 、M 的横坐标分别为x A 、x B 、x M .联立方程组11102833y kx y kx x y x y ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩＝＋，＝＋，与＝－＋，＝＋， 得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2， 又∵M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M .即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. 故所求直线方程为y ＝－14x ＋1.解法二：(利用两点式方程)设所求直线与l 1、l 2分别交于A 、B 两点，∵点B 在直线l 2：y ＝－2x ＋8上，故可设B (t,8－2t )， ∵M (0,1)是AB 中点，由中点坐标公式可得A (－t ，2t －6)，∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴－t －3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴A (－4,2)，B (4,0)．由两点式方程得y －20－2＝x －(－4)4－(－4)，整理得x ＋4y －4＝0即为所求．13．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求最小值．解：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2(y －2)，都过点(2,2)，如图．设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a2∈(0,1)，k 2＝－2a 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.∵直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)． ∴S 四边形OACB ＝S △OAC ＋S △OCB＝12×(2－a )×2＋12×(2＋a 2)×2 ＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154.∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.。
2012年高考数学解析几何专题练习及答案
绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题10 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07tan =+y x π的倾斜角是 （ ）A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ）A ．1B ．1-C ．0D ．26．若椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,217．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．332 B ．3 C ．2或332 D ．332或3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，则=FM （ ） A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为（ ）A ．1161222=+y x 或1121622=+y xB ．1644822=+y x 或1486422=+y xC ．1121622=+y x 或1431622=+x y D ．13422=+y x 或1431622=+x y10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=（O为坐标原点），F 21=，()R MF ∈=λλ2，1=⋅PN M F ，则点P的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上）11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于22的点有 个．13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线P A 、PB ，则A P B ∠= ．15．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ则双曲线的离心率的范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题；共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知圆O 的方程为1622=+y x ． （1）求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；（2）过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．（本题满分12分）将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．（1）求椭圆方程；（2）若点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．（本题满分12分）已知双曲线,12222=-b y a x (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．（1）当31=λ时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．19．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,p C 作直线m 与抛物线px y 22=(p ＞0)相交于A 、B 两点．（1）设()0,p N -，求NB NA ⋅的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，已知向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，=．（1）求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状； （2）当34=k 时，已知()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，且满足1=，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，若存在，求出圆G 的方程，若不存在，请说明理由．2012届专题卷数学专题十答案与解析1．【命题立意】本题考查直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式． 【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tan πx y -=，斜率76tan 7tan 7tan ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ．2．【命题立意】本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ． 3．【命题立意】本题考查两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+⇔⊥B B A A l l .【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，212121C C B B A A ≠=，为了避免讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，如果一条直线的斜率为零，则另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的判定，关键是看哪个推出哪个． 【答案】A 【解析】1023221-=⇔=++⇔⊥a a a l l 或2-=a ，故选答案A ． 4．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式． 【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交． 【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的距离22ba b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d ，所以r d ≤，从而直线与圆相交或相切．5．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的距离的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的距离的最小值来解决，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于圆心到直线的距离减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于0．【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的距离1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想． 【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围． 【答案】C 【解析】化椭圆的方程为标准方程122=+my x ，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，m b 12=，m c 112-=，me 112-=∴，211e m -=∴，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时ma 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ．7．【命题立意】考查双曲线的标准方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x （λ＞0），此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==ac e ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λxy （λ＜0），此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．故选择C ．8．【命题立意】考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得． 【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM =a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则FN =a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，则M 向准线作垂线，有FM =10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM =4． 9．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，基本量的关系以及分类讨论问题．【思路点拨】由抛物线的标准方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论． 【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c ，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的标准方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的标准方程为1431622=+x y ．故选择D ．10．【命题立意】考查对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义．【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义． 【答案】B 【解析】1说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段MF 1的中点，2MF MP λ=（x ∈R ）说明P 在2MF 上，01=⋅PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，221MF ON=，从而有ONMF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考查圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心已知，故只需求得其半径即可，而半径为圆心（-1,2）到直线的距离，根据点到直线的距离可求其半径，从而可求得圆的标准方程． 【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考查圆的标准方程，点到直线的距离．【思路点拨】先化圆的方程为标准方程，求出圆心到直线的距离，再来与半径比较． 【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的距离222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的距离等于22的点有3个．13．【命题立意】考查圆心到直线的距离、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的距离．【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CM PC PM ，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的距离22181305mm+=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m，解得1±=m ． 14．【命题立意】考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题． 【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a c =22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度． 【答案】2π【解析】如图，连结OA ，则OA ⊥P A ，22sin 2===∠a c ca a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ．15．【命题立意】考查双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°”为桥梁确定离心率的范围． 【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,26【解析】设双曲线的方程为12222=-b y a x =1（a ＞0，b ＞0）,如图所示，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°， ∴在11B OF Rt ∆中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜222ca c -＜21，即31＜1－21e＜21，∴23＜e 2＜2，∴26＜e ＜2．16．【命题立意】考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题． 【思路点拨】（1）过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；（2）将弦长AB 看成底边，则三角形的高就是圆心到直线的距离． 【解析】（1）圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx （1分）．则41|84|2=++k k ，解得43-=k ，（3分），于是切线方程为02043=-+y x （5分）．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或4-=x ．（6分） （2）当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，（7分），当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的距离132+=k k d ，（9分）线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，（11分）当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．（12分）17．【命题立意】本题考查椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题． 【思路点拨】（1）可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；（2）可利用向量法解决．【解析】（1）抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，（2分）∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．（4分）（2）由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，（6分）又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．（7分）设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m m x x m x x y y x x FD FC ，（10分）∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m ＜0或3＜m ＜32．（12分）18．【命题立意】考查双曲线的定义和标准方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】（1）求渐近线方程的目标就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；（2）可建立e 关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；（3）可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛±a b c P 2,，于是ab PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，（1分）由相似三角形知，112PF OF PF OH =，即121PF PF OF OH =，即ab a ab 222+=λ，（2分）∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222ab ．（1）当31=λ时，122=a b ，∴b a =．（3分）所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．（4分）（2）()[]121112111211211222---=--=---+=-+=+==λλλλλλa b ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．（5分）∴当21=λ时，2e 取得最大值3（6分）；当91=λ时，2e 取得最小值45．（7分）∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．（8分）（3）当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．（9分）∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．（10分）又a aa a ab a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．（11分）∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．（12分）19．【命题立意】考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决． 【解析】（1）依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=， 由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y pxy pmy x ，（2分）得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122py y pmy y ，（3分）∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=（6分）当0=m 时，NB NA ⋅取得最小值22p .（7分）（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，则PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' （9分），()()()a p a x p a p x a p x H O P O PH-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a p a x p a 1214（11分），令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．（13分）20．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】（1）利用抛物线的标准方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的标准方程；（2）抓住直线PQ ⊥x 轴，B P Q A P Q ∠=∠即直线P A 、PB 的斜率互为相反数，联系方程利用韦达定理来解决． 【解析】（1）设C 方程为12222=+by ax （a ＞b ＞0），则32=b ．由21=ac，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．（4分）（2）①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．（6分）由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max=S ．（8分）②当BP Q AP Q ∠=∠，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，P A 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将（1）代入（2）整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k xk ，有()21433282k k k x +-=+．（10分）同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282kk k kk k x ++=+---=+，∴2221431216kk x x +-=+，2214348k k x x +-=-．（12分）从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．（13分）21．【命题立意】考查圆锥曲线的标准方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题．【思路点拨】（1）利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；（2）利用椭圆或双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】（1）∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．（1分） 当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；（2分）当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（4分）当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；（5分） 当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．（6分） （2）由（1）知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，则1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF ，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或23-=x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23P ．（9分）设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设()t s Q ,，则⎪⎭⎫⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t，∴2±=t ,∴()2,0Q 或()2,0-Q ．（12分）所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．（13分）。
【走向高考】2012届高三数学一轮复习 9-1平面解析几何课件 北师大版.ppt
(2)在命题中，主要考查圆的方程的求法及直线与圆 的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，直线 与圆锥曲线的位置关系，也是本单元的重点内容．
(3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与以往的高考相比，命题方向趋于稳定，难度有 所下降，但对于计算能力的考查有所提高．
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
1．本单元知识特点： (1)直线与方程、圆与方程是解析几何的基础．圆锥 曲线是解析几何的核心，也是高考重点考查的内容之一． (2)概念、公式较多，用坐标法研究平面几何的思想 在解题中显得内容多、难度大、综合性较强． (3)注重常规题型及常规方法在解决问题中的作用．
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第二章 函数与基本初等函数
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条
直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜
角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率
公式为k＝
.
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第二章 函数与基本初等函数
知识梳理 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交 的直线l，把x轴(正方向)按 逆时针 方向绕着交点旋转到和 直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角，当直线l和x轴 平行时，它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为 0°≤α<180° .
y＝0
2012届高三一轮复习名师一号文科数学第八模块解析几何综合检测
第八模块解析几何综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2011²辽宁省建昌高三上学期第三次月考)已知M={(x,y)|x2+y2=1,0≤x≤1},N={(x,y)|y=x+b,b∈R},并且M∩N≠∅,那么b的取值范围是( )D.[解析:集合M是圆x2+y2=1的右半个圆(包含端点)上的点,集合N是直线y=x+b上的点, ∵M∩N≠∅,∴直线y=x+b与半圆x2+y2=1(0≤x≤1)有公共点,由图可知b∈[答案:A2.(2011²辽宁建昌高三上学期第三次月考)经过点M(2,-1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为( )C.2x-y-5=0D.2x+y+5=0解析:过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,∵点M(2,-1)在圆x2+y2=5上,∴所求切线方程为2x-y-5=0.答案:C3.(2011²浙江省温州市高三八校联考)“a=2”是“直线(a2-a)x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=2时,两条直线分别为2x+y=0和2x+y+1=0,显然两条直线平行.若两条直线平行,a2-a=2,则a=2或a=-1.所以,a=2是上述两直线平行的充分不必要条件.答案:A4.(2011²安徽省皖南八校高三摸底联考)若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析:因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过F(1,-1)与直线l垂直的一条直线.答案:D5.(2011²辽宁省铁岭六校高三上学期第二次联考)椭圆x2+my2=1的离心率为2,则m的值为( )A.2或12B.2C.14或4 D.14解析:若椭圆的焦点在x轴上,则a2=1,b2=1m,∴c2=1-1m,∴e 2=221314c a m =-=,∴114m =,∴m=4.若椭圆的焦点在y 轴上,则a 2=1m,b 2=1, ∴c 2=1m-1, ∴e 2=22113114c m m a m-==-=,∴m=14.答案:C6.(2011²浙江省苍南县钱高､灵溪二高高三上学期第一次联考)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD,则|AB|+|CD|的最小值是( )B.8C.16D.7解析:由抛物线y 2=4x 得p=2,F(1,0).设AB:y=k(x-1),则CD:y=-1k(x-1)(k≠0), A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由2(1),4,y k x Y x =-⎧⎨=⎩ ∴k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,∴x 1+x 2=2224k k +,∴|AB|=x 1+x 2+p=2224k k++2. 同理|CD|=4k 2+4.|AB|+|CD|=2224kk++4k2+6=24k+4k2+8≥16.当且仅当k=±1时等号成立. ∴|AB|+|CD|的最小值为16. 答案:C7.(2011²湖北省武汉中学高三12月月考)若抛物线y2=12px的焦点与椭圆2262x y+=1的右焦点重合,则p的值为( )A.116B.18C.-4D.4解析:椭圆2262x y+=1的右焦点为(2,0),∴18p=2,∴16p=1,∴p=116.答案:A8.(2011²安微省皖南八校高三摸底联考)双曲线2222x ya b-=1(a>0,b>0)中,F为右焦点,A为左顶点,点B(0,b)且AB⊥BF,则此双曲线的离心率为( )解析:∵AB⊥BF,∴b2=ac,即c2-a2=ac,故e 2-e-1=0且e>1,所以e=12. 答案:D9.(2010²东北三省四市高三第一次联考)已知F 1､F 2为椭圆2222x y a b+=1(a>b>0)的左右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两点,若△ABF 2为正三角形,则该椭圆的离心率为( )A.12解析:2b a=2c,22=0.解得e=3c a =. 答案:D10.(2011²浙江省高三调研测试数学试题)设F 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)的焦点,点A 是抛物线与双曲线C 2:2222x y a b- =1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( )A.2解析:由题意可知,F ,0,,,22p p A p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵A 在双曲线的渐近线y=b a x 上,∴p=ba³2p,∴ba=2,∴e2=1+2 2 b a答案:D二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11.(2011²浙江省温州市高三八校联考)椭圆4x2+y2=16的焦点坐标是________.解析:椭圆方程可化为22164y x+=1,其焦点在y轴上,∵a2=16,b2=4,∴c2=16-答案:12.(2011²安徽省皖南八校高三第一次联考)过点(4,0),且倾斜角为150°的直线被圆x2+y2-4x=0截得的弦长为________.解析:圆x2+y2-4x=0的圆心为(2,0),半径为2,点(4,0)在圆上,所以直线被圆截得的弦长为答案:13.(2011²安徽省合肥市高校附中高三联考)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的方程为y=12x,则此双曲线的离心率为________.解析:e2=1+2215144 ba=+=答案:214.(2011²辽宁省建昌高三上学期第三次月考)已知双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为________.解析:抛物线y 2=24x 的准线方程为x=-6, 所以双曲线的一个焦点为(-6,0),所以c=6, 由于双曲线的渐近线为所以ba=,由2226c b C a b a =⎧⎪⎨=+=⎪⎩a 2=9,b 2=27, ∴双曲线方程为221.927x y -= 答案:221927x y -= 15.(2011²安徽省皖南八校高三摸底联考)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过抛物线在第一象限部分上一点P 的切线为l,过P 点作平行于x 轴的直线m,过焦点F 作平行于l 的直线交m 于M,若|PM|=4,则点P 的坐标为________.解析:设P(x0,y0k=y′|x=x0l方程为= (x-x0),与x轴交点A的坐标为(-x0,0),所以|AF|=|PM|=x0+1,故答案三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.(2010²天津市武清区杨村四中高三月考)已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5).(1)求过点A的圆的切线方程;(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.解:(1)圆C的圆心为(2,3),半径为1,1=>,故点A(3,5)在圆C外.当过A点的切线方程斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.1==,解得k=34.故所求直线方程为3x-4y+11=0.当过点A的直线斜率不存在时,设直线方程为x=3,满足圆心(2,3)到直线x=3的距离等于半径1,故x=3也是圆C的切线方程.综上所述,圆C过点A的切线方程为3x-4y+11=0或x=3.(2)直线OA的方程为5x-3y=0,圆心C到直线OA的距离为==∴S△AOC=12•|OA|•d=11.22=17.(2010²北京昌平区高三质量抽测)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M､N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程;(2)当MN=时,求直线l的方程.解:(1)设圆A的半径为R,由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,=∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意,②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,连接AQ,则AQ⊥MN.∵|MN|=则由1=,得34k=,∴直线l:3x-4y+6=0.故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.18.(2011²浙江省温州市高三八校联考)过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为(1)求p的值:(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,记l1,l2的交点为N,当S△ABN=时,求点N的坐标.解:(1)由已知得点(在抛物线x2=2py上,代入得8=4p,故p=2.(2)易知直线AB 的斜率一定存在,设为k,则AB:y-2=k(x-4),联立抛物线x 2=4y,消元,整理得:x 2-4kx+16k-8=0,设A 221212,,,44x x x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则x 1+x 2=4k,x 1x 2=16k-8.|x 1-x 2|=又y=14x 2求导得y′=2x ,故抛物线在A,B 两点处的切线斜率分别为12,22x x , 故在A,B 点处的切线方程分别为l 1:y=21124x x x -和l 2:y=22224x x x -, 于是,l 1与l 2的交点坐标为1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭, 即N(2k,4k-2)点N 到直线AB 的距离2故S △NAB =1||2AB d =∙.故==得k=-1或5,故点N 的坐标为(-2,-6)或(10,18).19.(2011²安徽省皖南八校高三摸底联考)已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N),直线4x-3y-16=0过椭圆E:2222x y a b+ =1(a>b>0)的右焦点,且交圆C 所得的弦长为325,点A(3,1)在椭圆E 上.(1)求m 的值及椭圆E 的方程;(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点,求AC AQ ∙ 的取值范围.解:(1)因为直线4x-3y-16=0交圆C 所得的弦长为325, 所以圆心C(4,m)到直线4x-3y-16=0125=, 即|44316|1255m ⨯-⨯-=, ∴m=4或m=-4(舍去).又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E 的右焦点,所以右焦点坐标为F 2(4,0),则左焦点F 1的坐标为(-4,0),又椭圆E 过A 点,因为|AF 1|+|AF 2|=2a,所以a ==2=18,b 2=2, 故椭圆E 的方程为:22182x y + =1. (2)解法一:AC =(1,3),设Q(x,y),则AQ =(x-3,y-1).设x+3y=n,则由2211823x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,消x 得18y 2-6ny+n 2-18=0,由于直线x+3y=n 与椭圆E 有公共点,所以Δ=(6n)2-4³18³(n 2-18)≥0,所以-6≤n≤6, 故AC AQ ∙ =x+3y-6的取值范围为[-12,0].解法二:AC =(1,3),设Q(x,y),则(3,1),AQ x y AC AQ =--∙ =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.∵x 2+(3y)2≥2|x|²|3y|,而22182x y +=1, 即x 2+(3y)2=18,∴-18≤6xy≤18.∴(x+3y)2=x 2+(3y)2+6xy=18+6xy 的取值范围是[0,36],即x+3y 的取值范围是[-6,6]. ∴AC AQ ∙ =x+3y-6的取值范围是[-12,0].20.(2011²安徽省合肥市高校附中高三联考)已知离心率为2的椭圆C 1:2222x y a b + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1､F 2,椭圆C 1与抛物线C 2:y 2=-x 的交点的横坐标为-2.(1)求椭圆的标准方程;(2)如果直线l:y=kx+m 与椭圆相交于P 1､P 2两点,设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为α,β,当α+β=π时,求证:直线l 必过定点. 解:(1)由于e 2=222222111,22c b b a a a =-==,a 2=2b 2. 又因为该椭圆与抛物线y 2=-x 的交点的横坐标为-2, 所以y 2=2,代入2222(2)241,2b b b -+==1,b 2=4,∴a 2=8, 所以椭圆方程为2284x y +=1. (2)证明:联立2284x y +=1与y=kx+m 得到 (2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-8=0, x 1+x 2=-2421mk k +,x 1x 2=222821m k -+. 设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为α,β,当α+β=π时,若设11211P F 2P F k k ,k k ==,k 1=tan α,k 2=tan β=tan(π-α)=-tan α=-k 1,∴k 1+k 2=0.k 1=111122y kx m x x +=++,k 2=222222y kx m x x +=++, k 1+k 2=121222kx m kx m x x +++++ =122112()(2)()(2)(2)(2)kx m x kx m x x x +++++++ =1212122(2)()4(2)(2)kx x k m x x m x x ++++++ =222122(28)(2)(4)4(21)(2)(2)(21)k m k m mk m k x x k -++-+++++=2121640(2)(2)(21)k m x x k -+=+++, 所以m=4k,直线方程为y=kx+4k=k(x+4),故直线过定点(-4,0).21.(2011²安徽省皖南八校高三第一次联考)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为4;l 1、l 2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线,l 1交E 于A,B 两点,l 2交E 于C,D 两点,AB,CD 的中点分别为M,N.(1)求椭圆E 的方程;(2)求l 1的斜率k 的取值范围;(3)求证直线OM 与直线ON 的斜率乘积为定值(O 为坐标原点).解:(1)设椭圆方程为2222x y a b+=1(a>b>0), 由2221224c a a A b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22143x y +=. (2)由题意知,直线l 1的斜率存在且不为零,∵l 1:y=kx+2,∴l 2:y=-1kx+2. 由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并化简整理,得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0.根据题意,Δ=(16k)2-16(3+4k 2)>0,解得k 2>14. 同理得2114k ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,k 2<4, ∴14<k 2<4,k∈12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,2.2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 那么x 1+x 2=21634k k -+,∴x 0=1228234x x k k +=-+, y 0=kx 0+2=2634k +,∴M 2286,3434k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 同理得N 22186,113434k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即N 2286,,4433k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭ ∴k OM ²k ON =-3394416k k ∙=-, 即直线OM 与直线ON 的斜率乘积为定值-916.。
平面解析几何初步一轮复习-(有答案)
第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程1．倾斜角：对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P 1(x 1，y 1），P 2（x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式例1。
已知直线(2m 2＋m －3)x ＋（m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时,直线过原点．解：(1) －1 ⑵ 2或－21⑶31或－2 ⑷－23⑸ 41变式训练1.(1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° （2）设直线的斜率k=2,P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点,则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4,－3D ．4,3(3）直线l 1与l 2关于x 轴对称,l 1的斜率是－错误!，则l 2的斜率是 ( ）A ．7B ．－77 C ．77D ．－错误! （4）直线l 经过两点(1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．解:（1）D ．提示:直线的斜率即倾斜角的正切值是－33． （2）C ．提示：用斜率计算公式1212y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．（4)2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式典型例题 基础过关例2. 已知三点A （1，—1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，—1)，B(3，3），C （4，5）, ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2,∴k AB =k BC ，∴A 、B 、C 三点共线.方法二 ∵A （1,-1)，B(3，3），C （4，5）， ∴｜AB|=25,|BC ｜=5，｜AC ｜=35, ∴|AB ｜+｜BC ｜=|AC ｜，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A(1，—1），B （3，3），C （4，5）， ∴AB =(2,4），BC =（1，2）,∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B,∴A 、B 、C 三点共线.变式训练2。
2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)
2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)高三数学单元练习题：立体几何（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是 . 则这两条直线的位置关系（） A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行 2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（） A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶ 3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75° B．60° C．45° D．30° 5．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（） A．如果、n是异面直线，那么 B．如果、n是异面直线，那么相交 C．如果、n共面，那么 D．如果、n共面，那么 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF<a），若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（） A．有最小值的一个变量B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 7．已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（） A．1条B．2条 C．3条 D．4条 8．如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（） A．10cm B．5cm C．10 cm D．5 cm 9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A．258 B．234 C．222 D．210 10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（） A． B． C． D． 11．底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（） A． B． C． D． 12．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（） A． B．2+ C．4+ D．第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2. 14．如图，矩形ABCD中，DC= ，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1¬―AE―B 的平面角的余弦值是 . 15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7 以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号） 16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD―A1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE•BF是定值。
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第8章 第1节一、选择题1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A.2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0，∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A.(理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1B.12 C ．－12D ．－1 [答案] A[解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1.3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－2,2)D ．(2，－2) [答案] D[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B. 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－1,0]D ．[－2,0] [答案] D[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0.5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，10)B ．(10，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(10，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，10 [答案] D[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43<a<10，故选D.(理)如果点(5，a)在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4[答案] C[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0，∴318<a<5，又a 为整数，∴a ＝4.6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率等于( )A ．1B.32C.12D.33 [答案] C[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l′，则OA →、OB →在l′上的射影也相等，故A 、B 到直线l′的距离相等，设l′：y ＝kx ，则|k －3|1＋k2＝|－3k －1|1＋k2，∴k ＝－2或12， ∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12.[点评] 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k)，由OA →，OB →在a 上射影的长度相等可得|a·OA →||a|＝|a·OB →||a|，可解出k.7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( )A ．(16，－12)B ．(8，－6)C ．(4，－3)D ．(－4,3) [答案] A[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －1＝0[答案] B[解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0，∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，故选B.(理)(2010·山东潍坊)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn ，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为( )A ．－log20102009B ．－1C ．log20102009－1D ．1 [答案] B[解析] 由y ＝xn ＋1得y′＝(n ＋1)xn ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，xn ＝n n ＋1， ∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×20092010＝log201012010＝－1，故选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 [答案] C[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±24.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24.故选C. (理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，则B 点轨迹的方程为( )A ．3x －y －20＝0(x≠13)B ．3x －y －10＝0(x≠13)C ．3x －y －9＝0(x≠－8)D ．3x －y －12＝0(x≠－8)[答案] A [解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫52，－2，设B(x ，y)，则B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y)在直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x －y －20＝0.∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x≠13.10．已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p ，直线l 在两坐标轴上的截距之和为q ，且p 比q 大1，则这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋ 6C ．4＋3 3D ．5＋2 6 [答案] D[解析] 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b≥2ab ，∴12ab≥2ab＋1，即(ab)2－4ab －2≥0，解得ab ≥2＋6，∴12ab≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6.二、填空题11．(2010·深圳中学)已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A(3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] a ＋2b ＝(－2,3)，设l 上任一点P(x ，y)，则AP →＝(x －3，y ＋1)，由条件知，(x －3，y＋1)·(－2,3)＝0，∴2x －3y －9＝0.12．(2010·浙江临安)设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y≤102x ＋y≥30≤x≤4y≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P(x ，y)到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝____”．[答案] －2[解析] 由条件知a 3＝2a －1，∴a2－a －6＝0，∴a ＝－2或3，当a ＝3时，两直线重合不合题意，∴a ＝－2.14．(文)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0 (1≤x≤3)，则y x 的最大值、最小值分别为________．[答案] 23，－1[解析] 设k ＝y x ，则y x 表示线段AB ：3x －2y －5＝0 (1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)，B(3,2)．由图易知：kmax ＝kOB ＝23，kmin ＝kOA ＝－1.(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案] [0，π2)∪(2π3，π)[解析] 由题意f ′(x)＝a(x －1)2－3，∵a>0，∴f ′(x)≥－3，因此曲线y ＝f(x)上任一点的切线斜率k ＝tanα≥－3，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3<α<π.三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．[解析] 当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA ＝2010＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此进kAB ＝30－2040－10＝13， ∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)，即y ＝13x ＋503；当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA 段时是进水过程，∴v1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x>40时，k ＝－53.又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎨⎧ y ＝2x ，0≤x≤1013x ＋503，10<x≤40－53x ＋2903，40<x≤58.(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝⎛⎭⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝⎛⎭⎫－1，13在AD 所在直线上． (1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C1的方程；(2)已知点E ⎝⎛⎭⎫－12，0，点F 是圆C1上的动点，线段EF 的垂直平分线交F M 于点P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－43.又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)，即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)． 又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心．而|MA|＝⎝⎛⎭⎫0－122＋－1－02＝52， ∴外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y2＝54. (2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝52，又|FM|>|EM|，∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵c ＝12，a ＝54，∴b2＝a2－c2＝516－14＝116.故动点P 的轨迹方程是x2516＋y2116＝1.16．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k ，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2k ，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．[解析] (1)设M(x ，y)，∵点M 为l1与l2的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋1＝ky x －1＝－2k (k≠0)，消去k 得，y2x2－1＝－2， ∴点M 的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．(2)由(1)知M 的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则2x12＋y12＝2①2x22＋y22＝2②①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，即y1－y2x1－x2＝－2×x1＋x2y1＋y2， ∵N ⎝⎛⎭⎫12，1为CD 的中点， 有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2，∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C 的方程．[解析] 直线l1：y ＝2，设l1交l 于点D ，则D(23，2)．∵l 的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝ 3.∴反射光线l2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.已知圆C 与l1切于点A ，设C(a ，b)． ∵⊙C 与l1、l2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， ∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l1垂直的直线上， ∴a ＝33②由①②得⎩⎨⎧a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.。