3课时函数的最值

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《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

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(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章三角函数
5.4 三角函数的图象与性质第4课时正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ，关于原点对称，又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
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正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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高中数学函数的极值与最大小值第3课时导数在解决实际问题中的应用课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

第五章 5.3 5.3.2 第3课时A 级——基础过关练1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对【答案】B2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(140－x )件，要使利润最大每件定价为( )A ．80元B ．85元C ．90元D ．95元【答案】B3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A ．12V B ．4V C ．23VD ．34V【答案】D 【解析】设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x2，S 表＝3×4V 3x2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2，所以S ′表＝－43V x 2＋3x ，令S ′表＝0，得x ＝34V ，经检验得，当x ＝34V时，S 表取得最小值．4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意得，年平均利润为f (x )＝－x 2＋12x －25x ＝－x ＋12－25x(x >0)，f ′(x )＝－1＋25x2，令f ′(x )＝0，得x ＝5，经检验得，当x ＝5时，年平均利润最大．5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，且Q 与p 有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28000元D ．23000元【答案】D 【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．6．现要做一个容积为256m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6m B ．8m C ．4mD ．2m【答案】C 【解析】设底边长为x (x ＞0)，由题意可得，高h ＝256x2，用料y ＝x 2＋4xh＝x 2＋4×256x ＝x 2＋512x ＋512x ≥335122＝192，当且仅当x 2＝512x即x ＝8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料．故选C ．7．(多选)一艘船的燃料费y (单位：元/时)与船速x (单位：千米/时)的关系是y ＝1100x 3＋x .若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L (x )，则下列说法正确的是( )A ．L (x )＝x 2＋540x＋100(x ＞0)B ．L (x )＝x 2＋54000x＋100(x ＞0)C ．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时D ．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时【答案】BD 【解析】由题意可得，航行的总费用L (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1100x 3＋x ＋540100x＝x 2＋54 000x ＋100(x ＞0)，故A 错误，B 正确；L ′(x )＝2x －54 000x2，令L ′(x )＝0，得x ＝30，当0＜x ＜30时，L ′(x )＜0，L (x )单调递减，当x ＞30时，L ′(x )＞0，L (x )单调递增，所以当x ＝30时，L (x )取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C 错误，D 正确．故选BD ．8．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m ，则当高为__________m 时，容器的容积最大．【答案】1 【解析】由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m ，则体积V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．9．某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成长为________m ，宽为________m 的长方形才能使小屋面积最大．【答案】10 5 【解析】要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为x m ，则长为(20－2x )m ，小屋面积S ＝x (20－2x )，S ′＝－4x ＋20，令S ′＝0，解得x ＝5，∴20－2x ＝10，∴当小屋长为10 m ，宽为5 m 时，面积最大．10．已知某工厂生产x 件产品的成本(单位：元)为C (x )＝25000＋200x ＋140x 2.(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x 40，所以y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x ＝1000.当在x ＝1000附近左侧时，y ′<0，在x ＝1000附近右侧时y ′>0，故当x ＝1000时，y 取极小值也是最小值，所以要使平均成本最低，应生产1000件产品． (2)利润函数为S ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240.令S ′＝300－x20＝0，得x ＝6000.当在x ＝6000附近左侧时，S ′>0，在x ＝6000附近右侧时S ′<0，故当x ＝6000时，S 取极大值也是最大值，所以要使利润最大，应生产6000件产品．B 级——能力提升练11．(2021年长沙期末)一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A ．32m B ．1m C ．3mD ．2m【答案】D 【解析】设OO 1为x m(1<x <4)，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3.由题设得正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2(m)，所以底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)．帐篷的体积V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2)＝32(8＋2x －x 2)[(x －1)＋3]＝32(16＋12x －x 3)，V ′＝32(12－3x 2)．令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0，所以当x ＝2时，V 最大．12．(多选)(2021年北京期中)将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V (x )，则下列结论正确的是( )A ．V (x )＝(a －2x )2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2B ．V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2C ．V (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 4上单调递增D ．V (x )在x ＝a6时取得最大值【答案】ABD 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a －2x 的正方形，高为x ，则V (x )＝(a －2x )2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜a 2，选项A 正确；由V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x ，得V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2，选项B 正确；令V ′(x )＞0，解得0＜x ＜a 6，令V ′(x )＜0，解得a 6＜x ＜a2，故V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 6单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，a 2单调递减，且在x ＝a 6处取得最大值，选项C 错误，选项D正确．故选ABD ．13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．【答案】175 【解析】设订购x 件商品，则单件商品的收益为P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200(0≤x ≤150)，200－(x －150)(x ＞150)，故总收益R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200x (0≤x ≤150)，350x －x 2(x ＞150).当0≤x ≤150时，x ＝150，R (x )取得最大值30 000；当x ＞150时，x ＝175，R (x )取得最大值30 625.故订购175件的合同会使总收益最大．14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm ，则当圆柱的底面半径r ＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．【答案】8π＋2cm 128π(π＋2)2cm 3【解析】设圆柱的底面半径为r cm ，圆柱的高为h cm ，则由题意可得πr ＋2h ＋2r ＝12，∴h ＝12－(π＋2)r 2＝6－π＋22r ，由h ＞0，得r ＜12π＋2，故容器的容积V ＝πr 2h ＝πr 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－π＋22·r ＝6πr 2－(π＋2)π2·r 3，其中0＜r ＜12π＋2，V ′(r )＝12πr －3π(π＋2)2·r 2，令V ′(r )＝0，得r ＝0(舍)或r ＝8π＋2，当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8π＋2时，V ′(r )＞0，函数单调递增；当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2，12π＋2时，V ′(r )＜0，函数单调递减，∴当r ＝8π＋2时，V 有最大值为128π(π＋2)2 cm 3. 15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1，2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)．解：(1)根据t 的范围分段求解． ①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0，解得t <4或t >10. 又∵0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50，化简得(t －10)(3t －41)<0，解得10<t <413.又∵10<t ≤12，故10<t ≤12. 综上，0<t <4或10<t ≤12.∴枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在(4，10)内达到．V ′(t )＝e 14t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t (t ＋2)(t －8)．令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表，∴V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50≈108.32(亿立方米)． ∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．函数的极值与最大(小)值综合练习A 级——基础过关练1．函数y ＝(x ＋1)e x ＋1，x ∈[－3，4]的最大值为( )A ．2e －2B ．5e 5C ．4e 5D ．－e －1【答案】B 【解析】由y ＝f (x )＝(x ＋1)e x ＋1，得y ′＝ex ＋1＋(x ＋1)ex ＋1＝(x ＋2)ex ＋1，当－3<x <－2时，y ′<0，当－2<x <4时，y ′>0，所以函数y ＝(x ＋1)ex ＋1在(－3，－2)上单调递减，在(－2，4)上单调递增，因为f (－3)＝－2e －2<f (4)＝5e 5，所以函数y ＝(x ＋1)ex＋1，x ∈[－3，4]的最大值为5e 5.故选B ．2．如图是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在(－3，1)内f (x )是增函数B ．在(4，5)内f (x )是减函数C ．在x ＝1时f (x )取得极大值D ．在x ＝2时f (x )取得极大值【答案】D 【解析】由图可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32，(2，4)上f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，(4，5)上f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以x ＝1不是f (x )的极值点，x ＝2是f (x )的极大值点，所以A 、B 、C 选项错误，D 选项正确．故选D ．3．已知函数f (x )＝(x 2＋a )e x有最小值，则函数y ＝f ′(x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】由题意，f ′(x )＝(x 2＋2x ＋a )e x，因为函数f (x )有最小值，且e x>0，所以函数存在单调递减区间，即f ′(x )<0有解，所以x 2＋2x ＋a ＝0有两个不等实根，所以函数y ＝f ′(x )的零点个数为2.故选C ．4．(2021年河南三模)设函数f (x )＝e xx ＋a ，若f (x )的极小值为e ，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．32D ．2【答案】B 【解析】由已知得f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2(x ≠－a )，令f ′(x )＝0，有x ＝1－a ，且x <1－a 上单调递减，x >1－a 上单调递增，∴f (x )的极小值为f (1－a )＝e 1－a＝e ，即1－a ＝12，解得a ＝12.故选B ．5．现需建造一个容积为V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍．要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r 与高h 的比值为( )A ．12 B ．13 C ．23D ．14【答案】D 【解析】设单位面积铁的价格为a ，h ＝Vπr2，则造价w (r )＝πr 2·a ＋2πrh ·a ＋πr 2·3a ＝4a πr 2＋2aV r ，w ′(r )＝8a πr －2aV r 2，取w ′(r )＝8a πr －2aVr2＝0，得到r＝3V4π，当0<r <3V4π时，函数单调递减，当r >3V4π时，函数单调递增，故r ＝3V4π时，造价最小，此时h ＝V πr 2＝4πr3πr2＝4r .6．(多选)(2022年保定开学)已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2，下列说法中正确的有( )A ．函数f (x )的极大值为223，极小值为－103B ．当x ∈[3，4]时，函数f (x )的最大值为223，最小值为－103C ．函数f (x )的单调减区间为[－2，2]D ．曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝－4x ＋2【答案】ACD 【解析】因为f (x )＝13x 3－4x ＋2，所以f ′(x )＝x 2－4，由f ′(x )>0，得x <－2或x >2，由f ′(x )<0，得－2<x <2，所以函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故选项C 正确；当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋2＝223，在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝13×23－4×2＋2＝－103，故选项A 正确；当x ∈[3，4]时，f (x )为单调递增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值f (3)＝13×33－4×3＋2＝－1，当x ＝4时，f (x )取得最大值f (4)＝13×43－4×4＋2＝223，故选项B 不正确；因为f ′(0)＝－4，所以曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－4(x －0)，即y ＝－4x ＋2，故选项D 正确．故选ACD ．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C 【解析】因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.又因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，所以a ≥－52，所以a 的最小值为－52.8．函数f (x )＝x sin x ＋cos x －3x 2的极值点为________．【答案】0 【解析】依题意，f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x －6x ＝x cos x －6x ，令f ′(x )＝x (cos x －6)＝0，解得x ＝0，符合题意，∴函数f (x )的极值点为0.9．已知函数f (x )＝exx，g (x )＝a －|x －1|，若∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e ，＋∞) 【解析】∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立⇔当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ≤g (x )max .由题意得f ′(x )＝e x(x －1)x2，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )＝exx在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝e.又因为函数g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝a ，故a ≥e.10．(2022年浦江月考)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ， (1)若a ＝－1，求f (x )的极值；(2)当－83<a <0时，f (x )在[0，2]上的最大值为10，求f (x )在该区间上的最小值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋x 2－x ，f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝13，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝127＋19－13＝－527.(2)∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋a ，∴Δ＝4－12a . 又－83<a <0，∴Δ>0.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－3a 3，x 2＝－1＋1－3a3，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． ∵－83<a <0，x 1<0<x 2<2，∴f (x )min ＝f (x 2)．又∵f (0)＝0，f (2)＝12＋2a >0，∴f (x )在[0，2]上的最大值为f (2)＝12＋2a ＝10，解得a ＝－1， ∴f (x )min ＝f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－527. B 级——能力提升练11．(多选)(2022年重庆月考)定义在[－1，5]上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，函数f (x )的部分对应值如下表．下列关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．函数f (x )的极大值点的个数为2B ．函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)∪(2，4)C ．当x ∈[－1，t ]时，若f (x )的最小值为1，则t 的最大值为2D ．若方程f (x )＝a 有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是(1，2)【答案】AD 【解析】由图知函数f (x )在区间[－1，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减，所以在x ＝0，x ＝4处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；因为函数f (2)＝1，f (4)＝3，且f (x )在区间[2，4]上单调递增，所以存在x 0∈[2，4]使得f (x 0)＝2，易知，当t ＝x 0时，f (x )在区间[－1，t ]的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D 正确．故选AD ．12．(2022年咸阳月考)已知函数y ＝f (x )在R 上可导且f (0)＝1，其导函数f ′(x )满足(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，对于函数g (x )＝f (x )ex，下列结论正确的是( )A ．函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数B ．x ＝－1是函数g (x )的极大值点C ．函数g (x )必有2个零点D ．e 2f (e)>e ef (2)【答案】D 【解析】因为g (x )＝f (x )ex，所以g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex.因为(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，所以当x <－1时，f ′(x )－f (x )<0，当x >－1时，f ′(x )－f (x )>0，所以当x <－1时，g ′(x )<0，当x >－1时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故A 错误；x ＝－1是g (x )的极小值点，故B 错误；当g (－1)>0时，g (x )无零点，故C 错误；由g (x )在(－1，＋∞)递增，得g (2)<g (e)，即f (2)e2<f (e)ee ，所以e ef (2)<e 2f (e)，故D 正确．故选D ．13．(2022年遵义开学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |－m ，x <12x 3ln x －m ，x ≥12恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln28∪(0，1) 【解析】设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |，x <12，x 3ln x ，x ≥12，根据题意函数f (x )恰有3个零点，即为函数g (x )的图象与直线y ＝m 有3个公共点，当x ≥12时，可得g ′(x )＝x 2(3ln x ＋1)，令g ′(x )＝0，得x ＝e －13 >12，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，e －13 时，函数g (x )单调递减；当x ∈(e －13 ，＋∞)时，函数g (x )单调递增，所以当x ＝e －13 时，函数g (x )取得极小值，极小值为g (e －13 )＝－13e ，又由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18ln2<0，作出g (x )的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln 28∪(0，1)．14．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的速率缩短，而长度以每秒20cm 的速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，已知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．该定海神针原来的长度为__________cm ；假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.【答案】60 4 【解析】设定海神针原来的长度为x cm ，则t 秒后其长度变为(x ＋20t )cm ，其底面半径变为(12－t )cm ，∴t 秒后定海神针的体积V ＝πR 2h ＝π(12－t )2(x ＋20t )，0≤t ≤8，又V ′＝π[(2t －24)(x ＋20t )＋20(12－t )2]＝π(t －12)(2x ＋60t －240)，令V ′＝0，可得t ＝12(舍去)或t ＝4－x30，变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大，即t ＝2时体积最大，∴4－x30＝2，解得x ＝60，∴V ′＝60π(t －12)(t －2)．当0≤t <2时，V ′>0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递增，当2<t ≤8时，V ′<0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递减，又t ＝0时，V ＝8640π，t ＝8时，V ＝3520π，∴t ＝8时，定海神针的体积最小，即t ＝8时形成金箍棒，此时底面半径为4 cm.15．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋2(a 为实数) (1)若a ＝2，求f (x )在[1，e 2]的最值； (2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2 时，f (x ) ＝x ln x －2x ＋2，f ′(x )＝ln x －1.由f ′(x )<0得0<x <e ，由f ′(x )>0得x >e ，所以f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，且f (e) ＝eln e －2e ＋2 ＝2－e ，f (1)＝1ln 1－2＋2＝0，f (e 2)＝e 2ln e 2－2e 2＋2 ＝2，则函数f (x )在区间[1，e 2]上的最小值为 2－e ，最大值为2.(2)由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，若f (x )≥0恒成立，则x ln x －ax ＋2≥0，即ln x ＋2x≥a 恒成立．令g (x )＝ln x ＋2x，x ∈(0，＋∞)则g ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x2.当 0<x <2时，g ′(x )<0；当x >2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则g (x )min ＝g (2)＝1＋ln 2，所以a ≤1＋ln 2 ，故a 的取值范围为(－∞，1＋ln 2]．。

高考数学一轮复习-《导数及应用》第3课时-导数的应用(二)—极值与最值课件

x>2
f′(x)>0
x<2
，解得c＝6
授人以渔
题型一利用导数研究函数极值
例1
已
知函数
f(x)＝
ax3－
3x2＋
3 1－a(a∈
R且
a≠
0)，
求函数f(x)的极大值与极小值．
2 【解析】由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－a)．
2 令f′(x)＝0得x＝0或x＝a.
• 当a>0时，随x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下:
(2)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a
的取值范围是(
)
A． (－ 2,2)
B． [－ 2,2]
C． (－ ∞，－ 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三
次函数 f(x)＝ 0有 3个根
⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0 ∴x＝－1为极大值点， x＝1为极小值点．
2
43
f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋1.
• 探究1 掌握可导函数极值的步骤: • (1)确定函数的定义域． • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干
个小开区间，并形成表格． • (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)
• 解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )

【数学】1.3.3《函数的最值》

当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表： x y′ y -4 (-4,-3) + 20 -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 0 0 + 0 76 27 -5
比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=－5
练习:
求下列函在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
导数的应用-----求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(1) f ( x) 2 x 6 x 18x 7 , x 2 , 4
3 2
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
二、新课——函数的最值
y
观察右边一个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值，_________是极 f(b) 大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值 f(x3) 是_______。
例2、函数 y = x³ 3 x² + －9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 ,最小值为 .
分析: (1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9=0, 得x1=－3，x2=1
函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76

2022-2023学年人教A版必修第一册 5-4-3 正弦函数、余弦函数单调性与最大值和最小值课件

在____[_2_kπ_，__2_k_π_＋__π_]______(k∈Z)上递减
最值
x＝_π2_＋__2_k_π __(k∈Z)时，ymax＝1； x＝_32_π_＋__2_k_π_(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝__2_k_π____(k∈Z)时，ymax＝1； x＝__π_＋__2_k_π_(k∈Z)时，ymin＝－1
研习 2 三角函数单调性的应用
[典例 2] (1)已知 α，β 为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( B )
C.－π2，π2 D．[π，2π]
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( B )
A.0，π2
B.π2，π
C.π，32π
D.32π，2π
3．函数 y＝2－sin x 取得最大值时 x 的值为__2_k_π_－__π2_(k_∈__Z__) ____．
解析：因为 y＝2－sin x，所以当 sin x＝－1 时，ymax＝3，此时 x＝2kπ－π2(k∈Z)．
利用单调性比较大小．
模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养．
3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx
＋φ)的单调区间.
精梳理·自主学习固基础
【主题】正、余弦函数的图象与性质
解析式
y＝sin x
图象
定义域值域
___R_____ __[－__1_,_1_] _
[练习 1] (1)函数 y＝2－cos x 的单调递增区间是( D ) A．[－2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) B．[kπ＋π，kπ＋2π](k∈Z) C.2kπ，2kπ＋π2(k∈Z) D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) (2)求函数 y＝1＋sin－12x＋π4，x∈[－4π，4π]的单调递减区间．

大学数学_3_4 函数的最大值与最小值

例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7）图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第3课时函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修1-1

(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2) 计算函数 f(x) 在极值点和端点的函数值，其中最大的一
个为最大值，最小的一个为最小值．
2 ．正确理解“在闭区间 [a ， b] 上连续的函数 f(x) 必有最值．” (1)给定的区间必须是闭区间， f(x)在开区间上虽然连续但不 1 能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝x， x∈(0,1)， f(x)在区间(0,1) 连续，但没有最大值和最小值(如图)．
当 x 变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如表： x g′(x) g( x ) 2 (－∞，3) ＋ 2 3 0 68 27－m 2 (3，4) － 4 0 －16－ m (4，＋∞) ＋
2 68 则函数 g(x)的极大值为 g(3)＝27－m，极小值为 g(4)＝－16 －m.
1 ∴由 y＝f(x)的图象与 y＝3f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同交点， 2 68 g ＝－m>0 得 3 27 ， g4＝－16－m<0 68 解得－16<m<27.
2
当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f ′(x) f ( x) －2 －1 (－1,0) ＋ 0 0 1 4 (0，3) － 4 3 0 5 －27 4 (3，2) ＋ 1 2
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[ 方法规律总结 ] (小)值步骤如下：
1. 求可导函数 y ＝ f(x) 在 [a ， b] 上的最大
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0，即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1，解得 b＝－12.
12a＋b＝0，化简得 4a＋b＝－8.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f ′(x)＝3x2－12，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上为增函数，

第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版

1

是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法）由题意知函数的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,

第2讲函数之三：函数的值域（最大值与最小值）

第2讲函数之三：函数的值域（最⼤值与最⼩值）第2讲函数之三：函数的值域(函数的最⼤值或最⼩值)1．⼆次函数配⽅法：例1．求函数]3,0[,232∈-+=x x x y 时的最⼤值和最⼩值。

解：4)1(3222+--=++-=x x x y∴]1,(-∞∈x 时为增函数,],1(+∞∈x 时为减函数 ]3,0[∈x ， f （3）当4,1max ==y x 时例2．求函数98212+-=x x y 的最⼤值解：令1)2(298222+-=+-=x x x u∴u ≥1 ∴01≤1 ∴0例3．设]1,1[-∈x ，求函数)(32R a ax x y ∈+-=的最⼤值和最⼩值解：43)2(3222a a x ax x y -+-=+-=1）2a>1 ，即a >2当a y x +=-=4,1max 时; 当a y x -==4,1min 时2）2a<-1 ，即a <-2当a y x -==4,1max 时; 当a y x +=-=4,1min 时3）-1≤2a≤0 ，即-2≤a ≤0当=x 2a 时，432min a y -=;当a y x -==4,1max 时4）0<当=x 2a 时，432min a y -=;当a y x +=-=4,1min 时例4．某商店如将进货单价为8元的商品，按每件10元出售，每天可销售50件，现采⽤提⾼该商品售价，减少货量的办法，增加利润。

已知该商品每提⾼1元，其销售量减少5件，问每件价格多少，才能使每天销售所得利润最⼤？并求最⼤值。

解：设利润为y ，每件价格为x 元)8)](10(550[---=x x y )8)(1005(-+-=x x180)19628(52++--=x 180)14(52+--=x∴当x =14时，最⼤利润为180元。

2．利⽤函数单调性例1．求函数x x y --=13的值域解：定义域1-x ≥0 ，x ≤1在(]1,∞-∈x 时，是增函数∴y ≤3∴值域为(]3,∞-(注：本题还可以⽤换元法。

第三章函数的极值与最值

一、函数极值的定义
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
(4) 求极值.
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
所以 ,函数 f(x )在 x 0 处取得极大值
例2 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 2 数 2x 4 2的 0 .极解 f(x)3x26x2 43 (x 4 )x ( 2 ) 令f(x)0，得x 1 驻 4 , x 点 2 2 . f(x ) 6 x 6 , f(4)18 0, 故极大f(值 4)60,
定理2(第一充分条件)
(1)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 ),
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极大值.
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值

高等数学第三章：函数的极值与最值

因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值同理 f(x)在1处也没有极值
16
运用第一、第二充分条件需要注意:
(1) 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一充分条件来判定有无极值;
(2) 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 则可用第二充分条件判断有无极值.
17
例证明x 1时, ex 1 1 x
2
y
比较得: 最大值为 3 4 ,
最小值为 3 4 3 3.
1
2 1O 1
2
2
2x
26
求函数 f ( x) | x 2 | ex 在[0,3]上的
最大值与最小值.
解
( x 2)e x
f
(x)

(x

2)e x
f
(
x)

( x 1)e

(x
1)e x
应用. 事实上,当f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处可能有极大值,也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, f1( x) x4, f2( x) x4, f3( x) x3 在x 0处分别属于上述三种情况.
仍用第一充分条件
15
例求函数f(x)(x21)31的极值
一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得.
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
21
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小) 值的方法: (1) 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的点(即为极值可疑点)处的函数值和区间端点的函数值 f (a), f (b)比较, 其中最大(小)者就是 f (x) 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. (2) 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时, 最值必在端点处达到.

第3课时函数的单调性与最值

第3课时函数的单调性编者：曹金凤审核：郭红霞班级_________第一部分预习案学号_________一、知识回顾姓名_________1．函数单调性的定义： “式”与“形”，与函数的导数的关系。

2．单调区间的定义与书写：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。

3．函数的最值定。

4．函数的最值、值域求法：配方法，图象法，分离常数法，逆求法，换元法，单调性法，基本不等式法，导数法，判别式法。

二、基础训练1．设()f x ,()g x 在),(+∞-∞上都是单调函数，有如下四个命题(1)若()f x 单调递增，()g x 单调递增，则()()f x g x -单调递增(2)若()f x 单调递增，()g x 单调递减，则()()f x g x -单调递增(3)若()f x 单调递减，()g x 单调递增，则()()f x g x -单调递减(4)若()f x 单调递减，()g x 单调递减，则()()f x g x -单调递减其中正确的命题是．2．已知f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，3]上单调递减，则实数a 的范围是______．3．已知()223f x x x =-++[]()1,2x ∈-，则()f x 的最大、最小值分别为：．4．若函数()()0x f x a x a=>-在区间()1,+∞上是减函数，那么实数a 的取值范围．三、我的疑惑第二部分探究案一、问题与探究问题1．判断并证明函数1()log(01)1axf x ax-=<<+的单调性．问题2．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.问题3．函数()()l o g 31a f x x =+-()0,1a a >≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，求12m n+的最小值．我的收获第三部分训练案1．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________．2．设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； ④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．3．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 __________．4．函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______．5．求函数225851x x y x ++=+的最大、小值．6．求函数21x x y -=的最大值7．()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f f x f y y =-（1）求(1)f 的值（2）若(6)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<。

11.第十一章代数式中最值问题求法举例(3课时)

第十一章代数式中最值问题举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。

现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：一．根据非负数的性质求最值。

1、若M =（x±a）2+b ，则当x±a =0时M 有最小值b 。

2、若M =-（x±a）2+b ,则当x±a =0时M 有最大值b 。

3、用（a±b）2≥0，∣a∣≥0,a ≥0的方法解题。

第1课时：利用函数图象和性质求最值【经典例题讲一讲】1.已知三个非负数a、b、c 满足3a＋2b＋c =5,2a＋b-3c =1,若Q =3a＋b-7c ,求Q 的最大和最小值。

2.当21≤≤-x 时，函数224222+++-=a a ax x y 有最小值，求a 所有可能取的值。

3.如图：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．4.已知1x ，2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x （k 是实数）的两个实数根，求2221x x +的最大值和最小值。

5.已知二次函数y=x 2﹣2mx（m 为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，求m 的值【典型习题练一练】1.已知x ，y ，z 是非负实数，且满足条件x ＋y ＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x ＋4y ＋2z 的最大值和最小值．2.若│y│≤1,且2x ＋y =1.则2x 2＋16x ＋3y 2的最小值是____________.。

3.若实数x 、y 满足条件,022=-+x y 则522++-x x y 的最大值是_______。

4.已知1x ，2x 是方程0)232(4222=-++-m m mx x 的两个实数根，求m 为何值时2221x x +有最小值，并求这个最小值。

5.若关于x 的一元二次方程()0122222=++--k x k x 有实数根α，β，（1）求实数k 的取值范围。

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3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1）所以Δf（Δxx）＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1）＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .

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第五章一元函数的导数及其应用《5．3．2函数的极值与最大（小）值》教学设计第3课时◆教学目标1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系．2．初步掌握求函数极值的方法．3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．◆教学重难点◆教学重点：求函数极值教学难点：函数极值与导数的关系◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第89~92页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的极值；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的极值与最值是函数的一个重要性质．在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函的增减．如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？设计意图：通过该问题，引起学生思考，顺利地进入本节课的学习．进一步培养学生学会分析和思考的能力．【探究新知】知识点1：函数的极值问题3：观察图（1），当t a =时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？图（1）图（2）师生活动：学生思考后回答，教师完善．预设的答案：放大t a =附近函数()h t 的图象，如图（2）．可以看出，()0h a '=；在t a =的附近，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<．这就是说，在t a =附近，函数值先增（当t a <时，()0h t '>）后减（当t a >时，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．设计意图：通过熟悉的例子及图象，逐步引导学生思考导数值为0的点附近函数图象的特点以及导数正负性的变化规律．发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养．思考：对于一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？问题4：如图，函数()y f x =在x a b c d e =，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的正负性有什么规律？师生活动：学生认真观察图形后回答，教师完善．预设的答案：以x a b =，两点为例，可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．教师总结：我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．设计意图：通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．结论：(1)极小值点与极小值若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，就把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，就把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质．【练一练】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点师生活动：学生讨论后回答，教师完善．预设的答案：设y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．即答案为B. 问题5：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数3()f x x =，我们有2()3f x x '=．虽然(0)0f '=，但由于无论0x >，还是0x <，恒有()0f x '>，即函数3()f x x =是增函数，所以0不是函数3()f x x =的极值点．一般地，对于可导函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要条件，而非充分条件．设计意图：通过寻找特例，让学生明白对于可导函数来说，导数值为0的点与该点为极值点之间的关系．同时让学生明白，极值不是可导函数的特有的．发展学生数学抽象的核心素养．问题5：极大值一定大于极小值吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：如图是函数1()sin 2f x x x =-的部分图象，由图可知，函数1()sin 2f x x x =-在73x =π处的极小值大于在点73x =-π处的极大值．设计意图：通过该例，让学生不要产生极大值一定大于极小值的错误想法．【巩固练习】例1 求函数31()443f x x x =-+的极值．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：因为31()443f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x =-=+-'．令()0f x '=，解得2x =-或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x (2)-∞-，2-(22)-，2 (2)+∞，()f x '＋ 0 － 0 ＋()f x单调递增 283单调递减 43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3f -=；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．方法总结：一般地，可按如下方法求函数()y f x =的极值：解方程()0f x '=，当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值．例2求函数y ＝x 3(x －5)2的极值：师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5)＝5x 2(x －3)(x －5)．令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3＝5．当x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞) y ′ ＋＋0 －0 ＋y↗无极值↗极大值 108↘ 极小值0↗∴x ＝0不是y 的极值点；x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．方法总结：一般地，求函数()y f x =的极值的步骤（1）求出函数的定义域及导数f ′（x ）；（2）解方程f ′（x ）＝0，得方程的根x 0可能不止一个；（3）用方程f ′（x ）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x ，f ′（x ），f （x ）在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；（4）由f ′（x ）在各个开区间内的符号，判断f （x ）在f ′（x ）＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f （x ）在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．练习：教科书P 92练习1、2【课堂总结】1．板书设计：5．3．2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）新知探究巩固练习知识点1：函数的极值例1例22．总结概括：函数的极值的有关定义；求函数()y f x =极值的方法和步骤．师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 98习题5．34、5 【目标检测设计】1．设函数()e (1)(2)x f x x x =--，则( ) A ．()f x 的极大值点在()1,0-内 B ．()f x 的极大值点在()0,1内 C ．()f x 的极小值点在()1,0-内D ．()f x 的极小值点在()0,1内设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法，以及函数零点存在定理．2．已知函数()()3261f x x mx m x =++++既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是( ) A ．()1,2-B ．(),36,()⋃-∞-+∞C ．()3,6-D ．(),12,)(⋃-∞-+∞设计意图：进一步巩固利用导数求函数极值的方法以及方程有解问题的处理方法． 3．求函数y ＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值．设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法．参考答案：1．A 依题意()()22()e 32,()e 1x x f x x x f x x x '=-+=--，令)'(0f x =，解得15x ±=．当15x -<或15x +>时，)'(0f x >1515x -+<<时，)'(0f x <，故函数()f x 在15(1,0)x -=-时取得极大值，在151x +=>时取得极小值．故选A ． 2．B32()(6)1f x x mx m x =++++，2()32'6f x x mx m ∴=+++，函数()f x既存在极大值，又存在极小值，∴导函数'()f x有两个不相等的变号零点，2412(6)0m m∴∆=-+>，即23180m m-->，解得3m<-或6m>．∴实数m的取值范围是(,3)(6,)-∞-⋃+∞．故选B．3．解：(1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y ↗极大值↘极小值↗当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22．。

2-3第三节函数的单调性与最值(2015年高考总复习)

变式思考 4
1 求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最值． x
解
方法1：设1≤x1<x2≤3，
1 1 f(x2)－f(x1)＝x2－x －(x1－x ) 2 1 x2－x1 1 1 ＝x2－x1＋－＝x2－x1＋ x1 x2 x1x2 1 ＝(x2－x1)(1＋x x )， 1 2 ∵1≤x1<x2≤3，∴f(x2)－f(x1)>0.
第二章函数、导数及其应用
第三节 ►►函数的单调性与最值
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
高考这样考 1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式． 2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围． 3.与导数交汇命题，以解答题形式考查.
备考这样做 1.从数、形两种角度理解函数的单调性． 2.会判断复合函数的单调性． 3.含参函数的最值求法，需对参数进行讨论.
解析
1 要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，即x＞－ 2 ，
1 而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x＞－ 2 时，u＝2x＋1也为
1 增函数，故原函数的单调增区间是－2，＋∞.
答案
1 －，＋∞ 2
5．(2014· 开封模拟)函数f(x)＝ ________．
3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用 “或”联结．
基础自评 1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( A．y＝3－x C．y＝－x2＋4
解析
答案
)
1 B．y＝ x D．y＝|x|
结合函数的图象易知选D.
＜f(1)的实数x的取

第3节函数的最值

函数的最值
1.最值的定义：
注：.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).
2.求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【例】.(2018·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.
解析由于y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 3。