指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件
合集下载
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较ppt课件
1000
1500
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000] 上递增,而且当x=1000时, y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合
17
练习
1、0.32，log20.3，20.3这三个数之间大小关 系是( D ) A. 0.32＜20.3＜log20.3; B. 0.32＜log20.3＜20.3; C. log20.3＜20.3＜0.32; D. log20.3＜0.32＜20.3;
4
3
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算 器满,足可1以.0知02道x0=在5,由区于间它(80在5,区80间6)[内10有,1一00个0]上点递x0 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合 要求;
16
5
4 3
y=㏒7x
2
1
0
0
500
18
练习
2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x 的增长情况. y=x4 y y=4x
y=log4x
x
19
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
20
长就越快。
y 3x
y 2x
2
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的 增长就越快。 y
《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》课件3-优质公开课-北师大必修1精品
;
.
【解题探究】1.探求解决题(1)可联想哪些函数的变化率?
2.题(2)中的方案A,B,C分别对应什么函数模型?
【探究提示】1.可联想到幂函数、对数函数和指数函数的变化 率. 2.题(2)中的方案A,B,C分别对应常数函数、正比例函数及指数 函数.
【自主解答】(1)选D.一次函数匀速增长,二次函数及指数型函 数均为开始增长缓慢,后来增长越来越快,对数型函数开始增长 迅速后来增长越来越慢. (2)设第x天所得回报是y元,则各方案的函数模型为： 方案A：y=40(x∈N*);
【自主解答】(1)选D.由于指数型函数的增长是爆炸式增长, 则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快. (2)①曲线C1对应的函数为g(x)=x3, 曲线C2对应的函数为f(x)=2x. ②因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,
f(9)=512,g(9)=729,f(10)=1024,g(10)=1000.
5
5
2
2 1 1 (2)令y1=y2,即 x+29= x, 5 2 2 则x=96 . 3 当x=96 2 时,y1=y2,两种卡收费一样; 3 2 当0≤x<96 时,y1>y2,即“如意卡”便宜; 3 2 当x>96 时,y1<y2,即“便民卡”便宜. 3
【补偿训练】有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内, 年增加20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两 种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐. 乙方案：栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次. 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材?
(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式.
3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较ppt课件高中数学必修1北师大版(1)
自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数
爆炸”.
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常 数，m≠0)表达的函数模型，若a>1,其增长的特点是开始阶段 增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，
常称之为“蜗牛式增长”.
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数，
3.三个变量y1、y2、y3随变量x变化的数据如下表: x y1 1 5 3 135 5 625 7 1 715 9 3 645 11 6 655
y2
y3
5
5
29
6.1
245
6.61
2 189
6.95
19 685
7.2
177 149
7.4
其中，x呈对数型函数变化的变量是______;呈指数型函数变化
1. 指数函数增长快慢 在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x的图像，并完成归纳. (1)图像：
y y=3x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O y=2x
-7 -6 -5 -4 -3-2 -1 -1
1 2 3 4 5 6 7 x
增 函数； (2)结论：①由上图我们可得,当a＞1时，指数函数y=ax是___ 快 ②对于x＞0，当a越大时，其函数值的增长就越___.
借助图像法分析函数的增长差异
【技法点拨】
图像法分析函数增长的差异
(1)先借助计算机或计算器，精确作出函数的图像. (2)再借助图形分析，当自变量变化相同量时因变量的变化情形 .
【典例训练】
1.下列函数中在某个区间(x0,+∞)(x0>0)内随x增大而增大速度 最快的是( ) (B)y=x 2
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件-2023学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
(1)请指出图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数；
(2) 若 x1∈[a ， a ＋ 1] ， x2∈[b ， b ＋ 1] ， 且 a ，
b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出 a，b 的值，并说明理由．
课件制作老师：胡琪
解析：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C 1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对
综上可知，a＝1，b＝9.
课件制作老师：胡琪
比较函数增长快慢的方法：
(1) 利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较
函数增长的快慢；
(2) 借助函数图象，通过图象特点以及变化趋势来比较函数的
增长快慢；
(3) 通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长
的快慢．
课件制作老师：胡琪
学以致用
选________．作为模拟函数，若 f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数 f(x)
的解析式为_____________________．
解析：由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足
先上升后下降再上升的是 f(x)＝(x－1)·(x－q)2＋p，当 x＝1 时，y＝
4 且 x＝3 时，y＝6.
A.y=100x
B.y=x100
C.y=100x
).
D.y=log100x(x∈N*)
2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示.
有下列四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是
对于模型 y＝1.002x，利用计算器，可知 1.002806≈5.005，由于
(2) 若 x1∈[a ， a ＋ 1] ， x2∈[b ， b ＋ 1] ， 且 a ，
b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出 a，b 的值，并说明理由．
课件制作老师：胡琪
解析：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C 1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对
综上可知，a＝1，b＝9.
课件制作老师：胡琪
比较函数增长快慢的方法：
(1) 利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较
函数增长的快慢；
(2) 借助函数图象，通过图象特点以及变化趋势来比较函数的
增长快慢；
(3) 通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长
的快慢．
课件制作老师：胡琪
学以致用
选________．作为模拟函数，若 f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数 f(x)
的解析式为_____________________．
解析：由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足
先上升后下降再上升的是 f(x)＝(x－1)·(x－q)2＋p，当 x＝1 时，y＝
4 且 x＝3 时，y＝6.
A.y=100x
B.y=x100
C.y=100x
).
D.y=log100x(x∈N*)
2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示.
有下列四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是
对于模型 y＝1.002x，利用计算器，可知 1.002806≈5.005，由于
指数函数,幂函数,对数函数的增长的比较及函数模型 课件
2018年年份代码为 = 2，依此类推）有两个函数模型 = > 0, > 1 与
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
指数函数幂函数对数函数增长的比较课件高一上学期数学北师大版
试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．
性质 在上的增减性
函数 增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
图象的变化
随x增大逐渐表现 随x增大逐渐表现 为与y轴“平行” 为与x轴“平行”
增函数 相对平稳 在上随x增大图象平 稳上升
➢ 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． ➢ 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． ➢ 函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数
6
显然通过表格可以看出：
投资1-6天选择方案一；
投资7天选择方案一、方案二均可；
投资8-10天选择方案二；
投资11天及以上选择方案三．
O
y
解：(1)通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．
教材第117页习题4-4第1-2题．
再见
通过数据分析表述函数增长快慢的理由．
y
y
y
O
x
O
x
O
x
这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢? 如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?
怎么比较三个函数增长得快慢呢? 利用图表分析具体函数的增长．
1
2
4
8
16 32 64 128 256
0
2
3
4
6
8
10 12 14 16
2 1
7
8 9 10 11
方案一总收益 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 360 450 550 660
818. 方案三总收益 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2
3.6-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
国王以为这个要求不高，就欣然同意了.
假定千颗麦粒质量为40g，据查，当前世 界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足创造 者要求，这就是指数增加.
第2页
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，而
且对于x＞0，当a越大时，其函数值增加
就越快。
y 3x
y 2x
第3页
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 而且对于x＞1，当a越小时，其函数值增 加就越快。
器
100
1.27×1030
10200 6.643 856 2
300
2.04×1090 5.15×10247 8.228 818 7
完
500
3.27×10150 7.89×10269 8.965 784 3
成
700
5.26×10210 3.23×10284 9.451 211 1
900
8.45×10270 2.66×10295 9.813 781 2
第9页
5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足 够大时,伴随x增大,y=ax增加速度越来越快, 会超出并远远大于y=xn增加速度,而y=logax 增加速度则越来越慢.
所以,总会存在一个x0， 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax. 指数函数值长非常快,因而常称这种现象 为”指数爆炸”
第10页
课堂练习 1.求方程
解个数。
2.求方程
解个数。
3. x足够大时，以下函数中增加最快是：
A. y 0.2 2x
C. y log0.1 x
B. y 1000x100
D.
y 1 ex 1000
第11页
2、三个变量 y1、 y2、 y3、随变量 x 变化的数据如下表
假定千颗麦粒质量为40g，据查，当前世 界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足创造 者要求，这就是指数增加.
第2页
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，而
且对于x＞0，当a越大时，其函数值增加
就越快。
y 3x
y 2x
第3页
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 而且对于x＞1，当a越小时，其函数值增 加就越快。
器
100
1.27×1030
10200 6.643 856 2
300
2.04×1090 5.15×10247 8.228 818 7
完
500
3.27×10150 7.89×10269 8.965 784 3
成
700
5.26×10210 3.23×10284 9.451 211 1
900
8.45×10270 2.66×10295 9.813 781 2
第9页
5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足 够大时,伴随x增大,y=ax增加速度越来越快, 会超出并远远大于y=xn增加速度,而y=logax 增加速度则越来越慢.
所以,总会存在一个x0， 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax. 指数函数值长非常快,因而常称这种现象 为”指数爆炸”
第10页
课堂练习 1.求方程
解个数。
2.求方程
解个数。
3. x足够大时，以下函数中增加最快是：
A. y 0.2 2x
C. y log0.1 x
B. y 1000x100
D.
y 1 ex 1000
第11页
2、三个变量 y1、 y2、 y3、随变量 x 变化的数据如下表
《增长速度的比较》指数函数、对数函数与幂函数PPT
(2)我们可以怎样定义这样的函数?
提示:(1)左端点越大,y=3x+1的平均变化率越大.
(2)我们将y=3x+1这样的函数称为爆炸型函数.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
平均变化率大小比较的常用方法
典例(1)求y=2x在[1,1+Δx]与[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大
小.
(2)求y=x2-2在[1,1+Δx]和[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小.
(-0.9)-(-1)
-0.9-(-1)
f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以平均变化率为
=
-1.71-(-2)
=2.9.
0.1
5.函数f(x)=x2在区间[1,1.1]上的平均变化率是
.
答案:2.1
解析:f(1)=1,f(1.1)=1.21,该函数在区间[1,1.1]上的平均变化率为
为
.
答案:-8-2Δx
解析:Δy=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所
以 =-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
平均变化率的大小比较
例2已知函数y1=3x+1,y2=log4x-1,分别计算两个函数在
2.填空.
(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为平均变化率.
(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变
提示:(1)左端点越大,y=3x+1的平均变化率越大.
(2)我们将y=3x+1这样的函数称为爆炸型函数.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
平均变化率大小比较的常用方法
典例(1)求y=2x在[1,1+Δx]与[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大
小.
(2)求y=x2-2在[1,1+Δx]和[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小.
(-0.9)-(-1)
-0.9-(-1)
f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以平均变化率为
=
-1.71-(-2)
=2.9.
0.1
5.函数f(x)=x2在区间[1,1.1]上的平均变化率是
.
答案:2.1
解析:f(1)=1,f(1.1)=1.21,该函数在区间[1,1.1]上的平均变化率为
为
.
答案:-8-2Δx
解析:Δy=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所
以 =-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
平均变化率的大小比较
例2已知函数y1=3x+1,y2=log4x-1,分别计算两个函数在
2.填空.
(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为平均变化率.
(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-课件 高一数学(北师大版2019必修第一册)
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
幂指对函数的增长比较ppt课件
11
比较大小
[例 2] 比较下列各组值的大小：
(1)log1
2
45与
log1
2
67；
(2)0.8－0.1 与 1.250.2；
(3)log32.5 与 log52.5； (4)(lgm)1.7 与(lgm)2.1(m>1)．
[分析] 充分利用函数的图像和性质(如单调性等)来比较
两数的大小．
12
[解析] (1)y＝log1 x 在(0，＋∞)上递减，
1 o 1234 x
4
一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间
（x0，0+∞）10 上，无20论n比a大30多少，尽4管0 在x的一5定0 变化范围
y内=2，x a1x会10小24于x1.n0,5但×由10于6 a1x.0的7×增1长09 快1.于10x×n1的01增2 长1.1，3×因10此15 总存在
2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像.
x
0.2 0.6 1.0 1.4
y
y=x2 y=2x
y=2x 1.149 1.516 2 2.639
5
y=x2 0.04 0.36 1 1.96
4
y=log2 x -2.322 -0.737 0 0.485
3
1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
6
知能自主梳理
7
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的 增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y＝ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度会越来越 慢 ． 因 此 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， 就 有 logax________xn________ax.
比较大小
[例 2] 比较下列各组值的大小：
(1)log1
2
45与
log1
2
67；
(2)0.8－0.1 与 1.250.2；
(3)log32.5 与 log52.5； (4)(lgm)1.7 与(lgm)2.1(m>1)．
[分析] 充分利用函数的图像和性质(如单调性等)来比较
两数的大小．
12
[解析] (1)y＝log1 x 在(0，＋∞)上递减，
1 o 1234 x
4
一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间
（x0，0+∞）10 上，无20论n比a大30多少，尽4管0 在x的一5定0 变化范围
y内=2，x a1x会10小24于x1.n0,5但×由10于6 a1x.0的7×增1长09 快1.于10x×n1的01增2 长1.1，3×因10此15 总存在
2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像.
x
0.2 0.6 1.0 1.4
y
y=x2 y=2x
y=2x 1.149 1.516 2 2.639
5
y=x2 0.04 0.36 1 1.96
4
y=log2 x -2.322 -0.737 0 0.485
3
1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
6
知能自主梳理
7
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的 增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y＝ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度会越来越 慢 ． 因 此 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， 就 有 logax________xn________ax.
新教材北师大版高中数学必修一 4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学课件
第二十四页，共三十七页。
3.应用图像模型
例3（1）函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数 的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲 线C1,C2分别对应的函数. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.
y=log2x ··· 0
0.010 071 0
9.960 0019
···
x 的变 化区间
(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)
函数值的变化量
y=2x
1023
由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数 爆炸”。
第十五页，共三十七页。
环节四 应用
第十六页，共三十七页。
1.增长速度比较
例1（1）下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x C．y＝x6
B．y＝log6x D．y＝6x
对数函数增长的速度越来越慢，故选B
第十七页，共三十七页。
1.增长速度比较
2.比较大小
例2 （3）已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有 ()
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2
D.y2>y3>y1
解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间 (2,4)上,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2>y1>y3.答案:B
3.应用图像模型
例3（1）函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数 的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲 线C1,C2分别对应的函数. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.
y=log2x ··· 0
0.010 071 0
9.960 0019
···
x 的变 化区间
(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)
函数值的变化量
y=2x
1023
由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数 爆炸”。
第十五页，共三十七页。
环节四 应用
第十六页，共三十七页。
1.增长速度比较
例1（1）下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x C．y＝x6
B．y＝log6x D．y＝6x
对数函数增长的速度越来越慢，故选B
第十七页，共三十七页。
1.增长速度比较
2.比较大小
例2 （3）已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有 ()
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2
D.y2>y3>y1
解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间 (2,4)上,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2>y1>y3.答案:B
4.4指数函数幂函数对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考:这3种增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
10 y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
y 5x y 3x
y 2x
–2 –1 O 1 2 x
(1) 指数函数:
3y
y log2 x
2
y log3 x
1
y log5 x
O
12 3 4 5 6 7 8 x
1
2
(2) 对数函数:
比较xln2与100lnx的大小
实际上,当a>1,c>0时,即使a 很接近于1,c很大,当x的值充 分大,都有y=ax比y=xc增长快.
学习目标
新课讲授
归纳总结
课堂总结
y=ax(a>;0)
y=logbx(b>1)
增长 特点
随着自变量的增大,函数 值增长的速度越来越快,
称之为“指数爆炸”
直线上升 增长速度不变
对数增长 增长速度越来越慢
y=ax的函数增长值远远大于y=kx的函数增长值, y=kx的函数增长值大于y=logax的函数增长值.
学习目标
新课讲授
课堂总结
指数增长带来的困扰:
兔子繁殖
病毒传播
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.下列函数中随x的增大而增大且增长速度最快的是( A )
随着自变量的增大,函数 值增长的速度越来越快
随着自变量的增大,函数值 增长的速度越来越慢,即增
长速度平缓
增长速 度比较
随着自变量x的增大, y=ax的函数值增长远远大于y=xc的函数值增长, y=xc的函数值增长又远远大于y=logbx的函数值增长.
数学北师大版必修第一册4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件
解得a＝1235，b＝65，c＝－42.
则g(x)＝1235·65x－42，
故g(4)＝
125 3
·65
4
－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，二次
函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系．
31
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 【例3】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的 图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数． (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
32
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 011>x2. 从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020). 又因为g(2 020)>g(6)， 所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).
A．y＝6x C．y＝x6
B．y＝log6x D．y＝6x
B [对数函数增长的速度越来越慢，故选B.]
10
3．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________． b<c<a [三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x，y ＝x4，y＝4x，当x＝4时，b＝log44＝1，a＝c＝44， 所以a，b，c的大小关系是b<c<a.]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
y=2x y=x2
y=log2x
1
o 12 4
x
1
x 用几何画板再画 ylogx 和 y x 2 的图象比较 2
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。
在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。
小结: 特殊指、幂、对函数模型的增长性 认识了“指数爆炸”这种现象 一般幂、指、对函数模型的增长性 运用指、幂、对函数模型的增长性，分析 生活问题 一般幂、指、对函数模型的衰减性
基本初等函数增长型：直线上升,指 数爆炸，幂函数逐渐增长，对数函数缓 慢增长，当然常数函数无增长 !
2.对于P97例2选择模型 ylogx1
有更进一步的了解吗？
7
3.使不等式 logxx1 成立的x的取值范围是 2
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
提示用几何画板画: ylo1gx ,y(1)x， yx1 2 的图象
2
2
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度, 而y=xn(n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存 在一个x0,当x> x0时,就会有 logax<ax<xn 。
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快。
研究函数 y2x,yx2 ,填写下表并在同一平面 直角坐标系内画出这二个函数的图象.
x y=2x
y=x2
从上面图像发现什么？
0 1
10 1024
20 1.05E+06
30 1.07E+09
40 1.10E+12
50 1.13E+15
60 1.15E+18
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn (n>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？
答：都是单调递增
二.指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异
对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档 次
”上。当x足够大时, 随着x的增大, y=ax的增长速度
越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度, 而
y=logax的增长速度则越来越慢. 因此, 总会存在一 个x0，使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
一颗麦粒的故事结局
练习 1. P101 P113 B 1
0 100 400 900 1600 2500 3600
1.13E+15
y=2x
1.10E+12 50
y=x2
100
当自变量x越来越大时，可以
看到，y 2 x 的图象就像与
X轴垂直一样，2 x 的值快速
增长， x 2比起 2 x来，几乎
有些微不足道.
探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异 在区间(0,＋∞)上, 当a＞1,n＞0时,尽管这三个函数
y y=log2x y=log3x
1
当x>1时，l
ogxlogx
2
3
？
O
2
3x
a>1时，y=logax是增数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>0)图像及n对图像影响
y=x2
y
y=x3
1
y x x2
X>1时，x3
x2
1
x2
O
x
n>0时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
“爱卿，你 所求的并不
多啊！”
思考：国王真的指数函数、幂函数、对 数函数图像回顾
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
当x>0时，3x 2x？
3y 2
1
y=3x y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
下面请同学用几何画板画出图象
思考:根据图象，不等式log2x<2x<x2和
log2x<x2<2x其中x>0，成立的x的取值范围
分别如何？
在(2,4), 有log2x<2x<x2，
在 0,24, ，有 log2x<x2<2x
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图象增长快慢
一颗麦粒的故事
从前，有一个国王特别喜爱围棋，于 是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的 一个心愿.围棋的发明者对国王说:
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内 ，赏给我一颗麦粒，在第二个小格内给两 粒，第三格内给四粒…这样下去，每一小 格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样 摆满棋盘上所有6４格的麦粒，都赏给您 的仆人吧！ ”