九年级数学上册第1章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定 北师大版
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定教案 (新版)北
第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的证明和计算．2．经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生综合推理的能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．重点掌握正方形的判定定理．难点合理恰当地利用特殊平行四边形的性质与判定进行有关的证明和计算．一、复习导入1．我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？2．让学生回答以下问题：(1)怎样判断一个四边形是矩形？(2)怎样判断一个四边形是菱形？(3)怎样判断一个四边形是平行四边形？(4)怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？教师：你有什么方法判定一个四边形是正方形？这就是本节课要探究的内容．二、探究新知1．正方形的判定定理课件出示教材第22页图1－20，提出问题：将一X长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？学生动手操作，教师巡视指导，并讲解：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可．教师：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？引导学生总结出正方形的判定定理：对角线相等的菱形是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．教师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？教师：同学们能尝试完成这3个定理的证明吗？学生独立完成，教师点评．2．中心四边形学生以小组的形式，在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中选择一种自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性．平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形引导学生得出结论：平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形．三、举例分析例 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF∥CE，CF ∥BE ， ∴四边形BECF 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°. 又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC ＝12∠ABC＝45°，∠ECB ＝12∠DCB＝45°.∴∠EBC ＝∠ECB. ∴EB ＝EC.∴▱BECF 是菱形(菱形的定义)． 在△EBC 中，∵∠EBC ＝45°，∠ECB ＝45°， ∴∠BEC ＝90°.∴菱形BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)． 四、练习巩固1．教材第24页“随堂练习”． 2．完成下列问题：图① 图②图③(1)如图①，在△ABC中，EF为△ABC的中位线．①若∠BEF＝30°，则∠A＝________.②若EF＝8 cm，则AC＝________．(2)如图②，在AC的下方取一点D，连接AD，CD.取CD和AD的中点G、H，问EF和GH 有怎样的关系？EH和FG呢？(3)如图③，四边形EFGH的形状有什么特征？五、小结1．通过本节课的学习，你有哪些收获？2．正方形的判定定理有哪些？六、课外作业教材第25页习题1.8第1～4题．本节课采用了多媒体辅助教学，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和意识．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．。
新北师大九年级数学上册第一章特殊的平行四边形知识点
第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
(对边）(2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分.（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）(2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(对边)（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边)（4）定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（对角）(5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4、两条平行线的距离两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
注意: 平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2)菱形的相邻的角互补,对角相等.(对角）(3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.（对角线）(4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定（1）定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）定理1:四边都相等的四边形是菱形。
（边）(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(对角线)（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2019届九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课件新版北师大版
当堂测评
1．下列命题中，正确的是( D ) A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
2．已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即
可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )
A．AC＝BD
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
3．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是( D )
A．当 AC＝BD 时，四边形 ABCD 是矩形 B．当 AB＝BC 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 D．当∠DAB＝90°时，四边形 ABCD 是正方形
分层作业
1．下列命题是真命题的是( A ) A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB
＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD 中选两个作为补∠ACB＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
求证：四边形 DECF 是正方形．
证明：∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°， ∴四边形 DECF 是正方形．
归类探究
类型之一 由矩形判定正方形 如图，点 O 是线段 AB 上的一点，OA＝OC，OD 平分∠AOC 交 AC
北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第3节 正方形的性质与判定(第2课时)教案 (新版)北师大版
第一章《特殊平行四边形》《正方形的性质与判定》(第2课时)【教学目标】1.知识与技能知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2.过程与方法经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3.情感态度和价值观理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.【教学重点】掌握正方形的判定条件.【教学难点】合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习回顾我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1.怎样判断一个四边形是平行四边形？2.怎样判断一个四边形是矩形？3.怎样判断一个四边形是菱形？4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、探究新知正方形的判定1.矩形法活动1：满足什么条件的矩形是正方形？操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？有一组邻边相等或对角线垂直你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？ 有一组邻边相等的矩形是正方形.几何语言：∵在矩形ABCD 中，AB=AD ∴矩形四边形ABCD 是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言：∵在矩形ABCD 中，AC ⊥BD ∴矩形四边形ABCD 是正方形正方形的判定2：菱形法活动2：满足什么条件的菱形是正方形？操作2 .你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？有一个角是直角 或对角线相等你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？ 有一个角是直角的菱形是正方形. 几何语言：∵在菱形ABCD 中，∠BAC=90° ∴菱形四边形ABCD 是正方形 对角线相等的菱形是正方形. 几何语言：∵在菱形ABCD 中，AC=BD ∴菱形四边形ABCD 是正方形正方形的判定3：定义法活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？有一组邻边相等对角线相对角线垂直等对角线垂对角线相等直你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.几何语言：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD∴平行四边形ABCD是正方形对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD∴平行四边形ABCD是正方形正方形的判定4：四边形法（1）四条边相等，四个角都是直角（2）对角线互相垂直、平分且相等既是菱形又是矩形的四边形是正方形.总结：正方形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.对角线互相垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.4.对角线相等的菱形是正方形.5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.三、例题讲解例1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠CC．AO＝CO BO＝DO AB＝BCD．AC＝BD解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________.分析：由AB=BC=CD=DA，得到四边形ABCD是菱形，要使菱形ABCD是正方形，根据正方形的判定，则只需AC=BD.例3. 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.分析：先由BF ∥CE ，CF ∥BE 得出四边形BECF 是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF 是矩形，BE=CE 邻边相等的 矩形是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ∴四边形BECF 是平行四边形，又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴∠BEC=90°，BE=CE ∴四边形BECF 是正方形． 四、巩固练习：1.已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD分析：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D ．2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ B ）A.①②B.②③C.①③D.②④3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AC ，DF ⊥BC ，当△ABC 满足条件 ______ 时，四边形DECF 是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形， ∵∠C=90°，DE 垂直平分AC ，DF ⊥BC ， ∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°， DF= AC=CE ，，DE=21BC=CF ， ∴DF=CE=DE=CF ， ∴四边形DECF 是正方形，故答案为：AC=BC ．4.如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线交对角线AC 于点M ，ME ⊥AB ，MF ⊥BC ，垂足分别是E ，F ．判定四边形EBFM 的形状，并证明你的结论．首先证得四边形EBFM 为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF ，证得结论成立即可．解：四边形EBFM 是正方形．理由如下： ∵矩形ABCD ， ∴∠ABC=90°， ∵MF ⊥BC ，ME ⊥AB ， ∴∠BFM=∠MEB=90°， ∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°， ∴四边形EBFM 为矩形， ∵BM 平分∠ABC ， ∴ME=MF ，∴四边形EBFM 为正方形 五、拓展提高已知D 、E 、F 、G 分别是四边形AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形DEFG 四平行四边形。
九年级数学上册第1章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第二课时正方形的判定习题全国公开课一等奖百校联
AB＝CB， ∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB BD＝BD，
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形 MPND 是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∴PM＝MD，∴矩形 MPND 是正方形
12．如图，以边长为 1 的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中 点为顶点作四边形，…依次作下去，
图中所作的第三个四边形的周长为___2_____；所作的第 n 个四边形的周长为__4(__22_)_n__．
9/12
三、解答题(共 40 分) 13．(12 分)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上一 点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠ADC＝90°，求证：四边形 MPND 是正方形．
O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形 ABCD 是正方形，则可行的条件是( D)
A．AO＝CO B．AC⊥BD C．AB∥CD D．AC＝BD
7．(3 分)(2016·兰州)▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC⊥BD，请添加一个
条件：___∠____B__A___D__＝____9_0__°_(__答___案___不____唯___一，使)得▱ABCD 为正方形．
选法，其中错误的是( B )
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④ 2．(8 分)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，将△ADE 绕点 E 旋 转 180°得到△CFE. (1)求证：四边形 ADCF 是平行四边形； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说明理由．
九年级数学上正方形的性质与判定
合作交流
ⅰ、满足什么条件的矩形是正方形？ (1)一组邻边相等
一组邻边相等
(2)对角线互相垂直
对角线互相垂直
新知探究
Ⅱ、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：如图，矩形ABCD中， AC⊥BDA 。求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B ∠DAB=90° 且OB=OD 且AC⊥BD ∴ AB=AD
∴四边形ABCD是正方形
D O
C
新知归纳
正方形的判定 ： (1) 对角线互相垂直的矩形是正方形；
合作交流
ⅱ、满足什么条件的菱形是正方形？ (1)有一个角是直角
有一个角是直角
(2)对角线相等
对角线互相垂直
新知探究
Ⅲ、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。
已知：如图，菱形ABCD中， ∠A A
D
=90°。
巩固练习
3、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形
A`B`C`O与正方形ABCD的边长相等，在正方形
A`B`C`O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的
面积与正方形ABCD的面积有什么关系？证明你的结论.
A
D
O
A` B
C
C`
B`
课堂小结
正方形的判定 ： (1) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (2) 有一个角是直角的菱形是正方形； (3) 对角线相等的菱形是正方形。
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
3.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角 线BD于E,交CD于F,求∠ BEC的度数.
2024年北师大版九年级上册教学第一章 特殊平行四边形正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质课时目标1.理解正方形的概念,了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系.2.探索并证明正方形的性质定理,进一步发展推理能力.3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展合情推理能力.学习重点探索正方形的性质定理.学习难点正方形的性质的应用.课时活动设计情境引入图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征?学生自主探究,小组内讨论,教师引导,得出结论.总结:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.设计意图:培养学生从数据中发现、推导结论的能力.合作探究1.正方形是矩形吗?是菱形吗?2.你认为正方形具有哪些性质?与同伴交流.3.正方形有几条对称轴?学生对于问题1,3比较容易得到结论.对于问题2,比较容易得到“四个角都是直角”“四条边都相等”的结论,但是对于“正方形的对角线相等且互相垂直平分”这个结论,学生不一定能发现,不一定能得到完整的结论,所以教师在此处还是要进行必要的引导.比如:“我们来关注一下对角线的数量和位置关系”或者“既然正方形也是菱形,那么它的对角线……(引导学生回答)”.答:1.正方形既是矩形,又是菱形.2.它具有矩形与菱形的所有性质.3.4条.总结定理:正方形的四个角都是直角,四条边相等.定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分.设计意图:(1)引出正方形的定义.(2)通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质,由“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个性质定理.(3)引用教材上的“想一想”,让学生解决“正方形有几条对称轴的问题”.典例精讲例如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF,∴BE=DF.如图,延长BE交DF于点M.∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.设计意图:使学生能够熟练运用正方形的性质解决问题.议一议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流.设计意图:充分锻炼学生理论依据图形化的能力、文本信息图形化的能力和空间观念.巩固训练1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形?解:图中共有8个等腰三角形.第1题图第2题图2.如图,在正方形ABCD中,F为对角线AC上一点,连接BF,DF.你能找出图中的全等三角形吗?选择其中一对进行证明.解:图中的全等三角形共有3对,分别是△ADC与△ABC,△FCD与△FCB,△FAD 与△FAB.选择△FAD≌△FAB(答案不唯一),证明如下:在正方形ABCD中,∵AD=AB,∠DAF=∠BAF,又∵AF=AF,∴△FAD≌△FAB.设计意图:对本节课知识进行巩固练习.课堂小结1.正方形的性质包括边、角、对角线以及对称性.2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.3.你有哪些收获与感悟?设计意图:通过此环节对学过的知识进行回顾,并且进行再加工.总结主要由学生自主完成,教师只是在学生将某些知识或思想方法遗忘时进行适当的引导即可.课堂8分钟.1.教材第22页习题1.7第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时正方形的性质1.正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等.定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.2.例题.教学反思第2课时正方形的判定课时目标1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊平行四边形的性质和判定解决问题.2.发现决定中点四边形形状的因素,能熟练地运用特殊平行四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明,进一步发展学生演绎推理的能力.3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.学习重点掌握正方形的判定定理.学习难点合理利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.课时活动设计情境引入问题:如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?(学生动手折叠、思考、剪切)教师展示下面的框架图,复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.设计意图:通过剪纸活动,引入正方形的判定问题,激发学生的学习兴趣与动手操作能力.议一议满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?请证明你的结论,并与同伴交流.学生小组内交流、讨论,教师引导得出正方形的判定定理.定理:1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.对角线互相垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.4.对角线互相相等的菱形是正方形.设计意图:引导学生归纳总结正方形的判定方法,提高学生归纳总结的能力,并复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,加深学生对知识的理解.典例精讲例如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.证明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC12∠ABC=45°,∠ECB=12∠DBC=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴▱BECF是菱形(菱形的定义).在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).设计意图:通过上述例题,复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理,让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.探究新知1.(1)如图1,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,①若∠BEF=50°,则∠A=50°.②若EF=8cm,则AC=16cm.(2)如图2,在AC的下方找一点D,分别作CD和AD的中点G,H,则EF和GH有怎样的关系?EH和FG呢?(EF∥HG,EH∥FG.)图1图2(3)四边形EFGH(如图2)的形状有什么特征?(四边形EFGH是平行四边形.)教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生,由于是前面已经学过的知识,并且问题比较简单,这样可以增强学生学习数学的自信心.2.问题:如果四边形ABCD变为特殊的四边形,中点四边形EFGH会有怎样的变化呢?3.学生以小组的形式,在众多的特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形)中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形,并验证结论的正确性.学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,通过类比和转化归纳出以下几种情况.图1图2图3图4图5图6图7归纳:平行四边形的中点四边形是平行四边形(如图1);矩形的中点四边形是菱形(如图2);菱形的中点四边形是矩形(如图3);正方形的中点四边形是正方形(如图4);等腰梯形的中点四边形是菱形(如图5);直角梯形的中点四边形是平行四边形(如图6);梯形的中点四边形是平行四边形(如图7).4.问题:(1)矩形和等腰梯形是形状不同的四边形,为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形?(2)平行四边形变化为菱形需要增加什么条件?(3)你是从什么角度考虑的?(4)你从哪儿得到的启发?(5)你能用你的发现解释其他的图形变化吗?例如,原四边形为菱形,其中点四边形为矩形.规律:确定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形(如图1);(2)若对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形(如图2);(3)若对角线既相等,又垂直,则中点四边形EFGH为正方形(如图3);(4)若对角线既不相等,也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形(如图4).图1图2图3图4设计意图:以问题串的形式引导学生逐步深入思考,体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法,进一步提高学生的数学表达能力.学以致用E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,利用几何画板拖动点A,对四边形EFGH 的图形变化进行研究.设计意图:用动画的形式让学生观察四边形在不断变化的过程中,中点四边形的变化情况,体会变化中存在不变的几何关系,培养学生的发散思维能力.在题目的设置上,采用逐步递进的策略,其中图1中四边形ABCD为凸四边形,图2中是AB,AD在同一条直线上,图3中四边形ABCD为凹四边形,图4中四边形ABCD为扭曲四边形.课堂小结1.本节课重点学习了什么知识,运用了哪些数学思想和方法?2.通过本节课的学习你有哪些收获?在今后的学习过程中应该怎么做?设计意图:培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构,总结研究数学问题的一般方法.课堂8分钟.1.教材第25页习题1.8第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时正方形判定1.正方形的判定定理有一组邻边相等手矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形2.特殊四边形的中点四边形.3.例题.教学反思。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定0
1.3.1 正方形的性质与判定（1）教学目标知识与技能：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．过程与方法：经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．情感态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．重难点、关键重点：探索正方形的性质定理．难点：掌握正方形的性质的应用方法．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容．学法解析1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，•在取得一定的经验的基础上，认知正方形．2．知识线索：3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．教学过程一、合作探究，导入新课【显示投影片】显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．实验活动：教师拿出矩形按左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．二、实践应用，探究新知【课堂演练】（投影显示）演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，•且分别与OA、OB相交于M、N．求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°就可以了．【活动方略】教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．证：（1）•∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB。
最新北师大版九年级上册数学导学案(全册共)
最新北师大版九年级上册数学导学案（全册共119页）目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。
北师版九年级数学上册课件(BS) 第一章 特殊平行四边形 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定
12.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形， 再 所以 作所 的得 第四 三边 个形 四的 边四 形边 的中 周点 长为 为_顶__点2_；作第四n边个形四…边…形依的次周作长下为去_4，_(_2_2__)n_．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为 AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD； (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？ 请说明你的理由．
解：(1)∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. 又∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD
北师版
第一章 特殊平行四边形
1．3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
1．下列叙述错误的是(D ) A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D ，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方 形的是(D ) A．BC＝AC B．CF⊥BF C 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形， ∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则 EF 的长是(C ) A．7 B．8 C．7 2 D．7 3
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点． 延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF. 当∠ACB＝_9_0__°时，四边形ADCF是正方形．
北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
判一判
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
证一证
(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形， A
D
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
A
D
∵ PB = PC，
∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，
即∠ABP =∠DCP．
P
又∵ AB = DC，PB = PC，
B
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定(教案)
-正方形判定方法的灵活运用：对于不同形状的图形，学生需要能够快速准确地判断其是否为正方形，这需要学生对判定方法有深刻理解和灵活运用。
-正方形性质的应用：在解决实际问题时，学生需要将正方形的性质与问题相结合，找到解题的关键点。
-空间想象能力的培养：对于一些较复杂的几何问题，学生需要具备较强的空间想象能力，这在一定程度上是学生的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题，如正方形周长和面积的求解。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量一个正方形的边长和角度，验证其性质。
这些核心素养目标旨在帮助学生全面发展，为今后的学习和生活打下坚实基础，符合新教材对学生能力培养的要求。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质：这是本节课的核心内容，需要学生深刻理解正方形的定义，即四条边相等且相互平行，四个角都是直角。在此基础上，掌握正方形的性质，如对角线相等、垂直平分等。
-正方形的判定方法：教授学生掌握判定正方形的几种方法，包括边长相等且角度为直角、邻边相等且夹角为直角的矩形、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形等，以便在实际问题中正确识别和应用。
-正方形周长和面积的求解：重点讲解正方形周长和面积的公式，以及如何运用这些公式解决具体问题。
举例：正方形ABCD，如何求解其周长和面积？通过强调正方形边长相等的性质，引导学生运用边长乘以4得到周长，边长的平方得到面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课件新版北师大版
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA． ∵AE＝DH，∴BE＝AH. 又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE， ∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF. 同理 FE＝GF＝HG， ∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形 EFGH 是菱形． ∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°， ∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°， ∴菱形 EFGH 是正方形．
【点悟】 本题考查了菱形的判定及正方形的判定，解题的关键是熟记各种 四边形的性质和判定．
当堂测评
1．下列命题中，正确的是( D ) A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
(2)直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心，理由如下： 连接 BD 交 EG 于点 O， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠EBD＝∠GDB． ∵AE＝CG， ∴BE＝DG. 又∵∠EOB＝∠GOD， ∴△EOB≌△GOD， ∴BO＝DO，即点 O 为 BD 的中点， ∴直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心．
答图
(3)设 AE＝DH＝x，则 AH＝8－x， 在 Rt△AEH 中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋ 32， ∴四边形 EFGH 面积的最小值为 32.
2．已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即
可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )
九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定2正方形的判定教学案 新版北师大版
1.3.2正方形的判定【教学目标】知识与技能1．能进一步理解掌握正方形的判定定理．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．过程与方法1．经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．情感、态度与价值观1．通过知识的迁移、类比、转化,激发学生探索新知识的积极性和主动性．2．体会数学与生活的联系．【教学重难点】教学重点特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．教学难点特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．【导学过程】【创设情景,引入新课】回顾正方形有哪些性质【自主探究】：自学,明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．Ⅱ．解决问题：下面大家来猜一猜,想一想依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么,依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜,再证明．依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°,AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1＝D 1A 1．∵∠A ＝∠B ＝90°,AA 1＝AD 1,A 1B=BB 1,∴∠AA 1D 1=∠BA 1B 1=45°． ∴∠D 1A 1B 1＝90°．∴四边形A 1B 1C 1D 1是正方形．这个题是先证明了四边形A 1B 1C 1D 1的四条边相等,即是菱形,然后又证明了这个四边形的一个角是直角,即有一个角为直角的菱形是正方形,从而得证四边形A 1B 1C 1D 1是正方形．【课堂探究】已知:如图,点E,F,G,H 分别是正方形ABCD 四条边上的点,并且AF = BG = CH = DE 。