图像的傅立叶变换和边缘提取
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。
比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。
1.frequencyfrequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低……2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。
（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。
）3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。
=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。
傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。
如下图所示。
DC term直流信号对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度，如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0，可推出灰度图中，正弦曲线在正负值之间交替变化，但是由于灰度图中没有负值，所以所有的真实图像都有一个正的DC term，如上图所示。
傅里叶变换的例子
傅里叶变换的例子介绍傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数或信号表示为一组正弦和余弦函数的和。
它在信号处理、图像处理、物理学等领域中被广泛应用。
本文将通过几个例子来说明傅里叶变换的应用。
例子1：音频信号处理1.1 音频信号的频谱分析音频信号可以表示为一个时间域的波形，但傅里叶变换可以将其转换为频域的表示。
通过傅里叶变换，我们可以获得音频信号的频谱信息，即不同频率成分的强度。
1.2 使用傅里叶变换进行降噪处理傅里叶变换可以将信号分解为不同频率成分，因此可以通过滤除不需要的频率成分来对信号进行降噪处理。
这在音频处理中非常有用，可以去除环境噪音或其他干扰。
1.3 声音合成傅里叶变换还可以用于声音合成。
通过合成不同频率的正弦波，可以生成具有不同音高和音色的声音。
例子2：图像处理2.1 图像压缩傅里叶变换在图像压缩中起着重要的作用。
通过将图像转换到频域，可以去除高频成分，从而减小图像的大小。
这在JPEG图像压缩算法中被广泛使用。
2.2 边缘检测傅里叶变换也可以用于边缘检测。
边缘通常表示为图像中灰度变化较大的区域，而傅里叶变换可以提取出这些频域上的高频成分，从而定位图像的边缘。
2.3 图像滤波傅里叶变换还可以用于图像滤波。
通过在频域对图像进行滤波操作，可以实现对图像的模糊、锐化、增强等效果。
2.4 图像恢复当图像受到噪声或其他损坏时，傅里叶变换可以帮助我们恢复原始图像。
通过滤波和反变换操作，可以去除噪声或修复损坏的部分。
例子3：物理学应用3.1 信号分析傅里叶变换在物理学中常用于信号分析。
例如，通过对光谱信号进行傅里叶变换，可以分析出不同频率的光型，从而研究物质的光学特性。
3.2 波动方程求解傅里叶变换还可以用于求解波动方程。
通过将波动方程转换为频域，可以简化求解过程，从而得到波动方程的解析解。
3.3 反射和折射傅里叶变换也可以分析光线在不同介质中的反射和折射行为。
通过将光线的波动特性表示为频域上的分布，可以研究光在界面上的反射和透射规律。
二阶梯度算子的傅里叶变换
二阶梯度算子的傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的信号处理工具，可以将一个信号从时域转换到频域。
在图像处理中，傅里叶变换广泛应用于图像增强、图像压缩、图像分析等领域。
而二阶梯度算子是一种常用的图像边缘检测算法，用于提取图像的边缘信息。
本文将介绍二阶梯度算子的傅里叶变换，并探讨其在图像处理中的应用。
我们来了解一下二阶梯度算子。
二阶梯度算子是一种基于拉普拉斯算子的边缘检测算法，通过计算图像的二阶导数来提取图像的边缘信息。
常见的二阶梯度算子有拉普拉斯算子、Sobel算子等。
这些算子可以通过卷积操作来实现，从而得到图像的二阶导数。
接下来，我们将二阶梯度算子的傅里叶变换引入到图像处理中。
傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，对于图像来说，可以将其从空域转换到频域。
频域中的低频分量对应于图像的平滑区域，高频分量对应于图像的边缘和细节。
因此，通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像的边缘信息从频域中提取出来。
在二阶梯度算子的傅里叶变换中，我们首先对图像进行二阶梯度计算，得到图像的二阶导数。
然后，将得到的二阶导数进行傅里叶变换，得到图像的频域表示。
通过对频域表示进行逆傅里叶变换，我们可以得到图像的边缘信息。
这种方法可以有效地提取图像的边缘信息，对于图像增强和图像分析等任务具有重要的意义。
除了边缘检测之外，二阶梯度算子的傅里叶变换还可以应用于其他图像处理任务。
例如，在图像压缩中，我们可以利用傅里叶变换将图像从空域转换到频域，然后对频域表示进行压缩，从而实现对图像的高效编码。
在图像分析中，我们可以利用傅里叶变换提取图像的频域特征，用于图像分类、目标识别等任务。
总结起来，二阶梯度算子的傅里叶变换是一种将图像从空域转换到频域的方法，可以用于提取图像的边缘信息。
通过对图像进行二阶梯度计算和傅里叶变换，我们可以得到图像的频域表示，从而实现对图像的边缘检测、图像增强、图像压缩等图像处理任务。
这种方法具有较好的效果和广泛的应用前景，在图像处理领域有着重要的意义。
医学图像处理中的特征提取方法综述
医学图像处理中的特征提取方法综述医学图像处理是指利用计算机技术对医学图像进行数字化处理，以提取有用的信息。
在医学图像处理中，特征提取是一个非常重要的环节，它负责将原始图像转化为具有可计算特性的数据，以便于后续步骤的分析和处理。
本文将对当前常用的医学图像处理中的特征提取方法进行综述，并对其优缺点进行简单的评述。
1. 矩阵特征矩阵特征是一种有效的特征提取方法，该方法将多维的医学图像转换为一个矩阵形式，然后利用矩阵的特征值和特征向量进行特征提取。
该方法的优点在于可以提取医学图像中的全局和局部信息，但是在处理高维矩阵时会遇到计算复杂度较高的问题。
2. 灰度共生矩阵特征灰度共生矩阵特征是一种常用的局部特征提取方法，该方法可以提取医学图像中灰度值相邻的像素之间的空间关系。
它的优点在于可以提取到医学图像中的纹理和形状信息，但是在处理过程中会受到噪声的影响，对图像质量的要求较高。
3. 小波变换特征小波变换是一种频率域分解方法，能够将图像转换为频域表示，提取医学图像中的局部特征。
该方法能够更好地处理噪声干扰，具有局部性和多分辨率的优点。
但是，该方法只能提取医学图像中的纹理信息，不能提取其他形状等特征。
4. 傅里叶变换特征傅里叶变换是一种基于频率的分析方法，可以将医学图像转换为频域表示，提取图像中的全局特征。
该方法具有精度高、计算速度快等优点，但是在处理局部特征时表现不佳，很难提取医学图像中的纹理信息。
5. 边缘检测特征边缘检测是一种将医学图像中图像边缘提取出来的方法，该方法可以提取医学图像中的轮廓和形状信息。
边缘检测方法包括Sobel算子、Canny算子、Laplacian算子等，但是在实际应用中会受到噪声干扰的影响。
综上所述，不同的特征提取方法在医学图像处理中具有不同的优缺点。
对于不同的医学图像，需要选择不同的特征提取方法以获取更为准确的特征信息。
同时，多种特征提取方法的综合应用也会提高医学图像处理的效果。
图象处理-机器视觉-基础知识
1 .什么是机器视觉技术试论述其基本概念和目的。
答：机器视觉技术是是一门涉及人工智能、神经生物学、心理物理学、计算机科学、图像处理、模式识别等诸多领域的交叉学科。
机器视觉主要用计算机来模拟人的视觉功能，从客观事物的图像中提取信息，进行处理并加以理解，最终用于实际检测、测量和控制。
机器视觉技术最大的特点是速度快、信息量大、功能多。
机器视觉是用机器代替人眼来完成观测和判断，常用于大批量生产过程汇总的产品质量检测，不适合人的危险环境和人眼视觉难以满足的场合。
机器视觉可以大大提高检测精度和速度，从而提高生产效率，并且可以避免人眼视觉检测所带来的偏差和误差。
2 .机器视觉系统一般由哪几部分组成试详细论述之。
答：机器视觉系统主要包括三大部分：图像获取、图像处理和识别、输出显示或控制。
图像获取：是将被检测物体的可视化图像和内在特征转换成能被计算机处理的一系列数据。
该部分主要包括，照明系统、图像聚焦光学系统、图像敏感元件（主要是CCD和CMOS）采集物体影像。
图像处理和识别：视觉信息的处理主要包括滤波去噪、图像增强、平滑、边缘锐化、分割、图像识别与理解等内容。
经过图像处理后，图像的质量得到提高，既改善了图像的视觉效果又便于计算机对图像进行分析、处理和识别。
输出显示和控制：主要是将分析结果输出到显示器或控制机构等输出设备。
3 .试论述机器视觉技术的现状和发展前景。
答：。
机器视觉技术的现状：机器视觉是近20〜30年出现的新技术，由于其固有的柔性好、非接触、快速等特点，在各个领域得到很广泛的应用，如航空航天、工业、军事、民用等等领域。
发展前景：随着光学传感器、信息技术、信号处理、人工智能、模式识别研究的不断深入和计算机性价比的不断提高，机器视觉技术越来越成熟，特别是市面上已经有针对机器视觉系统开发的企业提供配套的软硬件服务，相信越来越多的客户会选择机器视觉系统代替人力进行工作，既便于管理又节省了成本。
价格持续下降、功能逐渐增多、成品小型化、集成产品增多。
图像处理中的傅里叶变换
FFT是DFT的一种高效实现，它广 泛应用于信号处理、图像处理等 领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将 时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可 以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情 况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高 效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特 征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据 量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准 确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种 将时域信号转换为频域信号的方 法。它将一个有限长度的离散信 号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表 示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的 频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成 分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解 和处理图像。
傅里叶变换 边缘检测
傅里叶变换边缘检测傅里叶变换边缘检测傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理和图像处理领域。
边缘检测是图像处理中的一项基本任务，用于检测图像中的边缘信息。
本文将介绍傅里叶变换在边缘检测中的应用。
傅里叶变换是将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和的过程。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像分解成不同频率的正弦和余弦函数。
这种分解过程可以提取出图像中的频率信息，从而实现对图像的分析和处理。
边缘是图像中颜色、亮度或纹理等发生突变的位置。
边缘检测的目的是找到图像中的这些边缘信息。
傅里叶变换在边缘检测中的应用主要是通过分析图像的频谱信息来实现的。
在傅里叶变换中，频率越高的分量对应的是图像中变化越快的部分。
而边缘信息正是图像中变化较快的部分。
因此，通过分析图像的频谱信息，我们可以找到图像中的边缘信息。
具体来说，傅里叶变换可以将图像从空间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以通过滤波的方式来提取图像中的边缘信息。
常见的滤波器有高通滤波器和低通滤波器。
高通滤波器可以增强图像中的高频分量，从而提取出边缘信息。
低通滤波器则可以抑制图像中的高频分量，从而平滑图像并减少噪声。
在实际应用中，我们可以通过将图像进行傅里叶变换，然后使用合适的滤波器来提取边缘信息。
常用的滤波器有Sobel滤波器、Prewitt滤波器和Canny滤波器等。
这些滤波器可以根据图像的特点来选择，以获得更好的边缘检测效果。
傅里叶变换边缘检测的优点是可以提取图像中的高频分量，从而准确地检测出边缘信息。
然而，傅里叶变换也存在一些问题。
首先，傅里叶变换是一种全局变换，对图像中的所有像素都进行处理，可能会导致处理速度较慢。
其次，傅里叶变换对图像中的噪声比较敏感，可能会将噪声误认为边缘信息。
为了解决这些问题，人们提出了许多改进的方法。
例如，快速傅里叶变换（FFT）可以加快傅里叶变换的速度。
小波变换可以提高对边缘的定位精度。
自适应滤波器可以减少噪声对边缘检测的影响。
图像处理中的图像特征提取方法与技巧
图像处理中的图像特征提取方法与技巧图像处理是一门研究数字图像的领域，其目标是通过一系列的处理步骤来改善图像的质量或提取出其中的有用信息。
其中，图像特征提取是图像处理中的重要环节之一。
本文将介绍一些常用的图像特征提取方法和技巧。
1. 灰度特征提取灰度特征提取是图像处理中最基本的特征提取方法之一。
通过将彩色图像转换为灰度图像，可以提取出图像的亮度信息。
常用的灰度特征包括图像的平均灰度值、灰度直方图、对比度等。
这些特征可以反映出图像的整体明暗程度和灰度分布情况，对于一些亮度信息相关的任务，如人脸识别、目标检测等，具有重要意义。
2. 形态学特征提取形态学特征提取通过对图像进行形态学运算，如腐蚀、膨胀、开闭运算等，来提取出图像的形态信息。
比如，利用腐蚀和膨胀运算可以提取出图像的边缘信息，通过开闭运算可以获取到图像的拐点信息和孤立点信息。
形态学特征提取在图像的边缘检测、形状分析等领域中得到广泛应用。
3. 纹理特征提取纹理特征提取是指从图像中提取出具有纹理信息的特征。
图像的纹理是指图像中像素之间的空间关系，比如纹理的平滑度、粗糙度、方向等。
常见的纹理特征提取方法包括灰度共生矩阵（GLCM）、灰度差值矩阵（GLDM）等。
这些方法通过统计邻近像素之间的灰度差异来描述图像的纹理特征，对于物体识别、纹理分类等任务非常有用。
4. 频域特征提取频域特征提取是指通过对图像进行傅里叶变换或小波变换，从频域角度分析图像的特征。
对于傅里叶变换，可以得到图像的频谱图，从中提取出一些频域特征，如频谱能量、频谱密度等。
而小波变换则可以提取出图像的频率和幅度信息。
频域特征提取在图像压缩、图像识别等领域具有广泛应用。
5. 尺度空间特征提取尺度空间特征提取是指通过在不同的尺度下分析图像的特征，提取出图像的空间尺度信息。
常用的尺度空间特征提取方法包括拉普拉斯金字塔、高斯金字塔等。
这些方法可以从图像的多个尺度下提取出不同的特征，对于物体的尺度不变性分析、尺度空间关系分析等任务非常有用。
图像傅里叶变换的意义是什么？
图像傅里叶变换的意义是什么？前言前面转载过一篇关于傅里叶变换原理的文章《一篇难得的关于傅里叶分析的好文》。
那篇文章写得非常棒，浅显易懂，可以说稍有基础的人都能看懂那篇博文。
但是那篇博文更多的是从信号处理的角度以及原理的角度讲述傅里叶变换。
那么在数字图像处理中，傅里叶变换之后得到的频谱图又有怎样的运用呢？这篇博客就是为了简单讲讲傅里叶变换在数字图像处理中的意义和基本应用，如有错误请各位指出。
数字图像的傅里叶变换通过前面的博文已经知道傅里叶变换是得到信号在频域的分布，数字图像也是一种信号，对它进行傅里叶变换得到的也是它的频谱数据。
对于数字图像这种离散的信号，频率大小表示信号变化的剧烈程度或者说是信号变化的快慢。
频率越大，变化越剧烈，频率越小，信号越平缓，对应到图像中，高频信号往往是图像中的边缘信号和噪声信号，而低频信号包含图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号。
需要说明的是，傅里叶变换得到的频谱图上的点与原图像上的点之间不存在一一对应的关系。
频域数据的应用1. 图像去噪根据上面说到的关系，我们可以根据需要获得在频域对图像进行处理，比如在需要除去图像中的噪声时，我们可以设计一个低通滤波器，去掉图像中的高频噪声，但是往往也会抑制图像的边缘信号，这就是造成图像模糊的原因。
以均值滤波为例，用均值模板与图像做卷积，大家都知道，在空间域做卷积，相当于在频域做乘积，而均值模板在频域是没有高频信号的，只有一个常量的分量，所以均值模板是对图像局部做低通滤波。
除此之外，常见的高斯滤波也是一种低通滤波器，因为高斯函数经过傅里叶变换后，在频域的分布依然服从高斯分布，如下图所示。
所以它对高频信号有很好的滤除效果。
高斯函数在频域的分布图像2. 图像增强及锐化图像增强需要增强图像的细节，而图像的细节往往就是图像中高频的部分，所以增强图像中的高频信号能够达到图像增强的目的。
同样的图像锐化的目的是使模糊的图像变得更加清晰，其主要方式是增强图像的边缘部分，其实就是增强图像中灰度变化剧烈的部分，所以通过增强图像中的高频信号能够增强图像边缘，从而达到图像锐化的目的。
傅里叶变换及其在图像处理中的应用
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用王家硕 学号：1252015一、 Fourier 变换1. 一维连续傅里叶变换设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。
（2）具有有限个极点。
（3）绝对可积。
则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F f t f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，式中：1-=j ，ω 为频域变量。
f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。
由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1)式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。
公式1可表示为指数形式：式中：F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。
2. 二维连续傅里叶变换如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞<⎰⎰+∞∞-dxdy y x f |),(，且F (u , v )是可积的，则二维连续傅里叶变换对可表示为：dt e y x f v u F t j ⎰⎰+∞∞--+∞∞-=ω),(),(dt e v u F y x F t j ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=ω),(),(对于图像 f (x, y)，F(u, v)是它的频谱。
变量u 是对应于x 轴的空间频率，变量v 是对应于y 轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：3.一维离散傅里叶变换对一个连续函数f (x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采样N个，则这个离散序列可表示为{ f (0), f (1), f (2), , f (N -1)}。
电路设计中的傅里叶变换技术应用
电路设计中的傅里叶变换技术应用电路设计中的傅里叶变换技术，是现代电子技术的基础之一。
傅里叶变换实际上是一种数学工具，将一个信号从时域转换到频域，让我们可以更好地理解信号的特性，从而进行更加精确、有效的处理。
在电路设计中，傅里叶变换技术常常被广泛用于电源噪声分析、音频信号处理、图像处理等方面。
一、电源噪声分析电源噪声是指电路中不稳定的电源波动或变化，可能对电路的正常运作产生负面影响。
傅里叶变换技术可以帮助工程师对电源噪声进行分析。
首先，我们需要对电路进行采样，获取电流、电压等信号。
然后，使用傅里叶变换将这些信号转换到频域，可以分析出所谓的功率谱密度。
功率谱密度可以帮助我们了解信号在不同频率下的能量分布情况，并且可以找出电源噪声的源头。
二、音频信号处理在音频信号处理中，傅里叶变换技术被广泛应用。
音频信号是一种复杂的波形信号，有很多时域和频域特性需要考虑。
傅里叶变换可以将音频信号转换成频谱图，我们可以在频域观察信号的频率、波形、能量等特征。
在音频设备中，傅里叶变换可以用于实现音频滤波、均衡、压缩、限幅等功能。
例如，可以使用傅里叶变换对音频信号进行滤波，去除噪声;或者使用傅里叶变换对音量进行均衡，增强某些频段的音量，调整音频效果。
三、图像处理在数字图像处理中，傅里叶变换可以用于图像滤波、特征提取、数据压缩等方面。
对于一张图像，我们可以将其信号进行傅里叶变换，得到一个由复数构成的矩阵。
这个矩阵记录了图像在不同频率上的分量和相位信息。
傅里叶变换可以通过滤波器实现图像的去噪、锐化、边缘检测等功能。
例如，可以使用傅里叶变换将图像分解成不同频率或方向的小波，进而实现图像压缩;或者使用傅里叶变换将图像从空域转换到频域，对频域中的图像进行处理，最后再将其转换回空域，可以实现图像锐化、加强边缘等效果。
总结：傅里叶变换技术在电路设计中的应用，有非常广泛的应用前景。
从电源噪声分析到信号处理、图像处理，傅里叶变换都能够为我们提供很多有用的工具和思路。
(精心整理)图像的傅里叶变换
傅里叶变换的作用
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的 分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学 棱镜。 傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、 跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分 代表图像的低频分量
二维DFT傅里叶变换
g ( x, y) G( , ) exp[ j 2 ( x y)]d d
G( , ) 是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方 G( , )d d 向传播的单色平面波分量的线性叠加。 cos cos 为权重因子。空间频率 表示了单色 , 平面波的传播方向。
I (u, v) R(u, v)
2
傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间 频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。
y Y
0
x X
相应的空间频率分别为
u
1 cos 1 cos ,v X Y
思考：噪声、线、细节、 背景或平滑区域对应的空 间频率特性？
F=fftshift(fft2(f)); G=fftshift(fft2(g)); subplot(223) imshow(log(abs(F+G)),[]) FG=fftshift(fft2(f+g)); title('DFT(f)+DFT(g)') subplot(224) imshow(log(abs(FG)),[]) title('DFT(f+g)')
R loga (1 KFmax ) loga (1 KFmin )
例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。 解：源程序及运行结果如下： %对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱， %即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平 %移至中心后显示；以对数方式显示。 f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221),imshow(f,[]),title('单狭缝图像') F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换 S=abs(F); subplot(222) imshow(S,[]) %显示幅度谱 title('幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）')
傅里叶变换在医学影像处理中的应用进展
傅里叶变换在医学影像处理中的应用进展傅里叶变换是一种重要的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理和医学影像处理等领域。
在医学影像处理中，傅里叶变换的应用正在不断地得到进展和拓展。
本文将探讨傅里叶变换在医学影像处理中的应用进展，并介绍其中一些具体的应用案例。
一、医学影像处理中的傅里叶变换原理傅里叶变换是将一个信号或图像分解成一系列基础频率的正弦和余弦函数的过程。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像转换到频域，从而更好地分析和处理图像。
医学影像处理中的傅里叶变换原理与一般图像处理类似，但应用的重点在于对医学影像中的各种结构、组织和异常情况进行分析和研究。
二、傅里叶变换在医学影像处理中的应用进展1. 图像增强与去噪傅里叶变换可以用于医学影像中的图像增强和去噪。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像转换到频域，然后通过滤波等方法去除低频噪声和高频噪声，从而获得更清晰、更准确的图像信息。
此外，傅里叶变换还可以用于图像的锐化和边缘增强，提高图像的视觉效果。
2. 影像分割与提取傅里叶变换在医学影像处理中还可用于影像分割与特征提取。
医学影像中常常存在不同的结构和组织，通过对医学影像进行傅里叶变换，可以将不同的结构和组织在频域上进行分离，从而实现影像的分割和特征提取。
傅里叶变换还可以用于检测和测量病变区域的大小、形状和密度等特征，为医生提供更有效的诊断和治疗依据。
3. 异常检测与分类傅里叶变换在医学影像处理中还可用于异常检测与分类。
通过对医学影像进行傅里叶变换，可以得到病灶区域的频谱特征，进而通过特征提取和分类算法，实现对异常区域的检测和分类。
医学影像中的异常区域可能是肿瘤、囊肿等疾病的表现，通过傅里叶变换等方法对异常区域进行分析和研究，可以更早地发现病变并进行治疗。
4. 功能性影像分析傅里叶变换在医学影像处理中还可用于功能性影像分析。
功能性影像是一种通过记录和观察人体在不同功能状态下的代谢和血流等信息的影像。
通过对功能性影像进行傅里叶变换，可以将数据转换到频域，并通过频率分析等方法来研究人体的功能状态和生理变化。
《数字图像处理》习题参考答案
1《数字图像处理》 习题参考答案第1章概述1.1连续图像和数字图像如何相互转换？答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。
这样，数字图像可以用二维矩阵表示。
将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟 /数字转化器（ADC ）得到原始的数字图像信号。
图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。
在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
1.2采用数字图像处理有何优点？答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1 •具有数字信号处理技术共有的特点。
（1）处理精度高。
（2）重现性能好。
（3）灵活性高。
2•数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。
3•数字图像处理技术适用面宽。
4 •数字图像处理技术综合性强。
1.3数字图像处理主要包括哪些研究内容？答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。
1.4讨论数字图像处理系统的组成。
列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。
答：如图1.8,数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的 信息系统。
图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。
图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机） 、图像存储器、图像输出设备等组成。
软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。
1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答.目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++ （面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像t+W<住《l 塁希碎«IUIMEH 鼻爭■图1.8数字图像处理系统结构图处理工具箱（Image Processing Tool box ）。
图像傅里叶变换
图像傅⾥叶变换1. 通俗理解傅⾥叶变换可参考：[1]（图⽚摘⾃）2. 通俗理解数字图像傅⾥叶变换傅⾥叶定理指出，任何信号都可以表⽰成⼀系列正弦信号的叠加。
在⼀维领域，信号是⼀维正弦波的叠加，那么在⼆维领域，就是⽆数⼆维平⾯波的叠加。
⽐如⼀帧图像，不同点处的灰度值⾼低起伏变化，傅⾥叶变换就是⽤⽆数⼆维正弦波来拟合这种灰度值的起伏变化，灰度值的起伏变化平缓的地⽅，很低频的⼆维正弦波即可拟合，灰度值的起伏变化很⼤的地⽅(⽐如图像边缘、噪点等)，则需要⾼频⼆维正弦波才能拟合。
刻画⼀维正弦波只需要⼀个频率值u，刻画⼆维正弦波则需要两个频率值(u,v)。
例如：数字图像傅⾥叶变换可参考：[1] MOOC课程[2] 数字图像处理，冈萨雷斯，第⼆版，第四章[3][4]下图摘⾃[1]，在FFT功率谱图中，⾼亮度表明该频率特征明显。
3. 从数学公式的⾓度理解傅⾥叶变换本节的公式摘⾃冈萨雷斯的《数字图像处理》第四章3.1 1-Dimensional Fourier transform1-D Fourier transform and inverse Fourier transfrom:Using Euler's formula, Fourier transform can be expressed as所以，当我们看到傅⾥叶变换公式中的e−j2πµt时，我们应该想到的是⼀系列不同频率的正弦波。
傅⾥叶变换公式可这样理解：所谓傅⾥叶变换在其数学本质上⽆⾮是信号与正弦函数在时间轴上的卷积操作。
根据⼀般的惯例，我们将信号与之作卷积操作的部分称之为卷积核或核函数，因此我们可以从频率分解以外的视⾓来审视傅⾥叶变换，可以将其认为是信号与⼀个参数可变的核函数的卷积操作，其可变的核函数的参数就是频率。
（这段话摘⾃）1-D discrete Fourier transform:x is integers, M is the number of samples of µ.1-D inverse discrete Fourier transform:3.2 2-Dimensional Fourier transform2-D Fourier transform and inverse Fourier transfrom:2-D discrete Fourier transform:4. ⽤matlab实现傅⾥叶变换傅⾥叶变换函数：function F = FT_peng(I)[m,n] = size(I);F = zeros(m,n);for u = 1:mfor v = 1:nfor x = 1:mfor y = 1:nF(u,v) = F(u,v) + double(I(x,y)) * exp(-2*pi*1i*(u*x/m+v*y/n)); endendendendend傅⾥叶逆变换函数：function f = IFT_peng(I)[m,n] = size(I);f = zeros(m,n);for x = 1:mfor y = 1:nfor u = 1:mfor v = 1:nf(x,y) = f(x,y) + double(I(u,v)) * exp(2*pi*1i*(u*x/m+v*y/n)); endendendendf = f/(m*n);end主程序代码：clear;I = imread('test_img.png');I = imresize(I, [100,100]);I = rgb2gray(I);% using fft2 directlyI_fft2 = fft2(I);I_fft2 = abs(I_fft2); % abs将负实数和虚数部分调整为正实数I_fft2shift = fftshift(I_fft2); % 把四个⾓的⾼频信息移动到最中间I_fft2shift = uint8(I_fft2shift/256); % 除以256是为了缩⼩数值，能更好的显⽰% using function defined by usI_FT = FT_peng(I);I_FT2 = abs(I_FT);I_FTshift = fftshift(I_FT2);I_FTshift = uint8(I_FTshift/256);% recover the image by inverse Fourier function defined by usI_inv = IFT_peng(I_FT);I_inv = uint8(I_inv);% plotsubplot(221);imshow(I); title('Original image');subplot(222);imshow(I_fft2shift); title('fft2 frequency image');subplot(223);imshow(I_FTshift); title('FT frequency image');subplot(224);imshow(I_inv); title('Recovered image');运⾏结果：注：程序参考了博客Processing math: 100%。
第4章图像变换(Image Transform)
例4.1一个简单二维函数的中心谱。 图4.1（a）显示了在 512 512 像素尺寸的黑色 背 景 上 叠 加 一 个 20 40 像 素 尺 寸 的 白 色 矩 形 。
图4.1（a）
4.2 离散傅里叶变换（Discrete Fourier
Transform）
此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以 1x y ，从
d xd y
（4.8）
F
1
F (u, v)
f ( x, y )
F (u, v) e
j2 ux vy
dudv
（4.9） 式中 u、v是频率变量。与一维的情况一样， 二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:
4.1 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)
每1列求变换再乘以 N
e
x 0
N 1
j 2ux / N
y 0
N 1
f x, y e j 2vy / N
1 N 1 j2 vy / N F ( x, v) N f x, y e N y 0
v 0,1,, N 1
再对 F
数字图像处理
武汉理工大学 信息学院
第4章图像变换(Image Transform)
4.1 连续傅里叶变换 4.2 离散傅里叶变换 4.3 快速傅里叶变换 4.4 傅里叶变换的性质 4.5 图像傅里叶变换实例 4.6 其他离散变换
一、 图象变换的引入 1. 方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)， 加强/提取感兴趣的部分或特征]。 二、 方法分类 可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。
图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍
图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，图像处理中广泛应用的一种数学工具。
傅里叶变换将图像转换为频域信号，使我们能够观察和分析图像中不同频率的成分。
在图像处理领域，傅里叶变换常用于图像的滤波、去噪、增强等任务。
本文将介绍傅里叶变换的原理和在图像处理中的应用。
让我们了解一下傅里叶变换的原理。
傅里叶变换基于傅里叶级数展开的思想，将函数分解成一组正弦和余弦函数的和。
对于一维信号，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u) = ∫ f(x) * e^(-2πiux) dx其中，F(u)表示信号在频域中的复数表示，f(x)表示输入信号在时域中的复数表示，u表示频率，i为虚数单位。
在图像处理中，傅里叶变换可以应用于二维信号，即图像。
图像可以通过对其在两个方向上进行傅里叶变换，得到其在频率域上的表示。
图像的傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u,v) = ∬ f(x,y) * e^(-2πi(ux+vy)) dx dy其中，F(u,v)表示图像在频率域中的复数表示，f(x,y)表示输入图像在空域中的灰度值，u和v表示频率，i为虚数单位。
在图像处理中，我们经常使用的是傅里叶变换的逆变换，即将图像从频域转换回空域。
逆傅里叶变换可以表示为以下公式：f(x,y) = ∬ F(u,v) * e^(2πi(ux+vy)) du dv通过逆傅里叶变换，我们可以将对图像进行频域操作后的图像恢复到原始的空域。
在图像处理中，傅里叶变换有着广泛的应用。
其中之一是频域滤波。
通过将图像转换到频域，在频域中对图像进行滤波操作，可以实现一些空域中难以实现的效果。
傅里叶变换后的频域图像中较低频率成分代表图像的平滑部分，较高频率成分代表图像的细节和边缘。
通过选择不同的滤波器，在频域中滤除或增强不同频率的成分，可以实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。
傅里叶变换还可以用于图像的压缩和去噪。
在图像压缩中，通过对图像进行傅里叶变换，并保留较低频率成分来实现图像的压缩。
图像形状特征提取方法
图像形状特征提取方法图像形状特征提取是计算机视觉领域中的一项重要任务，它可以帮助我们理解、分析和识别不同对象在图像中的形状特征。
在本文中，我将介绍一些常用的图像形状特征提取方法，并探讨它们的优势和局限性。
一、边缘检测边缘是图像中物体间的分界线，因此，边缘检测是最直观和常用的图像形状特征提取方法之一。
边缘检测算法可以通过分析图像中像素间的强度变化来检测边缘。
其中，Sobel、Prewitt和Canny等经典算法被广泛应用于实际图像处理中。
Sobel算法通过计算像素点与其周围像素点的梯度值来检测边缘，可以获取边缘的方向和强度信息。
Prewitt算法与Sobel类似，但采用了不同的模板。
Canny算法结合了高斯滤波、梯度运算和非极大值抑制等步骤，可以提取高质量的边缘信息。
然而，边缘检测算法容易受到图像噪声的干扰，并且在图像边缘存在断裂或连接不完整的情况下效果较差。
二、轮廓提取轮廓是图像中物体的外部边界，轮廓提取可以将物体从背景中分离出来，提供更加准确的形状特征。
常用的轮廓提取算法包括基于阈值的方法、边缘链码和活动轮廓模型等。
基于阈值的方法将图像转换为二值图像，然后通过连接像素点与边缘的方法来提取轮廓。
这种方法简单快速，但对环境光照变化和噪声比较敏感。
边缘链码是一种将轮廓表示为一系列有序像素点的方法，可以准确地描述物体的形状。
然而，边缘链码不适用于含有内部空洞的物体。
活动轮廓模型是一种基于能量最小化的方法，通过定义能量函数来推动轮廓的变化，从而提取出物体的形状轮廓。
然而，活动轮廓模型对图像噪声和初始轮廓的选择比较敏感。
三、形状描述符形状描述符是一种用于表示和比较物体形状的数学工具，可以提取出物体的形状特征并进行形状匹配。
常用的形状描述符包括区域不变性矩、傅里叶描述子和轮廓匹配等。
区域不变性矩是一种用于描述物体形状的全局特征，它通过计算像素点的几何矩和中心矩来表示物体的形状。
区域不变矩对缩放、旋转和平移具有一定的不变性，但对形状的扭曲和边界噪声较敏感。
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实验五图像的傅立叶变换和边缘提取兰州大学信息学院 0级通信工程一班赵军伟第一部分图像的傅立叶变换一、实验目的1.了解图像变换的意义和手段；2. 熟悉傅里叶变换的基本性质；3. 熟练掌握FFT的方法及应用；4. 通过实验了解二维频谱的分布特点；5. 通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。
二、实验原理1．应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
b5E2RGbCAP2．傅立叶<Fourier）变换的定义对于二维信号，二维Fourier变换定义为：二维离散傅立叶变换为：三、实验步骤1.打开计算机，安装和启动MATLAB程序；程序组中“work”文件夹中应有待处理的图像文件；2.利用MatLab工具箱中的函数编制FFT频谱显示的函数。
3. a>调入、显示三张不同的图像；b>对这三幅图像做FFT并利用自编的函数显示其频谱。
c>讨论不同的图像内容与FFT频谱之间的对应关系。
4．记录和整理实验报告。
四、实验仪器1计算机， MATLAB软件；3移动式存储器<软盘、U盘等）。
4记录用的笔、纸。
五、实验结果及程序1.程序I1=imread('F:\MATLAB学习\实验\picture\LENA.TIF'>。
%读入原图像文件p1EanqFDPwI2=imread('F:\MATLAB学习\实验\picture\cell.tif'>。
%读入原图像文件DXDiTa9E3dI3=imread('cameraman.tif'>。
%读入原图像文件subplot(3,2,1>。
imshow(I1>。
%显示原图像fftI1=fft2(I1>。
%二维离散傅立叶变换sfftI1=fftshift(fftI1>。
%直流分量移到频谱中心RR1=real(sfftI1>。
%取傅立叶变换的实部II1=imag(sfftI1>。
%取傅立叶变换的虚部A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2>。
%计算频谱幅值A1=(A1-min(min(A1>>>/(max(max(A1>>-min(min(A1>>>*225。
%归一化RTCrpUDGiTsubplot(3,2,2>。
imshow(A1>。
%显示原图像的频谱subplot(3,2,3>。
imshow(I2>。
%显示原图像fftI2=fft2(I2>。
%二维离散傅立叶变换sfftI2=fftshift(fftI2>。
%直流分量移到频谱中心RR2=real(sfftI2>。
%取傅立叶变换的实部II2=imag(sfftI2>。
%取傅立叶变换的虚部A2=sqrt(RR2.^2+II2.^2>。
%计算频谱幅值A2=(A2-min(min(A2>>>/(max(max(A2>>-min(min(A2>>>*225。
%归一化5PCzVD7HxAsubplot(3,2,4>。
imshow(A2>。
%显示原图像的频谱subplot(3,2,5>。
imshow(I3>。
%显示原图像fftI3=fft2(I3>。
%二维离散傅立叶变换sfftI3=fftshift(fftI3>。
%直流分量移到频谱中心RR3=real(sfftI3>。
%取傅立叶变换的实部II3=imag(sfftI3>。
%取傅立叶变换的虚部A3=sqrt(RR3.^2+II3.^2>。
%计算频谱幅值A3=(A3-min(min(A3>>>/(max(max(A3>>-min(min(A3>>>*225。
%归一化jLBHrnAILgsubplot(3,2,6>。
imshow(A3>。
%显示原图像的频谱2.结果六、思考题1．傅里叶变换有哪些重要的性质?线性、时频对偶性、展缩性、时移性、时域和频域的微分性等。
第二部分图像边缘提取一．实验目的：掌握图像边缘提取的常用算子的特点和程序实现。
二．实验原理：边缘就是图像中包含的对象的边界所对应的位置。
物体的边缘以图像局部特性的不连续性的形式出现的，例如，灰度值的突变，颜色的突变，纹理结构的突变等。
从本质上说，边缘就意味着一个区域的终结和另外一个区域的开始。
图像边缘信息在图像分析和人的视觉中十分重要，是图像识别中提取图像特征的一个重要属性。
xHAQX74J0X边缘检测<edge detection）在图像处理和对象识别领域中都是一个重要的基本问题。
由于边缘的灰度不连续性，可以使用求导数的方法检测到。
最早的边缘检测方法都是基于像素的数值导数的运算。
现在使用的边缘检测算法大致可以归纳为两类：梯度<gradient）算子和拉普拉斯(Laplacian>算子。
LDAYtRyKfE三．实验内容：编制一个通用的边缘提取函数。
通过输入不同的参数，能够实现Sobel算子、Prewitt算子、Roberts算子、Laplace算子和Canny 边缘检测,并比较不同算子处理后的边缘图像的特点。
(实验图像任选>Zzz6ZB2LtkMATLAB图像处理工具箱提供的edge函数可以实现检测边缘的功能,详细的使用语法可以在MATLAB命令窗口键入”help edge.m”获得帮助。
该函数只能应用于灰度图像，其基本原理就是识别图像中灰度值变化较大的像素点。
dvzfvkwMI1四．实验步骤：a、读入图像对图像依次进行Sobel算子，Prewitt算子,Roberts算子，Laplace算子和Canny算子运算，比较处理结果。
rqyn14ZNXI 五．实验仪器1计算机；2 MATLAB软件；3移动式存储器<软盘、U盘等）。
4记录用的笔、纸。
六、实验结果及程序1.程序I=imread('cameraman.tif'>。
subplot(2,3,1>。
imshow(I>。
title('<a）原始图像'>。
subplot(2,3,2>。
I1=edge(I,'sobel'>。
imshow(I1>。
title('<b）Sobel算子'>。
subplot(2,3,3>。
I2=edge(I,'prewitt'>。
imshow(I2>。
title('<c）Prewitt算子'>。
subplot(2,3,4>。
I3=edge(I,'robert'>。
imshow(I3>。
title('<d）Robert算子'>。
subplot(2,3,5>。
I4=edge(I,'log'>。
imshow(I4>。
title('<e）Laplace算子'>。
subplot(2,3,6>。
I5=edge(I,'canny'>。
imshow(I5>。
title('<f）Canny算子'>。
2.实验结果3.实验结果分析由于Robert s 算子是利用图像的两个对角线的相邻像素之差进行梯度幅值的检测,所以求得的是在差分点处梯度幅值的近似值,并且检测水平和垂直方向边缘的性能好于斜线方向的边缘, 检测精度比较高, 但容易丢失一部分边缘, 同时由于没经过图像平滑计算,因此不能抑制噪声,该算子对具有陡峭的低噪声图像响应最好。
EmxvxOtOcoPrewit t 算子和Sobel 算子都是对图像进行差分和滤波运算,仅在平滑部分的权值选择上有些差异, 因此两者均对噪声具有一定的抑制能力, 但这种抗噪能力是通过像素平均来实现的, 所以图像产生了一定的模糊, 而且还会检测出一些伪边缘, 所以检测精度比较低, 该类算子比较适用于图像边缘灰度值比较尖锐,且图像噪声比较小的情况。
SixE2yXPq5Laplace算子首先通过高斯函数对图像进行平滑处理, 因此对噪声的抑制作用比较明显, 但同时也可能将原有的边缘也平滑了, 造成某些边缘无法检测到,。
此外高斯分布因子σ的选择对图像边缘检测效果有较大的影响。
σ越大, 检测到的图像细节越丰富, 但抗噪能力下降, 从而出现伪边缘, 反之则抗噪能力提高, 但边缘检测精度下降, 易丢失许多真边缘, 因此, 对于不同图像应选择不同参数。
6ewMyirQFLCanny 算子也采用高斯函数对图像进行平滑处理, 因此具有较强的去噪能力, 但同样存在容易平滑掉一些边缘信息, 其后所采用的一阶微分算子的方向性较Laplace算子要好,因此边缘定位精度较高。
该算子与其它边缘检测算子的不同之处在于, 它使用2 种不同的阈值分别检测强边缘和弱边缘, 并且仅当弱边缘与强边缘相连时才将弱边缘包含在输出图像中, 因此这种方法较其它方法而言不容易被噪声“填充”,更容易检查出真正的弱边缘。
通过实验结果可以看出,该算子在上述几种边缘检测算子当中效果最好。
kavU42VRUs <参考文档：基于MATLAB的遥感图像边缘检测算子的实验比较分析）申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。