高等数学二重积分总结

第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。

熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。

从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。

有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。

特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。

(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。

有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。

【主要概念梳理】1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。

i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈∆ ,作和式1(,).ni i i i f ξησ=∆∑取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为1(,)d lim (,).niii Df x y f λσξη→==∑⎰⎰ 称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).2.二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义(1) 若在D 上f (x,y )≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以f (x,y )为曲顶的曲顶柱体的体积.(2) 若在D 上f (x,y )≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若f (x,y )在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理3.1若f (x,y )在有界闭区域D 上连续，则f (x,y)在D 上的二重积分必存在(即f (x,y )在D 上必可积).3.2若有界函数f (x,y )在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y )在D 可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f (x ,y )，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即[(,)(,)]d (,)d (,)d .DDDf x yg x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即(,)d (,)d ().DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数性质3 若D 可以分为两个区域D 1,D 2，它们除边界外无公共点，则12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4 若在积分区域D 上有f (x ,y )=1，且用S (D )表示区域D 的面积，则d ().DS D σ=⎰⎰性质5 若在D 上处处有f (x ,y )≤g (x ,y )，则有(,)d (,)d .DDf x yg x y σσ≤⎰⎰⎰⎰推论(,)d (,)d .DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰性质6(估值定理) 若在D 上处处有m ≤f (x ,y )≤M ，且S (D )为区域D 的面积，则()(,)d ().DmS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰性质7(二重积分中值定理) 设f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使(,)d (,)().Df x y f S D σξη=⎰⎰【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：1．2d Da xdy =⎰⎰ ，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则21(),DI x y d σ=+⎰⎰32()DI x y d σ=+⎰⎰的大小关系是 .【巩固拓展提高】1．若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有*(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x ,y )＝02．估计22(y )d DI x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(,)|02,01}.D x y x y =≤≤≤≤3．设f (x ,y )是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰的值为多少？【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。

9.2 在直角坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。

直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似12()()x y x a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩或12()()y x y c y dφφ≤≤⎧⎨≤≤⎩的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰对右端各式进行计算。

(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。

如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。

但是无论是先对x积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。

一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。

具体步骤如下：①确定D 的边界曲线，画出D 的草图；②求出D 边界曲线的交点坐标；③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x ,y 的不等式表示D .注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D 为X 型(Y 型),先对x (y )积分；(ⅲ)若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ)时，要使对D 的分块最少。

(3) 利用对称性等公式简化计算 设f (x ,y )在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝21(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在x 轴上方部分。

②当区域D 关于y 轴对称若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝22(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 2为D 在y 轴右侧部分。

③当区域D 关于x 轴和y 轴都对称若(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝41(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在第一象限部分。

④轮换对称式设D 关于直线y x =对称，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝(,)d Df y x σ⎰⎰.【基本问题导引】一．判断题1．dxdy=Dxy ⎰⎰4122221dxdy,:4;:4,0,0D xy D x y D x y x y +≤+≤≥≥⎰⎰ ( )2. 若f 为连续函数，则21221012(,)(,)(,)x xydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx--+=⎰⎰⎰⎰⎰ ( )【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数f (x ,y )≥0且在D 上连续时,若D 为 X - 型区域 12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩则21()()(,)d d d (,)d bx Dax f x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰若D 为Y –型区域12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则21()()(,)d d d (,)d dy D c y f x y x y y f x y x ψψ=⎰⎰⎰⎰说明:若积分区域既是X –型区域又是Y –2211()()()()(,)d d d (,)d d (,)d bx dy Dax cy f x y x y x f x y y y f x y xϕψϕψ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰【巩固拓展提高】1.(1992)计算112111224.y y xxy I dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰2.设1()x xyf x e dy =⎰，计算10()f x dx ⎰.9.3 在极坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为22(),f x y +(),yf x()x f y 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。