2020年全国高中数学联赛汇总更新

全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷

（考试时间：2020年6月27日9：00－11：30，满分150分）

一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上） 1、已知复数z 满足-3z z i =-，则z = . 2、设,x y 均为正数，则433x y

M x y x

=

++的最小值为 . 3、设集合{}(,)log log 0a a A x y x y =+>，{}

(,)B x y x y a =+<，若A B =∅，则a 的取值范围

是 .

4、已知等边ABC ∆的边长为1，1()3AP AB AC =+，1

2

AQ AP BC =+，则APQ ∆的面积是 . 5、已知-2,,,a

a a a e

b a

c a 则a ，b ，c 的大小关系是 .

6、从1,2,

,10中任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率是 .

7、若关于x 的方程

26

x

kx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为__________. 8、设数列}{n a 满足1a ＝

14，且2*1()n n n a a a n N +=+∈，记202012202011111

1

T a a a +++

+++=，若2020T 的

值在区间(,1)k k +内，则整数k 值为

．

9、已知半径为4的球面上有两点,A B ，AB =，球心为O . 若球面上的动点C 满足二面角C AB O --的大小为0

60，则四面体OABC 外接球的半径是 .

10、已知椭圆2

214

y x +=，P 为椭圆上的任意一点，过点 P 分别作与1:2l y x =和2:2l y x =-平行的直线

交直线21,l l 于,M N 两点，则MN 的最大值是 ． 二、解答题（共6小题，满分80分。要求写出解题过程）

11、（13分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，2cos()2cos 1A C B --=，延长BC 至D ，使 5.BD = （1）求B ∠的大小； （2）求AC CD ⋅的取值范围．

12、（13分）某校高二男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小明和小强同一小组，小明、小强投篮投进的概率分别为

1P ，2P ．

（1）若134P =

，22

3

P =，求在第一轮游戏中他们获得“优秀小组”的概率； （2）若12

43

P P +=，且游戏中小明、小强小组要获得“优秀小组”次数为16次，则理论上上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时1P 、2P 的值．

13、（13分）已知数列}{n a 中，125a a ==，且11

6(2,)n n n a a a n n N *+-=+≥∈．

（1）证明：数列{}13n n a a --是等比数列，并求数列}{n a 通项公式； （2）证明：

12

11

112

n a a a +++

<．

14、（13分）如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π

2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，

O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2. (1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；

(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求二面角1B AC D --的正弦值.

15、（13分）已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

，其短轴长为1e ，双曲线

22

1x y m n

-=（0m >，0n >

）的渐近线为y =，离心率为2e ，且121e e ⋅=. （1）求椭圆E 的方程；

（2）若A 为椭圆E 的右顶点，3

(1,)2

P -，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆E 交于M ，N 两点，设HMA ∆的面积为1S ，PHN ∆的面积为2S ，且126S S =，求直线MN 的方程.

16、（15分）已知函数()sin ()f x a x a R =∈，().x

g x e =

（1）若01a <≤，判断()(1)ln F x f x x =-+在(0,1)的单调性； （2）证明：2222

1111sin

sin sin sin

ln 2().234

(1)

n N n *

+++<∈+ （3）设2

()()2(1)G x g x mx x k =--++，其中k 为整数. 对0,0x m ∀><

，有()0G x >恒成立，求k 的最小值；

2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案

一、填空题

1. 已知向量b a ，

满足3=-b a ,62=+b a ,9222-=-⋅+b b a a , 则=b . 答案：7

解析：由条件，知()()9222

2

-=+⋅-=-⋅+b a b a b b a a ，所以()()b a b a b --+=23

()()[]2

2b a b a --+=

()()()()b a b a b a b a -⋅+--++=

222227363==

，所以=b 7.

2. 设()4321，，，

=i a i 均为实数，若集合},,,{4321a a a a 的所有非空真子集的元素之和为28，则=+++4321a a a a .

答案：4

解析：含有元素()4321，，，

=i a i 的非空真子集有7个，所以},,,{I 4321a a a a =的所有非空真子集的元素之和为()2874321=+++a a a a ，从而=+++4321a a a a 4.

3. 若二次实系数方程20ax bx c ++=有2个虚根12,x x ，且3

1x R ∈，则

2ac

b

= . 答案：1

解析：注意21x x =，由()

3

333

31111

2x R x x x x ∈⇒===()()

221211220x x x x x x ⇒-++=

()

2

2

21

122

12120x x x x x x x x ⇒++=⇒+=2

221b c ac b ac a a b ⎛⎫

⇒-=⇒=⇒= ⎪⎝⎭

.

4. 设圆22:5O x y +=与抛物线()2

:20C y px p =>交于点()0,2A x ，AB 为圆O 的直径，过B 的直线与

C 交于两不同点,

D

E ，则直线AD 与AE 的斜率之积为 .

答案：2

解析：可求得点()()1,2,1,2A B --，设()()1122,,,D x y E x y ，则由,,B D E 三点共线可得

()1212121222

2411

y y y y y y x x ++=⇒++=++ ()1

2121212221621124AD AE y y k k x x y y y y --⇒⋅=⋅==--+++. 5. 若实数,x y 满足()3

22412log 13120x x y y ++=-++=，则x y += . 答案：2-