(全)初中数学｜对角互补+角平分线模型
中考数学压轴题专题对角互补模型
专题16 对角互补模型破解策略1．全等型之“90°”如图，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB ，则A O BDCE（1）CD ＝CE ； （2）OD ＋OE ＝2OC ； （3）212OCD OCE S S OC ∆∆+=． 证明 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ． 由角平分线的性质可得CM ＝CN ，∠MCN ＝90°．所以∠MCD ＝∠NCE ，从而△MCD ≌△NCE （ASA ），故CD ＝CE ．易证四边形MONC 为正方形． 所以OD ＋OE ＝OD ＋ON ＋NE ＝2ON ＝2O C ．所以2212OCD OCE MONC S S S ON OC ∆∆+===正方形． 方法二：如图，过C 作CF ⊥OC ，交OB 于点F ．易证∠DOC ＝∠EFC ＝45°，CO ＝CF ，∠DCO ＝∠ECF ． 所以△DCO ≌△ECF （ASA ） 所以CD ＝CE ，OD ＝FE ， 可得OD ＋OE ＝OF ＝2OC ．所以212OCD OCE OCF S S S OC ∆∆∆+==．【拓展】如图，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则：NM A OBD CE FA OBDCEB AECO D（1）CD ＝CE ； （2）OE －OD ＝2OC ； （3）212OCE OCD S S OC ∆∆-=． 如图，证明同上．FDO CEAB NM DO CEA B2．全等型之“120”如图，∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，则：OBECDA（1）CD ＝CE ；（2）OD ＋OE ＝OC ； （3）234OCD OCE S S ∆∆+=． 证明 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ． 所以232OCD OCE ONC S S S ∆∆∆+==易证△MCD ≌△NCE （ASA ），所以CD ＝CE ，OD ＋OE ＝2ON ＝O C ．NMA D CE BOF AD CEBO方法二：如图，以CO 为一边作∠FCO ＝60°，交OB 于点F ，则△OCF 为等边三角形． 易证△DCO ≌△ECF （ASA ）．所以CD ＝CE ，OD ＋OE ＝OF ＝OC ， ∴S △OCD ＋S △OCE ＝S △OCF ＝43OC 2 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，则： （1）CD ＝CE ；（2）OD －OE ＝OC ；（3）S △OCD －S △OCE ＝43OC 2 如图，证明同上．EO BA CDN M EO BA CDF EO BA CD3、全等型之“任意角”如图，∠AOB ＝2α，∠DCE ＝180°－2α，OC 平分∠AOB ，则：（1）CD ＝CE ；（2）OD ＋OE ＝2OC ·cos α；（3）S △ODC ＋S △OEC ＝OC 2·sin αcos αEOBA CD证明：方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N易证△MCD ≌△NCE （ASA ）∴CD ＝CE ，OD ＋OE ＝2ON ＝2OC ·cos α∴S △ODC ＋S △OEC ＝2S △ONC ＝OC 2·sin αcos α方法二：如图，以CO 为一边作∠FCO ＝180°－2α，交OB 于点F ．MN E O AC D易证△DCO≌△ECF（ASA）∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cosα∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC 2·sinαcosα【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cosα；（3）S△ODC－S△OEC＝OC 2·sinαcosα如图，证明同上4、相似性之“90°”如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝α，则CE＝CD·tanα方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N易证△MCD∽△NCE，∴αtan===CMCNCDCEMDNE，即CE＝CD·tanα方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．易证△DCO ∽△ECF ，∴αtan ===COCFCD CE OD FE ，即CE ＝CD ·tan α 方法三：如图，连接DE ．易证D 、O 、E 、C 四点共圆∴∠CDE ＝∠COE ＝α，故CE ＝CD ·tan α【拓展】如图，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则CE ＝CD ·tan αEOBD CA如图，证明同上．M N EO BDCAF EOBDCAEO BDCA例题讲解例1、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，在∠BAC 所对弧BC 上任取一点D ，连接AD ，BD ，C D ．（1）如图1，若∠BAC ＝120°，那么BD ＋CD 与AD 之间的数量关系是什么？ （2）如图2，若∠BAC ＝α，那么BD ＋CD 与AD 之间的数量关系是什么？图1O BCD图2A OBCD解：（1）BD ＋CD ＝3AD图3F EO BCD如图3，过点A 分别向∠BDC 的两边作垂线，垂足分别为E 、F ． 由题意可得∠ADB ＝∠ADC ＝30°DA OCE易证△AEB ≌△AFC ∴BD ＋CD ＝2DE ＝3AD⑵BD ＋CD ＝2AD sin2α． 如图4，作∠EAD ＝∠BAC ，交DB 的延长线于点E ．则△EBA ≌△DCA ，所以BE ＝CD ，AE ＝A D ．作AF ⊥DE 于点F ，则∠FAD ＝2α．所以BD ＋CD ＝DE ＝2DF ＝2AD sin 2α． 例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与BC 相交于点F ． ⑴求证：PA ＝PE ；⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD ＝10，CD ＝8，求AP ：PE 的值； ⑶如图3，在⑵的条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时，AP ：PE 的值是否发生变化？解：⑴如图4，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．则PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，由已知条件可得∠APE ＝90°，所以∠APM ＝∠EPN ，所以△APM ≌△EPN ． 故AP ＝PE ．⑵如图5，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．则PM ∥AD ，PN ∥C D ． 所以△BPM ∽△BDA ，△BNP ∽△BC D ．可得PM BP PN AD BD CD ==，所以54PM AD PN CD ==．易证△APM ∽△EPN ，所以54AP PM PE PN ==． 图4A DPBE CN M图3ADBEP FC ADBPCE 图2ADPBE C 图1DFBEOC图4⑶AP ：PF 的值不变．[如图，理由同⑵]进阶训练1．如图，四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰Rt △ABD 和Rt △CBD ，其中∠BAD 和∠BCD 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，则四边形ABCD 的面积为_________．答案：四边形ABCD 的面积为2． 【提示】易证A 、B 、C 、D 四点共圆，则∠BCA ＝∠BDA ＝∠ABD ＝∠ACD ，由“全等型之‘90°’”的结论可得S 四边形ABCD ＝12AC 2＝2．2．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，D 是BC 边的中点，∠EDF ＝120°，DE 与AB 边相交于点E ，DF 与AC 边（或AC 边的延长线）相交于点F ．⑴如图1，DF 与AC 边相交于点F ，求证：BE ＋CF ＝12AB ； ⑵如图2，将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与AC 边的延长线交于点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN ＝FN ，求证：BE ＋CF ＝3（BE －CF ）．答案：略．第1题图1AEFAEFC D BN 第1题图2AB CD第1题图图6ADBEP FC M N 图5A DBPCE N M【提示】⑴过点D 作DG ∥AC 交AB 于点G ，证△DEG ≌△DFC ，从而BE ＋CF ＝BE ＋EG ＝BG ＝12A B ．⑵过点D 作DG ∥AC 交AB 于点G ，同⑴可得BE －CF ＝12AB ＝DC ＝3，延长AB 至点H ，使得BH ＝CF ，则DH ＝DF ＝DE ，从而BE ＋CF ＝HE ＝2DE ＝2×2DN ＝2DN ，所以BE ＋CF ＝3（BE －CF ）．3．在菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON ＋∠BCD ＝180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交BC 于点E ，射线ON 交CD 于点F ，连结EF ． ⑴如图1，当∠ABC ＝90°时，△OEF 的形状是____；⑵如图2，当∠ABC ＝60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；⑶如图3，在⑴的条件下，将∠MON 的顶点移动到AO 的中点O '处，∠MO 'N 绕点O '旋转，仍满足∠MO 'N ＋∠BCD ＝180°，射线O 'M 交直线BC 于点E ，射线O 'N 交直线CD 于点F ，当BC＝4，且'98O EF ABCD S S 四边形时，求CE 的长．答案：⑴等腰直角三角形；⑵△OEF 是等边三角形；⑶线段CE 的长为33或33． 【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE ＝OF ．⑶两种情况，如图：第3题图1 ADBCOME F N ABC DOF E MN第3题图2AOO ' 第3题图3第1题答图2A E FC DB NHG第1题答图1 AEFG'第3题答图。
初中数学对角互补模型(初中数学最新最全对角互补模型)
二、对角互补双90°模型（构造相似）
例4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB 于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，求AP
课堂练习
三、对角互补.60°、120°模型（构造全等）
例5.已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点． （1）如图1，过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，说明PD与PE相等的理由；
（3）如图3所示，过C作CH⊥BD于H，BD＝6，AD＝3，求CH
（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q， ∵∠ACB＝90°，QC⊥CD∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CDQ＝∠CAB＝45°∵QC⊥CD ∴∠CQD＝∠CDQ＝45°∴CQ＝CD，且∠QCD＝90°∴△DCQ是等腰直角
（2）证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．
课堂练习
练习1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正
方形OMNP绕O点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为
．
练习2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的 点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．
练习3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点 在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝3 ，求点B的坐标．
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
2024年中考数学二轮专题复习 课件： 对角互补模型
2
(2)如解图②，连接BD， 以DE为边作∠EDG＝∠BDF， 点G在BE的延长线上， 过点D作DH⊥BG于点H， 易得△DBF≌△DGE， ∴BF＝EG，BE＋BF＝BE＋EG＝BG，
第4题解图②
第4题图
二轮专微题专题复习对角互补模型
在 Rt△BCD 中，BD＝ 23BC， 在 Rt△BDH 中，BH＝ 23BD， ∵BD＝DG， ∴BG＝2BH＝ 3BD＝ 3× 23BC＝32BC. ∴BE＋EG＝32BC， 即 BE＋BF＝32BC.
二轮专微题专题复习对角互补模型
辅助线作法二：作等角 在BC的延长线上找一点E，使得∠CDE＝∠ADB.
结论： (1)△ABD和△CED的关系是__△__A__B_D__∽__△__C_E_D___； (2)若添加条件___A__D_＝__C_D____，可得△ABD≌△CED，△BDE为等腰三 角形．
例1题图
二轮专微题专题复习对角互补模型
(3)如图③，过点A作AF⊥AC交CD的延长线于点F. ①∠ABC＝___∠_A__D_F___； 【解法提示】由题可知，∠CAF＝90°， ∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAF， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∵∠ADC＋∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF.
第4题解图②
1 2
×4×8＝16.
例1题图③
二轮专微题专题复习对角互补模型
例2 (人教八下P68第12题改编)如图，点O为矩形ABCD的中心，AB＝4，
AD＝6，∠MON＝90°，它的两边分别与AB，BC交于点E，F.若OE＝ 7 ，求OF的长． 2 解：如图，过点O分别作OT⊥AB于点T，
2023年中考数学微专题复习课件3 对角互补模型
∵∠EDF＝120°＝∠MDN，
∴∠EDM＝∠NDF.
图2－1
又∵∠EMD＝∠FND＝90°，
∴△EDM≌△FDN（ASA），∴ME＝NF，
∴BE＋CF＝BM＋EM＋NC－FN
＝2BM＝BD＝ AB.
12
▶类型1：“90°”模型
1.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，D为AB的中点，以点D为圆心作
∴AP＝PE.
7
图1－1
（2）解：如图2－1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则∠PMA＝∠PNE＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°.
∵∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴ ＝ ， ＝ ，
模型
OC平分∠AOB
（3）OD＋OE＝ 2OC；
（4）S四边形ODCE＝S四边形OMCN＝
1
OC2
2
3
图示
类型
条件
∠AOB＝2∠DCE＝
120°
结论
△CDM∽△CEN
（1）△CDM≌△CEN；
“120°”
（2）CD＝CE；
模型
OC平分∠AOB
（3）OD＋OE＝OC；
（4）S四边形ODCE＝S四边形OMCN＝
=
=
5
4 ➝ ＝
＝ ＝5∶4
△ ∽△
4
易得 △ ∽△
图1－1
图2－1
6
（1）证明：如图1－1，过P作PM⊥AB于点M，
中考数学全等三角形的五种模型
结论
①△ABF≌△BCE； ②EC＝AB－FC
模型应用
7. (2016·深圳改编)如图，CB＝CA，∠ACB＝ 90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边 形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA 的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给 出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形 CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF. 其中正确的结论的个数是( )
∵∠1＝∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H， ∴AD＝AH， ∵AD＝AB， ∴AH＝AB， 又∵AH⊥EF于H，AB⊥BC于B， ∴AE平分∠BEF，故①正确； ∵AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEH， ∵∠AEB＋∠BAE＝90°，
∠AEH＋∠HAE＝90°， ∴∠BAE＝∠HAE，
又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B， ∴BE＝HE， ∵BE＝DG， ∴HE＝DG， ∵EF＝HE＋FH，GF＝DG＋FD，EF＝GF， ∴FH＝FD，故②正确； ∵△AEF≌△AGF， ∴S△EAF＝S△GAF. ∵△ABE≌△ADG，
叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在
有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE
＝45°；④DG＝DE.
在以上4个结论中，正确的共有
()
A. 1个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4个
3. C 解析：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝ ∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x， 由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2， 即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴BG＝2AG，②正确；
中考数学几何模型专题3对角互补模型(学生版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型90°对角互补模型模型2：全等形——120°对角互补模型模型3：全等形——任意角对角互补模型模型4：相似形——90°对角互补模型如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG∠∠AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．长线上，∠EAF=12（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=√2AM;【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图∠，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12间的数量关系：__________；（2）如图∠，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD 所在直线上的点，且∠EAF =12∠BAD ．请画出图形（除图∠外），并直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD 是由等边ΔABC 和顶角为120°的等腰ΔABD 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM +AN =MN ；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若AC =7，AE =2.1，请直接写出MB 的长为 ．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF =BE +FD ，探究图中∠BAE 、∠F AD 、∠EAF 之间的数量关系．。
(完整版)第七讲对角互补模型
第七讲对角互补模型墓本图竝=如图1,在四边形FBDEH ^EDF-ZEBF=13O\族转^FBE稈到厶3BI,求证】iFBH^AEBI 如图Z,在四边孩FBD応中.ZEDF+ZEBF-1 .连接HD+ /DBE=/CBF AHCD^1/?=^ 脸蘇究.线段DE、DF、BD之闾的数量关系______________________ -规国M在四边形證DE孔三EDF-£EBF=1财，连損Bd ^1DBE=上CB巴若BDlDC^DCB^O^ 探究：线段□驭口I BD之间旳数量关系j圈1 圉2常和甬平分线性质一起考，一般凉两种解題方去（全等型一如叮（全等型_12厅）（全等型一任意角左）破解策略1.全零型之“9TT "如图.EDCE二曲,CT平分厶椒则⑴ CD=C£i（2.）①+偌=Jl OCi证明方^―■如團，11点匸分别作匸站丄函，口丄阳，垂足分别为掘工由角平分线的性假可得口/=口，Zjtv=90a.川而AJ€^A.\C^ (JSJ),故S②品证巴边形一遷吃为正方形”所氏他H-血=亦即舛_迹-2At/LL-切Ct = $正打仲如?方袪二=如图，过&作m■丄处交防于点F. 冨证ZZJCr=ZfiTf=45'・CQ=CF… QXA厶戡F所以△血也ZSQLJ5J)所以S広CD~FF,甬以\uto +比心=片讣=-()( -.【拓展】如图，兰乙DCE的一^与舶的延长线交于点Z?时，则*(1)CD=CE\(2)OE- 0D= 41 OC^如图.证明同上+方迭二 如匡，叹血为一边作ZFCO=^ ,交空于点穴则为等边三角形. 易证△ Dig 鱼ECF （討胡）.所以CD=CE ・时库二0F= DC 、SLac+ Ska:*= 5L B = —— OC *4【拓展】如图，当/磁的一边与図的延长线交于点疋时，则;⑴ CD=CE^（2）QD_ 址=g （3）5.^- S— OC :4如图.证明同上"全等型之“任意角"如图，GOB 三2住，^DCE^ 180° -2（y , PC 平分乙迦 贝山Cl ） CD=CE\ （.2）&）+ 便=20C ・心8庄！ （3）S^= OC^ sin （7 cos证明：方法一：如图，过点「分别作 少丄加 口丄0吕 垂足分别为M .V易证也］皿鸟疋（4短）■'■ CD= CE, OD^OE=2Qy=2OC- casff■'- ^cr+ IC = 2 Sioc = OC " - sinff cos U方4J-：如图，以£0为一边作ZFC0=Y^ ~2（X ,交 厨于点FZJ/?易证△ DCZ'EC心SDCD= CE t必+ 0E=0F=20C、za二氐临+ S二K=£血=OC " - sin Ct cos a【拓展】如图，当厦处的一边与於的延长线交于点占时，贝!：（1）CD=CE\（戈）0D- QE=20C・cosOr ;（3）— = OC '• sin（7 cos 如图*证明同上—、等边三角形L已知’ 4ABC是奪边三角形，Zl + ^2 = 120°,求证：Zl = Z2 = 60°.2•已知；AABC是等边三角形・4 = 60S求证* Z2 = 60°,3•己知：Zl = Z2 = _BAC = 60°P求证；AABC是等边三角形.4.已知：Zl = Z2 = Z3 = 60°,求证;：A ABC是等边三角形.-＞等腰直角三角形（对直角型）5.已知=A ABC是等腰直角三角形，ZL1+Z2=90°,求证：Z1 = Z2 = 45°.8•已知t Z1=Z2 = Z3 = 45% 求证，AABC是等腰直角三角形.三、等腰直角三角形（对45。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)17 全等与相似模型-对角互补模型(教师版)
专题17全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE OC ，③212ODCE COE COD S S S OC .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D ，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OE －OD OC ，③212COE COD S S OC .3）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.4）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D ，结论：①CD ＝CE ，②OD －OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC =120°，∠BPC =60°。
对角互补模型公式
对角互补模型公式在我们的数学世界里，有一个有趣且实用的家伙，那就是对角互补模型公式。
这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多几何难题的大门。
先来说说啥是对角互补模型。
想象一下有一个四边形，它的两组对角之和等于 180 度，这就是对角互补啦。
比如说，在一个四边形ABCD 中，如果角 A 加上角 C 等于 180 度，角 B 加上角 D 也等于 180 度，那它可能就藏着对角互补模型的秘密。
那对角互补模型公式到底长啥样呢？常见的有这么几种形式。
比如说，在圆内接四边形中，如果对角互补，就有一些有趣的关系。
假设其中一组对角的顶点分别为 A 和 C，它们所对的边分别为 a 和 c，另一组对角的顶点是 B 和 D，所对的边分别为 b 和 d，那么就会有这样的公式：a×c + b×d = 对边乘积之和。
我给大家讲讲我曾经遇到过的一道题吧。
那是一次数学考试，有一道题给出了一个四边形，告诉我们其中两组对角的度数分别是 60 度和120 度，然后让我们求这个四边形的边长关系。
当时，好多同学都抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我一看，嘿，这不是典型的对角互补模型嘛！我赶紧按照公式，找出对应的边，然后进行计算。
最后，我顺利地算出了答案，心里那叫一个美呀！再来说说这个公式在实际生活中的应用。
比如说，我们要设计一个花园，花园的形状是一个不规则的四边形。
为了让花园看起来美观，我们需要知道各个边的长度比例。
如果我们知道了对角的度数，并且发现它们互补，那么就可以利用对角互补模型公式来计算边长的关系，从而更好地规划花园的布局。
在学习对角互补模型公式的过程中，大家可别死记硬背。
要多做几道题，自己动手画画图，感受一下其中的规律。
比如说，自己画几个不同的对角互补四边形，然后测量一下边的长度，再代入公式算算，看看是不是符合。
这样多动手、多思考，就能真正掌握这个公式啦。
还有啊，有些同学可能会觉得这个公式太复杂，不好理解。
对角互补模型(解析版)--中考数学满分突破
对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。
主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。
模型一：90°的对角互补模型【基础】如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，BD 平分∠ABC ，则①AD =CD ②AB +BC =2BD ③S △ABD +S △BDC =12BD 2思路：①方法一(基础)：过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F∵BD 平分∠ABC ∴DE =DF∵∠ABC =ADC =90°∴∠DAB +∠DCF =∠DAB +∠DAE =180°∴∠DCF =∠DAE ∴∆DAE ≌∆DCF ∴AD =CD方法二(基础)：作DE ⊥BD 交BC 延长线于点E ∴∠BDE =90°∵BD 平分∠ABC ∴∠4=∠5=∠6=45°∴DE =BD ∵∠ABC =ADC =90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∴∆ABD ≌∆CED ∴AD =CD方法三(进阶)：∵四边形ABCD 对角互补∴A 、B 、C 、D 四点共圆∵BD 平分∠ABC∴∠ABD =∠CBD =45°∴AD =CD②③方法一：∵∆DAE ≌∆DCF∴AE =FC S △DAE =S △DCF∵∠ABC =∠ADC =90°，BD 平分∠ABC∴∠EBD =∠DBF =45°∴∆DEB 与∆DFB 为等腰直角三角形∴AB +BC =AB +BF +FC =AB +BF +AE =BE +BF =22BD +22BD =2BD S △ABD +S △BDC =S △ABD +S △BDF +S △DFC =S △ABD +S △BDF +S △AED =S △DEB +S △DFB =S 正方形BFDE =12BD 2方法二：∵∆ABD ≌∆CED∴AB =CE S △ABD =S △CED 而∠BDE =90°∠5=∠6=45°∴∆BDE 为等腰直角三角形则AB +BC =BC +CE =BE =2BDS △ABD +S △BDC =S △DCE +S △BDC =S △BDE =12BD 2【进阶】如图，∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，有以下结论：①CD =CE ②OE -OD =2OC ③S △OCE -S △OCD =12OC 2思路：①方法一：过点C 分别作CM ⊥AO 于点M , CN ⊥BO 于点N∴∠CMD =∠CNE =90°∵∠AOB =90°∴∠MCN =90°则∠MCD =∠ECN而OC 平分∠AOB ∴CM =CN∴∆CMD ≌∆CNE ∴CD =CE方法二：过点C 作CH ⊥CO 交OB 于点H ∴∠OCH =90°∴∠OCD +∠DCH =∠HCE +∠DCH =90°∴∠OCD =∠HCE∵∠AOB =90°，OC 平分∠AOB∴∠AOC =∠COH =∠CHO =45°∴∆OCH 为等腰直角三角形∴OC =CH∵∠COD =180°-∠AOC ，∠CHE =180°-∠CHO∴∠COD =∠CHE ∴∆COD ≌∆CHE ∴CD =CE方法三：连接DE∵∠AOB =∠DCE =90°∴∠DOE =∠DCE =90°∴O 、C 、E 、D 四点共圆∵OC 平分∠AOB ∴∠CDE =∠COE =∠CED =45°∴CD =CE②③∵∆COD ≌∆CHE ∴OD =HE S △OCD =S △HCE则OE -OD =OE -EH =OH =2OCS△OCE-S△OCD=S△OCE-S△HCE=S△OCH=12OC2模型二：120°的对角互补模型【基础】如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√34OC2思路：①方法一：过点C分别作CM⊥AO于点M，CN⊥OB于点N所以∠CMD=∠CNE=90°由OC平分∠AOB可知CM=CN由∠AOB=2∠DCE=120°，可得∠CDO+∠CEN=180°而∠CDO+∠CDM=180°因此∠CDM=∠CEN所以∆CMD≌∆CNE则CD=CE方法二：作∠OCF=60°交OB于点F由已知条件可知∆COF为等边三角形所以CO=CF∠COD=∠CFE=60°因为∠DCE=∠OCF=60°所以∠DCO=∠ECF所以∆DCO≌∆ECF则CD=CE方法三：∵∠AOB=2∠DCE=120°∴∠DOE+∠DCE=180°∴O、D、C、E四点共圆∵OC平分∠AOB∴∠COD=∠COE=60°∴CD=CE②由于∆DCO≌∆ECF, ∆COF为等边三角形则OD=EF OC=OF所以OD+OE=EF+OE=OF=OC③过点F作FH⊥CO于点H由于∆DCO≌∆ECF所以S△DCO=S△ECF设OC=x，则OH=X2FH=√3X2S△DCO+S△COE=S△ECF+S△COE=S△OCF=12OC•FH=12•x•√3X2=√3 4x2=√34OC2【进阶】如图，∠AOB =2∠DCE =120°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，有以下结论：①CD =CE ②OD -OE =OC ③S △DCO -S △COE =√34OC 2思路：①方法一：过点C 分别作CM ⊥DO 于点M ，CN ⊥EB 于点N所以∠CMD =∠CNB =90°由OC 平分∠AOB ∠AOB =2∠DCE =120°可知CM =CN ∠DCE =∠MCN =60°则∠DCM =∠ECN所以∆CDM ≌∆CEN 则CD =CE方法二：过点C 作∠OCH =60°根据已知条件可知∠DCE =∠OCH =∠COH =60°，∴∆COH 为等边三角形，∠DCO =∠ECH∴∠COD =∠CHE =60°CO =CH所以∆CDO ≌∆CEH 则CD =CE OD =EH S △DCO =S △ECH∴OD -OE =EH -OE =OH =OCS △DCO -S △COE =S △ECH -S △COE =S △COH =√34OC 2方法三：连接DE∵∠AOB =2∠DCE =120°，OC 平分∠AOB∴∠DOE =∠DCE =∠DOC =60°∴O 、C 、D 、E 四点共圆∴∠DEC =∠DOC =∠DCE =60°∴△DEC 是等边三角形∴CD =CE模型三：全等型之任意角如图，∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB ，则：①CD =CE②OD +OE =2OC •COSα③S △DCO +S △COE =OC 2•sin αCOSα思路：1)过点C作CM⊥AO于点M, 作CN⊥BO于点N易证∆CDM≌∆CEN∴CD=CE则OD+OE=2ON=2OC•COSαS△DCO+S△COE=2S△CON=CN•ON=OC2•sinαCOSα2)作∠OCH=180°-2α,与OB交于点H易证∆CDO≌∆CEH∴CD=CE OD=EH S△DCO=S△ECH则OD+OE=OH=2OC•COSαS△DCO+S△COE=S△COH=OC2•sinαCOSα【进阶】如图，除满足以上条件外，当∠DCE的一边与BO延长线交于点E 时，则：①CD=CE②OD-OE=2OC•COSα③S△DCO-S△COE=OC2•sinαCOSα[自行证明]模型四：内含90°的相似型如图，∠AOB=∠DCE=90°，∠COB=α，则CE=CD•tanα[自行证明]【进阶】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE=CD•tanα[自行证明]【过关培优练】1.(2019春·江苏南京·八年级校联考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为．【答案】32【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+ AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=32即BC+AC=3 2.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.2.如图，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，若四边形ABCD的面积为43，则AC=．【答案】4．【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长．【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．∵四边形内角和360°，∴∠D+∠ABC=180°．∴∠ABE+∠ABC=180°，∴E、B、C三点共线．根据旋转性质可知∠EAC=60度，AE=AC，∴△AEC是等边三角形．四边形ABCD面积等于△AEC面积，等边△AEC面积=34Ac2=43，解得AC=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．3.(2021春·福建三明·八年级统考期中)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=m，则AB与AC差是多少(用含m的代数式表示)【答案】感知：DB=DC，证明见详解；探究：DB与DC的大小关系不变，理由见详解；应用：AB与AC差是2m．【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得DG=CG=DH=BH=22m，则有AG=AH=AC+22m，最后问题可求解．【详解】感知：DB=DC，理由如下：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°，即DB⊥AB,DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DB=DC；探究：DB与DC的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠DCF+∠ACD=180°，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DB=DC；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵∠B=45°，∠C=135°，∴∠B+∠C=180°，∵∠ACD+∠DCG=180°，∴∠B=∠DCG=45°，∵∠DHB=∠DGC=90°，DB=DC=m，∴△DHB≌△DGC(AAS)，且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴DG=CG=DH=BH，由勾股定理可得DH2+BH2=DB2，∴2DH2=m2，m，∴DG=CG=DH=BH=22在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD(HL)，∴AG=AH=AC+2m，2∴AB=AH+BH=AC+2m，∴AB-AC=2m．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．4.(2013秋·江苏盐城·九年级阶段练习)已知∠MAN，AC平分∠MAN.(1)在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我们可得结论：AB+AD=AC；在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(2)在图3中：(只要填空，不需要证明).①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC；②若∠MAN=α(0°<α<180°)，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC(用含α的三角函数表示)．【答案】(1)成立，证明如下；(2)3，2cos α2 .【详解】试题分析：(1)作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN =120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=12AC，AF=12AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．试题解析：(1)仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F∵AC平分∠MAN∴CE=CF∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB(AAS)∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF∴AE+AF=AC∴AD+AB=AC(2)3，2cosα2.考点:(1)角平分线的性质；(2)全等三角形的判定与性质；(3)含30度角的直角三角形．5.(2021·全国·八年级专题练习)已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC，求证：BC+AB=2BD．6.(2021·全国·八年级专题练习)已知∠ABC =60°,∠ADC =120°,AB =BC ，求证：AD +DC =BD ，S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =34BD 2．【答案】见解析【分析】延长DC 至点E 使CE =AD ，先证明△BAD ≌△BCE ，再证明△BDE 是等边三角形，可证结论成立．【详解】证明：延长DC 至点E 使CE =AD ，∵∠ABC =60°,∠ADC =120°，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠BCE +∠BCD =180°，∴∠A =∠BCE ，在△BAD 和△BCE 中BA =BC∠A =∠BCE AD =CE，∴△BAD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∠ABD =∠CBE ，∵∠ABC =∠ABD +∠CBD =60°，∴∠DBE =∠CBE +∠CBD =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD =DE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +DC =BD ；作BF ⊥DE 于点F ，则∠EBF =30°，EF =DF =12DE =12BE ，∴BF =BE 2-EF 2=32BE ，∴S △DBE =12DE ×BF =12×BE ×32BE =34BE 2，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =34BD 2．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是正确作出辅助线，证出△BAD≌△BCE，再证出△BDE是等边三角形．7.(2021·贵州黔东南·统考中考真题)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．【探究发现】(1)如图①，若∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°．求证：AD+AB=AC；【拓展迁移】(2)如图②，若∠BAD=120°，∠ABC+∠ADC=180°．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC=10，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)①AD+AB=AC，见解析；②253【分析】(1)根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC=60o，然后根据直角三角形中30o是斜边的一半即可写出数量关系；(2)①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造AAS证明△CFB≅△CED，根据全等的性质得到FB=DE，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用60o的正弦值求得CE的长，然后根据S四边形ABCD=12AD×CE+12AB×CF=1 2AD+AB×CE的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．【详解】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=120o，∴∠DAC=∠BAC=60o，∵∠ADC=∠ABC=90o，∴∠ACD=∠ACB=30o，∴AD=12AC，AB=12AC．∴AD+AB=AC，(2)①AD+AB=AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．∵AC平分∠BAD，∴CF=CE，∵∠ABC+∠ADC=180o，∠EDC+∠ADC=180o，∴∠FBC=∠EDC，又∠CFB=∠CED=90o，∴△CFB≅△CED AAS，∴FB=DE，∴AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF，在四边形AFCE中，由⑴题知：AE+AF=AC，∴AD+AB=AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD=120o∴∠DAC=∠BAC=60o，又∵AC=10，∴CE=A sin∠DAC=10sin60o=53，∵CF=CE，AD+AB=AC，∴S四边形ABCD =12AD×CE+12AB×CF=12AD+AB×CE=12AC×CE=12×10×53=253．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．8.(2017·四川乐山·中考真题)在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．(1)如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．(2)如图2，若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【答案】(1)AC=AD+AB；(2)成立；(3)AD+AB=2AC．【分析】(1)结论：AC=AD+AB，只要证明AD=12AC，AB=12AC即可解决问题；(2)(1)中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；(3)结论：AD+AB=2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【详解】(1)AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB=12AC，同理AD=12 AC，∴AC=AD+AB．(2)(1)中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AE=AD+AB．(3)结论：AD+AB=2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，如图3，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°，∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，AC=CE，∴AE=AC2+CE2=2AC2=2AC，∴AD+AB=2AC．【点睛】本题是四边形探究的综合题，属于压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的和差倍分关系，对于线段和差问题，常常采用截长法或补短法构造辅助线，通过全等三角形来解决．9.(2022秋·广东惠州·九年级校考期中)在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．(1)如图①，当PD⊥AC时，则DC+CE的值是．(2)如图②，当PD与AC不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在∠DPE内作∠MPN=45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)2(2)依然成立(3)△CMN的周长为定值，且周长为2【分析】(1)由等腰三角形的性质和P为斜边AB的中点可知DC=1，CE=1，所以DC+CE的值可求；(2)结论成立．连接PC，通过证明△PCD≌△PBE．可得DC=EB，所以DC+CE=EB+CE= BC=2；(3)△CMN的周长为定值，且周长为2．在EB上截取EF=DM，通过证明△PMN≌△PFN，得到MN=NF．所以MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF=MC+CE+DM=DC+CE=2．【详解】(1)连PC∵P是AB的中点，AC=BC=2，∠C=90°∴PC=AP=PB∵PD⊥AC，AC=1∴DC=12∠C=∠DPE=90°∴四边形PDCE是矩形，∴PE⊥BC又∵PC=PBBC=1∴EC=12∴DC+CE=2；故答案为：2；(2)结论成立．连接PC，如图②．∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∠ACB=45°．∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=12∴∠ACP=∠B=45°，∠CPB=90°．∴∠BPE=90°-∠CPE．又∵∠DPC=90°-∠CPE，∴∠DPC=∠EPB．∴△PCD≌△PBE．∴DC=EB，∴DC+CE=EB+CE=BC=2．(3)△CMN的周长为定值，且周长为2．在EB上截取EF=DM，如图③，由(2)可知：PD=PE，∠PDC=∠PEB，∴△PDM≅△PEF，∴∠DPM=∠EPF，PM=PF．∵∠NPF=∠NPE+∠EPF=∠NPE+∠DPM=∠DPE-∠MPN=45°=∠NPM，又PN=PN，∴△PMN≌△PFN，∴MN=NF．∴MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF，=MC+CE+DM，=DC+CE，=2．∴△CMN的周长是2．【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目．10.(2021秋·河南漯河·八年级统考期中)在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF=120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是；(2)当点E在线段AB上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，BF=8,BE=2，请直接写出BC的长．【答案】(1)DE=DF；(2)DE=DF，理由见解析；(3)4【分析】(1)根据等腰三角形的性质及已知，可得∠DBC =∠F =30゜，从而可得DE =DF ；(2)仍有DE =DF ；过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，可证明△DGE ≌△DCF ，从而可得DE =DF ；(3)过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，可证明△DGE ≌△DCF ，从而可得GE =CF ；设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ，GE =12a +2，则可得方程，解方程即可求得a ．【详解】(1)∵△ABC 是等边三角形，D 点为AC 的中点∴∠DBC =30゜∵∠EDF =120゜∴∠F =180゜-∠DBC -∠EDF =30゜∴∠DBC =∠F∴DE =DF故答案为：DE =DF(2)仍有DE =DF ；理由如下：过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，如图2所示则∠AGD =∠ABC∵△ABC 是等边三角形∴AB =AC ，∠A =∠ABC =∠ACB =60゜∴∠AGD =∠A =60゜∴△AGD 是等边三角形∴∠ADG =∠AGD =60゜，AD =GD∴∠DGE =∠GDC =120゜∴∠EDF =∠GDC =120゜∵∠GDE +∠EDC =∠EDC +∠CDF∴∠GDE =∠CDF∵D 点是AC 的中点∴AD =DC =GD∵∠ACB =60゜∴∠DCF =120゜∴∠DGE =∠DCF在△DGE 和△DCF 中∠DGE =∠DCFGD =DC∠GDE =∠CDF∴△DGE ≌△DCF (ASA )∴DE =DF(3)过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，如图3所示与(2)同理有：△DGE ≌△DCF∴GE =CF设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ∴GE =12a +2由GE =CF ，得：12a +2=8-a 解得：a =4【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是本题后两问的关键．11.(2017·辽宁葫芦岛·中考真题)如图，∠MAN =60°，AP 平分∠MAN ，点B 是射线AP 上一定点，点C 在直线AN 上运动，连接BC ，将∠ABC (0°<∠ABC <120°)的两边射线BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM 交于点D 和点E ．(1)如图1，当点C 在射线AN 上时，①请判断线段BC 与BD 的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC ，AD 和BE 之间的数量关系，写出结论并证明；(2)如图2，当点C 在射线AN 的反向延长线上时，BC 交射线AM 于点F ，若AB =4，AC =3，请直接写出线段AD 和DF 的长．【答案】(1)①BC =BD ；②AD +AC =3BE ；(2)AD =53，DF =3137．【分析】(1)①结论：BC =BD ．只要证明△BGD ≌△BHC 即可．②结论：AD +AC =3BE ．只要证明AD +AC =2AG =2EG ，再证明EB =32BE 即可解决问题；(2)如图2中，作BG ⊥AM 于G ，BH ⊥AN 于H ，AK ⊥CF 于K ．由(1)可知，△ABG ≌△ABH ，△BGD ≌△BHC ，易知BH ，AH ，BC ，CH ，AD 的长，由sin ∠ACH =AK AC=BH BC ，推出AK 的长，设FG =y ，则AF =23-y ，BF =4+y 2，由△AFK ∽△BFG ，可得AF BF =AK BG ，可得关于y 的方程，求出y 即可解决问题．【详解】(1)①结论：BC=BD，理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；②结论：AD+AC=3BE，∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=32BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH-CH=2AG=3BE，∴AD+AC=3BE；(2)如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，由(1)可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=23，BC=BD=BH2+CH2=31，CH=DG=33，∴AD=53，∵sin∠ACH=AKAC =BH BC，∴AK3=231，∴AK=2331，设FG=y，则AF=23-y，BF=4+y2，∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，∴△AFK∽△BFG，∴AFBF =AKBG，∴23-y4+y2=23312，解得y=1037或310(舍弃)，∴DF=GF+DG=1037+33，即DF=3137．12.(2021·重庆·统考中考真题)在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．(1)将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连接FG ．①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，求线段DG 的长；②如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H ，连接EH ，求证：BE +BH =3BF ；(2)如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且DN =2NC ，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，连接FP ，当NP +12MP 最小时，直接写出△DPN 的面积．【答案】(1)①21；②见解析；(2)433【分析】(1)①连接AG ，根据题意得出△ABC 和△GEF 均为等边三角形，从而可证明△GBC ≌△GAC ，进一步求出AD =3，AG =BG =23，然后利用勾股定理求解即可；②以点F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与BH 的延长线交于点K ，连接KF ，先证明出△BFK 是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB ≌△FHK ，从而得出结论即可；(2)利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出NP +12MP =NP +PJ ，当N 、P 、J 三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN 与DN 的长度，即可得出结论．【详解】(1)解：①如图所示，连接AG ，由题意可知，△ABC 和△GEF 均为等边三角形，∴∠GFB =60°，∵BD ⊥AC ，∴∠FBC =30°，∴∠FCB =30°，∠ACG =30°，∵AC =BC ，GC =GC ，∴△GBC ≌△GAC (SAS )，∴∠GAC =∠GBC =90°，AG =BG ，∵AB =6，∴AD =3，AG =BG =23，∴在Rt △ADG 中，DG=AD 2+AG 2=23 2+32=21，∴DG =21；②证明：以点F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与BH 的延长线交于点K ，连接KF ，如图，∵△ABC 和△GEF 均为等边三角形，∴∠ABC =60°，∠EFH =120°，∴∠BEF +∠BHF =180°，∵∠BHF +∠KHF =180°，∴∠BEF =∠KHF ，由辅助线作法可知，FB =FK ，则∠K =∠FBE ，∵BD 是等边△ABC 的高，∴∠K =∠DBC =∠DBA =30°，∴∠BFK =120°，在△FEB 与△FHK 中，∠FEB =∠FHK∠FBE =∠KFB =FK∴△FEB ≌△FHK (AAS )，∴BE =KH ，∴BE +BH =KH +BH =BK ，∵FB =FK ，∠BFK =120°，∴BK =3BF ，即：BE +BH =3BF ；(2)方法一：以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML =30°，ML 交BD 于G ，过P 作PH ⊥ML 于H ，设MP 交BD 于K ，如图：Rt ΔPMH 中，HP =12MP ，∴NP +12MP 最小即是NP +HP 最小，此时N 、P 、H 共线，∵将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，∴F 在射线QF 上运动，则P 在射线MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是从动点，E 为定点，∠FEP =60°，则F 、P 轨迹的夹角∠QKP =∠FEP =60°，∴∠BKM =60°，∵∠ABD =30°，∴∠BMK =90°，∵∠PML =30°，∴∠BML =60°，∴∠BML=∠A，∴ML⎳AC，∴∠HNA=180°-∠PHM=90°，而BD⊥AC，∴∠BDC=∠HNA=∠PHM=90°，∴四边形GHND是矩形，∴DN=GH，∵边ΔABC中，AB=6，BD⊥AC，∴CD=3，又DN=2NC，∴DN=GH=2，∵等边ΔABC中，AB=6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM=32，BD=AB⋅sin A=6×sin60°=33，RtΔBGM中，MG=12BM=34，BG=BM⋅cos30°=334，∴MH=MG+GH=114，GD=BD-BG=93 4，RtΔMHP中，HP=MH⋅tan30°=11312，∴PN=HN-HP=GD-HP=433，∴SΔDPN=12PN⋅DN=433．方法二：如图，连接EQ，∵在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，∴∠A=60°，∠BDA=90°，∠ABD=30°，∵点E、Q分别为AB、BD的中点，∴EQ为△ABD的中位线，∴EQ⎳AD，∴∠BEQ=∠A=60°，∠BQE=∠BDA=90°，∵∠BQE=90°，∠ABD=30°，∴EQ=12BE，∵点M为BE的中点，∴ME=12BE=EQ，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴△EPF 为等边三角形，∠PEF =60°，PE =EF =PF ，∴∠BEQ =∠PEF ，∴∠BEQ -∠PEQ =∠PEF -∠PEQ ，即∠MEP =∠QEF ，在△MEP 与△QEF 中，ME =EQ∠MEP =∠QEF PE =EF，∴△MEP ≌△QEF (SAS )∴∠EMP =∠EQF =90°，∴MP ⊥BE ，∴点P 在射线MP 上运动，如图，以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML =30°，ML 交BD 于G ，过P 作PH ⊥ML 于H ，设MP 交BD 于K ，则在Rt △PMH 中，HP =12MP ，∴NP +12MP 最小即是NP +HP 最小，此时N 、P 、H 共线，如图：∵∠EMP =90°，∠PML =30°，∴∠BML =180°-∠EMP -∠PML =60°，∴∠BML =∠A ，∴ML ⎳AC ，∴∠HNA =180°-∠PHM =90°，又∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =∠HNA =∠PHM =90°，∴四边形GHND 是矩形，∴DN =GH ，∵在等边△ABC 中，AB =6，BD ⊥AC ，∴CD =3，又DN =2NC ，∴DN =GH =2，∵在等边△ABC 中，AB =6，点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，∴BM =32，BD =AB ⋅sin A =6×sin60°=33，∴在Rt △BGM 中，MG =12BM =34，BG =BM ⋅cos30°=334，∴MH =MG +GH =114，GD =BD -BG =934，∴在Rt△MHP中，HP=MH⋅tan30°=11312，∴PN=HN-HP=GD-HP=433，∴S△DPN=12PN⋅DN=12×433×2=433．【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．13.(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AB=AD，连接AC．求证：BC+CD=AC．(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD=180°，推得∠B+∠ADC=180°，从而得到∠B=∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD=AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=2AC；理由见详解；(3)33-3或3-3【分析】(1)如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC(SAS)，推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；(2)结论：CB+CD=2AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB(AAS)，推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN(HL)，推出CM=CN，可得结论；(3)分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．【详解】(1)证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．∵∠BAD +∠BCD =180°，∴∠B +∠ADC =180°，∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE ，在△ADE 和△ABC 中，DA =BA∠ADE =∠B DE =BC，∴△ADE ≌△ABC (SAS )，∴∠DAE =∠BAC ，AE =AC ，∴∠CAE =∠BAD =60°，∴△ACE 的等边三角形，∴CE =AC ，∵CE =DE +CD ，∴AC =BC +CD ；(2)解：结论：CB +CD =2AC ．理由：如图2中，过点A 作AM ⊥CD 于点M ，AN ⊥CB 交CB 的延长线于点N ．∵∠DAB =∠DCB =90°，∴∠CDA +∠CBA =180°，∵∠ABN +∠ABC =180°，∴∠D =∠ABN ，∵∠AMD =∠N =90°，AD =AB ，∴△AMD ≌△ANB (AAS )，∴DM =BN ，AM =AN ，∵AM ⊥CD ，AN ⊥CN ，∴∠ACD =∠ACB =45°，∴AC =2CM ，∵AC =AC ．AM =AN ，∴Rt △ACM ≌Rt △ACN (HL )，∴CM =CN ，∴CB +CD =CN -BN +CM +DM =2CM =2AC ；(3)解：如图3-1中，当∠CDA =75°时，过点O 作OP ⊥CB 于点P ，CQ ⊥CD 于点Q ．∵∠CDA =75°，∠ADB =45°，∴∠CDB =30°，∵∠DCB =90°，∴CD =3CB ，∵∠DCO =∠BCO =45°，OP ⊥CB ，OQ ⊥CD ，∴OP =OQ ，∴S ΔCDO S ΔOBC=12CD ·OQ 12BC ·OP =CD BC ，∴ODOB =CD CB=3，∵AB =AD =6，∠DAB =90°，∴BD =2AD =23，∴OD =31+3×23=33-3．如图3-2中，当∠CBD =75°时，同法可证OD OB =13，OD =11+3×23=3-3，综上所述，满足条件的OD 的长为33-3或3-3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．14.(2020·湖南湘西·中考真题)问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，再证明△BFC ≌△BFE ，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠BAD +∠BCD =180°，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】EF =AE +CF ．探究延伸1：结论EF=AE +CF 成立．探究延伸2：结论EF =AE +CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF =AE +CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF =AE +CF理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE =90°CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE +∠CBF =60°，∴∠CBG +∠CBF =60°，即∠GBF =60°，在△BGF 和△BEF 中，BG =BE∠GBF =∠EBF BF =BF，∴△BGF ≌△BEF (SAS )，∴GF =EF ，∵GF =CG +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ．探究延伸1：结论EF =AE +CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG，在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE =90°CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =2∠MBN ，∴∠ABE +∠CBF =12∠ABC ，∴∠CBG +∠CBF =12∠ABC ，即∠GBF =12∠ABC ，在△BGF 和△BEF 中，BG =BE∠GBF =∠EBF BF =BF，∴△BGF ≌△BEF (SAS )，∴GF =EF ，∵GF =CG +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ．探究延伸2：结论EF =AE +CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，∵∠BAD +∠BCD =180°，∠BCG +∠BCD =180°，∴∠BCG =∠BAD在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =2∠MBN ，.。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
中考数学对角互补模型专题知识解读
对角互补模型专题知识解读【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。
主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.【方法技巧】类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1 作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D 时，则有以下结论：作法1 作法2；；类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1 作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D 时，则有以下结论：作法1 作法2；；【典例分析】【类型一：含90°的对角互补模型】【典例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△F AE中，，∴△GAE≌△F AE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠3+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△F AE中，，∴△MAE≌△F AE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠F AE，在△HAE和△F AE中，，∴△HAE≌△F AE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP ＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，故①正确；∵点P为BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AP＝CP，∠APC＝90°，∠BAP＝∠C＝45°，∵∠EPF＝∠APC，∴∠APE＝∠FPC，在△AEP和△CFP中，，∴△AEP≌△CFP（ASA），∴PE＝PF，∴△EPF是等腰直角三角形，∴四边形AEPF的面积为S△AEP+S△AFP＝S△CPF+S△APF＝S△APC＝S△ABC，故④正确，⑤不正确；∵∠BAC＝∠EPF＝90°，∴∠AFP和∠AEP互补，故③正确；∵PE不是定长，故②不正确．∴正确的有：①③④，故选：D．【变式1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是EF＝BE+DF（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠F AD＝∠DAG+∠F AD＝50°，∴∠EAF＝∠F AG＝50°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD；（3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．【变式1-3】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．同理可得：∴EG＝EF∵EG＝BG﹣BE∴EF＝FD﹣BE．故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．\【变式1-4】问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵DE＝DH，FD⊥EH，∴FE＝FH，在△FCH中，∵CH+CF＞FH，∴BE+CF＞EF．故答案为＞．（2）结论：EF2＝BE2+CF2．理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，∵DE＝DH，FD⊥EH，∴FE＝FH，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCH＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CH2+CF2，∴EF2＝BE2+CF2．（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，∴∠FDE＝∠FDH，∵DF＝DF，DE＝DH，∴△FDE≌△FDH（SAS），∴EF＝FH，∵FH＝CF+CH＝CF+BE，∴EF＝BE+CF．【类型二：含120°的对角互补模型】【典例2】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，∴BE＝DG，EF＝GF，∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．故答案为：EF＝BE+FD．探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠F AG＝∠F AD+∠DAG＝∠F AD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）答：此时两舰艇之间的距离为320海里．【变式2-1】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN 的周长是．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，在△DMN和△DMF中，，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN＝MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6+6＝12．故答案为：12．【变式2-2】【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．。
中考数学常见几何模型对角互补模型(从全等到相似)
专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234COD COESS+=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCD COES SSOC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB .则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ； （拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，，∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝1122AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ， （2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ．∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ，又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED()AAS ，∠FB ＝DE ，∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 60o DAC ∠＝＝∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∠()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋＝111022AC CE ⨯⨯⨯＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．'BDB ）将BDM 绕点，得到DCP ，则PD ，MBD ∠=，证明NMD ≅△，证得AMN 的周长4AC =．将DCB绕点∠DCB∠△='BD B DBDB△是等边三角形；'故答案为：等边三角形；（2）过B由（1）知，（3）解：将BDM绕点D顺时针方向旋转120︒，得到DCP，△，CDP=，PDC，=CP BMMD PD∠BDC是等腰三角形，且∠=∠BD CD=DBC又∠ABC等边三角形，∠=∠ABC ACB∠=∠MBD ACB∠同理可得NCD=∠PCD NCD+∠DCN NCP∠60MDN ∠=︒，∠=1206060PDC NDC MDB NDC BDC MDN ∠+∠=∠+∠=∠-∠︒-︒=︒， 即60MDN PDN ∠=∠=︒， 在NMD △和NPD 中，MD PD MDN PDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠()NMD NPDSAS ≅△△，∠MN PN NC CP NC BM ==+=+，∠AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC =++=+++=+=+=． 故AMN 的周长为4．【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键． 3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=．【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长．的结论可得PEM PFN ≌，）由（1）可得AE AF AC +=，CE CF =，∠MAN ∠=BAD ∠+∠CDA ∴∠=CED ∠=CED CFB ∴≌，ED ∴,AE ED AD AF =-=AE AF ED AD ∴+=-又AE AF AC +=，∴（3）①如图，当M 在AB P是BC 的中点，ABC 是等边三角形，AP ∴平分，∠B =∠C =60°∴）可得PEM PFN ≌，EM ∴AB 1122CP BC AB ∴===FPB =90°-60°=30°，1，3AE AF ∴==，AM AN AF FN AF ∴=+=在AB 上方时，过点同理可得EM FN =8332AN FN AF EM AF =-=-=--=．综上所述，AN 的长为14或2．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，作两垂线证明三角形全等是解题的关键．模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
07角平分线及其模型
一、常见模型 1. 角度计算：（1）角平分线＋高线：如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ， 则∠DAE ＝12B C ∠-∠ （2）角平分线的夹角模型（内心和旁心）： 如图①，点I 是△ABC 的内心，则∠I ＝90°＋12A ∠；如图②，点P 是△ABC 的一个旁心，则∠P ＝12A ∠；如图③，点Q 是△ABC 的一个旁心，则∠Q ＝90°－12A ∠.2. 角平分线＋平行线→等腰三角形3.角平分线＋高线（中线）：构造等腰三角形4.角平分线＋对角互补四边形： 如图，∠A ＋∠C ＝180°，BD 是∠ABC 的平分线，则AD ＝C D ．5.双角平分线＋梯形：如图，AD ∥BC ,AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，则 ①DE ＝CE ；②AB ＝AD ＋BC ；③AE ⊥BE .构造轴对称图形．．．．．．．截长补短 补形法（构造法） ：作另一边垂线ABC 中AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，若 B ＝40°，∠C ＝70°，求∠DAE.3.如图，△ABC的外角平分线AP，CP交于点P.（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若∠B＝50°，求∠APC；（3）若∠ACE＝110°，求∠AP B.6. 条件同上题，猜测∠A，∠C，∠P的关系，并证明.2. 【面积问题】1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，若AB＝14cm，AC＝10cm，DE＝3cm，求△ABC的面积.2.如图，点I是△ABC的内心，ID⊥BC于点D，△ABC 周长为18cm,ID＝3cm，求△ABC的面积.3.【角平分线＋平行线→等腰三角形】1. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F.若EF＝6,BE＝4,则CF＝.4. 5.2.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点I，过点I作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N.若AB＝14cm,AC＝10cm,求△AMN的周长.3. 已知：如图所示△ABC，∠ACB＝90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上.4.【角平分线＋角平分线的垂线】补形法2. 如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CE平分∠ACB交AB于点D，BE垂直CE于E.求证：CD＝2BE.5.【角平分线＋一边的垂线】1. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠AB C.求证：①DE＝CE；②AB＝AD＋BC；③AE⊥BE.B 1.2．如图，BD是∠ABC的平分线，BC＞AB,AD＝C D.若DE⊥BC于点E，求证：2BE＝BA＋B C.6.【截长补短】1．如图，BD是∠ABC的平分线，BC＞A B.（1）若∠A＋∠C＝180°，求证：AD＝CD；（2）若AD＝CD，求证：∠A＋∠C＝180°．2. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠AB C.求证：①DE＝CE；②AB＝AD＋BC；③AE⊥BE.3. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．（1）求∠AOC；（2）求证：OD＝OE；（3）求证：AC＝AE＋C D．。
中考复习：对角互补和角含半角旋转
中考内容中考要求A B C图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题90120︒︒⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩对角互补模型：、、任意角正方形旋转角含半角模型等腰直角三角形线段的旋转：构造等腰三角形解题一、对角互补旋转模型1、全等型—90°已知：90AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠，D 、E 在OA 、OB 上OABCE DNOM A BCE D结论：（1）CD CE =（2）2CD CE OD OE OC +=+=（3）21=+2OCE OCD ODCE S S S OC =四边形△△对角互补和角含半角旋转中考大纲知识精讲知识网络图2、全等型—90°变式：已知：90AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠，D 在OA 反向延长线上，E 在OB 上EDBCAO结论：（1）CD CE =（2）OD OE -（3）212OCE OCD S S OC -=△△3、全等型—120°已知：120AOB ∠=︒，=60DCE ∠︒，OC 平分AOB ∠，D 、E 在OA 、OB 上OEDCB A OFEDCBA结论：（1）CD CE =（2）+OD OE OC =（3）2=+OCE OCD ODCE S S S =四边形△△ 4、全等型—任意角αOEDCBA【例题】如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OBEC F A4321OB ECF A【答案】连结OB 由上可知，1290+∠=︒∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=︒∠，OB OC =． ∴OBE OCF ∆∆≌，∴BE FC =， ∴BE BF CF BF BC a +=+==．二、角含半角旋转模型秘籍：角含半角要旋转FED CBAG FED CBAABCDEFFED CBAGABCDEFGABC D E ABCD E F【例题】E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BACH FEGD BA【答案】延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =． 再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得）， 则有AH AB =．三、线段的旋转线段绕着一个端点旋转一定的角度后，可以构造出等腰三角形解题．1、对角互补之全等模型的相关结论在AOB ∠中，C 是其中任意一点，过C 向两边做垂线，垂足分别为E 、D ， 若已知（1）180AOB ACB ∠+∠=︒，（2）OC 平分AOB ∠，如下图EDCBA O21结论（1）CA CB =（2）1()2OE OB OA =+（证明CBE CAD ≌△△即可） 【注意】1、当OBC △和OAC △不全等时，则两个条件和两个结论是知二推二的关系．2、若2AOB α∠=，则2cos OB OA OC α+=•解题方法技巧2、对角互补之相似模型的相关结论在AOB ∠，C 是其中任意一点，满足180AOB ACB ∠+∠=︒，过C 向两边做垂线，垂足分别为E 、D ，如下图：EBO结论（1）CBE CAD ∽△△ （2）sin 2==sin 1BC CE AC CD ∠∠ 3、角含半角模型的相关结论已知（1）正方形ABCD（2）45EAF ∠=︒DEFHABC结论（1）EF BE DF =+（2）CEF △周长为正方形周长的一半（3）AHF △为等腰直角三角形（连接AC 证AHF ABC ∽△△）4、角含半角模型变式的相关结论已知（1）正方形ABCD（2）45EAF ∠=︒CBAHFED结论（1）EF BE DF =-（2）CEF △周长=正方形周长的一半+2CE（3）AHF △为等腰直角三角形（连接AC 证AHF ABC ∽△△）1、角含半角经常和对角互补模型一起出现．2、对角互补模型中特别是关于正方形的一些结论要注意．易错点辨析【例1】 在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．（2012北京中考）真题链接对角互补和角含半角旋转一、对角互补旋转【例1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．APMCQ B【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA课堂练习【例3】 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBA【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求∠BAO 的度数； （2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点 Q 在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ． 求证：PF ＝PQ ； （3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若P 为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．图1图2二、角含半角旋转【例5】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BA【例6】 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆的中点，2AB =，等腰直角三角板45︒角的顶点与点P 重合，当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A ．B ．C．D．（2020海淀一模）【例7】 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连结EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将ABE △绕着点A 逆时针旋转90︒得到ADG △，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠，D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足__________关系时，仍有EF BE DF =+； （2）如图4，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，2CE =，求DE 的长．（2020东城一模）【例8】 如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF BE FD =+．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN满足222MN BM DN =+，请证明这个等量关系；（2）在ABC △中， AB AC =，点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2，当60BAC ∠=︒，30DAE ∠=︒时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是__________；②如图3，当BAC α∠=(090)α︒<<︒，12DAE α∠=时，BD 、DE 、CE 应满足的等量关系是__________．【参考：22sin cos 1αα+=】A B CD EF图1B CDE 图2AB CDE 图3AMN（2020平谷一模）【例9】 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC CD ==，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若12MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB BC =，180ABC ADC ∠+∠=︒，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若12MBN ABC ∠=∠仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（2020东城一模）【例10】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别在直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图①M NDCBA 图②MND CBA N图③MD CBA（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________（用x L ，表示）【例11】 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．（1）填空：与ABM △相似的三角形是△__________，BM DN ⋅=__________；（用含a 的代数式表示）（2）求MCN ∠的度数；（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．（12年西城期末）三、线段的旋转【例12】 在ABC △中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD ，BD ．（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=︒时，CBD ∠的大小为__________；（2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求M 的大小；（3）已知BAC ∠的大小为m （60120m ︒<<︒），若M 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．（2020海淀一模）【例13】 已知：在ABC △中，ABC ACB α∠=∠=，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系__________；（2）如图2，当45α=︒时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；（3）如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：__________．（用含α的式子表示，其中090α︒<<︒）（2020门头沟一模）图2DCB A图1 ABC D四、其他旋转综合【例14】 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至'''CE F D ，旋转角为α．（1）当点'D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G 为BC 中点，且090α︒<<︒，求证：''GD E D =；（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，'DCD △与'CBD △能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．（2020密云一模）【例15】 在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM MH =，FM MH ⊥；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH ∆是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，FMH ∆还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图1EHF G(N)DC(M)BA图2M NHG FEDC BA图3NHG M FEDCB A【例16】 如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，2DE =，1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ． 解答问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为__________； ②在平移过程中，AMDM的值为__________（用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，090α<≤，原题中的其他条件保持不变．计算AM DM的值（用含k 的代数式表示）．（2020初三上海淀期末）【练1】 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．D CBEFA【练2】 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．Q PDCBA【练3】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA课后作业。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型模型1、双角平分线模型图1图2图31）两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：1902BGC A ∠=︒+∠．2）两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：1902O A ∠=︒-∠．3）一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：12P A ∠=∠．图4图5图64）凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2P A D ∠=∠+∠5）两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2180P A B E ∠=∠+∠+∠-︒6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6，A α∠=，,ABC ACD ∠∠的平分线相交于点1P ，11,PBC PCD ∠∠的平分线相交于点2P ，2P BC ∠，2P CD ∠的平分线相交于点3P ……以此类推；结论：n P ∠的度数是2n α．7）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，点P 是ABC 内一点，且点P 到ABC 三边的距离相等，若124BPC ∠=︒，则A ∠=．【答案】68︒【分析】由条件可知BP CP 、平分ABC ∠和ACB ∠，利用三角形内角和可求得A ∠．【详解】解：∵点P 到ABC 三边的距离相等，∴BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，∴180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠（），1802PBC PCB =︒-∠+∠（）1802180BPC =︒-⨯︒-∠（）1802180124=︒-⨯︒-︒（）68=︒故答案为：68︒．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE 中，A B E a ∠+∠+∠=，DP ，CP 分别平分EDC ∠，BCD ∠，则P ∠的度数是．【答案】1902α- 【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EDC BCD α∠+∠=︒-，∵,DP CP 分别为EDC ∠、BCD ∠的平分线，∴12PDC EDC ∠=∠，12PCD BCD ∠=∠，∴()()1154022PDC PCD EDC BCD α∠+∠=∠+∠=︒-，∴()111805409022P αα∠=︒-︒-=-︒，故答案为：1902α-︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n 边形的内角和为()2180n -⨯︒是解题关键．例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．(1)求证：∠AOC ＝90°＋12∠ABC ；(2)当∠ABC ＝90°时，且AO ＝3OD （如图2），判断线段AE ，CD ，AC 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE +CD =AC ，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，根据角平分线定义求出∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，即可求出∠OAC +∠OCA 的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，证△AEO ≌△AMO ，△DCO ≌△NCO ，推出∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，求出∠MON =∠MOA =45°，根据角平分线性质求出MK =ML ，据此计算即可求解．【详解】（1）证明：∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，∵∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠BCA ）=12（180°-∠ABC ）=90°-12∠ABC ，∴∠AOC =180°-（∠OAC +∠OCA ）=180°-（90°-12∠ABC ），即∠AOC =90°+12∠ABC ；（2）解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MON S AO ON S ∆∆=，∵AOM MON S AM S MN ∆∆=，∴AO AM ON MN =，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，58B ∠=︒，三角形两外角的角平分线交于点E ，则AEC ∠=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC +∠ACF 的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC +∠ECA 的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B +∠BAC +∠BCA =180°，∠B =58°，∴∠BAC +∠BCA =180°﹣∠B =180°﹣58°=122°，∵∠BAC +∠DAC =180°，∠BCA +∠ACF =180°，∴∠DAC +∠ACF =360°﹣（∠BAC +∠BCA ）=360°﹣122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12（∠DAC +∠ACF ）=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°﹣（∠EAC +∠ECA ）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在ABC ∆中，B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG ∆中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ）=180°-12（∠EBC+∠BCF ）=180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）；=()12+ m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝（）A ．35°B ．25°C ．70°D ．60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE ＝∠D ＋∠CBD ，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，然后整理求出∠D ＝12∠A ．【详解】解：∵CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∴∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质得，∠DCE ＝∠D ＋∠CBD ，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠D ＋∠CBD ＝12（∠A ＋∠ABC ）∴∠D ＝12∠A ，∵∠A ＝70°，∴∠D ＝12×70°＝35°．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．例7．（2022秋·八年级课时练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=．【答案】20202α【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α，根据规律推导，∴2020A ∠=20202α，故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．例8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝12∠ABC ，又∵∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，故①正确；∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线将于点O ，则有1902BOC A ∠=+∠︒，请说明理由．（2）如图2所示，在ABC 中，内角的平分线ABC ∠和外角ACD ∠的平分线交于点O ，请直接写出BOC∠与BAC ∠之间的关系，不必说明理由．（3）如图3所示，AP ，BP 分别平分CAD ∠，CBD ∠，则有1()2P C D ∠=∠+∠，请说明理由．（4）如图4所示，AP ，BP 分别平分CAM ∠，CBD ∠，请直接写出P ∠与C ∠，D ∠之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC ；(3)理由见解析；(4)11+9022P D C ∠=∠∠+︒【分析】(1)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ，分析等式即可得出结果；(4)AP 是∠MAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y ，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线∴∠ABO=OBC ，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=()11802902A A ︒-∠÷=︒-∠∴∠BOC=11=180909022A A ⎛⎫︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭(2)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO=∠OCD∵∠BAC +∠ABC=∠ACD ，∠OBC+∠BOC =∠OCD ∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD ∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠DAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C ∴1()2P C D ∠=∠+∠(4)∵AP 是∠MAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠MAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC 设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x ∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x ）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y ∵∠D+∠AEG=∠MAP ∴∠D+180°-（∠C+2x ）-y=y∴x+y=119022D C ∠-∠+︒∴119022P D C C ∠=∠-∠+︒+∠∴11+9022P D C ∠=∠∠+︒【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．例9．（2023·江苏八年级课时练习）（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE 中，∠D =180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），即2∠D =360°-2∠3-∠A -2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A ②，把①代入②得∠D =12∠A ．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1．（2023·成都·八年级月考）如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，则(CAP ∠=)A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：延长BA ，作PN BD ⊥，PF BA ⊥，PM AC ⊥，设PCD x ∠=︒，CP 平分ACD ∠，ACP PCD x ∴∠=∠=︒，PM PN =，BP 平分ABC ∠，ABP PBC ∴∠=∠，PF PN =，PF PM ∴=，40BPC ∠=︒ ，(40)ABP PBC PCD BPC x ∴∠=∠=∠-∠=-︒，2(40)(40)80BAC ACD ABC x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒-︒=︒，100CAF ∴∠=︒，在Rt PFA ∆和Rt PMA ∆中，PA PA PM PF=⎧⎨=⎩，Rt PFA Rt PMA(HL)∴∆≅∆，50FAP PAC ∴∠=∠=︒．故选：C ．2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（）A ．70BAC ∠=︒B ．90DOC ∠=︒C ．35BDC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出BAC ∠，即可判断A 选项；根据角平分线的定义求出ABO ∠，再利用三角形的内角和定理求出AOB ∠，然后利用对顶角，即可判断B 选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出DCO ∠，再利用三角形的内角和定理求出BDC ∠，即可判断C 选项；利用角平分线的性质，推出AD 为ABC 的外角平分线，然后列式计算求出DAC ∠，即可判断D 选项．【详解】解：50ABC ∠=︒ ，60ACB ∠=︒，180180506070BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故A 选项正确，不符合题意；BD Q 平分ABC ∠，11502522ABO ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，在ABO 中，180180702585AOB BAC ABO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，85DOC AOB ∴∠=∠=︒，故B 选项错误，符合题意；CD 平分ACE ∠，()()1111801806060222ACD ACE ACB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，在COD △中，180180856035BDC COD ACD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故C 选项正确，不符合题意；BD Q 、CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线，D ∴到AB 、AC 、BC 的距离相等，AD ∴是ABC 的外角平分线，()()11180180705522DAC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故D 选项正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴在正半轴、x 轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12（180°-∠OAB ）．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12（180°-∠OAB ）-∠OAB -12∠ABO =90°-12（∠OAB +∠ABO ）=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12（∠OAB +∠ABO ）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，连接,OB OC ．若120BOC ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．70︒【答案】C 【分析】由点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，可知O 是角平分线的交点，则12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，由180OBC OCB BOC ∠+∠+∠=︒，可得120ABC ACB ∠+∠=︒，根据180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】解：∵点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，∴O 是角平分线的交点，∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，∵180OBC OCB BOC ∠+∠+∠=︒，∴1112018022ABC ACB ∠+∠+︒=︒，即120ABC ACB ∠+∠=︒，∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴60A ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到12∠=∠，34∠=∠，再根据三角形外角性质得1234A ∠+∠=∠+∠+∠，13D ∠=∠+∠，则2123A ∠=∠+∠，利用等式的性质得到12D A ∠=∠，然后把A ∠的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线交于点D ，∴12∠=∠，34∠=∠，∵ACE A ABC ∠=∠+∠，即1234A ∠+∠=∠+∠+∠，∴2123A ∠=∠+∠，∵13D ∠=∠+∠，∴11301522D A ∠=∠=⨯︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在ABC 中，,ACB A BD ∠∠<是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角ACF ∠的平分线交于点G ．以下四个结论：①ABD CBD ∠=∠；②90ABE A ∠+∠=︒；③45G ∠=︒；④2A ACB EBD ∠∠∠-=．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明2ABC GBC ∠=∠，2ACF GCF ∠=∠，ACF ABC A ∠=∠+∠，GCF GBC G ∠=∠+∠，可判断③，由()2290BED ADB ∠=︒-∠，ADB DBC ACB ∠=∠+∠，可得()218022BED DBC ACB ∠=︒-∠+∠，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD 是ABC 角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，故①符合题意；∵BE 是边AC 上的高，∴90ABE A ∠+∠=︒，故②符合题意；∵BD 是ABC 角平分线，CG 平分ACF ∠，∴2ABC GBC ∠=∠，2ACF GCF∠=∠∵ACF ABC A ∠=∠+∠，GCF GBC G ∠=∠+∠，∴22GCF GBC A ∠=∠+∠，∴12G A ∠=∠，∵90A ∠<︒，∴45G ∠<︒，故③不符合题意；∵()2290BED ADB ∠=︒-∠，ADB DBC ACB ∠=∠+∠，∴()218022BED DBC ACB ∠=︒-∠+∠()1802ABC ACB =︒-∠+∠()180180A ACB =︒-︒-∠+∠A ACB =∠-∠，故④符合题意；故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，16BAC ∠=︒，ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线交于点E ，连接AE ，则AEC ∠的度数为．【答案】37︒/37度【分析】由角平分线的性质可得EF EH EG ==，进而可证明EA 是BAC ∠的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E 点分别作EF AC ⊥于F ，作EG AB ⊥于点G ，作EH CD ⊥于H ，∵EC 是ACB ∠的平分线，EB 是ABD ∠的平分线，∴EF EH =，EG EH =，∴EF EG =，∴EA 是BAC ∠的外角平分线，∵90ACB ∠=︒，16BAC ∠=︒，∴45ACE ∠=︒，∴180168222FAB EAB ∠︒-︒∠===︒，∴()()18018082164518014337AEC EAC ACE ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒-︒=︒．故答案为：37︒．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8．（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，若A α∠=，则999A ∠=．【答案】9992α【分析】根据角平分线的定义可得112BD ABC A =∠∠，112ACD ACD ∠=∠，再根据三角形外角的性质可得()11122ABC A ABC A ∠+∠=∠+∠，化简可得112A A ∠=∠，进一步找出其中的规律，即可求出999A ∠的度数．【详解】解：1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，112A BD ABC ∠∠∴=，112ACD ACD ∠=∠，又ACD ABC A ∠=∠+∠Q ，111A CD A BD A ∠∠∠=+，()11122ABC A ABC A ∠∠∠∠∴+=+，11122A A α∴∠=∠=，同理可得：21211112222A A αα∠=∠=⨯=，23131122A A ∠∠α==，......则999999999122A A α∠==，故答案为：9992α．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出1A ∠，2A ∠，3A ∠与A ∠的规律是解题的关键．9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC <，BAC ∠的平分线与外角BCD ∠的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①MCD MAB ∠>∠；②BM CM =；③射线BM 是EBC ∠的角平分线；④1902BMC BAC ∠=︒-∠．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知MAB MAC ∠=∠．再根据三角形外角的性质得出MCD MAC AMC ∠=∠+∠，即可确定MCD MAB ∠>∠，故①正确；过点M 作MF AD ⊥于点F ，MG BC ⊥于点G ，MH AE ⊥于点H ，由角平分线的性质定理可得出MF MG MH ==．即易证Rt Rt (HL)BMG BMH ≌，得出MBG MBH ∠=∠，即说明射线BM 是EBC ∠的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM CM =，易证CBE BCD ∠=∠，即得出A ABC CB =∠∠．由AB AC <，可知ABC ACB ∠≠∠，即说明BM CM =不成立，故②错误；由BMC BMG CMG ∠=∠+∠，即得出(90)(90)BMC MBG MCG ∠=︒-∠+︒-∠．再根据角平分线的定义即得出11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM 为BAC ∠的平分线，∴MAB MAC ∠=∠．∵MCD MAC AMC ∠=∠+∠，∴MCD MAC ∠>∠，∴MCD MAB ∠>∠，故①正确；如图，过点M 作MF AD ⊥于点F ，MG BC ⊥于点G ，MH AE ⊥于点H ，∵AM 为BAC ∠的平分线，CM 为BCD ∠的平分线，∴MF MG MH ==．又∵BM BM =，∴Rt Rt (HL)BMG BMH ≌，∴MBG MBH ∠=∠，即射线BM 是EBC ∠的角平分线，故③正确；假设BM CM =，∴MBC MCB ∠=∠．∵CM 为BCD ∠的平分线，BM 是EBC ∠的角平分线，∴MBE MBC ∠=∠，MCB MCD ∠=∠，∴MBE MBC MCB MCD ∠+∠=∠+∠，即CBE BCD ∠=∠，∴180180CBE BCD ︒-∠=︒-∠，即A ABC CB =∠∠．∵AB AC <，∴ABC ACB ∠≠∠，∴假设不成立，故②错误；∵BMC BMG CMG ∠=∠+∠，∴(90)(90)BMC MBG MCG ∠=︒-∠+︒-∠．∵1122MBG CBE MCG BCD ∠=∠∠=∠，，∴11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠，∴11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠1118022CBE BCD =︒-∠-∠11180(180)(180)22ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠1()2ABC ACB =∠+∠1(180)2BAC =︒-∠1902BAC =︒-∠，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO=12∠ACB ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD=12∠ACE ，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°，∵∠BOC ＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，A D m ∠+∠=︒，ABC ∠的平分线与BCD ∠的平分线交于点P ，则P ∠=．（用含字母m 的代数式表示）【答案】12m ︒【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC=12ABC ∠，∠BCP=12BCD ∠，∴∠PBC+∠BCP=1111+=(+)(360) 2222ABC BCD ABC BCD m ∠∠∠∠=︒-︒∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）=11180(360)22m m︒-︒-︒=︒故答案为：12m︒．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°﹣12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC 又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90 +12∠A,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB ∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180︒-∠A)=90︒-12∠A ∴∠BOC=180︒-(∠1+∠2)=180︒-(90︒-12∠A)=90︒+12∠A (1)探究2；如图2中，O 是12∠ABC 与外角12∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中,O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A+∠D 有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论：∠BOC=12A ∠；（2）探究3：结论∠BOC=90°－12A ∠；（3）拓展：结论()12BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC ），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路．【详解】（1）探究2结论：∠BOC=12∠A ．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-12（180°+∠A），=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．（3）∠OBC+∠OCB=12（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-12（360°-∠A-∠B）=12（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=12（∠A+∠D）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝°；若∠MON＝90°，则∠ACG＝°；（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C 作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．【答案】（1）60°；45°；（2）90°－12n；（3）90°－12n．【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；（2）根据（1）中的结论即可求出答案；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=60°，当∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=45°，故答案为：60°，45°；（2）由（1）知∠ACG=12（180°-∠MON），∵∠MON＝n°，∴∠ACG=12（180°-∠MON）=90°－12n；（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－12n，∴∠BGO－∠ACF=90°－12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）（1）①125°；②1902α︒+，（2）1BFC2α∠=；（3）1BMC904α︒∠=+【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣70°）＝125°②∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣12（180°﹣∠A ）＝90°+12∠A＝90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．（2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2∠=∠，∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠即1BFC 2α∠=．（3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=，由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+∠，∴1BMC 904α∠=︒+．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在ABC 中，点E 是ABC 内角ACB ∠平分线CE 与外角ABD ∠的平分线BE 的交点，则有12∠=∠E A ．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为180EBC EBD ∠+∠=°，又因为在EBC 中，180EBC E ECB ∠+∠+∠=°，所以EBC EBD EBC E ECB ∠+∠=∠+∠+∠．所以EBD E ∠=∠+∠______．（理由是：等式性质）同理可得：ABD A ∠=∠+∠______．又因为BE 和CE 分别是ABD ∠和ACB ∠的角平分线，所以12EBD ABD ∠=∠，∠______12ACB =∠．所以1122ABD E ACB ∠=∠+∠．即111222E ABD ACB ∠=∠-∠=（ABD ACB ∠-∠）．所以12∠=∠E A ．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在ABC 中，40ABC ∠=︒．延长BA 至G ，延长AC 至H ，已知BAC ∠、CAG ∠的角平分线与BCH ∠的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，求F ∠的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD 的内角BCD ∠与外角ABG ∠的平分线形成如图所示形状．①已知150A ∠=︒，80D ∠=︒，求E F ∠+∠的度数；②直接写出E F ∠+∠与A D ∠+∠的关系．【答案】（1）ECB ，ACB ，ECB ；（2）70°；（3）①205°；②E F ∠+∠=12（A D ∠+∠）+90°【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；（2）先推出∠AEC =12∠ABC =20°，再推出∠EAC +∠FAC ==90°，进而即可求解；（3）①延长BA 、CD 交于点M ，延长CE 、BF 交于点N ，可得∠N =12∠M ，进而即可求解；②根据∠N =12∠M ，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：（1）因为180EBC EBD ∠+∠=°，又因为在EBC 中，180EBC E ECB ∠+∠+∠=°，所以EBC EBD EBC E ECB ∠+∠=∠+∠+∠．所以EBD E ∠=∠+∠ECB ．（理由是：等式性质）同理可得：ABD A ∠=∠+∠_ACB_．又因为BE 和CE 分别是ABD ∠和ACB ∠的角平分线，所以12EBD ABD ∠=∠，∠__ECB____12ACB =∠．所以1122ABD E ACB ∠=∠+∠．即111222E ABD ACB ∠=∠-∠=（ABD ACB ∠-∠）．所以12∠=∠E A ．故答案是：ECB ，ACB ，ECB ；（2）∵40ABC ∠=︒，∴∠AEC =12∠ABC =20°，∵BAC ∠、CAG ∠的角平分线与BCH ∠的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，∴∠EAC +∠FAC =12∠ABC +12CAG ∠=12(∠ABC +CAG ∠)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；（3）①延长BA 、CD 交于点M ，延长CE 、BF 交于点N ，∵BF ，CE 平分∠ABG 、∠DCB ，∴∠N =12∠M ，∵150=︒∠BAD ，80ADC ∠=︒，∴∠M =180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°，∴∠N =25°，∴AEF BFE ∠+∠=360°-（180°-25°）=205°；②∵AEF BFE ∠+∠=360°-（180°-∠N ）=180°+∠N ，BAD ∠+ADC ∠=180°+∠M ，又∵∠N =12∠M ，∴AEF BFE ∠+∠-180°=12（BAD ∠+ADC ∠-180°），即：E F ∠+∠=12（A D ∠+∠）+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18．（2023春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，。