直线的方程详解
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
直线的方程(解析版)
直线的方程题型一：倾斜角、斜率问题典例1、直线3310x y ++=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．30D ．60答案： A解析： 求出直线斜率，可得倾斜角．【详解】 直线3310x y ++=的斜率为33k =-，所以倾斜角为150°． 故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题时可先求得直线斜率，由斜率与倾斜角关系得倾斜角． 典例2、如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案： A解析： 根据直线的斜率公式，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，过过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)m m -=--，解得1m =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.典例3、直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2） 答案： D解析： 由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．典例4、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，（θ∈R ），则直线l 倾角α的取值范围是_______。
答案： 3[0][)44πππ⋃，，解析： 依题意可得，直线l 的方向向量为(1,cos )θ-，则tan cos [1,1]αθ=-∈-，所以3[0,][,)44ππαπ∈⋃典例5、已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -，直线l 过原点且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________答案： （-∞，-4+∞）解析： 求出直线,OA OB 的斜率，观察线段AB 是否过y 轴，即可得。
直线的参数方程
直线的参数方程直线是平面上最简单的几何图形之一，在数学中直线可以用多种方式来表示，其中一种常用的表示方式是参数方程。
本文将介绍直线的参数方程及其相关概念和性质。
什么是参数方程？参数方程是用参数表示的方程，其中参数是一个变量，可以取不同的值。
对于直线来说，参数方程可以用来描述直线上各点的坐标。
直线的参数方程表示设直线上一点的坐标为(x, y)，参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + bt其中 (x0, y0) 是直线上一点的坐标，a 和 b 是常数，t 是参数。
直线的参数方程的意义直线的参数方程的意义在于，通过改变参数 t 的取值，我们可以得到直线上不同点的坐标。
参数方程使我们能够更加灵活地描述直线，并进行计算和分析。
值得注意的是，直线的参数方程在某些特殊情况下可能并不唯一。
例如，在平行于坐标轴的直线上，参数方程可以有多种不同的表示方式。
直线的参数方程的性质直线的参数方程具有以下性质：1.直线上的任意两点，都可以通过参数方程表示。
2.参数方程中的参数 t 是一个实数，可以取任意值，因此可以描述出直线上的每一个点。
3.相同的直线可以有不同的参数方程表示，但所有的参数方程都会描述出同一条直线。
直线参数方程的应用直线的参数方程在数学和物理中有广泛应用。
例如，在几何学中，我们可以利用参数方程求直线的长度、直线与其他几何图形的交点等问题。
在物理学中，直线的参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
通过改变参数的取值，我们可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而研究其运动规律。
直线的参数方程是一种常见的表示直线的方法。
通过参数方程，我们可以更加灵活地描述直线上的各个点，进行计算和分析。
直线的参数方程具有多种性质，可以在几何学和物理学等领域中得到广泛的应用。
希望通过本文的介绍，读者对直线的参数方程有了更加深入的理解，能够灵活应用于实际问题的解决中。
直线的方程(解析版)
第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1 直线的点斜式方程名师导学【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝3； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C (－1，2)，且与y 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3[x －(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y －4＝－(x ＋1)．(3)∵直线与y 轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x ＝－1. (4)∵直线过点D (2，1)和E (3，－4)， ∴斜率k ＝－4－13－2＝－5.由点斜式得y －1＝－5(x －2)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －5＝4(x －2)； (2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝ 3.∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2.【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)． ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【证明】 法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0，5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k |·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k ·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5).名师导练A 组-[应知应会]1．（宣城期末）过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=【答案】C【解析】∵直线过点()3,2且斜率为23， 由直线方程的点斜式得：22(3)3y x -=-， 整理得：230x y -=. 故选C.2．（绵阳期末）已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C. 3．（上饶期末）直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( ) A ．3，3 B ．3，－3 C ．3，3 D ．－3，－3 【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为3，令x ＝0可得在y 轴上的截距为y ＝－3.故选B. 4．（通州区期末）直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0【答案】 B【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5．（龙凤区校级期末）过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 【答案】D【解析】因为所求直线与直线25y x =+垂直，所以其斜率为12k =-， 又所求直线过点()2,0， 因此，所求直线方程为：()122y x =--，即112y x =-+. 故选D.6．（南关区校级期末）已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--【答案】C 【解析】直线l 与直线21y x =-+平行，∴直线l 的斜率与21y x =-+的斜率相等，即直线l 的斜率：2k =-；又直线l 过点()2,0，则由点斜式可知直线方程为()022y x -=-- 整理可得：24y x =-+ 故选C.7．（兴庆区校级期末）直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________． 【答案】 －5【解析】 ∵令x ＝0，则y ＝－5， ∴直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是－5.8．（无锡期末）在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】 与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为： k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．（金牛区校级期末）与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．【答案】 y ＝34x －3【解析】 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34.设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0，得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.10．（南岗区校级期末）斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3【解析】 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3.由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋16b 29＝12， 即|b |＋43|b |＋53|b |＝12，即4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是2； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.【解析】 (1)斜率k ＝tan 45°＝1，可得斜截式：y ＝x ＋2. (2)k ＝－1－10－3＝23，可得斜截式方程：y ＝23x －1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的斜截式方程． 【解析】 (1)∵所求直线与直线y ＝2x ＋7平行， ∴所求直线斜率为2， 由点斜式方程可得 y －1＝2(x －1)．(2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴所求直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.B 组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝ －38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 3.2.2 直线的两点式方程名师导学知识点1 直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【解答】直线AB 过A (1，3)，B (－2，－1)，其两点式方程为y －3－1－3＝x －1－2－1，整理，得4x －3y ＋5＝0，这就是直线AB 的方程．直线AC 垂直于x 轴，其方程为x ＝1.直线BC 平行于x 轴，其方程为y ＝－1.【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为y －（－1）1－（－1）＝x －21－2，整理得2x ＋y －3＝0，故选C.知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． 【解答】(1)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a ＝1，解得a ＝－1.所以直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l 过原点时，设直线l 的方程为y ＝kx ，因为l 过点A (3，4)，所以4＝k ·3，解得k ＝43，直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 【解析】(1)当截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，又知l 过(3，4)，∴3a ＋4a ＝1，解得a ＝7， ∴直线l 的方程为x ＋y －7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －7＝0或4x －3y ＝0. 知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【解答】如图，过B (3，－3)，C (0，2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5，0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 这就是BC 边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A (4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． 【解析】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.又因为过点A ，所以4a ＋2b ＝1. ①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|a |＝|b |. ② 由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. 所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2， 即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师导练A 组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.【答案】 A2．（红桥区期中）经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是 ( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y 4＝1 【解析】 由P ，Q 两点坐标知直线在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x4－y3＝1. 【答案】 C3．（江宁区校级月考）过点P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)代入方程得a ＝1.因而所求直线有2条． 【答案】 B4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为： y －0－5－0＝x －52－5，整理，得5x －3y －25＝0. 故选B. 【答案】 B5．（朝阳区校级月考）已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 显然a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等， ∴2a ＝2，解得a ＝1，故选A. 【答案】 A6．（庐江县校级期末）点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则 ( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5【解析】 ∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D. 【答案】 D7．（海淀区校级期末）已知A (2，－1)，B (6，1)，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 中点的直线方程为________．【解析】 由于A (2，－1)，B (6，1)，故线段AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在y 轴上的截距是－3，∴直线方程为x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.【答案】 3x －4y －12＝08．（红岗区校级期末）过点P (3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________． 【解析】 当直线过原点时，斜率等于2－03－0＝23，故直线的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，把P (3，2)代入直线的方程得m ＝－5， 故求得的直线方程为x ＋y －5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝09．（兴庆区校级期末）求经过点A (－2，3)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－2，3)代入y ＝kx 中，得k ＝－32，此时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x 2a ＋ya＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a ＝2，此时，直线方程为x ＋2y －4＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y －4＝0或3x ＋2y ＝0.10．（城关区校级期末）求经过点A (－2，3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】 过A ，B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4.点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1.B 组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1的位置，判断a ，b 的正负，从而确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.【答案】 D3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，∴6＝12×|－d 3|×|－d 4|＝d 224，∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－34．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 35．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 【解】 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32.因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.所以C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.3.2.3 直线的一般式方程名师导学知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【分析】(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项满足要求． (2)令y ＝0，则x ＝－3 3.【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2，化为一般式为：4x －y －2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ），解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直． 【解析】l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1，3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 由题意可设所求的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠2)， 代入已知点(2，1)，可得4－1＋c ＝0，即c ＝－3， 故所求直线的方程为：2x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．【解析】 直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，分别化为：y ＝－a ＋13x －23，y ＝－12x －12.若l 1∥l 2，则－a ＋13＝－12，解得a ＝12.若l 1⊥l 2，则－a ＋13×(－12)＝－1，解得a ＝－7.【答案】 12－7名师导练A 组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋c b .∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D. 【答案】 D6．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2，则－a2＝－1，解得a ＝2. 【答案】 27．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2.【答案】 28．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求． 【答案】 2x ＋3y ＋4＝09．（和平区校级期中）若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 10．（如东县期中）(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]1．（昌江区校级期末）若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.【答案】 a ≠±12．（河南校级月考）已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3. 3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)．因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
直线的方程
(1)当B 0时，方程可化为： y A x C ,为直线方程的斜截式 .
BB
(1)当B 0时，方程可化为： y A x C ,为直线方程的斜截式 .
BB
(2)当B 0时，由于A、B不同时为零， 必有A 0，方程可化为：x C ,
《步步高》
作业：
51－53面
； / 红包群 ；
么了？”每次有热闹看都是他值班,因为他是纯老外去了会添乱,命苦.而那群年轻人回来买单时说了一些,看他们一副不够尽兴の遗憾劲,说话多半有失偏颇,信不过.“好像说陆陆在外边抹黑她？”陆易望向柏少君.“嗯,她就是这么说の,”柏少君相当气愤,“自从在我们店订菜,陆陆几乎连 门都没出过,她向谁抹黑何玲？现在の人都不长脑子？问都不问就上门骂人打人实在太过分！”说得义愤填膺,柏少君瞪着陆易,“你们警察管不管の？管の话我报警.”一定要报,不然还有下次呢？按何玲の吨位与手劲,陆陆绝对挨不了一拳.陆易忙劝阻,“别别别,华夏是个人情社会,你这样 做让陆陆以后在老村长面前很难做人,想解决问题得找到源头.”“怎么找？”“可以问今晚到餐厅吃饭の人,”德力一边清洗杯碟一边留心听着,“坐窗边の那个小莲最先看见何玲去找陆陆,如果是寻常の来访,她干嘛那么兴奋？里边肯定有原因.”柏少君愣了愣,“你の意思是...有人从中 挑拔离间？！”卧槽,现实版の心计大戏？！而且主谋就在今晚那群人当中？“不对呀！陆陆跟他们不熟几乎没说过话,为什么欺负她？”德力望着单纯の男孩笑嘿嘿,“嘿嘿,欺负人の乐趣你难道不懂？还需要其他理由吗？”这话很真实,真实得让人难受.柏少君嘴巴动了动,说不出话 来.“好了,当事人不急,你们急什么？”一直旁听の柏少华终于开口,“少君,陪我走走.”说罢拿过拐杖起身.“哦.”尽管他心中忿忿不平,仍然跟随柏少华一同出了门.目送两人离开,陆易也来到铁板烧旁边清洗碗碟.“有人の地方就有江湖,”德力在另一边擦干杯子の水渍,啧啧叹道,“昌 叔那老家伙果然睿智.”不得不佩服,连个小山村都这么热闹.陆易笑了笑,专注洗碗不再谈论此事.人活一辈子哪能无是非？造谣张张嘴,辟谣跑断腿,一有风吹草动就顾着四处洗脱洗白,那么人生当中很多重要の事这辈子都只能搁置,来生再议了.下次再发生这种事便交给执法部门去查去处理, 他们普通小市民则继续生活,不能因为小人作祟耽误自己の计划与前程.君子坦荡荡,小人长戚戚,命运会优待认真生活の人.至于小人,他们饿不死也吃不饱,只能躲在黑暗中继续搞小动作,继续怨天尤人,一辈子就这么过了.下场如何,生活最终会明确地告诉大家,如果还记得他の话...夜幕下, 梅林村の路两旁依旧梅花盛开,花香浮动,街道上の小情侣或者三朋五友一起走着,格外の有情趣.身边の嬉笑声不断,热闹非常,余薇走在他们中间,抬头仰望,一轮不够圆满の明月高高挂在天上,像极了今晚那张望向自己の冷淡面孔,顿时一股难以描绘の孤独涌上心头.“哈哈哈,小薇,我一想 起今晚何玲那张脸就...哈哈哈...”身边の朋友们乐不可支,连一句正经话都说不全.余薇跟着笑了笑,内心の失落与苦涩旁人一无所知.不知道怎么回事,在这一刻,她突然好寂寞.第90部分今晚の一切如她所愿,可她一点都不开心.当他冲出来张开双臂の那一刻,往日青涩の面孔、不耐烦の性 情一扫而空,一贯轻松の神情瞬间变得冷酷异常,很有成熟男人の魅力,活像西方传说中威风凛凛の一尊战神降临在身旁,只为牢牢守护身后の小女人.那一刻,她の心像被扔进了绞肉机,一点一点地被绞碎成泥.“小薇,你去哪儿？不回家吗？”小伙伴们正聊得开心,却见余薇往另一个方向走, 纷纷扬声问.“我去姐姐那儿.”余薇头也不回.不管身后如何叫嚷,她开始一路小跑.家里早没人了,母亲常在厂里住,继父长住省城盯着公司の运营状况,他最关心の人是弟弟,因为儿子才是他の亲生骨肉.尽管平时表现得对两个继女一视同仁,但小孩子是非常敏感の,她们知道谁是真心待自己 好.家里只有爷奶在住,两个老东西动不动就说她俩这不好那不好,警告她们别把国外の坏习惯带回家败坏梅家声誉.梅家有个屁声誉！没有母亲,他们屁都不是.尽管如此,母亲依旧叮嘱姐妹俩要敬重长辈.可是这种长辈有什么好敬重の？这个家是母亲一个人撑起来の,她才是一家之主,搞不懂 凭啥要看他们の脸色.姐姐每次回来都住在小农场,说喜欢那里の清静.自己听不惯虫鸣声喜欢住在别墅里,心境不快才去小农场住几天.来到农场路口,余薇刷卡打开大门铁闸.“小薇？怎么这么晚？”门卫の大叔正在听收音机,闻声出来看个究竟,门卫室里咿咿呀呀の不知道在唱什么,年代很 老旧の歌.今天心境不好,余薇对门卫の话不加理睬,径自跑向姐姐居住の那一栋雅致木屋.农场里住着三户人家,只有姐姐家是她和未婚夫汤力搭建の.院里の一草一木一秋千,屋里一针一线一家具,全部是自己の手工.院里の花架、和篱笆边缘种满了玫瑰花直达屋门口,汤力种の,代表他对姐 姐那颗永远火热跳动の心.听着很肉麻,对当事人来说却很幸福.余岚对院里の花草一向精心培育,哪怕回校读书也要拜托别人花同样の心思照顾它们,千叮万嘱,惟恐出现一点纰漏.姐姐跟汤力在十八岁那年开始确定关系,至今四年了,两人感情一直很好.算算日期,这几天他也该来了.等他来了 以后姐姐将不再属于她,这小农场也不再是自己可以任性撒娇の地方.她一直羡慕姐姐,能遇到一位全心全意の男人.她希望自己有一天也能像姐姐那样拥有一份至真至纯の爱情,对方眼里只有她の存在,完全不受外界诱惑.可惜,她遇人不淑,碰上の男人要么整天想着法子哄她上.床, 要么整天想着花光她の钱,要么打赌撩拔看她春心荡漾,要么纯粹恶作剧想看她出尽洋相.东、西方の男人都一副贱样,唯一可以分高低の是衣着品味.余薇来到木屋の矮栏栅前,姐姐の屋里透出明亮の灯光,她睡眠浅,稍微有些心事就彻夜难眠.轻轻拉动门拴,吱丫地推开走了进去.院里很安静, 屋里の人听到声音,在余薇走进石子路时,紧闭の木门打开了,一道无比亲切又熟悉の身影出现在眼前.刚和男友通完电筒の余岚刚洗完澡,裸露在衫外の肌肤被水气蒸腾得异常白皙,宛若出水芙蓉般剔透美丽.她站在门口,对妹妹の到来感到意外：“小薇？怎么这么晚过来？来也不打个电筒万 一路上出...”话未说完,余薇往前一扑,双手搂住她の脖子然后开始浑身颤抖.“怎么了？出了什么事？是不是爷爷奶奶又说你了？”余岚轻拍她の后背,温声安慰,“实在受不了就回这儿住,别勉强自己.”“姐,”伏在肩膀上の余薇终于放开心扉,泣不成声,“我讨厌他,我很讨厌讨厌他,怎 么办啊姐...”余岚听罢,立马意识到妹妹这番没头没脑の话是什么意思,不禁闭了闭眼,轻拍项背给予安慰.很讨厌の背面就是很喜欢,是呀,怎么办呢？姐姐无言の安慰,让余薇哭得愈发伤心.“姐,我难过,真の好难过.我明明是为他好,他却那样看我,像从来不认识我,为什么要这样对我？为 什么要在我面前待她那么好？为什么...”一连串の为什么导致眼前一片模糊,止不住の眼泪像决堤の水挡也挡不住.为什么是他？一个高校没毕业の洋diao丝,也就一张脸能看得顺眼;为什么他保护の人是她？那个矫揉造作の女人,除了脸蛋身段妖娆之外一无是处.为什么自己总是眼瞎看上 不该爱の人？为什么她喜欢の人都眼瞎看上那种女人？甘心为她们挺身而出,肝脑涂地,哪怕最后受伤の总是他.那女人一巴掌将何玲打趴下,根本用不着他来充英雄平白无辜挨顿打.这是为什么？...夜半时分,余家姐妹坐在庭院の秋千里说着悄悄话,像小时候那样,围在四周の轻纱幔帐给她 们围出一方小世界.跟前有一张小圆桌,木头雕の,上面摆着装满果酒の酒壶和两个质地一样の小酒杯,整套の,余岚自己找瓷窑帮忙烧制而成,质朴雅致,与她本人一样.“何玲找陆陆麻烦？”余岚疑惑地看着妹妹,“为什么？”“我哪儿知道.”酣畅淋漓地哭了一场,余薇の心境稍有好转,但对 今晚发生の一切矢口否认,“反正她俩都不是好东西,狗咬狗是早晚の事.”妹妹の话让余岚の心境起伏很大,随着年龄の增长,小薇の思想跟以前大不相同.不再像小时候那样天真单纯,事事以姐姐马首是瞻,她真の很害怕妹妹为了情感失去理智.为了一个男人赔上自己一生,不值得.“小薇,你 老实说,”余岚紧盯着余薇追问,“这件事真の跟你无关？”“当然无关！”余薇惊讶地回瞪姐姐,“姐,你不信？你就这么看你妹妹？”“相处二十年我还不知道你？”妹妹故作无知,余岚疾言厉色,“小薇,你在国外那些小打小闹就算了,回到国内给我收起你の小脾气.这里是咱们の家,妈辛 辛苦苦扎稳の根,出了什么差池损失最大の是我们.”第91部分老调重弹了,余薇有些不耐烦.“能出什么差池？就凭一个小小の外来户？她谁呀？老爸是李刚吗？”余薇一贯の伶牙利齿给予反驳,“姐,你连个外来户都怕怎么帮妈打天下？我看你不如跟汤力回国好了,免得自寻烦恼.”她烦, 自己也烦.小小の外来户？余岚不敢相信地看着妹妹一脸の轻蔑,眼里含着一丝隐痛.“小薇,你忘了？我们也是外来户.”在这个村子,在这个家里,她姐妹俩一直是外来户.不管妈有多么努力始终无法改变这个事实,改变不了她俩与村民们格格不入处处受欺の尴尬处境.只好努力赚钱送她俩出 国读书,希望女儿们能在国外成家立室过上自在安稳の日子.要不是母亲遭受各方质疑与刁难,她不会回来.回来是为了帮妈保住心血,替弟弟保住家业,不是为了跟外来户斗气和炫耀财力权势の.打压一个外地来の女生,跟当年那些欺负她们の村霸有什么区别？一旦事发经有心人大肆渲染,母 亲在当地の威信将一落千丈,神仙来也救不了.道理谁都懂,可是...“可我受不了,他们天天在我眼前晃...”余薇再一次被触动伤心之处,“姐,要不你帮帮我,帮我把她撵走,我真の不想看到他俩在一起.”姓陆の走了,她一定能取而代之成为他身后の小女人.她将拼尽全力支持他,鼓励他,同 时享受他全心全意の守护.余岚头一次对妹妹板起脸,神色清冷,“我不可能帮你,小薇,他不是合适の对象.”在外边看得太多,知道嫁给一个在朋友家蹭吃蹭喝の无业游民有多累.哪怕是天仙下凡,也会在三十岁前熬成四五十岁の肥婆娘,或者骨瘦如柴受尽折磨被吸尽血汗の小可怜.她妹妹如 花似玉,不能落得那种下场.“你有两个选择,要么继续回校把高校读完,要么去京大和小弟作伴.明天开始我让妈停掉你所有の卡,直到你想清楚为止.”余岚起身,“汤力和他の朋友后天就到,我很忙,你在家好好布置一番别丢了我和妈の脸.”余岚深深看了妹妹一眼,只见她环抱双膝,两眼无 神.“多想想我学姐の下场,想想那些吸.毒躺在街头の无业游民,那
直线的参数方程怎么求直线的参数方程及其推导过程直线的参数方程t的意义
直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
直线方程的几种表达形式
直线方程的几种表达形式直线是二维空间中最基本的图形之一，它可以用不同的方式来表达其方程。
我们下面将探讨一下几种不同的直线表达形式。
1. 坐标式：直线可由其上两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 来确定。
假设这两点不同，那么直线的坐标式可以表示为：$y-y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)$这个式子可以化简为：$y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) +y_1$。
2. 斜截式：斜截式直线方程使用直线斜率和一条相交直线的截距来描述。
假设我们知道直线上一点 $(a,b)$ 和直线的斜率 $m$，那么直线的斜截式方程为：$y = mx + b$3. 一般式：一般式是表示直线方程的另一种方式，它通常使用 $Ax+By+C=0$ 的格式。
直线方程的一般式可通过化简 $Ax+By+C=0$ 得到。
例如，假设我们知道直线斜率 $m$ 和 $y$ 截距 $b$，那么直线就可以化简为如下的一般式：$y = mx + b$ 可以简化为 $-mx + y - b = 0$。
4. 向量式：向量方程是直线方程的另一种描述方式。
向量可以表示为 $(x,y)$。
直线的向量方程可由一个点 $(x_0, y_0)$ 和斜率向量 $(a,b)$ 给出：$(x,y) = (x_0, y_0) + t(a,b)$，其中 $t$ 是任意实数，表示从该点开始的直线上的任意点。
最后，需要注意的是，这四种直线表达形式是等效的，因此可以相互转换。
综上所述，我们已经介绍了直线的几种表达形式。
了解它们有助于我们更深入地理解直线的性质和特点。
直线的方程(解析版)
直线的方程(解析版)直线的方程(解析版)直线是几何学中的基本元素，也是数学中的重要概念之一。
直线的方程是研究直线性质和解决相关问题的基础。
在本文中，我们将详细讨论直线的方程及其解析表示方法。
一、直线的定义直线是由无数个点组成的，这些点满足连接其中任意两点的线段都完全在这条线上。
直线可以用来描述两个平面上的对应点之间的关系。
直线是平面几何学中最基本的图形之一。
二、直线方程的基本形式直线方程的基本形式是y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
斜率用来描述直线的倾斜程度，截距则表示直线与y轴的交点。
三、一般形式求解直线方程1. 已知两点求直线方程假设已知直线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 计算斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)；(2) 根据其中一个点和斜率，使用点斜式方程得到直线方程：y - y₁ = k(x - x₁)；(3) 化简得到一般形式：y = kx - kx₁ + y₁。
2. 已知斜率和截距求直线方程假设已知直线的斜率k和截距b，我们可以通过以下步骤求解直线方程：(1) 使用斜截式方程：y = kx + b。
四、直线方程的特殊情况1. 垂直于x轴的直线对于垂直于x轴的直线，斜率为无穷大，因此直线方程可以简化为x = a的形式，其中a为直线与x轴的交点的横坐标。
2. 垂直于y轴的直线对于垂直于y轴的直线，斜率为0，因此直线方程可以简化为y = b的形式，其中b为直线与y轴的交点的纵坐标。
五、直线方程的性质1. 斜率直线的斜率用来描述直线的倾斜程度。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为0表示直线水平。
2. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率互为负倒数。
六、实例分析以下是一些实例，展示了如何根据已知条件来确定直线的方程。
直线的参数方程
1.运动(一般)式：
x y
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
vy
M(x,y)
vx
M0(x0,y0)
2.数量(标准)式：
(t为参数) M0(x0,y0)
(t为数量)
M(x,y)
x
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
x y
1 2t at 2 .
,(t为为参参数
,aa∈ R
)) ,且点M(5,4)在C
则常数a=__1_____
(4)若曲线M:
x
y
sin cos 2
A.(2,7)
B. (1 , 1) 32
(θ为参数) ,则在M上的点是
C. (1 , 1) 22
【C】 D.(1,0)
二、直线的参数方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2c注2：若AB为焦源自弦，则|AB|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
cos 20
数形结合巧转化 类比三角辅助角
除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
(7)将直线的普通方程 x 3y 1 0 改写成参数方程
析①
：直线的参数方程为
x
y
x0 y0
t t
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
直线的一般式方程(附答案解析)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95D.－3 3 答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项. 又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限， 所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－33.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋y b＝1， ∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)， 即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2； 直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a. (1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直. 题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3， 所以4m －12m 2＋m －3＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a 的直线.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为() A.A ≠0 B.B ≠0C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2B.2C.－3D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A.C ＝0，B >0B.A >0，B >0，C ＝0C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3B.3C.13D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≠±1B.a ≠1，a ≠2C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0， 直线在y 轴上的截距c b<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得：m ＝3.3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－aa ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直. ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意.故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.。
关于直线的知识点总结
(2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，
则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),
二、直线方程的距离
1、点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离可表示为：
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
2、两平行线间的距离
设两条直线方程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
两平行直线间距离公式d=｜C1-C2｜/√(A^2+B^2)，
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
则直线可表示为 x/a+y/b=1
(4)斜截式: Y=KX+B (K≠0)
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
(5)两点式 x1不等于x2 y1不等于y2
五、定比分点问题
1、定比分点定义
直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x，y)，
直线的参数方程知识讲解
直线的参数方程 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。
【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式：经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。
2. 参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。
当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =；要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。
若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.(2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.要点四、直线参数方程的应用1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： （1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t + 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx （t.2中，参数t 的1l 的参数方程 例301，3），倾斜角yx ,为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( )A 65°B 25°C 155°D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离. 二、直线参数方程的应用 例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
直角坐标系中的直线方程
直角坐标系中的直线方程直线是数学中一种基本的图像，它具有很多重要的性质和应用。
在直角坐标系中，直线的方程可以用不同的形式表示，如斜截式、点斜式和一般式等。
本文将介绍直角坐标系中直线方程的不同形式及其应用。
一、斜截式斜截式是表示直线方程的一种常见形式，它以斜率和截距作为直线的特征参数。
斜截式的一般形式为 y = kx + b，其中 k 表示斜率， b 表示截距。
斜率表示直线在水平方向上的倾斜程度，截距表示直线与 y 轴的交点。
例如，假设有一条直线，斜率为 2，截距为 -3，那么它的斜截式方程为 y = 2x - 3。
通过这个方程，我们可以很方便地计算直线上的各个点的坐标。
二、点斜式点斜式是另一种常见的直线方程形式，它以直线上一点的坐标和直线的斜率作为特征参数。
点斜式的一般形式为 y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁) 表示直线上的一点坐标， k 表示斜率。
例如，假设有一条直线，过点 (3, 4)，斜率为 -1/2，那么它的点斜式方程为 y - 4 = -1/2(x - 3)。
通过这个方程，我们可以方便地计算直线上的其他点的坐标。
三、一般式一般式是直线方程的另一种形式，它以直线的系数作为特征参数。
一般式的一般形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 分别为直线的系数。
一般式的表示形式更加简洁，但不如斜截式和点斜式直观。
如果需要计算直线的斜率和截距，我们需要将一般式转化为斜截式或点斜式。
四、应用示例直线方程的不同形式在实际问题中都有其应用价值。
例如，在几何学中，我们可以根据两个已知点的坐标来求解直线的方程。
在物理学中，直线方程用于描述运动的路径和力的作用方向。
在工程学中，直线方程常用于设计建筑物、绘制道路和规划电路等。
总结：直角坐标系中的直线方程可以用斜截式、点斜式和一般式等不同形式来表示。
斜截式以斜率和截距作为特征参数，点斜式以直线上一点的坐标和斜率作为特征参数，一般式以直线的系数作为特征参数。
直线方程的几种形式(一)
（用斜截式求BC所在直线方程） 因为B(3，－3)、C(0，2)，所以 kBC 2 3 5
3 3
5 截距b=2，由斜截式得y=－ x+2， 3
整理得5x+3y－6=0， 这就是直线BC的方程.
（用截距式求AC所在直线的方程） 因为A(－5，0)、C(0，2)，所以直线在x， y轴上的截距分别是－5与2，
是 x－5=0
。
4．过点P(1，3)的直线分别与两坐标轴交 于A、B两点，若P为AB的中点，则直线的
方程是
3x+y－6=0
。
例4．若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四 象限，则系数A、B、C需满足条件（ ） （A）A、B、C同号 （B）AC<0，BC<0 （C）C=0，AB<0 （D）A=0，BC<0
A C 解：原方程可化为 y x B B
因为直线通过第二、三、四象限，所以 其斜率小于0， 在y轴上的截距小于0，
1 由直线的斜截式方程得y=－ x+1， 2 1 又直线的斜率为－ ， 2
整理得x+2y－2=0.
例3．求斜率为 的直线方程：
3 3
，在x轴上的截距是－5
3 ， 3
解：所求直线的斜率是
在x 轴上的截距为－5，即过点(－5，0)， 用点斜式方程知所求直线的方程是
3 (x+5)， 3
y=
即
3x 3 y 5 3 0
若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
种形式的方程叫做直线的两点式方程.
对两点式方程的理解： （1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零
y y1 x x1 (y1=y2)时，不能用两点式 y2 y1 x2 x1
直线方程的公式
直线方程的公式直线方程是数学中的一个重要的概念，它能够为解决许多数学问题提供有力的帮助，如：连续变化的求解、无穷小问题的求解、几何问题的求解等等。
直线方程的公式是：y=ax+b，其中a为斜率，b为常数，x为自变量，y为因变量。
以这个公式表示的直线方程由两个重要参数确定，而这两个参数a和b分别代表直线的斜率与截距，可以从直线方程中推出该直线的斜率和截距。
如何推导出直线方程的斜率和截距呢？可以利用两点式求斜率和截距的方法。
首先要明确，如果给定任意两点的坐标，则这两点可以构成直线方程的系数。
假设这两个点分别是（x1,y1）和（x2,y2），其中x1与x2不相等，则斜率a=(y2-y1)/(x2-x1)，同时，给定一个任意点（x0,y0），把它代入直线方程中，可以得到截距b=y0-ax0。
除此之外，还可以通过求积分获取直线方程的斜率和截距。
即，对ｙ=ax+b中的ｙ，先求导数Δｙ/Δｘ，即得到斜率a；然后，用积分求解Δｙ=∫∫Δｘ，得到ｙ=ax+b的常数b。
另外，根据几何性质也可以求解直线方程的斜率和截距，由于直线与坐标轴的交点只有一个，因此，在坐标轴上将三点（必须有两个在坐标轴上）排列成一条直线，则可以用斜率公式求出斜率以及由斜率公式求出截距。
由此可见，直线方程的斜率和截距是可以从直线方程推出的，不同方法有不同算法，但从根本上来说直线方程的斜率和截距都是一个重要的参数，因此，当需要解决数学问题时，不可忽视它们的重要性。
此外，直线方程的斜率和截距也可用来衡量一条直线的倾斜程度，或者衡量两条直线的位置关系。
例如，如果两条直线的斜率和截距都相等，则说明这两条直线是平行的；反之，如果两条直线的斜率和截距都不相等，则说明这两条直线是相交的。
综上所述，直线方程的斜率和截距是数学中重要的概念，它们不仅能提供直线的位置特征，而且在解决很多数学问题时也显得不可或缺。
同时，通过不同的算法也能获得直线方程的斜率和截距，再加上合理的判断，就能解决相关的数学问题。
直线的基本概念及其方程
直线的基本概念及其方程一、引言直线，作为数学中的基本元素，是几何学和代数学的重要工具。
它以其简洁的几何形状和严谨的数学表达，为我们理解和解决各种实际问题提供了基础。
本篇文章将深入探讨直线的基本概念，以及其对应的方程形式，旨在帮助读者掌握这一核心概念。
二、直线的定义直线，简单来说，是一组无限延伸的点的集合，这些点在二维平面上按照特定的方向和距离排列。
它具有方向性和无限性，可以用无数个点的坐标表示。
在欧几里得几何中，直线是不可分段的，而在实数坐标系中，我们可以通过两点确定一条直线的方程。
三、直线的性质1. 方向性：直线有唯一的方向，通常用数学符号 "<" 或 ">" 表示，如 \(y = mx + b\) 中的斜率 \(m\)。
2. 平行性：两条直线如果在同一直线上，即没有交点，那么它们是平行的，无公共点。
3. 相交性：两条直线在一点相交，形成一个交点，这个点是唯一的。
4. 垂直性：两条直线互相垂直，意味着它们的斜率乘积为-1。
四、直线的方程1. 直线的一般方程：\(Ax + By + C = 0\)，其中 \(A, B\) 为非零常数，\(x, y\) 为坐标轴上的变量，\(C\) 为常数项。
斜截式为 \(y = mx + b\)，其中 \(m\) 为斜率，\(b\) 为截距。
2. 两点式：如果已知直线过两点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，则方程为 \((y - y_1)(x - x_1) = (x - x_2)(y_2 - y_1)\)。
3. 截距式：当直线与 \(x\) 轴平行或重合时，方程为 \(x = a\)，其中\(a\) 为截距。
4. 斜截式与点斜式：直线的斜截式可以转化为点斜式，\(y - y_1 =m(x - x_1)\)。
五、直线的应用直线在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
例如，物理学中的力和速度关系可以用直线方程来描述，经济学中的成本线就是一条直线。
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例 4 求满足下列条件的各直线的方程： （1）直线过点（3，2），且在两轴上的截距相等； （2）直线过点（5，10），且到原点的距离为 5。 （3）经过两条直线 2x+y-8=0 和 x-2y+1=0 的交点，且平行于直线 4x-2y-7=0 （4）经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交点，且垂直于直线 3x-2y+4=0；
平面解析几何 第1课时
直线方程与两直线的位置关系
1．直线倾斜角的概念：
x轴正向与直线向上方向之
y
间所成的角叫直线的倾斜角．
提示：当直线与x轴平行或 重合时，我们规定它的倾斜角 为0度．
o
x
范围【00,1800）
2．直线斜率的概念： 直线倾斜角α(当α≠90°时)的正切值叫直线 的斜率．常 用k表示，k ＝tanα.
若两直线方程为 l1 : A1x + B1 y + C1 = 0, l2 : A2x + B2 y + C2 = 0
l1与l2 相交条件__A__1B__2 __
A 2
B_1_
l1与
l2
平行条件
_A__B
1
2
__A__B__,
2
1
AC
1
2
AC
2
1
例3
l1与l2
重合条件__A__B____
1
2
A 2
两点确定一直线，给定两点 A(x1，y1)与B(x2，y2)，
y2 y1
则过这两点的直线的斜率k ＝
x2 x(1其中
x1≠x2)．
思考：为什么x1≠x2?
例1、2
3.直线方程的几种形式
思考：什么样的直线
（1）点斜式：已知直线l上一点p0(方x0程，不y0写能)与出用这？这种条形直式 的斜率k, y－y0＝k(x－x0) 称为直线的点斜式方程．
5.两直线的位置关系
若两条直线的方程为： l1 : y = k1x + b1,l2 : y = k2x + b2 ，
l1与l2 相交条件__k_1____k_2 __
l1与l2
平行条件_k_1_
_k_2 ,_b__1 _
b 2
l1与
l2
重合条件
__k_1 ___k__2 ,
b 1
__b2
l1与l2 垂直条件__k_1_•__k__2 _1_
直线的倾斜角为90°.
2．求斜率，也可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率 相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要 谨记，存在与否需讨论”．
例 1.直线 x cos
3y
2
0
的倾斜角的取值范围为[0,
6
]
U[5 6
, )
。
例2、 已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，
B_,_ 1
AC
1
2
AC
2
1
l1与
l2垂直条件ຫໍສະໝຸດ __A_1 _A_2___B1
B 2
__
0
思考：与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+C’=0
与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为 Bx-Ay+C’=0 例4
平面直角坐标系中的基本公式
（1）若 p1(x1, y1) , P2 (x2, y2 ) 的中点为 M，
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 5、过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ） A.x+2y－5=0 B.2x+y－4=0 C.x+3y－７=0 D.3x+y－5=0
6、过点 A（4,a）和 B（5，b）的直线与直线 y=x+m 平行，则 AB 的值为（
）条件 ）
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
3、点 (4, a) 到直线 4x－3y=1 的距离不大于 3，则实数 a 的取值范围是( )
A. [2,12] B.[１,12] C.[0,10] D.[-1,9]
4、 m = 1 是直线（m+2）x+3my+1=0 与(m－2)x+(m+2)y－3=0 相互垂直的（ 2
1
1
A2 B2
(4)两平行直线 Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0
间的距离
C C
2
1
A2 B2
1. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k
＝
，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可
求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时
例 5.（1）点 A（2，3）到直线 2x-y+4=0 的距离为 （2）两条直线 3x-2y-5=0 和 6x-4y+3=0 间的距离为
1、若直线经过第一、二、三象限，则（ ）
牛刀小试
A.ab>0且bc>0
B.ab>0且bc<0 C.ab<0且bc<0
D.ab<0且bc>0
2、 已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A.6
B. 2
C.2
D.不能 确定
小结
1. 关于点对称问题可利用中点坐标公式进行求解； 2．关于直线对称问题可考虑“垂直”“平分”进行求解．
例.光线从点M（-2，3）射到x轴上一点P（1，0）后，被x轴反射， 求反射光线所在的直线方程
变式训练
已知直线 l :x+y-3=0,求点 A（-1，1）关于直线l 的对称点 A 的坐标
那么直线l的倾斜角的取值范围是( B )
返回
求直线方程是解析几何中最基本的问题，可根据已知条件在 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式中进行选择，同 时要注意各种形式所适用的范围，以防漏解．
例 3.（1）已知直线 ax+3y+1=0 与 x+(a－2)y+a=0 平行，a= （2）已知直线 ax－y+2a=0 与(2a－１)x+ay+a=0 垂直，a=
思考：什么样的直线
（2）斜截式：若直线过点B(0，b)且斜方程率不为能写k用出，这？则种直形线式
的方程为： y＝kx＋b 称为直线的斜截式方程．
简称斜截式．其中b为直线在y轴上的截距．
（3）一般式：关于x，y的二元一次方程： Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) 叫直线的一般式方 程，简称一般式．
则 M 的坐标为
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
（2）若 p1(x1, y1) , P2 (x2, y2 ) ，
例5
则两点间的距离为 d ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
（3） P(x1, y1),l : Ax + By + C = 0 ，
Ax By C
点 P 到 l 的距离 d=