北师大版,初三,九年级数学数学上册,课后习题答案
数学九年级上册课本答案北师大版
数学九年级上册课本答案北师大版这篇关于数学九年级上册课本答案北师大版的文章，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！数学习题1.1答案1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2AC=1/2×8=4，DO=1/2BD=1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD 的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.数学习题1.2答案1.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD的中点，∴OE=1/2OA,数学习题1.3答案1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2AO∙BO=1/2×2AO∙2BO=1/2AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO=1/2AC=1/2×16=8，BO=1/2BD=1/2×12=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO +BO )=√(8 +6 )=10.∵S菱形ABCD=1/2AC∙BD=1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形，又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形.5.请自己动手折叠试一试.。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为（）A.－1或B.1或C.1或D.1或2、解一元二次方程x²-4x+1=0，用配方法可变形为( )A. B. C. D.3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）．A.x 2-2x-99=0化为(x-1) 2=100B.x 2+8x+9=0化为(x+4) 2=25C.2t 2-7t-4=0化为D.3y 2-4y-2=0化为4、用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0，原方程应变形为( )A.( x+1) 2＝3B.( x﹣1) 2＝3C.( x+1) 2＝1D.( x﹣1) 2＝15、用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣2）2﹣3＝0B.（x+4）2＝15C.（x+2）2＝15D.（x+2）2＝36、用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A.（x-2）2=2B.（x+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2）2=67、用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（）A. B. C. D.8、用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.9、用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B. C. D.10、用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（）A.(x＋2) 2＝2B.(x－2) 2＝7C.(x＋2) 2＝1D.(x－2) 2＝111、用配方法解方程x2-6x-1=0，方程应变形为（）A.（x+3）2=10B.（x-6）2=1C.（x-3）2=10D.（x-3）2=912、用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列配方正确是（）A.（x﹣2）2=5B.（x+2）2=5C.（x﹣2）2=3D.（x+2）2=313、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，下列配方正确的是（）A.（x﹣1）2+1＝0B.（x+1）2+1＝0C.（x﹣1）2﹣1＝0D.（x﹣1）2﹣2＝014、对于任意实数，代数式x2-4x+5的值是一个（）A.非负数B.正数C.负数D.无法确定15、若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x-2）2+k=0，则b、k的值分别是（）A.0、5B.0、1C. 、1D. 、5二、填空题(共10题，共计30分)16、都匀市体育局要组织一次篮球赛．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?设应邀请x支球队参加比赛，则列方程为：________。
北师大版九年级数学上册 第六章反比例函数及其应用练习题含答案
北师大版九年级数学上第六章反比例函数及其应用练习题基础达标训练1. (2018台州)已知电流I (安培)、电压U (伏特)、电阻R (欧姆)之间的关系为I ＝UR，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是( )2. 反比例函数y ＝k x(k >0)，当x <0时，图象在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限第3题图3. (2018广东省卷)如图所示，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于点A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标是( ) A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)4. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m x(x ≠0)的图象可能是( )5. (2018兰州)如图，反比例函数y ＝k x(x <0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x 的不等式kx<x ＋4(x <0)的解集为( )A. x <－3B. －3<x <－1C. －1<x <0D. x <－3或－1<x <0第5题图6. (2018天津)若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 3<y 1C. y 3<y 2<y 1D. y 2<y 1<y 37. (2018济宁)请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：____________．8. (2018哈尔滨)已知反比例函数y ＝3k －1x的图象经过点(1，2)，则k 的值为________． 9. (2018南宁)对于函数y ＝2x，当函数值y <－1时，自变量x 的取值范围________．10. (2018陕西)已知A ，B 两点分别在反比例函数y ＝3m x (m ≠0)和y ＝2m －5x (m ≠52)的图象上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为________．11. (2018连云港)设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b )，则1a ＋2b的值是________．12. (2018南京)函数y 1＝x 与y 2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x <2时，y 随x 的增大而减小；③当x >0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是________．第12题图 第13题图13. (2018绍兴)如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y ＝k x(x >0)的图象上，AC ∥x 轴，AC＝2.若点A 的坐标为(2，2)，则点B 的坐标为________．14. (8分)(2018湘潭)已知反比例函数y ＝k x的图象过点A (3，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．15. (8分)如图，已知反比例函数y ＝kx的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.(1)求k 和m 的值；(2)若点C (x ，y)也在反比例函数 y ＝k x的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．第15题图16. (8分)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x的图象交于A (2，m )，B (n ，－2)两点．过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，且S △ABC ＝5. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞k 2x的解集；(3)若P (p ，y 1)，Q (－2，y 2)是函数y ＝k 2x图象上的两点，且y 1≥y 2，求实数p 的取值范围．第16题图17. (8分)(2018河南)如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝k x(x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．(1)填空：一次函数的解析式为______________，反比例函数的解析式为______________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．第17题图能力提升训练1. 如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥y轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 22. (2018云南)已知点A (a ，b )在双曲线y ＝5x上，若a 、b 都是正整数，则图象经过B (a ，0)、C (0，b)两点的一次函数的解析式(也称关系式)为__________．第3题图3. (2018烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为________．4. (2018宁波)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，－1)，B (－1，3)，C (－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m >0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x的图象上，则m 的值为________．5. (2018成都)在平面直角坐标系x O y 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B′均在反比例函数y ＝k x的图象上，若AB ＝22，则k ＝__________．6. (8分)(2018德阳)如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，（0≤x≤3）－x ＋9，（x ＞3）的图象与双曲线y ＝kx (k≠0，x ＞0)相交于点A (3，m)和点B .(1)求双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)若点P 在y 轴上，连接PA ，PB ，求当PA ＋PB 的值最小时点P 的坐标．第6题图拓展培优训练1. (2019长郡第二届澄池杯)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝k x(k ≠0)相交于A (－1，a )、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为________．第1题图 第2题图2. 如图，已知点(1，3)在函数y ＝k x(x ＞0)的图象上．正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝k x(x ＞0)的图象又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为________．答案1. C 【解析】 当电压为定值时，I ＝UR为反比例函数，且R >0，I >0，∴只有第一象限有图象．2. C 【解析】∵在反比例函数y ＝k x中，k ＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限内，∴当x ＜0时，函数图象在第三象限．3. A 【解析】如题图，A 、B 两点是关于原点对称的，又∵A 的坐标是(1，2)，∴B 的坐标是(－1, －2)．4. D 【解析】当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限，函数y ＝mx的图象位于第二、四象限；当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第一、二、三象限，函数y ＝m x的图象位于第一、三象限，故选D.5. B 【解析】k x<x ＋4(x <0)表示x <0时，反比例函数图象在一次函数图象下方时x 的取值范围，∵反比例函数图象与一次函数图象交于A 、B 两点，点A 和点B 的横坐标分别为－3，－1，∴由函数图象可知，k x<x ＋4(x <0)的解集为：－3<x <－1.6. B 【解析】∵点A 、B 、C 在反比例函数图象上，将点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)分别代入y ＝－3x 得，y 1＝－3－1＝3，y 2＝－31＝－3，y 3＝－33＝－1，∴y 2＜y 3＜y 1. 7. y ＝1x8. 19. －2<x <0 【解析】∵y ＜－1，即2x ＜－1，∴2x＋1＜0，整理得x (x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜0.10. 1 【解析】设A (x ，y )，则B (x ，－y )，∵A 在y ＝3m x 上，B 在y ＝2m －5x上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3mx－y ＝2m －5x，∴3m x ＋2m －5x＝0，∴m ＝1. 11. －2 【解析】∵点(a ，b )是函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点，∴b ＝3a，b ＝－2a －6，即ab ＝3，2a ＋b ＝－6，则1a ＋2b ＝b ＋2a ab ＝－63＝－2.12. ①③ 【解析】由函数图象可知①正确；由反比例函数在y 轴两边增减性不一样，故②错误；∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x＝(x)2＋(2x )2－4＋4＝(x －2x )2＋4，当x ＝2x时，函数有最小值，此时x ＝2，y ＝4，故函数图象最低点的坐标为(2，4)，正确结论的序号是①③.13. (4，1) 【解析】∵点A (2，2)在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴2＝k 2，得k ＝4，∵在Rt △ABC 中，AC ∥x 轴，AC ＝2，∴点B 的横坐标是4，∴y ＝44＝1，∴点B 的坐标为(4，1)．14. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中，得1＝k 3，∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x；(2)已知一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)， 联立两个解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝ax ＋6，整理得ax 2＋6x －3＝0①，∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点， 则①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0， 解得a ＝－3≠0，∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6. 15. 解：(1)k ＝xy ＝2S △OAB ＝2×2＝4，将点A (4，m)代入y ＝4x，得m ＝1；(2)当x ＝－3时，y ＝－43；当x ＝－1时，y ＝－4， ∴－4≤y ≤－43.16. 解：(1)将A (2，m )，B(n ，－2)代入y ＝k 2x得k 2＝2m ＝－2n ，即m ＝－n ，则A (2，－n )，如解图，过A 作AE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，延长AE 、BF 交于D ，第16题解图∵A (2，－n)，B (n ，－2)， ∴BD ＝2－n ，AD ＝－n ＋2，BC ＝2， ∵S △ABC ＝12·BC ·BD ，∴12×2×(2－n)＝5，解得n ＝－3， 即A (2，3)，B (－3，－2)，将A(2，3)代入y ＝k 2x得k 2＝6，即反比例函数的解析式是y ＝6x，把A (2，3)，B(－3，－2)代入y ＝k 1x ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k 1＋b－2＝－3k 1＋b，解得k 1＝1，b ＝1，∴一次函数的解析式是y ＝x ＋1；(2)不等式k 1x ＋b ＞k 2x的解集是－3＜x ＜0或x ＞2；(3)分为两种情况：当点P 在第三象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ≤－2；当点P 在第一象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ＞0，综上所述，P 的取值范围是P ≤－2或P ＞0.17. 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x；(2)由(1)得3＝3m，解得m ＝1，∴A 点坐标为(1，3)，设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2，∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2，由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值， 最小值为－12×(1－2)2＋2＝32，∴S 的取值范围是32≤S ≤2.能力提升训练1. D 【解析】设点A (m ，k 1m )、点B (n ，k 1n )，则点C(k 2m k 1，k 1m )、点D (k 2n k 1，k 1n)，∵AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －k 2mk 1＝2k 2nk 1－n ＝1k 1m －k 1n ＝3，解得k 1－k 2＝2.2. y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1 【解析】∵点A (a ，b ) 在双曲线y ＝5x 上，∴b ＝5a ，∵a ，b 都是正整数，∴a ＝1，b ＝5或a ＝5，b ＝1.①当a ＝1，b ＝5时，B (1，0)，C (0，5)，设一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，把B (1，0)，C (0，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b 1＝0b 1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－5b 1＝5，∴一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5；②当a ＝5，b ＝1时，设一次函数解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，把B (5，0)，C (0，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5k 2＋b 2＝0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15b 2＝1，∴一次函数的解析式为y ＝－15x ＋1，综上所述，一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1.3. 3 【解析】设点P (m ，m ＋2)，由OP ＝10，可得m 2＋(m ＋2)2＝(10)2，∵m ＞0，解得m ＝1，又∵点P (1 ，3)在y ＝k x的图象上，∴k ＝3.4. 0.5或4 【解析】分两种情况讨论：①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 上，代入得－2＝3m －2，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 上，代入得1＝3m －1，∴m ＝4，∴m 为0.5或4.5. －43【解析】设A 、B 的坐标分别为：A (a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，∵AB ＝22，∴(a －b)2＋(－a ＋1＋b －1)2＝(22)2，∴a －b ＝±2，由倒影点的定义得A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)，又∵A ′、B ′都在函数y ＝kx 上，∴k ＝1a （1－a ）＝1b （1－b ），则a (1－a )＝b (1－b )，整理得(a－b)(1－a －b)＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0，即a ＋b ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝2与⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴k ＝1a （1－a ）＝－43.6. 解：(1)∵A (3，m )在直线y ＝2x 上， ∴m ＝2×3＝6， ∴A (3，6)，∵A (3，6)在双曲线y ＝kx上，∴k ＝3×6＝18，∴双曲线的解析式为y ＝18x，当x >3时，联立解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋9y ＝18x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6(舍去)， ∴点B 的坐标为(6，3)；(2)如解图，作A 关于y 轴的对称点A ′(－3，6)，第6题解图 连接PA′， ∵PA ′＝PA ，∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A′B ， 当A ′，P ，B 三点共线，即P 在A′B 与y 轴的交点P ′处时，PA ＋PB 取到最小值， ∵A ′(－3，6)，B (6，3)，∴AB ＝（6＋3）2＋（3－6）2＝310， ∴PA ＋PB 的最小值是310，设直线A′B 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，已知直线过点A ′(－3，6)，B (6，3)，代入得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－3k ＋b 3＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝5，∴y ＝－13x ＋5，令x ＝0，得y ＝5， ∴P ′(0，5)，∴当PA ＋PB 取到最小值310时，点P 的坐标为(0，5)． 拓展培优训练1. (0，52) 【解析】把点A 坐标代入y ＝x ＋4，得－1＋4＝a ，∴a ＝3，即A (－1，3)，把点A坐标代入双曲线的解析式得3＝－k ，解得k ＝－3，联立函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝1，即点B 坐标为(－3，1)，如解图，作点A 关于y 轴的对称点C ，则点C 坐标为(1，3)，连接BC ，与y 轴的交点即为点P ，使得PA ＋PB 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝ax＋b ，把B ，C 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋b ＝1a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝52，∴直线BC 解析式为：y ＝12x ＋52，令x ＝0，y ＝52，即点P 的坐标为(0，52)．第1题解图2. 6 【解析】∵点(1，3)在函数y ＝k x 图象上，代入得：k ＝3，即y ＝3x，设A (a ，b)，由题意知E (a ＋b 2，b 2)，又∵函数图象在第一象限，经过点A 、E ，分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3b 2（a ＋b2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝62b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－62b ＝－6(舍)，∴点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.。
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北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】卷满分120 分考试时间120 分钟）一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计30 分）1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（）a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形d.边长为12cm 的两个等边三角形2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）a.7b.3c.7 或3d.53、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）a.等腰三角形b.等边三角形c. 直角三角形d.等腰直角三角形4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）a.有两个角是直角b.有两个角是钝角c. 有两个角是锐角d.一个角是钝角，一个角是直角6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下，倒a.10mb.15mc.25md.30m c ba d 图1-1 图1-27、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角形是等边三角形。
其中逆命题正确的有（）a.①③b. ②④c.①②d.③④8、如图1-3（1）在△abc 中，d、e 分别是ab,ac 的中点，将△ade 沿线段de 向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的四个结论中，一定不成立的是（）c. △dba 是等腰三角形d.de ∥bce c 图1-3 b c （2）（1）aa.1b.2c.3d.4be aa c图1-4 图1-5二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计18 分）11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内，下列四个命题：①如果③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于真命题的是（填写所有真命题的序号）12、一个三角形三边之比为2:5:3 ，这个三角形的形状是13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ，那么??”的形式为cd=3 ，则ab 的长度为15、如图1-7，p 是正方形abcd 内一点，将△abp 绕点b 顺时针方向旋转能与△cbp? 重合，若pb=3 ，则pp? 的长度为a p d bd b cc n c a b ?图1-6 图1-7 图1-8三、解答题（共 6 小题，计72 分，解答应写过程）ad 图1-918、（10 分）已知：如图1-10 ，de 为△abc 的边ab 的垂直平分线，m d cd 为△abc 的外角平分线，与de 交于点d，dm ⊥bc 的延长线于点m，dn ⊥ac 于点n，求证：an=bm 。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A.（x﹣4）2＝5B.（x+4）2＝21C.（x﹣4）2＝14D.（x ﹣4）2＝82、已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y0.38 0.38 6则（a+b+c）（+ ）值为（）A.24B.36C.6D.43、若x＋1与x－1互为倒数，则实数x为（）A.0B.C.D.4、下列关于一元二次方程的四种解法叙述不正确的是（）A.公式法B.配方法C.加减法D.因式分解法5、小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（）A. 、3、B. 、3、1C. 、、D.1、、6、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣6）2＝﹣8+36B.（x﹣6）2＝8+36C.（x﹣3）2＝8+9D.（x﹣3）2＝﹣8+97、解一元二次方程x2-2x-5=0，结果正确的是（）A. x1=－1＋， x2=－1－ B. x1=1＋， x2=1－C. x1=7， x2= 5 D. x1= 1＋， x2=1－8、用配方法解一元二次方程：，下列变形正确的是（）A. B. C. D.9、用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后所得的方程为（）A.（x﹣1）2=2B.（x﹣1）2=0C.（x+1）2=2D.（x+1）2=010、用配方法法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D.11、若代数式x2-6x+5的值是12，则x的值为（）A.7或-1B.1或-5C.-1或-5D.不能确定12、用配方法解一元二次方程x2+6x﹣3＝0，原方程可变形为（）A.（x+3）2＝9B.（x+3）2＝12C.（x+3）2＝15D.（x+3）2＝3913、一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.14、把方程x2﹣3x=10左边配成一个完全平方式，方程两边应同加上（）A.9x 2B.C.9D.15、用配方法解一元二次方程，配方得到的方程是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、方程的解为________.17、古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为________．18、若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=________．19、某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．20、在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2=________．21、若，其中，则________.22、若x1， x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于________.23、把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是________.24、对于任意实数、，定义：◆= .若方程的两根记为、，则m2+mn+n2=________.25、对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如1※3=12﹣1×3．若x※4=0，则x= ________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程①x2﹣3x+2=0②4x2﹣12x+7=0．27、将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？28、如图，一幅长、宽的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：1．设竖彩条的宽度为，若图案中两条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．29、方程17+15x=245，， 2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？30、根据下列问题列方程并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm2，长方形的长和宽各是多少？（2）参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、C5、A6、C7、B8、D9、A11、A12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
北师大版初三,九年级数学数学上册,课后习题答案
北师大版初三，九年级数学数学上册，课后习题答案第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.3.解：四边形CDC′E是菱形.证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第9页练习答案1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm），∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°.∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2 AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2 AO∙BO= 1/2×2AO∙2BO=1/2 AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.∵S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.5.略第13页练习答案解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.所以BD与AD的长分别为8与2√7.1.41.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2 AB=DC=3√2所以这个矩形的各边长都是3√2.2.解：如图1-2-34所示，设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.3.解：四边形ADCE是菱形.证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）4.已知：如图1-2-35所示，在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.∴△ABC是直角三角形.第16页练习答案证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.51.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1= 1/2∠ABN.∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3.解：做法如下：如图1-2-37所示，（1）连接AC,BD;（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.第18页练习答案证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,∴DN=BM.∵BN=DM,∴四边形BMDN是平行四边形.∴∠DBN=1/2∠ABD= 1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.61.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm. ※5.解：如图1-2-39所示，连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO∙PE= 1/2 AO（PE+PE）=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.第21页练习答案1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.2.：△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.以△ADF≌ABF为例加以证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.1.71.解：设正方形的边长为为想x cm，则x²+x²=2²，解得x=√2，即正方形的边长为√2 cm.2.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.∴∠ABE=30°.∴AB=BE,∴∠AEB=BAE=(180°-∠ABE)/2=(180°-30°)/2=75°.3.证明：如图1-3-24所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.∵PD=QC,∴AP=DQ∴△ABP≌△DAQ.∴BP=AQ,∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，即BP⊥AQ.※4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考.第24页练习答案答案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：（1）对角线垂直的矩形是正方形.（2）已知：如图1-3-7（1）多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC平分BD.又∵AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线.∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.（4）有一个角是直角的菱形是正方形.已知，如图1-3-7（4）所示，四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形.1.81.答案：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.∴四边形ABCD是正方形.2.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD//CB,∴∠ADF=∠CBE.在△ADF和=∠CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.在△AFD和AEB中，∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE,∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.3.解：四边形EFGH是正方形.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,即BE=CF=DG=AH.所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH 是菱形.因为∠AEH+∠AHE=90°，所以∠DHG+∠AHE=90°，所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD.重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,∴∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF.∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,∴S△AOB=S四边形EBFO.又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO.∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.第一章复习题1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm 和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），即林习惯的边长为2√5 cm.2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，故四边形ABCD必是正方形.3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(50²-30²)=40（cm）.所以BD=2OB=80cm.（2）S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFPQ为正方形.证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC=BD,∴EF=EQ.∴□EFPQ为菱形.∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF=90°.∴菱形EFPQ是正方形.6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.8.证明：如图1-4-22所示，∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵DE//AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=DE.∵DE//AC,DF//AB,∴四边形AEDF是平行四边形.又AE=DE,∴□AEDF是菱形.9.证明：如图1-4-23所示，∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，∴ME=1/2BC.同理MF=1/2BC,∴ME=MF.10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²,2AB²=l²,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.11.证明：∵CP//BD,DP//AC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.12.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OA=OC,OB=OD,又∵AM=BP=CN=DQ,∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,∴20-t=4t，解得t=4∴当t为4时，三角形APQD是矩形.15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠FBD=∠DBC,∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.∴△BFD是等腰三角形.16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,∴△ABC≌△FGC,∴∠ACB=∠FCG.∵∠ACB+∠ACD=90°，∴∠FCG+∠ACD=90°，即∠ACF=90°.∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.∴∠AFC=45°.17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//DA.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC,∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.∴∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可证∠F=90°，∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.第32页练习答案1.解：设直角三角形的三边长分别为m-1，n，n+1（n>1，且n为整数，）则（n-1）²+n²=（n+1）².2.解：∵（3x+2）²=4（x-3）²，∴9x²+12x+4-4x²+24x-36=0，∴5x²+36x-32=0.其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32.（答案不唯一）3.解：设竹竿长为x尺，则门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）²+（x-2）^2=x²，即x²-12x+20=0. 2.11.解：（1）设这个正方形的边长是xm，根据题意，得（x+5）（x+2）=54，即x²+7x-44=0.设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，得x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）=242，即x²+2x-80=0.2.（答案不唯一）根据题意，得x（8-x）=15.整理，得x²-8x+15=0. 列表：由表格知x=5.（当x=3时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）答：可用16m长的绳子围城一个15m²的矩形，其次为5m，宽为3m.3.解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t²-t-2=0. 列表：所以1<t<2. 进一步列表：所以1.2<t<1.3.答：他完成规定动作的事假最多不超过1.3s.第34页练习答案解：设这五个连续整数第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，得（x+1）²+（x+2）²+x²=（x+3）²+（x+4）².整理，得x²-8x-20=0. 列表：∴x=-2或x=10.因此这五个连续整数依次为-2，-1,0,1,2或10,11,12,13,14.2.2 1.解：设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120，即x²+2x-120=0.列表：由表格知x=10.（当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）答：苗圃的宽为10m，长为12m.2.解：能.设矩形的长为xm，则宽为（8-x）m.第37页练习答案（1）x_1=5+√7，x_2=5-√7.（2）x_1=7+√57，x_2=7-√57.（3）x_1=(√13-3)/2，x_2=-(√3+3)/2.（4）x_1=3+√11，x_2=3-√11.2.3 1.解：（1）移项，得x²+12x=-25.配方，得x²+12x+6²=-25+36，（x+6）²=11，即x+6=√11或x+6=-√11. ∴x_1=√11-6，x_2=-√11-6.（2）配方，得x²+4x+2²=10+2²，（x+2）²=14，即x+2=√14 或x2=-√14.∴x_1=√14-2，x_2=-√14-2.（3）配方，得x²-6x+（-3）²=11+（-3）²，（x-3）²=20，即x-3=2√5 或x-3=-2√5.∴x_1=2√5+3，x_2=-2√5+3.（4）化简，得x²-9x=-19，配方，得x²-9x+（-9/2）^2=-19+（-9/2）^2，（x-9/2）^2=5/4，即x-9/2=√5/2 或x- 9/2=-√5/2，∴x_1=(9+√5)/2，x_2=(9-√5)/2.2.解：设道路的宽为xm，根据题意，得（35-x）（26-x）=850.整理，得x²-61x+（-61/2）²=-60+（-61/2）².∴（x-61/2）^2=(3 481)/4.开平方，得x- 61/2=±59/2.解得x_1=1，x_2=60（不合题意，舍去）.答：道路的宽应为1m.3.解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则（x+8）（x+12）=69+8×12. 整理，得x²+20x=69.配方.得x²+20x+10²=69+10².∴（x+10）²=169.开平方，得x+10=±13.解得x_1=3，x_2=-23（不合题意，舍去）答：增加的行数，列数都是3.第39页练习答案解（1）移项，得3x²-9x=-2. 两边同除以3，得x²-3x=-2/3.配方，得（x-3/2）²=19/12. 开平方，得x-3/2=±√57/6.∴x_1=(9+√57)/6，x_2=(9-√57)/6.（2）移项，得2x²-7x=-6. 两边同除以2，得x²-7/2 x=-3.配方，得（x-7/4）²=1/16. 开平方，得x-7/4=±1/4.∴x_1=2，x_2=3/2.（3）移项，得4x²-8x=3. 两边同除以4，得x²-2x=3/4.配方，得（x-1）²=7/4. 开平方，得x-1=±√7/2.∴x_1=(2+√7)/2，x_2=(2-√7)/2.2.4 1.（1）x_1=1，x_2=1/6.（2）x_1=3，x_2=-6/5.（3）x_1=4，x_2=-13/4.（4）x_1=(-1+√21)/5，x_2=(-1-√21)/5.2.解：设共有x只猴子，根据题意，得x=（1/8 x）²+12.解得x1=16，x_2=48.答：共有16只或48只猴子.3.解：如图2-2-4所示，过点Q作QH⊥AB,垂足为H. 设经过ts时，点P和点Q的距离是10cm. 则CQ=2tcm，AP=3tcm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°.∵∠QHB=90°，∴四边形QHBC是矩形，∴BH=CQ=2t，HQ=BQ=BC=6cm，∴PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=（16-5t）cm.在Rt△PHQ中，∠PHQ=90°，由勾股定理，得PQ²=PH²+HQ².当PQ=10cm时，10²=（16-5t）²+6². ∴（16-5t）²=64，解得t_1=8/5，t_2=24/5，经检验：t_1=8/5s， t_2=24/5 s时都符合题意，所以当t_1=8/5 s和t_2=24/5 s时，点P和点Q 的距离是10cm.第43页练习答案1.解：（1）原方程变形为2x²-7x+5=0，这里a=2，b=-7，c=5，∵b²-4ab=（-7）^2-4×2×5=9>0，∴原方程变形为4x²-4x+3=0，这里a=4，b=-4，c=3，∵b²=-32<0，∴原方程没有实数根.（3）原方程变形为4y²-2.4y+0.36=0，这里a=4，b=-2,.4，c=0.36，∵b²-4ac=（-2.4）²-4×4×0.36=5.76-5.76=0，∴原方程有两个相等的实数根.2.解：（1）∵a=2，b=-9，c=8，∴b²-4ac=（-9）²-4×2×8=17>0，∴x=(9+√17)/4，即x_1=(9+√17)/4，x_2=(9-√17)/4.（2）∵a=9，b=6，c=1，∴b²-4ab=36-4×9×1=0，∴x=(-6±0)/18=-1/3，即x_1=x_2=-1/2.（3）∵a=16，b=8，c=-3，∴b²-4ac=64-4×16×（-3）=256，∴x=(-8±√256)/32=(-8±16)/32，即x_1=1/4，x_2=-3/4.（4）原方程化为x²-3x+5=0.∵a=1，b=-3，c=5，∴b²-4ac=（-3）²-4×1×5=-11<0，∴原方程没有实数根.3.解：设中间的一条边长为n，则另两条边长分别为n-2和n+2.由勾股定理，得n²+（n-2）²=（n+2）²，解得n_1=8，n_2=0（不合题意，舍去）.∴这个三角形的三条边分别为6,8,10.2.5 1.解：（1）原方程变形为5x²+x-7=0，这里a=5，b=1，c=-7，因为b²-4ac=1²-4×5×（-7）=141>0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）这里a=25，b=20，c=4.因为b²-4ac=20²-4×25×4=0，所以原方程有两个相等的实数根.（3）原方程变形为4x²+3x+1=0，这里a=4，b=3，c=1，因为b²-4ac=3²-4×4×1=-7<0，2.解：（1）∵a=2，b=-4，c=-1，∴b²-4ab=16-4×2×（-1）=24>0，∴x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(4±2√6)/4，∴x_1=(2+√6)/2，x_2=(2-√6)/2.（2）5x+2=3x²变形为3x²-5x-2=0.∵a=3，b-5，c=-2，∴b²-4ac=25-4×3×（-2）=49>0，∴x=(-b±√(b²-4ac))/2a=(5±7)/6，∴x_1=2，x_2=-1/3.（3）（x-2）（3x-5）=1变形为3x²-11x+9=0.∵a=3，b=-11，c=9，∴b²-4ac=121-108=13>0，∴x=(-b±√(b^2-4ab))/2a=(11±√13)/6.∴x_1=(11+√13)/6，x_2=(11-√13)/6.（4）0.2x²+5=3/2 x变形为0.2x²-3/2 x+5=0，∵a=0.2，b=-3/2，c=5，∴b²-4ac=（-3/2）²-4×0.2×5=-7/4<0，∴原方程没有实数根.3.解：设门的高为x尺，则宽为（x-6.8）尺.根据题意，得10²=x²+（x-6.8）²整理，得2x²-13.6x-53.76=0.解得x_1=9.6，x_2=-2.8（不合题意，舍去）.∴x=9.6.∴x-6.8=2.8.答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.4.解设木箱的长为x dm，则宽为（x-5）dm，于是有8x（x-5）=528，解得x_1=11，x_2=-6（不合题意，舍去）.所以x=11.所以x-5=11-5=6.答：木箱的长为11dm，宽为6dm.第44页练习答案解：根据题意，得（16-x）（12-x）=1/2×16×12.解得x_1=24（不合题意，舍去），x_2=4.∴x=4，∴图中的x为4.2.6 1.解设金色纸边的宽是x cm，根据题意，得（90+2x）（40+2x）×72%= 90×40，即x²+65x-350=0，解得x_1=5，x_2=-70（不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽是50cm.2.解：设鸡场的一边（靠墙的一边）长为xm，则另外两边长均为(40-x)/2 m.（1）若x∙(40-x)/2=180，解得x_1=20+2√10（不合题意，舍去），x_2=20-2√10.∴鸡场的面积能达到180m².若x∙(40-x)/2=200，解得x_1=x_2=20.∴鸡场的面积能达到200m².（2）若x∙(40-x)/2=250，则x²-40x+500=0，方程无实数根.∴鸡场的面积不能达到250m².3.解：设圆柱底面半径为Rcm，则15∙2πR+2πR²=200π，解得R_1=5，R_2=-0（不合题意，舍去）.∴圆柱底面半径为5 cm.※4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M，根据题意，得S△pab=S梯形pmob-S△boa-S△pma，即1/2 （1+a）×14-1/2 a²-1/2×1×（14-a）=18，解得a_1=3，a_2=12.所以a的值为3或12.第47页练习答案1.解：（1）（x+2）（x-4）=0，x+2=0，或x-4=0，∴x_1=-2，x_2=4.（2）解：移项的4x（2x+1）-3（2x+1）=0，∴（2x+1）（4x-3）=0，∴2x+1=0，或4x-3=0，∴x_1=-1/2，x_2=3/4.2.解：设这个数为n，则2n²-7n=0，解得n_1=0，n_2=7/2.2.71.解：（1）（4x-1）（5x+7）=0，4x-1=0，或5x+7=0，∴x_1=1/4，x_2=-7/5.（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，即（x-1）（3x+2）=0，X-1=0，或3x+2=0，∴x_1=1，x_2=-2/3.（3）原方程可变形为（2x+3）（2x+3-4）=0，2x+3=0，或2x-1=0，∴x_1=-3/2，x_2=1/2.（4）原方程可变形为2（2x-3）²-（x+3）（x-3）=0，（x-3）（2x-6-x-3）=0，X-3=0，或x-9=0，∴x_1=3，x_2=9.2.解：（1）5（x²-x）=3（x²+x）.化简，得2x²-8x=0,2x（x-4）=0，∴2x=0或x-4=0，∴x_1=0，x_2=4.（2）（x-2）²=（2x+3）².移项，得（x-2）²-（2x+3）²=0，（x-2+2x+3）（x-2-2x-3）=0，（3x+1）（-x-5）=0，∴3x+1=0或-x-5=0.∴x_1=-1/3，x_2=-5.（3）（x-2）（x-3）=12.化简，得x²-5x-6=0，∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49，∴x=(-（-5）±√49)/(2×1)=(5±7)/2，∴x_1=6，x_2=-1.（4）2x+6=（x+3）²，移项，得（x+3）²-（2x+6）=0，（x+3）²-2（x+3）=0，（x+3）（x+3-2）=0，（x+3）（x+1）=0，x+3=0或x+1=0，∴x_1=-3，x_2=-1.（5）2y²+4y=y+2，化简，得2y²+3y-2=0.∵a=2，b=3，c=-2，∴b²-4ac=3²-4×2×（-2）=25.∴x=(-3±√25)/(2×2)=(-3±5)/4，∴x_1=1/2，x_2=-2.3.解：设原正方形空地上的边长为xm，则（x-1）（x-2）=12，解得x_1=5，x_2=-12，解得x_1=5，x_2=-2（不和题意，舍去）.故原正方形空地上的边长为5m. 第50页练习答案1.解：（1）∵b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13>0.∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=3，x_1 x_2=-1.（2）∵b²-4ac=2²-4×3×（-5）=64>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，x_1，x_2=-5/3.2.解：它们的答案不确定.判断方法：∵b²-4ac=6²-4×9×（-1）=72>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，，x_1 x_2=-1/9.小明的答案中x_1+x_2=（-1/3）+（-1/3）=-2/3，x_1 x_2=（-1/3）×（-1/3）=1/9≠-1/9，∴小明的答案错误.笑话的答案中x_1+x_2=（-3+3√2）+（-3-3√2）=-6≠-2/3，x_1 x_2=（-3+3√2）（-3-3√2）=-9≠-1/9，∴小华的答案错误.3.解：设它的另一个根为x_1，根据一元二次方程根与系数的关系，得3x_1=-7，x_1=-7/3，∴它的另一个根是-7/3.2.81.解：（1）原方程变形为3x²-x-1=0，∵b²-4ac=（-1）²-4×3×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2，那么x_1+x_2=1/3，x_1 x_2=-1/3.（2）原方程化简，2x²+6x-2=0，即x²+3x-1=0.∵b²-4ac=3²-4×1×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根为x_1，x_2，那么x_1+x_2=-3，x_1 x_2=-1.2.解:（1）∵a=12，b=7，c=1，∴b²-4ac=7²-4×12×1=1，∴x=(-7±√1)/(2×12)=(-7±1)/24，∴x_1=-1/4，x_2=-1/3.（2）原方程变形为0.8x²+x-0.3=0，∵a=0.8，b=1，c=-0.3，∴b²-4ac=1²-4×0.8×（-0.3）=1.96，∴x=(-1±√1.96)/(2×0.8)=(-1±1.4)/1.6，∴x_1=1/4，x_2=-3/2.（3）原方程变形为3x²-2√3 x+1=0.∵a=3，b=-2√3，c=1，∴b²-4ac=（-2√3）²-4×3×1=0，∴x=(-（-2√3）±√0)/(2×3)=(2√3)/6=√3/3.∴x_1=x_2=√3/3.（4）原方程化简，得x²-4x-8=0，配方，得x²-4x+（-2）²-（-2）²-8=0，（x-2）²=12，∴x-2=±2√3. ∴x_1=2+2√3，x_2=2-2√3.3.解：设方程5x²+kx-6=0的另一根为x_1，由根与系数的关系，得2x_1=-6/5，解得x_1=-3/5.当x_1=-3/5时，2+（-3/5）=-k/5.解得k=-7.所以它的另一个根为-3/5，k的值为-7.4.解：∵a=1，b=-17，c=66，∴b²-4ac=（-17）²-4×1×66=289-264=25>0，∴方程有两个不相等的实数根.设一元一次方程x²-17x+66=0的两个实数根分别为，x_1，x_2，由根与系数的关系，得x_1+x_2=17.∵17>20，不满足三角形的两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴这个三角形的第三边的长不可能是20.第52页练习答案解：设相遇时所走的时间为x，则10²+（3x）²=（7x-10）².解得x_1=3.5，x_2=0（不合题意，舍去）.∴x=3.5.∴甲走了3.5×7=24.5（步），乙走了3.5×3=10.5（步）.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.1.解：设赛义得到的钱数为x，则少的一笔钱为20-x，根据题意，得x²-20x+96=0.解得x_1=12，x_(2=8) （不合题意，舍去）.答：赛义德到的钱数为12.2.解：设经过x s△pcq的面积为Rt△ACB面积的一半，根据题意，得1/2 （8-x）（6-x）=1/2×1/2×8×6.整理，得x²-14x+24=0.解得x_1=12（不合题意，舍去），x_2=2.答：经过2 s△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.3.解：设渠道深为x m，则渠低宽为（x+0.4）m，上口宽为（x+0.4+0.6）m.根据题意，得1/2 x【（x+0.4）+（x+0.4+0.6）】=0.78，整理，得x²+0.7x-0.78=0.解得x_1=0.6，x_2=-1.3（不合题意，舍去）.答：渠深为0.6m.4.解：设经过ts后P,Q两点相距25cm，∴PC=2tcm，BQ=t cm，CQ=BC-BQ=25-t（cm）.在Rt△PCQ中，∠C=90°，由古定理，得PQ²=PC²+CQ²,25²=（2t）²+（25-t）².解这个方程，得t_1=0（不合题意，舍去），t_2=10.∴经过10s后P,Q两点相距25cm.第55页练习答案解：设每张贺年卡应降价x元，根据题意，得（0.3-x）（500+x/0.05×200）=180，整理，得400x²-70x+3=0.解得x_1=0.1，x_2=0.075（不合题意，舍去）.答：每张贺年卡应降价0.1元.2.10 1.解：设每件应降价x元，根据题意，得（44-x）（20+5x）=1600，整理，得x²-40x+144=0.解得x_1=4，x_2=36（不合题意，舍去）.答：每件应降价4元.2.解设储藏x个星期出售这批农产品可获利122 000元.根据题意，得（80-2x）（1 200+200x）-1 600x-64 000=122 000，化简，得x²-30x+225=0.解得x_1=x_2=15，所以储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元.3.解：设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则4.85%∙（1+x）^2=8%.解这个方程，得x_1≈0.284=28.4%，x_2≈-2.284（舍去）.4.解：设该商场11,12两个月营业额的月均增长率为x，根据题意，得2 500+2 500（1+x）+2 500（1+x）²=9 100.解得x_1=0.2=20%，x_2≈-3.2（不合题意，舍去）所以该商场11,12两个月营业额的月均增长率为20%.第二章复习题1.解：设其中一个数为x，则另一个数为x-4，则x（x-4）=45，解得x_1=9，x_2=-5.当x=9是时，x-4=5；当x=-5时，x-4=-9.答：这两个数为9和5，或-5和-9.2.解：（1）x（x-14）=0，x=0，或x-14=0，所以x_1=0，x_2=14.（2）x^2+12x+27=0，（x+3）（x+9）=0，X+3=0，或x+9=0，所以x_1=-3，x_2=-9.（3）x²=x+56，x²-x-56=0，（x+7）（x-8）=0，X+7=0，或x-8=0，所以x_1=-7，x_2=8.（4）x（5x+4）=5x+4，（5x+4）（x-1）=0，5x+4=0，或x-1=0，所以x_1=-4/5，x_2=1.（5）4x²-45=31x，4x²-31x-45=0，（4x+5）（x-9）=0，4x+5=0，或x-9=0，所以x_1=-5/4，x_2=9.（6）-3x²+22x-24=0，3x²-22x+24=0，（3x-4）（x-6）=0，所以x_1=4/3，x_2=6.（7）（x+8）（x+1）=-12，X²+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，X+4=0，或x+5=0，所以x_1=-4，x_2=-5.（8）（3x+2）（x+3）=x+14，3x²+10x-8=0，（3x-2）（x+4）=0,3x-2=0，或x+4=0，所以x_1=2/3，x_2=-4.3.（1）解法1：原方程可化为x²+9x+18=0，（x+3）（x+6）=0，所以x_1=-3，x_2=-6.（2）解：x²-2√5 x+2=0，X²-2√5x=-2，X²-2√5 x+5=-2+5，（x-√5）²=3，x-√5=±√3，所以x_1=√5+√3，x_2=√5-√3.（3）解：（x+1）²-3（x+1）+2=0，（x+1-1）（x+1-2）=0，（x-1）=0，所以x_1=0，x_2=1.4.解：（1）∵a=2，b=1，c=-1，∴b²-4ac=1²-4×4×2（-1）=9>0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）原方程变形为4x²-4x+1=0，∵a=4，b=-4，c=1，∴b²-4ac=（-4）²-4×4×1=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根.（3∵a=7，b=2，c=3，b²-4ac=2²-4×7×3=-80<0，∴方程没有实数根.*5.解：（1）∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2.由根与系数的关系，得x_1+x_2=-b/a=-5/3，x_1 x_2=c/a=1/3.6解：（1）根据题意，得x²-13x+12=0，所以x1=1，x_2=12，即当x=1或x=12时，代数式x²-13x+12的值等于0.（2）由题意，得x²-13x+12=42，所以x_1=15，x_2=-2，所以当x=15或x=-2时，代数式x²-13x+12的值等于42.（3）由题意，得x²-13x+12=-4x²+18，所以x_1=3，x_2=-2/5，所以当x=3或x=-2/5时，代数式x²-13x+12的值与代数式-4x²+18的值相等. 7.解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x，由题意，得40（1+x）²=48.4.解得x_1=0.1=10%，x_2=-2.1（舍去）.答:该公司这两年缴税的年均增长率为10%.8.解：设原铁皮的边长为x cm，则4（x-8）²=400.解得x_1=18，x_2=-2（不合题意，舍去）.答：原铁皮的边长应为18cm.9.解：如图2-7-3所示，设小路宽为xm，由题意，得2x（15+2x）+2×20x=246.整理，得2x²+35x-123=0.解得x_1=3，x_2=-20.5（舍去）.答：小路的宽为3m.10.解：设每行的座位数为x，则总行数为x+16，依题意，得x（x+16）=1 161. （x-27）（x+43）=0.解得x_1=27，x_2=-43（舍去）.答：每行的座位数为27.11.解：设其中一段长为x cm，则另一段长为（56-x）cm.（1）由（x/4）²+（(56+x)/4）²=100，解得x_1=24，x_2=32，所以一段长为24cm，另一段长为32cm.（2）由（x/4）²+（(56-x)/4）²=196，解得x_1=0，x_2=56，所以不能剪开.（3）由（x/4）²+（(56-x)/4）^2=200，解得x_1=28+4√51>56（舍去），X_2=28-4√51<0（舍去）.所以面积之和不可能等于200cm^2.12.解：令3x+5=y，原方程可化为y²-4y+3=0，（y-1）（y-3）=0，解得y_1=1，y_2=3.当y=1，即3x+5=1时，x=-4/3；当y=3，即3x+5=3时，x=-2/3.所以原方程的解为x_1=-4/3，x_2=-2/3.13.解：把2+√3 代入x^2-4x+c=0中，得（2+√3）^2-4（2+√3）+c0.解得c=1.原方程的另一个根为2-√3，c的值为1.14.解：当s=200时，200=10t+3t²，解得t_1=20/3，t_2=-10（不合题意，舍去），所以行驶200m需要的时间为20/3 s.15.解法1：设水渠宽为cm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6=92x+2×60x-2x²，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.解法2：设水渠宽为xm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.16.解：设应多种x颗桃树，由题意，得（100+x）（1 000-2x）=1 000×100×（1+15.2%）.整理，得x²-400x+7 600=0.解得x_1=380，x_2=20.又由题意知x=380不符合题意，故舍去，因此x只能为20.答：应多种20颗桃树，产量会增加15.2%.17.解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（x+1）cm，所以x²+（x+1）²=7².解得X_1=(√97-1)/2，x_2=(-√97-1)/2 （舍去）.所以x+1=(√97-1)/2+1=(√97+1)/2.答：这两条直角边长分别为(√97-1)/2cm和(√97+1)/2cm.18.解：设t时后侦察船可侦侦察到这艘军舰，根据题意，有（90-30t）²+（20t）²=50².整理得13t²-54t+56=0.因为b²-4ac=（-54）²-4×13×56=4>0，所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰，解得t_1=2，t_2=28/13（不合题意，舍去）.答：侦察船可侦察到军舰，最早在2时后可侦察到.19.解：设到会人数为x，则有x（x-1）/2=66.整数得x^2-1x-132=0.解得x_1=12，x_2=-11（不合题意，舍去）.答：这次会议到会的人数为12.20.解：设点P（x，-2x+3），一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A（3/2，0），交y轴于点B（0,3）. ∵点P在第一象限，∴x>0，-2x+3>0，∴PD=x，PC=-2x+3.根据题意，得S_矩形OCPD=PD∙PC=1，x（-2x+3）=1.化简，得-2x²+3x-1=0，解这个方程，得x_1=1，x_2=1/2.当x=1时，-2x+3=-2×1+3=1，∴点P_1 （1,1）当x=1/2 时，-2x+3=-2× 1/2+3=2，∴点P_2 （1/2，2）.∴当点P_1 （1,1）或P_2（1/2，2）时，矩形OCPD的面积为1.21.分析：由于距台风中心200km的区域受影响，所以应考虑轮船与台风中心的距离是否超过200km，如果超过200km，则会进入台风影响区.解：（1）这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区.理由：如图2-7-4所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=500km，BA=300km，由勾股定理，得AC=√(BC^2-BA^2 )=√(〖500〗^2-〖300〗^2 )=400（km）.当这艘轮船不改变航向时，轮船由C地到A地的时间为400/30=13（h），台风中心由B地到A的时间为300/20=15（h）.故轮船到达A地时，台风中心距离A地为300-20×40/3=331/3 （km）.而331/3 km<200km，所以这艘轮船不改变航向会进入台风影响区.（2）设从接到报警开始，经过th这艘轮船就会进入台风影响区，则CD=30t km，BE=20t km，AD=AC-CD=（400-30t）km，AE=AB-BE=（300-20t）km，DE=200km.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AD²+AE²=DE²,即（400-30t）²+（300-20t）²=200².整理，得13t²-360t+2 100=0，解得t_1≈8.35，t_2≈19.34.所以从接到报警开始，经过8.35h它就会进入台风影响区.※22.解：设该银行一年定期存款的年利率是x，根据题意，得【2 000（1+x）-1 00】+【2 000（1+x）-1 000】x=1 107.45.化简，得（1 000+2 000x）（1+x）=1 107.45400x²+600x-21.49=0.解这个方程，得x_1=0.035=3.5%，x_2=-1.535（不合题意，舍去）.所以该银行一年定期存款的年利率是3.5%.第61页练习答案解：列表如下：或画树状图如图3-1-13所示：由表或树状图可知总共有4中结果，每中结果出现的可能性相同，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有一种，所以，P（白色上衣和白色裤子）=1/4.3.1 1.解：列表如下：（1）由表可知，一次实验中两张牌的牌面数字和有2,3,4.（2）两张牌的牌面数字和为3的概率最大.（3）P（和为3）=3/4=1/2.2.解：列表如下：由表可知：（1）两次都摸到红球的概率为1/4；（2）连词摸到不同颜色的去的概率为2/4=1/2.（3）解：可能性相同.因为掷一枚硬币正反面朝上的概率都是1/2.第64页练习答案解：设三张大小一样而画面不同的画片分别为A,B,C,将出现的可能结果列表如下：由表可知，出现的总结过有9种，能拼成原来的一幅画的结果有（A上，A下），（B上，B下，）（C上，C下）三种，所以P（两张恰好能拼成原来的一幅画）=3/9=1/3.3.2 1.解：将出现的可能结果列表如下：由表可知，（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率为0；（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率为1/9；（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大；（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是6/9=2/3.。
数学北师大版九年级上册课后习题
一元二次方程同步练习题一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、下列方程：(1)x2-1=0；(2)4 x2+y2=0；(3)（x-1）（x-3）=0；(4)xy+1=3．(5)其中，一元二次方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是，二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.3(x+1)2= 2(x+1)B.C.ax2+bx+c= 0D.x2+2x= x2-16、把下列方程化成ax2+bx+c= 0的形式，写出a、b、c的值：(1)3x2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)7、当m为何值时，关于x的方程(m-2)x2-mx+2=m-x2是关于x的一元二次方程？8、若关于的方程(a-5)xa-3+2x-1=0是一元二次方程，求a的值?三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。
求这个正方形的边长。
11、判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：(1)2（x2－1）=3y；(2)；(3)（x－3）2=（x＋5）2；(4)mx2＋3x－2=0；(5)（a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5a =0.12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)(3x-1)(2x+3)=4；(2)(x+1)(x-2)=-2.13、关于x的方程(2m2+m-3)xm+1-5x+2=13是一元二次方程吗？为什么？4.2一元二次方程的解法（1）第一课时【目标导航】1、了解形如x2=a(a≥0)或(x＋h)2= k(k≥0)的一元二次方程的解法-- 直接开平方法2、理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、3的平方根是；0的平方根是；-4的平方根。
新北师大版九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》章末练习题含答案解析 (24)
一、选择题1.如图所示，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为( )A．16B．12C．23D．132.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( )A．14B．12C．34D．13.小明在一次用“频率估计概率”的试验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片搅匀将无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是( )A．抽出的是“朝”字B．抽出的是“长”字C．抽出的是独体字D．抽出的是带“氵”的字4.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是( )A．14B．13C．12D．345.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b．关于a，b大小的正确判断是( )A．a>b B．a=b C．a<b D．不能判断6.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下：组别(cm)x<160160≤x<170170≤x<180x≥180人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是( )A．0.85B．0.57C．0.42D．0.157.如图，衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是( )A．127B．19C．16D．138.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )A．6m2B．7m2C．8m2D．9m29.如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是( )A．12B．13C．14D．1610.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有A．10粒B．160粒C．450粒D．500粒二、填空题11.甲乙两同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中，甲同学获胜的概率是．12.一个不透明的袋子中装有4个球，这些球除颜色外无其他差别．把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是．13.从−3，1，−2这三个数中任取两个不同的数，积为正数的概率是．14.在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸岀——球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为．15.袋中共有5个大小相同的红球、白球，任意摸出一球是红球的概率为25，任意摸出2个球均为红球的概率是 ．16. 在 13，0，√2，−1 这四个数中随机取出两个数，则取出的两个数均为正数的概率是 ．17. 公司以 3元/kg 的成本价购进 10000 kg 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得 12000 元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到 0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到 0.1），可获得 12000 元利润．柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg 柑橘损坏的频率mn (精确到0.001)⋯⋯⋯25024.750.09930030.930.10335035.120.10045044.540.09950050.620.101三、解答题18. 只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的正整数叫素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和”．如 20=3+17．(1) 若从 7，11，19，23 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 7 的概率是 ； (2) 从 7，11，19，23 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取 1 个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 30 的概率．19. 我校为迎接体育中考，了解学生的体育情况，学校随机调查了本校九年级若干名学生“30 秒跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 30 秒跳绳次数的频数、频率分布表 成绩段频数频率0≤x <2050.10≤x <4010a 40≤x <60b 0.1460≤x <80m c 80≤x <10012n 根据以上图表信息，解答下列问题：(1) 本次调查了九年级学生 名；表中的 a = ，m = ； (2) 请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）(3) 若该校九年级共有 600 名学生，请你估计“30 秒跳绳”的次数 60 次以上（含 60 次）的学生有多少人？20. 第 24 届冬季奥林匹克运动会将在 2022 年 02 月 04 日 ∼2022 年 02 月 20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度，某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不了解．根据调查统计结果，绘制了统计表和如图所示的不完整的统计图． 对冬奥会了解程度的统计表对冬奥会的了解程度百分比A.非常了解10%B.比较了解15%C.基本了解35%D.不了解n%(1) n = ；(2) 扇形统计图中，D 部分扇形所对应的圆心角的度数是 ； (3) 请补全条形统计图；(4) 根据调查结果，学校准备开展冬奥会的知识竞赛．某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定谁参赛．具体规则如下：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字 1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，先从袋中随机摸出一个球，再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为偶数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏是否公平．21.在一个不透明的布袋里装有4个标号为−1，2，3，4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小芳从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y这样确定了点P的坐标(x,y)．(1) 请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标．(2) 求点(x,y)落在第二象限的概率．22.有四张正面分别标有数字0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．(1) 随机抽出一张卡片，则抽到数字“2”的概率为；(2) 随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是3的概率．23.每年的4月26日为“世界知识产权日”，为了树立尊重知识产权、崇尚科学和保护知识产权的意识，某校九年级开展了“知识产权知识竞赛”，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中的信息，回答下列问题．(1) 扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整；(2) 此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁．现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“知识产权知识竞赛”，请用列表法或画树状图法，求出甲没有被选上的概率．24.小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单选题才能顺利通过最后一关，其中第一题有A，B，C，D共4个选项，第二题有A，B，C共3个选项，而这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权”的机会（使用“特权”可去掉其中一题的一个错误选项）．(1) 如果小亮第一题不使用“特权”，随机选择一个选项，那么小亮答对第一题的概率是．(2) 如果小亮将“特权”留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关的概率．25.2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．(1) 黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是；(2) 用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】画树状图，如图所示：由树状图可知，共有六种等可能的情况，其中能让两盏灯泡L1，L2同时发光的情况有2种，则P(能让两盏灯泡L1,L2同时发光)=26=13．故选D．【知识点】树状图法求概率2. 【答案】B【知识点】列表法求概率3. 【答案】D【解析】A．抽出的是“朝”字的概率是720，不符合题意；B．抽出的是“长”字的概率是720，不符合题意；C．抽出的是独体字的概率是920，不符合题意；D．抽出的是带“氵”的字的概率为420=20%，符合题意．【知识点】用频率估算概率4. 【答案】A【解析】共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14．【知识点】树状图法求概率5. 【答案】B【知识点】用频率估算概率6. 【答案】D【解析】样本中身高不低于180cm的频率=15100=0.15，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于180cm的概率是0.15．故选：D．【知识点】用频率估算概率7. 【答案】D【解析】令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，b，c，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，所以取自同一套的概率为39=13，故选：D．【知识点】树状图法求概率8. 【答案】B【解析】假设不规则图案面积为x，由已知得：长方形面积为20，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：x20，当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：x20=0.35，解得x=7．【知识点】用频率估算概率9. 【答案】C【解析】由题图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E，F，G，H四个，所以小球从E出口落出的概率是14．故选C．【知识点】树状图法求概率10. 【答案】C【解析】设这袋黄豆原来有x粒．10 100=5050+xx=450．【知识点】概率的计算二、填空题11. 【答案】13【知识点】列表法求概率12. 【答案】316【知识点】列表法求概率13. 【答案】13【解析】根据题意画出树状图如下：一共有6种情况，积是正数的有2种情况，所以，P(积为正数)=26=13．【知识点】树状图法求概率14. 【答案】24【解析】根据题意得6a=0.25，解得：a=24，经检验：a=24是分式方程的解．【知识点】用频率估算概率15. 【答案】110【解析】题意可得红球有2个，白球有3个．列出所有等可能情况，如下表．由表可知，任意摸出两个球共有20种情况，其中摸到的2个球均为红球的有2种，所以任意摸出2个球均为红球的概率为220=110．红1红2白1白2白3红1红1红2红1白1红1白2红1白3红2红2红1红2白1红2白2红2白3白1白1红1白1红2白1白2白1白3白2白2红1白2红2白2白1白2白3白3白3红1白3红2白3白1白3白2【知识点】列表法求概率16. 【答案】16【知识点】树状图法求概率17. 【答案】0.9；4.7【解析】从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1−0.1=0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x−3×10000=12000，解得x=143≈4.7．所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为 4.7元，故答案为：0.9，4.7．【知识点】用频率估算概率、一元一次方程的应用三、解答题18. 【答案】(1) 14(2) 树状图如图所示：共有12种可能，满足条件的有4种可能，∴抽到的两个素数之和等于30的概率为412=13．【知识点】公式求概率、树状图法求概率19. 【答案】(1) 50；0.2；16(2) 补全频数分布直方图如下：(3) 估计“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生有600×(1−0.1−0.2−0.14)=336（人）．【解析】(1) 本次调查的九年级学生总人数为5÷0.1=50（名），则a=10÷50=0.2，b=50×0.14=7，∴m=50−(5+10+7+12)=16．【知识点】用样本估算总体、条形统计图、用频率估算概率20. 【答案】(1) 40(2) 144∘(3) 补全的条形统计图如图所示．(4) 画树状图如图所示：∴P(小刚去)=812=23，P(小明去)=412=13，∵23≠13，∴游戏规则不公平．【解析】(3) 被调查学生的总数为40÷10%=400（人），调查结果为D等级的人数为400×40%=160．【知识点】扇形统计图、条形统计图、树状图法求概率21. 【答案】(1) 根据题意，列表如下：x−1234−1(−1,2)(−1,3)(−1,4) 2(2,−1)(2,3)(2,4) 3(3,−1)(3,2)(3,4) 4(4,−1)(4,2)(4,3)(2) 共12种等可能的结果，点(x,y)落在第二象限的有3中，分别是(−1,2)，(−1,3)，(−1,4)．∴P=312=14．【知识点】列表法求概率22. 【答案】(1) 14(2) 列表如下：012300123112342234533456由表可知，共有16种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和是3的有4种结果，∴两次抽出的卡片上的数字之和是3的概率为416=14．【解析】(1) 从4张除数字外均相同的卡片中抽取1张，共有4种等可能结果，其中抽到数字“2”的只有1种结果，∴抽到数字“2”的概率为14，故答案为：14．【知识点】列表法求概率、公式求概率23. 【答案】(1) 72补全条形统计图：良好120人．(2) 根据题意可列表为：甲乙丙丁甲(甲,乙)(甲,丙)(甲,丁)乙(乙,甲)(乙,丙)(乙,丁)丙(丙,甲)(丙,乙)(丙,丁)丁(丁,甲)(丁,乙)(丁,丙)由表中可得出共有12种情况，其中甲没有被选上的有6种．∴P(甲没有被选上)=612=12．【知识点】条形统计图、列表法求概率、扇形统计图24. 【答案】(1) 14(2) 若第二道选择“特权”，画树状图如图，因为共有8种等可能的结果，小亮顺利通关的只有1种情况，此时小亮通过最后一关的概率为18．【解析】(1) 因为第一道单选题有4个选项，所以小亮答对第一道题的概率是14．【知识点】树状图法求概率、公式求概率25. 【答案】(1) 13(2) 列表如下：物理化学历史道法(物理,道法)(化学,道法)(历史,道法)地理(物理,地理)(化学,地理)(历史,地理)生物(物理,生物)(化学,生物)(历史,生物)由表可知共有9种等可能结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有1种结果，∴抽到的学科恰好是历史和地理的概率为19．【解析】(1) 黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是13．【知识点】列表法求概率、公式求概率。
新北师大版九年级数学上册第五章《投影与视图》章末练习题含答案解析 (16)
一、选择题1.如图所示的几何体的俯视图是( )A．B．C．D．2.图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是( )A．B．C．D．3.如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是( )A．主视图的面积为4B．左视图的面积为4C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是34.如图是由六个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体( )A．从正面看改变，从左面看改变B．从上面看不变，从左面看不变C．从上面看改变，从左面看改变D．从正面看改变，从左面看不变5.下列各图中，( )是四棱柱的侧面展开图．A．B．C．D．6.如图是一个容器的三视图，均匀地向该容器中注水，下列图象中，能大致反映注水过程中水面高度ℎ随时间t变化的函数关系的是( )A．B．C．D．7.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的( )A．从正面看到的形状图会发生改变B．从上面看到的形状图会发生改变C．从左面看到的形状图会发生改变D．从三个不同方向看到的形状图都不会发生改变8.图①是矗立千年而不倒的应县木塔一角，它使用了六十多种形态各异的斗栱（dǒu gǒng）．斗栱是中国古代匠师们为减少立柱与横梁交接处的剪力而创造的一种独特的结构，位于柱与梁之间，斗栱由斗、升、栱、翘、昂组成，图②是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是( )A．B．C．D．9.如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90∘后，其主视图是( )A．B．C．D．10.学习了“基本几何体的三视图”后，老师让同学们做拼几何体游戏．根据如图所示的三视图，要拼成该几何体需要几个小正方体( )A．6B．7C．8D．9二、填空题11.图是用8个大小相同的小正方体搭成的几何体，仅在该几何体中取走一块小正方体，使得到的新几何体同时满足两个要求：（1）从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同；（2）从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同．在不改变其他小正方体位置的前提下，可取走的小正方体的标号是．12.在图①中写出图②所示这个物体的三个视图的名称．13.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）14.如图，用8个同样大小的小立方体搭成一个大立方体，从上面一层小立方体中取走两个后得到的新几何体的三视图都相同，则他拿走的两个小正方体的序号是．（只填写满足条件的一种即可）15.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是．16.如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为cm2．17.一个由13个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的搭法共有种．三、解答题18.画出下面实物的三视图：19.如图是某几何体的展开图．(1) 这个几何体的名称是．(2) 画出这个几何体的三视图．(3) 求这个几何体的体积．（保留π）20.画出如图所示的物体的三视图．21.如图是由几个边长为1个单位的正方体搭成的几何体．(1) 请画出这个几何体的三视图；(2) 这个几何体的体积为个立方单位；(3) 若保持上述正方体搭成的几何体的俯视图不变，各位置的正方体个数可以改变（正方体的总数目不变），则搭成的几何体的表面积最大为个平方单位．22.如图所示，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P处时发现，她在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着她又走了6.5米到Q处，此时她在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方．（已知王琳的身高为1.8米，路灯B的高为9米）(1) 标出王琳站在P处时在路灯B下的影子；(2) 计算王琳站在Q处时在路灯A下的影长；(3) 计算路灯A的高度．23.如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，请在每个小正方形中标上适当的数字以表示该位置上的小正方体的个数，使得这个几何体的主视图和左视图是全等图形，并把主视图画出来（写出一种情况即可）．24.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图．(1) 画出几何体的左视图．（只需画其中一种）(2) 若组成这个几何体的小正方体块数为n，求n的所有可能值之和．25.画出如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】从上面可看到从左往右两列小正方形的个数为：1，1．故选：C．【知识点】由立体图形到视图2. 【答案】A【解析】根据三视图可知该几何体为圆柱，A是圆柱的展开图，B是圆锥的展开图，C是三棱柱的展开图．D是长方体的展开图．【知识点】由视图到立体图形、圆柱的展开图3. 【答案】A【知识点】由立体图形到视图4. 【答案】D【解析】由六个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体的主视图改变，俯视图改变，左视图不变．【知识点】由立体图形到视图5. 【答案】A【解析】由分析知：四棱柱的侧面展开图是矩形图．【知识点】由视图到立体图形、从不同方向看物体6. 【答案】A【解析】由题中三视图可知，该容器是由三个圆柱组成的，最下面的圆柱最细，中间圆柱最粗，所以函数图象的第一段最陡，第二段比较平缓，第三段比第一段平缓，比第二段陡，故选项A中的图象符合题意．【知识点】由视图到立体图形7. 【答案】A【解析】A不变时，正面看，A挪到B上方时，正面看，∴正面看到的图形状改变，左面永远是，上面是．【知识点】由立体图形到视图8. 【答案】C【解析】根据俯视图是一个正方形知C正确，其他选项均不正确．【知识点】由视图到立体图形9. 【答案】C【解析】顺时针旋转90∘后，从正面看第一列有一层，第二列有两层．【知识点】由立体图形到视图10. 【答案】C【解析】由主视图可知该几何体共有2层，由俯视图可知从下到上第1层共有6个小正方体，由主视图和左视图可知第2层有2个小正方体，所以共有8个小正方体．【知识点】由视图到立体图形二、填空题11. 【答案】3或5【解析】若要使从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同，则可取走的小正方体的标号是3或4或5或7，若要使从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同，则可取走的小正方体的标号是1或3或5，故答案为3或5．【知识点】由视图到立体图形12. 【答案】主视图；俯视图；左视图【知识点】由立体图形到视图13. 【答案】①②【解析】长方体的三视图都是矩形；圆柱的主视图和左视图都是矩形；圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆．【知识点】由立体图形到视图14. 【答案】1和4或2和3【解析】要保证上面一层每一横行和每一竖列上都有一个正方体，应利用正方形关于对角线所在直线的对称性拿走1和4或拿走2和3，此时该物体的三视图都没有变化．【知识点】由立体图形到视图15. 【答案】5【知识点】由视图到立体图形16. 【答案】4π【知识点】几何体的表面积、由视图到立体图形17. 【答案】3【解析】由题意俯视图：除了A，B，C不能确定，其余位置上的小立方体是确定的数字如图所示．∵由13个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，∴A为1，B为2，C为2或A为2，B为2，C为1或A为2，B为1，C为2，共三种情形．【知识点】从不同方向看物体、由视图到立体图形三、解答题18. 【答案】如图所示：【知识点】由立体图形到视图19. 【答案】(1) 圆柱(2) 三视图为：(3) 体积为：πr2h=π×52×20=500π．【知识点】由立体图形到视图、圆柱的体积、由视图到立体图形20. 【答案】略【知识点】由立体图形到视图21. 【答案】(1) 如图所示：(2) 7(3) 30【解析】(2) 1×1×1=1，7×1=7（立方单位）．故这个几何体的体积为7个立方单位．(3) 1×1=1，这个组合几何体的表面积为(6×2+4×4+2)×1=30（平方单位）．故搭成的几何体的表面积最大为30个平方单位．【知识点】由三视图计算表面积、体积、由立体图形到视图22. 【答案】(1) 线段CP为王琳站在P处时在路灯B下的影子（图略）．(2) 由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，∴EPBD =CPCD，即 1.89=22+6.5+QD，解得QD=1.5米．答：王琳站在Q处时在路灯A下的影长为1.5米.(3) 由题意得Rt△DFQ∽Rt△DAC，∴FQAC =QDCD，∴1.8AC = 1.51.5+6.5+2，解得AC=12米．答：路灯A的高度为12米．【知识点】相似三角形的应用23. 【答案】答案不唯一，如小正方体的个数如图（1），主视图如图（2）．【知识点】由立体图形到视图、全等形的概念及性质24. 【答案】(1) 所画左视图如下图中的五种情形中的一种即可，(2) 由主视图和俯视图可知，在俯视图上，第1排有1个小正方体1则可设第2，3排的小正方体数分别为a，b（如图）．这里3≤a≤4，4≤b≤6．则a=3，b=4时，n=8．a=3，b=5时，n=9．a=3，b=6时，n=10．a=4，b=4时，n=9．a=4，b=5时，n=10．a=4，b=6时，n=11．故n=8或9或10或11四种情况，n的所有可能值之和为8+9+10+11=38．【知识点】由立体图形到视图、由视图到立体图形25. 【答案】如图所示：【知识点】由立体图形到视图。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册正方形的性质习题含答案
北师版九年级数学上册1.3.1正方形的性质一、选择题（共10小题，3*10=30）1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )A．15° B．35° C．45° D．55°4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．175．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE ＋PF 的值为( )A ．4B ．2 2C ． 2D ．28．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC′D′.若∠D′AB ＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是( )A ．1B ．12C ．22D ．329．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB.EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B ．12C ．13D ．1410．如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D.在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积( )A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变 二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接CE.若∠BAE ＝56°，则∠CEF ＝________．12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有_______个13．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是_______.15．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝.16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝__________.17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__ __．三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.20．(7分) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G.求证：AG＝CG.21．(7分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．22．(8分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：△BAE≌△CDE；(2)求∠AEB的度数．23．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．24．(10分) 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．参考答案1-5 DCCCB 6-10CCBBD11. 22° 12. 8 13. 213 14. 22.5° 15. 45° 16. 2 －1 17. 135° 18. 13 219. 解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵CE ＝DF ，∴BE ＝CF ，在△AEB 和△BFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴△AEB ≌△BFC(SAS)，∴AE ＝BF 20. 证明：易证△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠DAF ＝∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF(AAS)，∴AG ＝CG21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)(2)由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝ 2 AE ＝5 222. 解：(1)∵△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝150°，在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠EAB ＝∠EDC ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS) (2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝150°，∴∠AEB ＝12 (180°－150°)＝15°23. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90°.在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE(SAS) (2)由已知可得S 正方形ABCD ＝16，S △ABF ＝S △CBE ＝12×4×1＝2.所以S 四边形BEDF ＝16－2×2＝1224. 解：(1)连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵BD ⊥EF ，∴▱BEDF 为菱形(2)∵正方形边长为4，∴BD ＝AC ＝42，∵AE ＝CF ＝2，∴EF ＝AC －22＝22，∴S 菱形BEDF＝12BD·EF ＝12×42×22＝8。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后所得的方程为（）A.（x﹣1）2=2B.（x﹣1）2=0C.（x+1）2=2D.（x+1）2=02、用配方法解方程时，配方后所得的方程为（）A. B. C. D.3、如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（）A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长4、用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确是（）A.（x+2）2＝2B.（x+1）2＝2C.（x+2）2＝3D.（x+1）2＝35、用配方法解方程，配方后的方程是（）A. B. C. D.6、用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（）A.（B.C.D.7、若x2+bx+c=0的两根中较小的一个根是m（m≠0），则=（）A.mB.﹣mC.2mD.﹣2m8、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A. 化为B. 化为C. 化为D.化为9、方程3x2-5x-2=0的两个根是（）A.1,B.2,C.D.-2,10、用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（）A.（x﹣5）2＝24B.（x﹣5）2＝26C.（x+5）2＝24D.（x+5）2＝2611、若用配方法解一元二次方程，则原方程可变形为（）A. B. C. D.12、用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（）A.（x﹣2）2＝0B.（x﹣2）2＝7C.（x﹣4）2＝9D.（x﹣2）2＝113、对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于（）A.1B.2C.D.2.514、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.2m 2+m﹣1=0化为B.x 2﹣6x+4=0化为（x﹣3）2=5 C.2t 2﹣3t﹣2=0化为 D.3y 2﹣4y+1=0化为15、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、一元二次方程的两个根为,且则k=________。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数第2节反比例函数的图像和性质课后练习
第六章反比例函数第2节反比例函数的图像和性质课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．已知点A（2，y1），B（1，y2）都在反比例函数y＝4x的图象上，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定2．已知点()11,A x y，()22,B x y，()33,C x y都在反比例函数kyx=()0k<的图像上，且123x x x<<<，则1y，2y，3y的大小关系是（）A．213y y y>>B．321y y y>>C．123y y y>>D．312y y y>> 3．如图，已知点A是反比例函数()6y xx=>的图像上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数()0ky xx=>的图像于点B，C为x轴上一点，若S△ABC=2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．14．若0ab<，则正比例函数y ax=与反比例函数byx=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．如图，反比例函数y＝2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．86．面积为2的直角三角形一直角边长为x ，另一直角边长为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若双曲线y=3k x-在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜3B ．k≥3C ．k ＞3D ．k≠38．在反比例函数13my x-=的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，当120x x <<时，12y y <，则实数m 取值范围是（ ）A ．0m <B ．13m <C ．0m >D ．13m >9．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，4）、Q （m ，n ）在函数（x ＞0）的图象上，当m ＞1时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小10．函数4yx=和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P是4yx=的图象上一动点，作PC∥x轴于点C，交1yx=的图象于点A，作PD∥y轴于点D，交1yx=的图象于点B，给出如下结论：∥∥ODB与∥OCA的面积相等；∥PA与PB始终相等；∥四边形PAOB的面积大小不会发生变化；∥PA=3AC，其中正确的结论序号是()A．∥∥B．∥∥∥C．∥∥∥D．∥∥评卷人得分二、填空题11．已知反比例函数3myx-=，当0x>时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____________．12．如图，正比例函数(0)y mx m=≠与反比例函数(0)ny nx=≠的图象交于,A B两点，若点A的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点B的坐标为_____________________．13．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB上，点B、E 在反比例函数y＝kx（k 为常数，k ≠0）的图象上，正方形ADEF 的面积为4，且BF ＝2AF ，则k 值为_____．14．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积()3m V 的反比例函数，其图像如图所示.则其函数解析式为_________.15．如图，反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，若矩形OABC 的面积为8，则k ＝_____．16．双曲线y 1，y 2在第一象限的图象如图，已知y 1＝4x，过y 1上的任意一点A 作x 轴的平行线交y 2于点B ，交y 轴于点C ，若S △AOB ＝12，则y 2的表达式是___________．17．已知（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数y ＝21k x--的图象上，则函数值y 1，y 2，y 3的从大到小的关系是_____．18．如图，A ，B 是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则∥OAB 的面积是_____．19．（2013年四川自贡4分）如图，在函数()8y x>0x=的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1= ___，S n =___．（用含n 的代数式表示）评卷人 得分三、解答题 20．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点()1,6A -，(),2B a ．求一次函数和反比例函数的解析式．21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣8x的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标及k、b的值．（2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当8kx bx+>-时，x的取值范围．22．已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，BA∥x轴于点A，CD∥x轴于点D（1）求这个反比函数的表达式；（2）求∥ACD的面积．23．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝4x(x＞0)的图象与一次函数y2＝kx－k 的图象的交点为A(m，2)．(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB 的面积是6，请写出点P的坐标．24．如图，一次函数5y x=-+的图像与反比例函数kyx=()0k≠在第一象限内的图像交于()1,A n和()4,B m两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在第一象限内，当一次函数5y x=-+的值大于反比例函数kyx=()0k≠的值时，写出自变量x的取值范围；（3）求AOB面积．25．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx（x＞0)的图像在第一象限交于A、B 两点，点B坐标为(4，2)，连接OA、OB，过点B作BD∥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC=CA．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图像直接说出不等式ax+b-kx＜0的解集为______；(3)求∥ABC的面积．参考答案：1．A 【解析】 【分析】利用反比例函数4y x=的图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内y 随x 的增大而减小，利用2＞1得出y 1＜y 2即可． 【详解】解：∥反比例函数4y x=的图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内y 随x 的增大而减小，而A （2，y 1），B （1，y 2）都在第一象限， ∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小， ∥2＞1， ∥y 1＜y 2, 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，当k >0时，图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内，y 随x 的增大而减小，当k <0时，图象分布在二、四象限，在每个单独的象限内，y 随x 的增大而增大，由x 的值的变化得出y 的值的变化情况；也可以把x 的值分别代入到关系式中求出y 1和y 2的值，然后再做比较即可． 2．A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数ky x=()0k <，利用函数图像的性质得到当1230x x x <<<时，1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解： 反比例函数ky x=()0k <， ∴ 反比例函数图像在第二、四象限，观察图像：当1230x x x <<<时， 则213y y y >>． 故选A ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】延长AB 交y 轴于点D ，连接OA 、OB ，如图，则AD∥y 轴，由反比例函数系数k 的几何意义可得：3AODS=，12BODSk =，易得S △AOB = S △ABC =2，于是可得关于k 的方程，解方程即得答案． 【详解】解：延长AB 交y 轴于点D ，连接OA 、OB ，如图，则AD∥y 轴， ∥3AODS=，12BODSk =（k ＞0）， ∥S △ABC =2，AB∥x 轴, ∥S △AOB =2，∥1322k -=，解得：k=2．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟练掌握系数k的几何意义是解题关键．4．B【解析】【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∥ab＜0，∥分两种情况：=的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y ax在第二、四象限，无此选项；=的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y ax在第一、三象限，选项B符合．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．C【解析】【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：2OA AD=，然后可求得OA AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．【详解】解：反比例函数2yx =，2OA AD∴=．D是AB的中点，2AB AD∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA===⨯=．故选：C．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．6．C【解析】【详解】解：∥12xy=2，∥xy=4，∥y=4x（x＞0，y＞0），当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，故选：C．【点睛】考点：函数的图象.7．C【解析】【分析】根据反比例函数的性质可解．【详解】解：∥双曲线3kyx-=在每一个象限内，y随x的增大而减小，∥k-3＞0 ∥k＞3故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数ky x=，当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小； 当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 8．D 【解析】 【分析】根据当x 1＜x 2＜0时，有y 1＜y 2，可得双曲线在第二象限，k ＜0，列出不等式求解即可． 【详解】根据题意，1-3m ＜0，解得13m >． 故选：D ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单． 9．B 【解析】 【详解】AC=m ﹣1，CQ=n ，则S 四边形ACQE =AC•CQ=（m ﹣1）n=mn ﹣n ． ∥()1,4P ，Q （m ，n ）在函数（x ＞0）的图象上，∥mn=k=4（常数），∥S 四边形ACQE =AC•CQ=（m ﹣1）n=4﹣n ， ∥当m ＞1时，n 随m 的增大而减小， ∥S 四边形ACQE =4﹣n 随m 的增大而增大． 故选B ．考点：反比例函数系数k 的几何意义． 10．C 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(m ，4)(0)m m >，则1(,)A m m ，(,0)C m ，(4m B ，4)m ，4(0,)D m．∥根据反比例函数系数k 的几何意义即可得出ODBOCA S S ∆∆=；∥由点的坐标可找出3PA m=，34m PB =，由此可得出只有2m =时PA PB =；∥利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k 的几何意义即可得知该结论成立；∥结合点的坐标即可找出3PA m=，1AC m =，由此可得出该结论成立．问题得解． 【详解】解：设点P 的坐标为(m ，4)(0)m m >，则1(,)A m m ，(,0)C m ，(4m B ，4)m ，4(0,)D m． ∥11122ODB S ∆=⨯=，11122OCA S ∆=⨯=， ODB ∴∆与OCA ∆的面积相等，故∥成立；∥413PA m m m=-=，344m m PB m =-=，令PA PB =，即334mm =， 解得：2m =．∴当2m =时，PA PB =，∥不正确；∥114322ODB OCAOCPD PAOB S S S S ∆∆=--=--=矩形四边形．∴四边形PAOB 的面积大小不会发生变化，故∥正确；∥413PA m m m=-=，110AC m m =-=，313m m=⨯， 3PA AC ∴=，故∥正确．综上可知：正确的结论有∥∥∥． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键． 11．3m > 【解析】 【分析】根据反比例函数kyx=，当x＞0，k＞0时，y随x增大而减小列不等式求解即可．【详解】解：∥反比例函数kyx=，当k＜0时，y随x增大而减小∥m-3＞0，即3m>．故答案为3m>．【点睛】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出不等式m-3>0是解答本题的关键．12．3,2 2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先根据正比例函数与反比例函数的图象特征可得点A、B关于原点对称，再根据点坐标关于原点对称的变化规律即可得．【详解】由正比例函数与反比例函数的图象特征得：点A、B关于原点对称点坐标关于原点对称的变化规律：横、纵坐标均变为相反数点A的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴点B的坐标为3,2 2⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：3,22⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象特征、点坐标关于原点对称的变化规律，掌握正比例函数与反比例函数的图象特征是解题关键．13．-6．【解析】【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝kx的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k ＝6t ＝2（t ﹣2），即可求出k ＝﹣6． 【详解】解：∥正方形ADEF 的面积为4， ∥正方形ADEF 的边长为2，∥BF ＝2AF ＝4，AB ＝AF +BF ＝2+4＝6． 设B 点坐标为（t ，6），则E 点坐标（t ﹣2，2）， ∥点B 、E 在反比例函数y ＝kx的图象上， ∥k ＝6t ＝2（t ﹣2）， 解得t ＝﹣1，k ＝﹣6． 故答案为﹣6． 【点睛】本题考查反比例函数中k 的几何意义，注意，此题函数图像在第二象限，则k ＜0． 14．96P V=【解析】 【分析】根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V 和气压p 的函数解析式． 【详解】 设kP V =，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k ＝1.6×60＝96， ∥96P V=． 故答案为：96P V=． 【点睛】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 15．4 【解析】 【分析】设D 的坐标是()a b ，，则B 的坐标是()2a b ，，根据D 在反比例函数图象上，即可求得ab的值，从而求得k的值．【详解】设D的坐标是()a b，，则B的坐标是()2a b，，∥OABC8S=矩形∥28ab=，∥D在kyx=上，∥1842k ab==⨯=．故答案是：4．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．16．y2＝5x【解析】【分析】先设双曲线y2的解析式为y2=kx，根据S△BOC-S△AOC=S△AOB，列出方程，求出k的值，从而得出双曲线y2的解析式．【详解】解：设双曲线y2的解析式为y2=kx，由题意得：S△BOC-S△AOC=S△AOB，即：2k-42=12，解得；k=5；则双曲线y2的解析式为y2=5x．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，关键是根据关系列出方程． 17．y 1＞y 3＞y 2 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：∥﹣k 2﹣1=2(1)k +＜0，∥反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限y 随x 的增大而增大， ∥（﹣1，y 1）在第二象限， ∥y 1＞0，∥（2，y 2），（3，y 3）都在第四象限，且2＜3， ∥y 2＜y 3＜0， ∥y 2＜y 3＜y 1．故答案为：y 1＞y 3＞y 2． 【点睛】本题考查反比例函数图象所在的象限及其增减性，当k<0时函数图象两个分支分别在第二、四象限内，每一象限内y 随x 的增大而增大；当k>0时函数图象两个分支分别在第一、三象限内，每一象限内y 随x 的增大而减小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．3 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC∥x 轴于C ，BD∥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3． 【详解】解：∥A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∥当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC∥x轴于C，BD∥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=12×4=2．∥S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∥S△AOB=S梯形ABDC，∥S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12（1+2）×2=3，∥S△AOB=3．故答案是：3．【点睛】主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．19．4()81n n+【解析】【详解】当x=2时，P1的纵坐标为4，当x=4时，P2的纵坐标为2当x=6时，P3的纵坐标为43，当x=8时，P4的纵坐标为1，当x=10时，P5的纵坐标为：45，…∥()188S 2424221211⎡⎤=⨯-==-⎢⎥⨯⨯+⎢⎥⎣⎦（）；()24288S 22223322221⎡⎤=⨯-=⨯=-⎢⎥⨯⨯+⎢⎥⎣⎦（）；()24188S 21223323231⎡⎤=⨯-=⨯=-⎢⎥⨯⨯+⎢⎥⎣⎦（）；…()()n 888S 22n 2n 1n n 1⎡⎤=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦． 20．一次函数的解析式为：28y x =+，反比例函数的解析式为：6y x=-【解析】 【分析】先将()1,6A -代入反比例函数解析式中求出m 的值，进一步求出点B 的坐标，然后将A 和B 点的坐标代入一次函数中求解即可. 【详解】解：∥()1,6A -在反比例函数m y x=上 ∥61=-m，解得6m =-， 又(),2B a 在反比例函数6y x=-上∥62=-a，解得3a =-，即()3,2-B将()1,6A -和()3,2-B 代入一次函数y kx b =+中，得623=-+⎧⎨=-+⎩k b k b ，解之得28=⎧⎨=⎩k b 故一次函数的解析式为：28y x =+. 故答案为：28y x =+，6y x=-.【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，函数图像经过一点，则将这点的坐标代入函数解析式中求解即可．21．（1）C （﹣2，4）；k 1b 2=-⎧⎨=⎩；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜4．【解析】【分析】（1）由A （2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C 的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k 、b 的值；（2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围．【详解】（1）过点C 作CD ∥x 轴，垂足为D ，∥CD ∥OB ，∥AO AB OD BC =， 又∥B 是AC 的中点．∥AB ＝BC ，∥OA ＝OD∥A （2，0），∥OA ＝OD ＝2，当x ＝﹣2时，y ＝﹣82-＝4，∥C （﹣2，4）把A （2，0），C （﹣2，4）代入y ＝kx +b 得：2024k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∥一次函数的关系式为：y ＝﹣x +2；因此：C （﹣2，4），k ＝﹣1，b ＝2．（2）由题意得：28-y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：121224,42x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； ∥一个交点C （﹣2.4）∥另一个交点E （4，﹣2）； 当8-kx b x+＞时，即：y 一次函数＞y 反比例函数，由图象可以直观看出自变量x 的取值范围：x ＜﹣2或0＜x ＜4．因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x 的取值范围为x ＜﹣2或0＜x ＜4．【点睛】 反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键．22．（1 ）6y x=；（2）6. 【解析】【详解】试题分析：（1）将B 点坐标代入y ＝k x 中，求得k 值，即可得反比例函数的解析式；（2）分别求得点C 、点A 、点D 的坐标，即可求得∥ACD 的面积．试题解析：(1)将B 点坐标代入y ＝中，得＝2，解得k ＝6，∥反比例函数的解析式为y ＝.(2)∥点B 与点C 关于原点O 对称，∥C 点坐标为(－3，－2)．∥BA ∥x 轴，CD ∥x 轴，∥A点坐标为(3，0)，D点坐标为(－3，0)．∥S△ACD＝AD·CD＝×[3－(－3)]×|－2|＝623．（1）y=2x-2 ;（2）P（-2,0）或（4,0）【解析】【分析】（1）将A点坐标代入y=4x（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx-k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【详解】解：（1）将A（m，2）代入y=4x（x＞0）得，m=2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y=kx-k得，2k-k=2，解得k=2，则一次函数解析式为y=2x-2；（2）∥一次函数y=2x-2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，-2），S△ABP=S△ACP+S△BPC，∥12×2CP+12×2CP=6，解得CP=3，则P点坐标为（-2,0）或（4,0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．24．（1）y=4x；（2）1＜x＜4；（3）152．【解析】【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用S△AOB=S△AOC-S△BOC可求得∥ABO的面积．【详解】解：（1）∥点A在一次函数图象上，∥n=-1+5=4，∥A（1，4），∥点A在反比例函数图象上，∥k=4×1=4，∥反比例函数的表达式为y=4x；（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜4；（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，在y=-x+5中，令y=0可求得x=5，∥C（5，0），即OC=5，将B（4，m）代入y=-x+5，得m=1，∥点B的坐标为（4，1）．∥S△AOB=S△AOC-S△BOC=12×5×4-12×5×1=152．故∥AOB的面积为152．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．25．（1）y=-x+6；y=8x；（2）0＜x＜2或x＞4；（3）S△ABC=3．【解析】【分析】（1）此处由题意可先求出反比例函数表达式，再根据CO=CA设出A点坐标求出A点坐标，代入即可求出一次函数表达式．（2）此处根据数形结合找出一次函数与反比例函数关系即可．（3）此题可先求出C点坐标，根据A，B，C三点坐标求面积即可．【详解】（1）如图，过点A作AF∥x轴交BD于E，∥点B（4，2）在反比例函数y=kx的图象上，∥k=4×2=8，∥反比例函数的表达式为y=8x，∥B（4，2），∥EF=2，∥BD∥y轴，OC=CA，∥AE=EF=12AF，∥AF=4，∥点A的纵坐标为4，∥点A在反比例函数y=8x的图象上，∥A（2，4），∥4a+b=2；2a+b=4，∥a=-1b=6，∥一次函数的表达式为y=-x+6；（2）0＜x＜2或x＞4．（3）如图1，过点A作AF∥x轴于F交OB于G，∥A（2，4），∥直线OA的解析式为y=2x，∥C（1，2），∥A（2，4），∥AE=4-2=2，BC=4-1=3，∥S△ABC=12×2×3=3．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图形位置关系，牵涉到面积问题，难度一般，是中考中经常出现的题型．。
新北师大版九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》章末练习题含答案解析 (15)
一、选择题1.将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为( )A．23B．12C．13D．162.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中实验相对科学的是( )A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组3.学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是( )A．12B．13C．16D．194.在一个不透明的袋子中只装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状，质地等完全相同，其中白色球有2个，黑色球有n个，从袋子中随意摸出一个球，记下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( )A．2B．3C．4D．55.从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任取三条为边，能构成三角形的概率为( )A．12B．13C．14D．156.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为( )A．34B．23C．12D．147.一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为( )A．12B．13C．14D．238.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为( )A．12B．15C．18D．219.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是( )A．20个B．16个C．15个D．12个10.在一个暗箱里放有P个除颜色外完全相同的球，这P个球中红球只有3个．每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在20%，由此可推算出P约为( )A．15B．12C．9D．6二、填空题11.“双十一”期间，某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（如图，转盘为五等分的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）．转盘的指针落在A区域中一等奖．奖10元，落在C，E区域中二等奖，奖5元，落在其他区域则不中奖．如果晓丽有两次转动转盘的机会，则她至少获得一次一等奖的概率是．12.有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为．13.小明和小花在玩纸牌游戏，有两组牌，每组各有两张，分别标有数字1，2，每人每次从每组中抽出一张，两张牌的数字之积为2的概率为．14.为了满足广大师生的饮食用餐要求，学校餐厅为师生准备了A，B，C，D四种特制套餐，丁老师和小明同学一起去吃饭，他们每人随机选取一份套餐（套餐量满足师生选择需求），则丁老师和小明选到不同种套餐的概率是．15.在a2▫4a▫4空格▫中，任意填上“+”或“−”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是．16.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（填写一个你认为正确的序号）．①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是．17.事件A发生的概率为120三、解答题18.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．(1) 请你估计箱子里白色小球的个数；(2) 现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．19.“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．(1) 图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；(2) 据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？(3) 为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．20.一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．(1) 从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？(2) 从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅均后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．21.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．(1) 若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是．(2) 若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．22.如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字，分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．(1) 请将所有可能出现的结果填入下表：(2) 积为9的概率为；积为偶数的概率为；(3) 从1∼12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为．23.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．(1) 用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果．(2) 求两次摸到的球的颜色不同的概率．24.某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．(1) 写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；(2) 如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．25.2021年成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1) 这次被调查的同学共有人；(2) 扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为；(3) 现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】三个不同的篮子分别用A，B，C表示，根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，则恰有一个篮子为空的概率为69=23．【知识点】树状图法求概率2. 【答案】D【知识点】用频率估算概率3. 【答案】B【解析】如图，总共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，小亮和小刚在同一个组的结果有3种：(A,A)，(B,B)，(C,C)，∴小亮和小刚恰好在同一个组的概率=39=13．故选：B．【知识点】树状图法求概率4. 【答案】B【解析】根据题意得：22+n=0.4，解得：n=3，则n的值为3．【知识点】用频率估算概率5. 【答案】C【解析】∵可能的结果有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4种，而能构成三角形的只有(3,5,7)这1种结果，∴P(能构成三角形)=14．【知识点】列表法求概率、三角形的三边关系6. 【答案】A【解析】由图可知，共有4种等可能情况，其中至少出现一次正现的有3种情况，∴P=34．【知识点】树状图法求概率7. 【答案】A【解析】列表如下，白白白红白(白,白)(白,白)(红,白)白(白,白)(白,白)(红,白)白(白,白)(白,白)(红,白)红(白,红)(白,红)(白,红)由表可知，共有12种等可能结果，其中摸出小球的颜色不同的有6种结果，∴从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为612=12．【知识点】列表法求概率8. 【答案】B【解析】由题意可得，3a×100%=20%，解得，a=15．【知识点】用频率估算概率9. 【答案】D【解析】设红球有x个，根据题意得，3:(3+x)=1:5，解得x=12，经检验：x=12是原分式方程的解，所以估计盒子中红球的个数大约有12个，故选：D．【知识点】用频率估算概率10. 【答案】A【解析】在每次试验中，摸到某一颜色的球的概率为=该种颜色球的数量口袋中球的总数，根据利用频率估计概率的知识，可知3P=20%，解得P=15，经检验，P=15是原分式方程的解，因此，P大约是15．【知识点】用频率估算概率二、填空题11. 【答案】925【解析】列表如下：由表格可知，共有25种等可能的结果，其中符合条件的有9种结果，所以她至少获得一次一等奖的概率是925．【知识点】列表法求概率12. 【答案】49【知识点】树状图法求概率13. 【答案】12【解析】画树形图得：由树状图可知共有2×2=4种可能，两张牌的和为3的有2种，∴概率24=12．【知识点】树状图法求概率14. 【答案】34【解析】根据题意画树状图如下：共有16种等情况数，其中丁老师和小明选到不同种套餐的12种，则老师和小明选到不同种套餐的概率是1216=34，故答案为：34．【知识点】树状图法求概率15. 【答案】12【知识点】列表法求概率、完全平方公式16. 【答案】③【知识点】用频率估算概率17. 【答案】5【解析】事件A发生的概率为120，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：100×120=5．故答案为：5．【知识点】用频率估算概率三、解答题18. 【答案】(1) ∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，∴估计摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，根据题意，得：33+x=0.75.解得x=1.经检验x=1是分式方程的解，∴估计箱子里白色小球的个数为1；(2) 画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为616=38．【知识点】树状图法求概率、用频率估算概率19. 【答案】(1) 64.8(2) 500×20%=100（吨），100×0.2=20（万元），答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元．(3) 由题意可列树状图：∴P(一男一女)=812=23．【解析】(1) 由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1−20%−7%−55%=18%，∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360∘×18%=64.8∘．【知识点】树状图法求概率、用样本估算总体、扇形统计图20. 【答案】(1) 因为共有3个球，2个白球，所以随机摸出一个球是白球的概率为23．(2) 根据题意画出树状图图下：一共6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，所以，P(两次摸出的球都是白球)=26=13．【知识点】树状图法求概率、公式求概率21. 【答案】(1) 12(2) 将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．则P(2名医生来自同一所医院的概率)=412=13．【解析】(1) 根据题意画图如下：共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，则所选的 2 名医护人员性别相同的概率是 24=12．【知识点】树状图法求概率22. 【答案】(1) 补全表格如下：(2) 112；23(3) 13【解析】(2) 由表知，共有 12 种等可能的结果，其中积为 9 的有 1 种，积为偶数的有 8 种，所以积为 9 的概率为 112，积为偶数的概率为 812=23．(3) 从 1−12 这 12 个整数中，随机选取 1 个整数，该数不是（1）中所填数字的有 5，7，10，11 这 4 个，∴ 此事件的概率为 412=13．【知识点】列表法求概率23. 【答案】(1) 如图：(2) 共有 6 种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，概率为 46=23．【知识点】公式求概率、树状图法求概率24. 【答案】(1) 列表或树状图表示正确．项目A B CD AD BD CDE AE BE CE共有 6 种．(2) A 型号电脑被选中的概率 P =13．【知识点】列表法求概率25. 【答案】(1) 180(2) 126∘(3) 列表如下：甲乙丙丁甲—(乙,甲)(丙,甲)(丁,甲)乙(甲,乙)—(丙,乙)(丁,乙)丙(甲,丙)(乙,丙)—(丁,丙)丁(甲,丁)(乙,丁)(丙,丁)—∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P(选中甲、乙)=212=16．【解析】(1) 根据题意，得54÷30%=180（人），∴这次被调查的学生共有180人．(2) 根据题意，得360∘×(1−20%−15%−30%)=126∘．∴扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126∘．【知识点】列表法求概率、扇形统计图。
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北师大版，初三，九年级数学数学上册，课后习题答案第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.3.解：四边形CDC′E是菱形.证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第9页练习答案1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm），∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°.∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2 AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2 AO∙BO= 1/2×2AO∙2BO=1/2 AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.∵S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.5.略第13页练习答案解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.所以BD与AD的长分别为8与2√7.1.41.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2 AB=DC=3√2所以这个矩形的各边长都是3√2.2.解：如图1-2-34所示，设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.3.解：四边形ADCE是菱形.证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）4.已知：如图1-2-35所示，在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.∴△ABC是直角三角形.第16页练习答案证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.51.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1= 1/2∠ABN.∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3.解：做法如下：如图1-2-37所示，（1）连接AC,BD;（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.第18页练习答案证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,∴DN=BM.∵BN=DM,∴四边形BMDN是平行四边形.∴∠DBN=1/2∠ABD= 1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.61.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm. ※5.解：如图1-2-39所示，连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO∙PE= 1/2 AO（PE+PE）=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.第21页练习答案1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.2.：△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.以△ADF≌ABF为例加以证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.1.71.解：设正方形的边长为为想x cm，则x²+x²=2²，解得x=√2，即正方形的边长为√2 cm.2.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.∴∠ABE=30°.∴AB=BE,∴∠AEB=BAE=(180°-∠ABE)/2=(180°-30°)/2=75°.3.证明：如图1-3-24所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.∵PD=QC,∴AP=DQ∴△ABP≌△DAQ.∴BP=AQ,∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，即BP⊥AQ.※4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考.第24页练习答案答案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：（1）对角线垂直的矩形是正方形.（2）已知：如图1-3-7（1）多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC平分BD.又∵AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线.∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.（4）有一个角是直角的菱形是正方形.已知，如图1-3-7（4）所示，四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形.1.81.答案：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.∴四边形ABCD是正方形.2.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD//CB,∴∠ADF=∠CBE.在△ADF和=∠CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.在△AFD和AEB中，∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE,∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.3.解：四边形EFGH是正方形.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,即BE=CF=DG=AH.所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH 是菱形.因为∠AEH+∠AHE=90°，所以∠DHG+∠AHE=90°，所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD.重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,∴∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF.∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,∴S△AOB=S四边形EBFO.又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO.∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.第一章复习题1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm 和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），即林习惯的边长为2√5 cm.2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，故四边形ABCD必是正方形.3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(50²-30²)=40（cm）.所以BD=2OB=80cm.（2）S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFPQ为正方形.证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC=BD,∴EF=EQ.∴□EFPQ为菱形.∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF=90°.∴菱形EFPQ是正方形.6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.8.证明：如图1-4-22所示，∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵DE//AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=DE.∵DE//AC,DF//AB,∴四边形AEDF是平行四边形.又AE=DE,∴□AEDF是菱形.9.证明：如图1-4-23所示，∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，∴ME=1/2BC.同理MF=1/2BC,∴ME=MF.10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²,2AB²=l²,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.11.证明：∵CP//BD,DP//AC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.12.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OA=OC,OB=OD,又∵AM=BP=CN=DQ,∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,∴20-t=4t，解得t=4∴当t为4时，三角形APQD是矩形.15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠FBD=∠DBC,∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.∴△BFD是等腰三角形.16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,∴△ABC≌△FGC,∴∠ACB=∠FCG.∵∠ACB+∠ACD=90°，∴∠FCG+∠ACD=90°，即∠ACF=90°.∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.∴∠AFC=45°.17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//DA.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC,∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.∴∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可证∠F=90°，∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.第32页练习答案1.解：设直角三角形的三边长分别为m-1，n，n+1（n>1，且n为整数，）则（n-1）²+n²=（n+1）².2.解：∵（3x+2）²=4（x-3）²，∴9x²+12x+4-4x²+24x-36=0，∴5x²+36x-32=0.其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32.（答案不唯一）3.解：设竹竿长为x尺，则门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）²+（x-2）^2=x²，即x²-12x+20=0. 2.11.解：（1）设这个正方形的边长是xm，根据题意，得（x+5）（x+2）=54，即x²+7x-44=0.设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，得x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）=242，即x²+2x-80=0.2.（答案不唯一）根据题意，得x（8-x）=15.整理，得x²-8x+15=0. 列表：由表格知x=5.（当x=3时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）答：可用16m长的绳子围城一个15m²的矩形，其次为5m，宽为3m.3.解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t²-t-2=0. 列表：所以1<t<2. 进一步列表：所以1.2<t<1.3.答：他完成规定动作的事假最多不超过1.3s.第34页练习答案解：设这五个连续整数第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，得（x+1）²+（x+2）²+x²=（x+3）²+（x+4）².整理，得x²-8x-20=0. 列表：∴x=-2或x=10.因此这五个连续整数依次为-2，-1,0,1,2或10,11,12,13,14.2.2 1.解：设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120，即x²+2x-120=0.列表：由表格知x=10.（当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）答：苗圃的宽为10m，长为12m.2.解：能.设矩形的长为xm，则宽为（8-x）m.第37页练习答案（1）x_1=5+√7，x_2=5-√7.（2）x_1=7+√57，x_2=7-√57.（3）x_1=(√13-3)/2，x_2=-(√3+3)/2.（4）x_1=3+√11，x_2=3-√11.2.3 1.解：（1）移项，得x²+12x=-25.配方，得x²+12x+6²=-25+36，（x+6）²=11，即x+6=√11或x+6=-√11. ∴x_1=√11-6，x_2=-√11-6.（2）配方，得x²+4x+2²=10+2²，（x+2）²=14，即x+2=√14 或x2=-√14.∴x_1=√14-2，x_2=-√14-2.（3）配方，得x²-6x+（-3）²=11+（-3）²，（x-3）²=20，即x-3=2√5 或x-3=-2√5.∴x_1=2√5+3，x_2=-2√5+3.（4）化简，得x²-9x=-19，配方，得x²-9x+（-9/2）^2=-19+（-9/2）^2，（x-9/2）^2=5/4，即x-9/2=√5/2 或x- 9/2=-√5/2，∴x_1=(9+√5)/2，x_2=(9-√5)/2.2.解：设道路的宽为xm，根据题意，得（35-x）（26-x）=850.整理，得x²-61x+（-61/2）²=-60+（-61/2）².∴（x-61/2）^2=(3 481)/4.开平方，得x- 61/2=±59/2.解得x_1=1，x_2=60（不合题意，舍去）.答：道路的宽应为1m.3.解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则（x+8）（x+12）=69+8×12. 整理，得x²+20x=69.配方.得x²+20x+10²=69+10².∴（x+10）²=169.开平方，得x+10=±13.解得x_1=3，x_2=-23（不合题意，舍去）答：增加的行数，列数都是3.第39页练习答案解（1）移项，得3x²-9x=-2. 两边同除以3，得x²-3x=-2/3.配方，得（x-3/2）²=19/12. 开平方，得x-3/2=±√57/6.∴x_1=(9+√57)/6，x_2=(9-√57)/6.（2）移项，得2x²-7x=-6. 两边同除以2，得x²-7/2 x=-3.配方，得（x-7/4）²=1/16. 开平方，得x-7/4=±1/4.∴x_1=2，x_2=3/2.（3）移项，得4x²-8x=3. 两边同除以4，得x²-2x=3/4.配方，得（x-1）²=7/4. 开平方，得x-1=±√7/2.∴x_1=(2+√7)/2，x_2=(2-√7)/2.2.4 1.（1）x_1=1，x_2=1/6.（2）x_1=3，x_2=-6/5.（3）x_1=4，x_2=-13/4.（4）x_1=(-1+√21)/5，x_2=(-1-√21)/5.2.解：设共有x只猴子，根据题意，得x=（1/8 x）²+12.解得x1=16，x_2=48.答：共有16只或48只猴子.3.解：如图2-2-4所示，过点Q作QH⊥AB,垂足为H. 设经过ts时，点P和点Q的距离是10cm. 则CQ=2tcm，AP=3tcm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°.∵∠QHB=90°，∴四边形QHBC是矩形，∴BH=CQ=2t，HQ=BQ=BC=6cm，∴PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=（16-5t）cm.在Rt△PHQ中，∠PHQ=90°，由勾股定理，得PQ²=PH²+HQ².当PQ=10cm时，10²=（16-5t）²+6². ∴（16-5t）²=64，解得t_1=8/5，t_2=24/5，经检验：t_1=8/5s， t_2=24/5 s时都符合题意，所以当t_1=8/5 s和t_2=24/5 s时，点P和点Q 的距离是10cm.第43页练习答案1.解：（1）原方程变形为2x²-7x+5=0，这里a=2，b=-7，c=5，∵b²-4ab=（-7）^2-4×2×5=9>0，∴原方程变形为4x²-4x+3=0，这里a=4，b=-4，c=3，∵b²=-32<0，∴原方程没有实数根.（3）原方程变形为4y²-2.4y+0.36=0，这里a=4，b=-2,.4，c=0.36，∵b²-4ac=（-2.4）²-4×4×0.36=5.76-5.76=0，∴原方程有两个相等的实数根.2.解：（1）∵a=2，b=-9，c=8，∴b²-4ac=（-9）²-4×2×8=17>0，∴x=(9+√17)/4，即x_1=(9+√17)/4，x_2=(9-√17)/4.（2）∵a=9，b=6，c=1，∴b²-4ab=36-4×9×1=0，∴x=(-6±0)/18=-1/3，即x_1=x_2=-1/2.（3）∵a=16，b=8，c=-3，∴b²-4ac=64-4×16×（-3）=256，∴x=(-8±√256)/32=(-8±16)/32，即x_1=1/4，x_2=-3/4.（4）原方程化为x²-3x+5=0.∵a=1，b=-3，c=5，∴b²-4ac=（-3）²-4×1×5=-11<0，∴原方程没有实数根.3.解：设中间的一条边长为n，则另两条边长分别为n-2和n+2.由勾股定理，得n²+（n-2）²=（n+2）²，解得n_1=8，n_2=0（不合题意，舍去）.∴这个三角形的三条边分别为6,8,10.2.5 1.解：（1）原方程变形为5x²+x-7=0，这里a=5，b=1，c=-7，因为b²-4ac=1²-4×5×（-7）=141>0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）这里a=25，b=20，c=4.因为b²-4ac=20²-4×25×4=0，所以原方程有两个相等的实数根.（3）原方程变形为4x²+3x+1=0，这里a=4，b=3，c=1，因为b²-4ac=3²-4×4×1=-7<0，2.解：（1）∵a=2，b=-4，c=-1，∴b²-4ab=16-4×2×（-1）=24>0，∴x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(4±2√6)/4，∴x_1=(2+√6)/2，x_2=(2-√6)/2.（2）5x+2=3x²变形为3x²-5x-2=0.∵a=3，b-5，c=-2，∴b²-4ac=25-4×3×（-2）=49>0，∴x=(-b±√(b²-4ac))/2a=(5±7)/6，∴x_1=2，x_2=-1/3.（3）（x-2）（3x-5）=1变形为3x²-11x+9=0.∵a=3，b=-11，c=9，∴b²-4ac=121-108=13>0，∴x=(-b±√(b^2-4ab))/2a=(11±√13)/6.∴x_1=(11+√13)/6，x_2=(11-√13)/6.（4）0.2x²+5=3/2 x变形为0.2x²-3/2 x+5=0，∵a=0.2，b=-3/2，c=5，∴b²-4ac=（-3/2）²-4×0.2×5=-7/4<0，∴原方程没有实数根.3.解：设门的高为x尺，则宽为（x-6.8）尺.根据题意，得10²=x²+（x-6.8）²整理，得2x²-13.6x-53.76=0.解得x_1=9.6，x_2=-2.8（不合题意，舍去）.∴x=9.6.∴x-6.8=2.8.答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.4.解设木箱的长为x dm，则宽为（x-5）dm，于是有8x（x-5）=528，解得x_1=11，x_2=-6（不合题意，舍去）.所以x=11.所以x-5=11-5=6.答：木箱的长为11dm，宽为6dm.第44页练习答案解：根据题意，得（16-x）（12-x）=1/2×16×12.解得x_1=24（不合题意，舍去），x_2=4.∴x=4，∴图中的x为4.2.6 1.解设金色纸边的宽是x cm，根据题意，得（90+2x）（40+2x）×72%= 90×40，即x²+65x-350=0，解得x_1=5，x_2=-70（不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽是50cm.2.解：设鸡场的一边（靠墙的一边）长为xm，则另外两边长均为(40-x)/2 m.（1）若x∙(40-x)/2=180，解得x_1=20+2√10（不合题意，舍去），x_2=20-2√10.∴鸡场的面积能达到180m².若x∙(40-x)/2=200，解得x_1=x_2=20.∴鸡场的面积能达到200m².（2）若x∙(40-x)/2=250，则x²-40x+500=0，方程无实数根.∴鸡场的面积不能达到250m².3.解：设圆柱底面半径为Rcm，则15∙2πR+2πR²=200π，解得R_1=5，R_2=-0（不合题意，舍去）.∴圆柱底面半径为5 cm.※4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M，根据题意，得S△pab=S梯形pmob-S△boa-S△pma，即1/2 （1+a）×14-1/2 a²-1/2×1×（14-a）=18，解得a_1=3，a_2=12.所以a的值为3或12.第47页练习答案1.解：（1）（x+2）（x-4）=0，x+2=0，或x-4=0，∴x_1=-2，x_2=4.（2）解：移项的4x（2x+1）-3（2x+1）=0，∴（2x+1）（4x-3）=0，∴2x+1=0，或4x-3=0，∴x_1=-1/2，x_2=3/4.2.解：设这个数为n，则2n²-7n=0，解得n_1=0，n_2=7/2.2.71.解：（1）（4x-1）（5x+7）=0，4x-1=0，或5x+7=0，∴x_1=1/4，x_2=-7/5.（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，即（x-1）（3x+2）=0，X-1=0，或3x+2=0，∴x_1=1，x_2=-2/3.（3）原方程可变形为（2x+3）（2x+3-4）=0，2x+3=0，或2x-1=0，∴x_1=-3/2，x_2=1/2.（4）原方程可变形为2（2x-3）²-（x+3）（x-3）=0，（x-3）（2x-6-x-3）=0，X-3=0，或x-9=0，∴x_1=3，x_2=9.2.解：（1）5（x²-x）=3（x²+x）.化简，得2x²-8x=0,2x（x-4）=0，∴2x=0或x-4=0，∴x_1=0，x_2=4.（2）（x-2）²=（2x+3）².移项，得（x-2）²-（2x+3）²=0，（x-2+2x+3）（x-2-2x-3）=0，（3x+1）（-x-5）=0，∴3x+1=0或-x-5=0.∴x_1=-1/3，x_2=-5.（3）（x-2）（x-3）=12.化简，得x²-5x-6=0，∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49，∴x=(-（-5）±√49)/(2×1)=(5±7)/2，∴x_1=6，x_2=-1.（4）2x+6=（x+3）²，移项，得（x+3）²-（2x+6）=0，（x+3）²-2（x+3）=0，（x+3）（x+3-2）=0，（x+3）（x+1）=0，x+3=0或x+1=0，∴x_1=-3，x_2=-1.（5）2y²+4y=y+2，化简，得2y²+3y-2=0.∵a=2，b=3，c=-2，∴b²-4ac=3²-4×2×（-2）=25.∴x=(-3±√25)/(2×2)=(-3±5)/4，∴x_1=1/2，x_2=-2.3.解：设原正方形空地上的边长为xm，则（x-1）（x-2）=12，解得x_1=5，x_2=-12，解得x_1=5，x_2=-2（不和题意，舍去）.故原正方形空地上的边长为5m. 第50页练习答案1.解：（1）∵b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13>0.∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=3，x_1 x_2=-1.（2）∵b²-4ac=2²-4×3×（-5）=64>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，x_1，x_2=-5/3.2.解：它们的答案不确定.判断方法：∵b²-4ac=6²-4×9×（-1）=72>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，，x_1 x_2=-1/9.小明的答案中x_1+x_2=（-1/3）+（-1/3）=-2/3，x_1 x_2=（-1/3）×（-1/3）=1/9≠-1/9，∴小明的答案错误.笑话的答案中x_1+x_2=（-3+3√2）+（-3-3√2）=-6≠-2/3，x_1 x_2=（-3+3√2）（-3-3√2）=-9≠-1/9，∴小华的答案错误.3.解：设它的另一个根为x_1，根据一元二次方程根与系数的关系，得3x_1=-7，x_1=-7/3，∴它的另一个根是-7/3.2.81.解：（1）原方程变形为3x²-x-1=0，∵b²-4ac=（-1）²-4×3×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2，那么x_1+x_2=1/3，x_1 x_2=-1/3.（2）原方程化简，2x²+6x-2=0，即x²+3x-1=0.∵b²-4ac=3²-4×1×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根为x_1，x_2，那么x_1+x_2=-3，x_1 x_2=-1.2.解:（1）∵a=12，b=7，c=1，∴b²-4ac=7²-4×12×1=1，∴x=(-7±√1)/(2×12)=(-7±1)/24，∴x_1=-1/4，x_2=-1/3.（2）原方程变形为0.8x²+x-0.3=0，∵a=0.8，b=1，c=-0.3，∴b²-4ac=1²-4×0.8×（-0.3）=1.96，∴x=(-1±√1.96)/(2×0.8)=(-1±1.4)/1.6，∴x_1=1/4，x_2=-3/2.（3）原方程变形为3x²-2√3 x+1=0.∵a=3，b=-2√3，c=1，∴b²-4ac=（-2√3）²-4×3×1=0，∴x=(-（-2√3）±√0)/(2×3)=(2√3)/6=√3/3.∴x_1=x_2=√3/3.（4）原方程化简，得x²-4x-8=0，配方，得x²-4x+（-2）²-（-2）²-8=0，（x-2）²=12，∴x-2=±2√3. ∴x_1=2+2√3，x_2=2-2√3.3.解：设方程5x²+kx-6=0的另一根为x_1，由根与系数的关系，得2x_1=-6/5，解得x_1=-3/5.当x_1=-3/5时，2+（-3/5）=-k/5.解得k=-7.所以它的另一个根为-3/5，k的值为-7.4.解：∵a=1，b=-17，c=66，∴b²-4ac=（-17）²-4×1×66=289-264=25>0，∴方程有两个不相等的实数根.设一元一次方程x²-17x+66=0的两个实数根分别为，x_1，x_2，由根与系数的关系，得x_1+x_2=17.∵17>20，不满足三角形的两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴这个三角形的第三边的长不可能是20.第52页练习答案解：设相遇时所走的时间为x，则10²+（3x）²=（7x-10）².解得x_1=3.5，x_2=0（不合题意，舍去）.∴x=3.5.∴甲走了3.5×7=24.5（步），乙走了3.5×3=10.5（步）.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.1.解：设赛义得到的钱数为x，则少的一笔钱为20-x，根据题意，得x²-20x+96=0.解得x_1=12，x_(2=8) （不合题意，舍去）.答：赛义德到的钱数为12.2.解：设经过x s△pcq的面积为Rt△ACB面积的一半，根据题意，得1/2 （8-x）（6-x）=1/2×1/2×8×6.整理，得x²-14x+24=0.解得x_1=12（不合题意，舍去），x_2=2.答：经过2 s△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.3.解：设渠道深为x m，则渠低宽为（x+0.4）m，上口宽为（x+0.4+0.6）m.根据题意，得1/2 x【（x+0.4）+（x+0.4+0.6）】=0.78，整理，得x²+0.7x-0.78=0.解得x_1=0.6，x_2=-1.3（不合题意，舍去）.答：渠深为0.6m.4.解：设经过ts后P,Q两点相距25cm，∴PC=2tcm，BQ=t cm，CQ=BC-BQ=25-t（cm）.在Rt△PCQ中，∠C=90°，由古定理，得PQ²=PC²+CQ²,25²=（2t）²+（25-t）².解这个方程，得t_1=0（不合题意，舍去），t_2=10.∴经过10s后P,Q两点相距25cm.第55页练习答案解：设每张贺年卡应降价x元，根据题意，得（0.3-x）（500+x/0.05×200）=180，整理，得400x²-70x+3=0.解得x_1=0.1，x_2=0.075（不合题意，舍去）.答：每张贺年卡应降价0.1元.2.10 1.解：设每件应降价x元，根据题意，得（44-x）（20+5x）=1600，整理，得x²-40x+144=0.解得x_1=4，x_2=36（不合题意，舍去）.答：每件应降价4元.2.解设储藏x个星期出售这批农产品可获利122 000元.根据题意，得（80-2x）（1 200+200x）-1 600x-64 000=122 000，化简，得x²-30x+225=0.解得x_1=x_2=15，所以储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元.3.解：设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则4.85%∙（1+x）^2=8%.解这个方程，得x_1≈0.284=28.4%，x_2≈-2.284（舍去）.4.解：设该商场11,12两个月营业额的月均增长率为x，根据题意，得2 500+2 500（1+x）+2 500（1+x）²=9 100.解得x_1=0.2=20%，x_2≈-3.2（不合题意，舍去）所以该商场11,12两个月营业额的月均增长率为20%.第二章复习题1.解：设其中一个数为x，则另一个数为x-4，则x（x-4）=45，解得x_1=9，x_2=-5.当x=9是时，x-4=5；当x=-5时，x-4=-9.答：这两个数为9和5，或-5和-9.2.解：（1）x（x-14）=0，x=0，或x-14=0，所以x_1=0，x_2=14.（2）x^2+12x+27=0，（x+3）（x+9）=0，X+3=0，或x+9=0，所以x_1=-3，x_2=-9.（3）x²=x+56，x²-x-56=0，（x+7）（x-8）=0，X+7=0，或x-8=0，所以x_1=-7，x_2=8.（4）x（5x+4）=5x+4，（5x+4）（x-1）=0，5x+4=0，或x-1=0，所以x_1=-4/5，x_2=1.（5）4x²-45=31x，4x²-31x-45=0，（4x+5）（x-9）=0，4x+5=0，或x-9=0，所以x_1=-5/4，x_2=9.（6）-3x²+22x-24=0，3x²-22x+24=0，（3x-4）（x-6）=0，所以x_1=4/3，x_2=6.（7）（x+8）（x+1）=-12，X²+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，X+4=0，或x+5=0，所以x_1=-4，x_2=-5.（8）（3x+2）（x+3）=x+14，3x²+10x-8=0，（3x-2）（x+4）=0,3x-2=0，或x+4=0，所以x_1=2/3，x_2=-4.3.（1）解法1：原方程可化为x²+9x+18=0，（x+3）（x+6）=0，所以x_1=-3，x_2=-6.（2）解：x²-2√5 x+2=0，X²-2√5x=-2，X²-2√5 x+5=-2+5，（x-√5）²=3，x-√5=±√3，所以x_1=√5+√3，x_2=√5-√3.（3）解：（x+1）²-3（x+1）+2=0，（x+1-1）（x+1-2）=0，（x-1）=0，所以x_1=0，x_2=1.4.解：（1）∵a=2，b=1，c=-1，∴b²-4ac=1²-4×4×2（-1）=9>0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）原方程变形为4x²-4x+1=0，∵a=4，b=-4，c=1，∴b²-4ac=（-4）²-4×4×1=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根.（3∵a=7，b=2，c=3，b²-4ac=2²-4×7×3=-80<0，∴方程没有实数根.*5.解：（1）∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2.由根与系数的关系，得x_1+x_2=-b/a=-5/3，x_1 x_2=c/a=1/3.6解：（1）根据题意，得x²-13x+12=0，所以x1=1，x_2=12，即当x=1或x=12时，代数式x²-13x+12的值等于0.（2）由题意，得x²-13x+12=42，所以x_1=15，x_2=-2，所以当x=15或x=-2时，代数式x²-13x+12的值等于42.（3）由题意，得x²-13x+12=-4x²+18，所以x_1=3，x_2=-2/5，所以当x=3或x=-2/5时，代数式x²-13x+12的值与代数式-4x²+18的值相等. 7.解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x，由题意，得40（1+x）²=48.4.解得x_1=0.1=10%，x_2=-2.1（舍去）.答:该公司这两年缴税的年均增长率为10%.8.解：设原铁皮的边长为x cm，则4（x-8）²=400.解得x_1=18，x_2=-2（不合题意，舍去）.答：原铁皮的边长应为18cm.9.解：如图2-7-3所示，设小路宽为xm，由题意，得2x（15+2x）+2×20x=246.整理，得2x²+35x-123=0.解得x_1=3，x_2=-20.5（舍去）.答：小路的宽为3m.10.解：设每行的座位数为x，则总行数为x+16，依题意，得x（x+16）=1 161. （x-27）（x+43）=0.解得x_1=27，x_2=-43（舍去）.答：每行的座位数为27.11.解：设其中一段长为x cm，则另一段长为（56-x）cm.（1）由（x/4）²+（(56+x)/4）²=100，解得x_1=24，x_2=32，所以一段长为24cm，另一段长为32cm.（2）由（x/4）²+（(56-x)/4）²=196，解得x_1=0，x_2=56，所以不能剪开.（3）由（x/4）²+（(56-x)/4）^2=200，解得x_1=28+4√51>56（舍去），X_2=28-4√51<0（舍去）.所以面积之和不可能等于200cm^2.12.解：令3x+5=y，原方程可化为y²-4y+3=0，（y-1）（y-3）=0，解得y_1=1，y_2=3.当y=1，即3x+5=1时，x=-4/3；当y=3，即3x+5=3时，x=-2/3.所以原方程的解为x_1=-4/3，x_2=-2/3.13.解：把2+√3 代入x^2-4x+c=0中，得（2+√3）^2-4（2+√3）+c0.解得c=1.原方程的另一个根为2-√3，c的值为1.14.解：当s=200时，200=10t+3t²，解得t_1=20/3，t_2=-10（不合题意，舍去），所以行驶200m需要的时间为20/3 s.15.解法1：设水渠宽为cm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6=92x+2×60x-2x²，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.解法2：设水渠宽为xm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.16.解：设应多种x颗桃树，由题意，得（100+x）（1 000-2x）=1 000×100×（1+15.2%）.整理，得x²-400x+7 600=0.解得x_1=380，x_2=20.又由题意知x=380不符合题意，故舍去，因此x只能为20.答：应多种20颗桃树，产量会增加15.2%.17.解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（x+1）cm，所以x²+（x+1）²=7².解得X_1=(√97-1)/2，x_2=(-√97-1)/2 （舍去）.所以x+1=(√97-1)/2+1=(√97+1)/2.答：这两条直角边长分别为(√97-1)/2cm和(√97+1)/2cm.18.解：设t时后侦察船可侦侦察到这艘军舰，根据题意，有（90-30t）²+（20t）²=50².整理得13t²-54t+56=0.因为b²-4ac=（-54）²-4×13×56=4>0，所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰，解得t_1=2，t_2=28/13（不合题意，舍去）.答：侦察船可侦察到军舰，最早在2时后可侦察到.19.解：设到会人数为x，则有x（x-1）/2=66.整数得x^2-1x-132=0.解得x_1=12，x_2=-11（不合题意，舍去）.答：这次会议到会的人数为12.20.解：设点P（x，-2x+3），一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A（3/2，0），交y轴于点B（0,3）. ∵点P在第一象限，∴x>0，-2x+3>0，∴PD=x，PC=-2x+3.根据题意，得S_矩形OCPD=PD∙PC=1，x（-2x+3）=1.化简，得-2x²+3x-1=0，解这个方程，得x_1=1，x_2=1/2.当x=1时，-2x+3=-2×1+3=1，∴点P_1 （1,1）当x=1/2 时，-2x+3=-2× 1/2+3=2，∴点P_2 （1/2，2）.∴当点P_1 （1,1）或P_2（1/2，2）时，矩形OCPD的面积为1.21.分析：由于距台风中心200km的区域受影响，所以应考虑轮船与台风中心的距离是否超过200km，如果超过200km，则会进入台风影响区.解：（1）这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区.理由：如图2-7-4所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=500km，BA=300km，由勾股定理，得AC=√(BC^2-BA^2 )=√(〖500〗^2-〖300〗^2 )=400（km）.当这艘轮船不改变航向时，轮船由C地到A地的时间为400/30=13（h），台风中心由B地到A的时间为300/20=15（h）.故轮船到达A地时，台风中心距离A地为300-20×40/3=331/3 （km）.而331/3 km<200km，所以这艘轮船不改变航向会进入台风影响区.（2）设从接到报警开始，经过th这艘轮船就会进入台风影响区，则CD=30t km，BE=20t km，AD=AC-CD=（400-30t）km，AE=AB-BE=（300-20t）km，DE=200km.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AD²+AE²=DE²,即（400-30t）²+（300-20t）²=200².整理，得13t²-360t+2 100=0，解得t_1≈8.35，t_2≈19.34.所以从接到报警开始，经过8.35h它就会进入台风影响区.※22.解：设该银行一年定期存款的年利率是x，根据题意，得【2 000（1+x）-1 00】+【2 000（1+x）-1 000】x=1 107.45.化简，得（1 000+2 000x）（1+x）=1 107.45400x²+600x-21.49=0.解这个方程，得x_1=0.035=3.5%，x_2=-1.535（不合题意，舍去）.所以该银行一年定期存款的年利率是3.5%.第61页练习答案解：列表如下：或画树状图如图3-1-13所示：由表或树状图可知总共有4中结果，每中结果出现的可能性相同，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有一种，所以，P（白色上衣和白色裤子）=1/4.3.1 1.解：列表如下：（1）由表可知，一次实验中两张牌的牌面数字和有2,3,4.（2）两张牌的牌面数字和为3的概率最大.（3）P（和为3）=3/4=1/2.2.解：列表如下：由表可知：（1）两次都摸到红球的概率为1/4；（2）连词摸到不同颜色的去的概率为2/4=1/2.（3）解：可能性相同.因为掷一枚硬币正反面朝上的概率都是1/2.第64页练习答案解：设三张大小一样而画面不同的画片分别为A,B,C,将出现的可能结果列表如下：由表可知，出现的总结过有9种，能拼成原来的一幅画的结果有（A上，A下），（B上，B下，）（C上，C下）三种，所以P（两张恰好能拼成原来的一幅画）=3/9=1/3.3.2 1.解：将出现的可能结果列表如下：由表可知，（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率为0；（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率为1/9；（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大；（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是6/9=2/3.。