二次三项配方法
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
3 配方法 第2课时 配方法
21.2 解一元二次方程第2课时配方法置疑导入归纳导入类比导入悬念激趣李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？[说明与建议] 说明：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，激起学生的学习兴趣，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：教学中让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用．(1)能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？(2)什么是完全平方公式？将下列各式填上适当的项，配成完全平方式．①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2；②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2；③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2；④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？(3)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？[说明与建议] 说明：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，继而延伸到利用配方转化，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合，教师适当引导，激发学生的学习兴趣和求知欲，为本节课的学习做好铺垫．——第7页例1解下列方程：(1) x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x ；(3)3x 2－6x ＋4＝0.【模型建立】根据配方法的依据可知，要把一个二次三项式配成完全平方式，要先确保二次项的系数是1，在此基础上加上一次项系数一半的平方．当然，为了保证多项式的结果不变，还要在后面减去前面所加的数．【变式变形】1．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x －a)2＝b 的形式，则b 等于( D )A ．－4B ．4C ．－14D ．142．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为(t －74)2＝8116D ．3y 2－4y －2＝0化为(y －23)2＝1093．解方程：(1)x 2＋8x ＝9；(2)6x 2＋7x －3＝0；(3)x 2－6x ＋1＝－3.4．[答案：(1)x 1＝1，x 2＝－9 (2)x 1＝13，x 2＝－32(3)x 1＝3＋5，x 2＝3－5][命题角度1] 配方根据完全平方式的结构特点，当二次项系数为1时，只需加上一次项系数一半的平方，就能将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式．注意：为保证二次三项式的值不变或等式成立，需要再减去一次项系数一半的平方或在方程两边同时作变换．例1 临沂中考一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为( B ) A ．(y ＋12)2＝1 B ．(y －12)2＝1 C ．(y ＋12)2＝34 D ．(y －12)2＝34例2 安顺中考若x 2＋2(m －3)x ＋16是关于x 的完全平方式，则m ＝__－1或7__． 例3 吉林中考若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝__3__．[命题角度2] 用配方法解一元二次方程如果一元二次方程的二次项系数为1，将常数项移到方程的右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．需要注意的是为确保等式的成立，需要在方程两边同时作变换．例如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度3] 用配方法求字母或代数式的值根据完全平方式非负的特点，利用配方，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式，再由每一个非负数或式分别为0的性质构造方程(组)求解．例1 已知3x 2＋4y 2－12x －8y ＋16＝0.求y x 的值．解：原式可变形为(3x 2－12x ＋12)＋(4y 2－8y ＋4)＝0，配方得3(x －2)2＋4(y －1)2＝0，则x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，故y x ＝12＝1.例2 已知a 2＋2ab ＋b 2－4(a ＋b －1)＝0，求a ＋b －3的值．解：原式可变形为(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4＝0，配方得(a ＋b －2)2＝0，则a ＋b －2＝0，解得a ＋b ＝2，故a ＋b －3＝2－3＝－1.[命题角度4] 用配方法进行说理此类题目一般的考查方式是求最大(小)值或证明一个代数式的值总为非负(或非正)数．解决这类问题的思考点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”．例1 不论x ，y 为何值，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( A )A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数例2 (1)用配方法求2x 2－7x ＋2的最小值；(2)用配方法求－3x 2＋5x ＋1的最大值．解：(1)2x 2－7x ＋2＝2⎝⎛⎭⎫x －742－338，∴2x 2－7x ＋2的最小值为－338. (2)－3x 2＋5x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫x －562＋3712，∴－3x 2＋5x ＋1的最大值为3712. P 9练习1．填空：(1)x 2＋10x ＋______＝(x ＋____)2；(2)x 2－12x ＋______＝(x －____)2；(3)x 2＋5x ＋______＝(x ＋____)2；(4)x 2－23x ＋______＝(x －____)2. [答案](1)25 5 (2)36 6(3)254 52 (4)19 132．解下列方程：(1)x 2＋10x ＋9＝0；(2)x 2－x －74＝0； (3)3x 2＋6x －4＝0；(4)4x 2－6x －3＝0；(5)x 2＋4x －9＝2x －11；(6)x(x ＋4)＝8x ＋12.解：(1)移项，得x 2＋10x ＝－9.配方，得x 2＋10x ＋25＝16，(x ＋5)2＝16.∴x ＋5＝±4，x 1＝－1，x 2＝－9.(2)移项，得x 2－x ＝74. 配方，得x 2－x ＋14＝74＋14，即⎝⎛⎭⎫x －122＝2. ∴x －12＝±2，x 1＝12＋2，x 2＝12－ 2. (3)移项，得3x 2＋6x ＝4.系数化为1，得x 2＋2x ＝43. 配方，得x 2＋2x ＋1＝43＋1， 即(x ＋1)2＝73.∴x ＋1＝±213， x 1＝－1＋213，x 2＝－1－213. (4)移项，得4x 2－6x ＝3.系数化为1，得x 2－32x ＝34.配方，得x 2－32x ＋916＝34＋916，即⎝⎛⎭⎫x －342＝2116.∴x －34＝±214， x 1＝3＋214，x 2＝3－214. (5)整理，得x 2＋2x ＝－2.配方，得x 2＋2x ＋1＝－1.∴方程无实数根．(6)整理，得x 2－4x ＝12.配方，得x 2－4x ＋4＝16，即(x －2)2＝16.∴x －2＝±4，x 1＝6，x 2＝－2.当堂检测1.把方程x ²+4x = 2, 左边配成完全平方式的结果是（ ）A ．（x +4）²= 4 B. (x +2) ²= 0C. (x +2) ²= 6D. (x - 2)² = 62. 若代数式x ²+kx +9是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A ． 6B ． ±6C ．12D ． ±123. 填上适合的式子，让等式成立：（1）x ²- 4x +______= ( x _____)²；(2) x ²+ 5x +___ = ( x +____ )² ．4. 配方：(1) x ² + mx = （x _____）²+______ ,(2) 2x ²- 8x +3 = 2(x ______)²+ ______ .5.用配方法解一元二次方程：（1）x ² + 4x +2 = 0；(2) 2x ² + 6x -1 = 0 .参考答案1. C2. B3.（1）4 -2 （2）425 25 4．（1） +2m （-4m 2） （2）-2 -5 5. 解：（1）(x+2)2=2,x = -2±2； (2) )23(2 x =411, x = -23±211.方程式的由来十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创 立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为"aequatio",英文为"equation". 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式. 由於那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响,因此"代数学"连同"相等式"等这 些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的<代数初步>译出.李.伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词.这样,"方程"一词首次意为"含有未知数的等式.1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的<代数学>,他们则把"equation"译为"方程式",他们的意思是,"方程"与"方程式"应该区别开来,方程仍指<九章算术>中的意思,而方程式是指"今有未知数的等式".华.傅的主张在很长时间裏被广泛采纳.直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定"方程"与"方程式"两者意义相通.在广义上,它们是指一元n 次方程以及由几个方程联立起来的方程组.狭义则专指一元n次方程.既然"方程"与"方程式"同义,那么"方程"就显得更为简洁明了了.。
初中数学 如何因式分解二次三项式
初中数学如何因式分解二次三项式在初中数学中，我们经常会遇到需要因式分解二次三项式的问题。
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积的过程。
对于二次三项式，我们可以使用以下几种方法进行因式分解：公式法、配方法和完全平方式。
下面我将为您详细介绍这些方法的步骤和示例。
一、公式法因式分解二次三项式的步骤公式法是一种快速因式分解二次三项式的方法，适用于特定的形式。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 计算二次项系数a，一次项系数b和常数项c的值。
2. 使用二次三项式的因式分解公式：ax^2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)，其中m、n、p和q是待确定的数。
3. 根据公式，展开右边的乘积：(mx + p)(nx + q) = mnx^2 + (mq + np)x + pq。
4. 将展开得到的多项式与原二次三项式进行比较，确定m、n、p和q的值。
5. 将得到的因式分解形式写出来。
二、配方法因式分解二次三项式的步骤配方法是一种常用的因式分解二次三项式的方法，适用于一些特殊的情况。
对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将二次项系数a乘以常数项c，得到ac。
3. 找到两个数的乘积等于ac，同时它们的和等于一次项系数b。
这两个数可以用于分解一次项。
4. 将一次项拆分为这两个数的和的形式。
5. 将二次三项式进行拆分和合并，得到因式分解的形式。
三、完全平方式因式分解二次三项式的步骤完全平方式是一种适用于特定情况下的因式分解二次三项式的方法。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将一次项系数b的绝对值拆分为两个数的乘积，这两个数的乘积等于二次项系数a和常数项c的乘积。
利用求根公式对二次三项式的因式分解
= (x 8)(x 12)
(3x 7 y)(2x y)
(3)在实数范围内分解因式 x2 5x 3
(x 5 13 )( x 5 13 )
2
2
(4)已知方程 2x2 8x 5a 0 有一个根是
4 6 , 2
则 2x2 8x 5a 分解因式为 2(x 4 6 )( x 12 6 )
2
2
分析：由根系关系可求出另一个根 12 6
2
然后代入公式即可
2. 选择题
（1）已知方程
2x2 ax 3 0的两根为3和 1 , 2
则2x2 ax 3分解因式的结果为 （D ）
A、(x 3)(x 1) 2
C、2(x 3)(x 1) 2
B、2(x 3)(x 1) 2
答案：
(1)原式= (x+1)(x-2) (2)原式=- (x-1)(x-2) (3)原式=(2x+1)2 (4)？？？？
十字相乘 十字相乘 完全平方公式
开启 智慧 二次三项式 ax2+bx+c（a≠0) 的因式分解
x2 + 6x + 9 = 0的解是x_1_=_x_2_=__- _3 分解因式x2 + 6x + 9 = __(_x_+__3_)2___
我们把 ax2 + bx + c(a 构0,b 0, c ? 0) 叫做关于x的 二次三项式 这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项， 共有三项。
将下列二次三项式因式分解
(1)x2 x 2
(2) - x2 + 3x - 2 (3)4x2 + 4x + 1
第 2节 配方法4
朔北藏族乡中心学校讲学稿 八 年级上册 科目： 数学 主备：顾焕峰 修改：九年级数学组 授课人： 授课时间： 总课时数： 学生姓名： 家长签字： 备课组长： 教研组长： 教导处： 课型： 新授课 课题： 第21章 一元二次方程 第 2节 配方法 (21章第4课时)课前导学学习目标 1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。
注意变形形式的求解学习要求1、参照学习目标，仔细阅读教材，把你认为重点的内容用“ ”画出来，不理解的用“？”标记。
2、找出疑点再研读 学习重点理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 学习难点不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 学法指导 阅读、探究、讨论、归纳知识回顾与准备1、若x 2=a (a ≥0)，则x =_______.若（x +1）2=a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________.直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、 （2）、3、写出完全平方公式。
4、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。
（1）、+ = ）； （2）、+ +25= ）（3）、+ =3 ） （4）、+ =2 ）指导自学预习要求（阅读5---6页内容）1、阅读问题2，理解题意与解决问题的方法。
2、阅读7页例1。
掌握用配方法解一元二次方程的方法。
3、有疑问的地方做出记号。
检测预习与课堂助学一、 探究新知问题2 要使一块长方形场地的长比宽多6m ，并且面积为40 m 2，场地的长和宽应各是多少？ 思路导航：（1）列出的经化简为一般形式的方程与直接开平方解方程的形式有什么不同呢？（2）结合32页解题框图，理解解法，将这个二次三项式配成一个完全平方。
解：23270x -=2(3)25x +=26x x -(x -22x (x +2236x x -(x -2223x x -(x -2二、 知识点：总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为_____，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为________项和__________项，右边为__________项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的_________．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为______________的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．例1：解下列方程（1）、 （2）、（3）、 （4）、当堂检测用配方法解下列方程：（1） （2） （3）拓展延伸 用配方法解下列方程：（1）、 （2）、（3） （4）布置作业作业： P42习题22.2第3题家庭作业：P34练习1、2题教（学）后记通过本节课的学习，我知道了：1、 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （•淄博）解方程：x 2+4x ﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到x 2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x 2+4x ﹣1=0∴x 2+4x=1∴x 2+4x +4=1+4∴（x +2）2=5 ∴x=﹣2±∴x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ． 【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】 【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （贵州）用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ）A ．（x +2）2=1B ．（x +2）2=7C ．（x +2）2=13D ．（x +2）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．（长兴县月考）用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ．12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7．2．【答案】C ； 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338； 【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1 【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+2149()416x +=1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。
第02讲解一元二次方程——直接开方法与配方法(原卷版)
第02讲 解一元二次方程——直接开方与配方法知识点01 直接开方法解一元二次方程1. 直接开方法求p x =2的一元二次方程：由平方根的定义可知： ①0＞p 时，一元二次方程p x =2有 个 的实数根，分别是 或 。
他们互为 。
②当0=p 时，一元二次方程p x =2有 个 的实数根，即。
③当0＜p 时，一元二次方程p x =2 实数根。
2. 直接开方法解()p b ax =+2的一元二次方程：同样由平方根的定义可知：①当0＞p 时，一元二次方程()p b ax =+2有 个 的实数根。
方程开方降次得到一元一次方程p b ax =+或p b ax -=+。
所以它的两个实数根分别是 或 。
②当0=p 时，一元二次方程()p b ax =+2有 个 的实数根。
方程开方降次得到一元一次方程0=+b ax ，所以一元二次方程的两个实数根为 。
③当0＜p 时，一元二次方程b ax =+题型考点：①利用直接开方法解方程。
②根据根的情况求字母的值或取值范围。
【即学即练1】1. 方程x 2＝1的根是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝±1D ．x ＝±22．方程（x +6）2﹣9＝0的两个根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝9B ．x 1＝﹣3，x 2＝9C ．x 1＝3，x 2＝﹣9D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣9 3．解方程：（1）x 2﹣81＝0； （2）4（x ﹣1）2＝9． 【即学即练2】4．关于x 的一元二次方程x 2＝a 的两个根分别是2m ﹣1与m ﹣5，则m ＝ ．【即学即练3】5．若关于x 的方程（x ﹣a ）2﹣4＝b 有实数根，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞4B ．b ＞﹣4C ．b ≥4D ．b ≥﹣46．如果关于x 的方程（x ﹣1）2＝m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是 ．知识点02 配方法解一元二次方程1. 配方法的定义：将一元二次方程化成()p b x =+2的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。
配方法——配方法解方程
知1－讲
知识点 1 二次三项式的配方
例1 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空． (1)x2＋10x＋___2_5____＝(x＋____5____)2； (2)x2＋(__±__1_2___)x＋ 36＝[x＋(___±__6___)]2; (3)x2－4x－5＝(x－_____2___)2－___9___．
(2)x2－4x＝12； (4)x2＋x－ 3 ＝0.
4
归纳
知2－讲
通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未 知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非 负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个 一元一次方程，从而求出原方程的根 . 这种解一 元二次方程的方法叫做配方法.
（来自《点拨》）
知2－导
(2)当二次项系数不为1时，先化二次项系数为1， 然后再配方．
（来自《点拨》）
知1－练
1 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
（来自《典中点》）
知1－练
2 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
即 (x－5)2＝36.
两边开方，得 x 1 2.
两边开方，得 x 5 6. 所以 x1 1 2,
所以 x1 11, x2 1.
x2 1 2.
总结
知2－讲
用配方法解一元二次方程的步骤： 形如x2＋px＋q=0型： 第一步移项，把常数项移到右边； 第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方； 第三步左边写成完全平方式； 第四步，直接开方即可．
知2－讲
例2 用配方法解下列方程． (1)x2－10x－11＝0； (2)x2＋2x－1＝0.
第02讲 一元二次方程的解法(配方法和因式分解法)(人教版)(原卷版)-【暑假自学课】2024年新九
第02讲一元二次方程的解法（配方法和因式分解法）【人教版】·模块一配方法解一元二次方程·模块二因式分解法解一元二次方程·模块三课后作业模块一配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；①移项——把常数项移项到等号的右边；①配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；①开方，即降次；①解一次方程。
【【【1 【【【【【【【【【①①1.1①方程4x2−mx+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于（）A．−4B．−4或4C．−2或−2D．4①①1.2①把方程x2−12x−3=0化成配方式(x−ℎ)2=k的形式，则下列符合题意的是（）A．(x−6)2=33B．(x−6)2=39C．(x−12)2=147D．(x−12)2=141①①1.3①将代数式x2−10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．−20B．−10C．−5D．0①①①1.1①用配方法解方程x2−8x=3时，方程的两边同时加上一个实数_____________，使得方程左边配成一个完全平方式．①①①1.2①已知x2－8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）A．x2－8x+（－4）2=31B．x2－8x+（－4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2－4x+4=－11①①①1.3①填上适当的数使下面各等式成立：①x2−5x+____=(x−____)2；①x2+4x+____=(x+____)2；①x 2+23x +_____=(x +____)2； ①x 2−ba x +____=(x −____)2. 【【【2 【【【【【【【【【【【①①2.1①用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是( )A ．x 2﹣4x+2=0B ．2x 2﹣8x+3=0C ．x 2﹣8x=2D ．x 2+4x=2①①2.2①某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁①①2.3①用配方法将方程3x 2−4x −2=0写成形如a (x +m )2+n =0的形式，则m ，n 的值分别是（） A ．m =23，n =103 B ．m =−23,n =−103C ．m =2,n =6D ．m =2,n =−2①①①2.1①用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2−4x −117=0化为(x −2)2=121B ．x 2−6x +7=0化为(x −3)2=16C ．2t 2−9t +7=0化为(t −94)2=2516 D ．5x 2−4x −1=0化为(x −25)2=925①①①2.2①把方程x 2−4x −5=0化成(x +a )2=b 的形式，则a 、b 的值分别是（ ）A ．2，9B ．2，7C ．−2，9D ．−2，7①①①2.3①将方程x 2−mx +8=0用配方法化为（x −3)2=n ，则m +n 的值是_______．①①①2.4①用配方法解下列方程(1)3x 2−4x −2=0；(2)6x 2−2x −1=0；(3)2x 2+1=3x ；(4)(x −3)(2x +1)=−5．因式分解法解一元二次方程： 模块二 因式分解法解一元二次方程①移项，将所有得项都移到左边，右边化为0；①把方程得左边分解成两个因式得积，可用得方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；①令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；①解一次方程。
二次三项式,分解因式的技巧、窍门
二次三项式，分解因式的技巧、窍门二次三项式，ax" + bx + c ( a > 0 )，构成了中学数学的重点，一元二次方程ax" + bx + c = 0 和二次函数y = ax" + bx + c 。
解一元二次方程，通常也都是使用因式分解法。
二次三项式，分解因式通常使用【十字相乘法】，可是有些式子，使用十字相乘法，或许不知从何下手，我们看得不知所措，怎么办呢？我根据自己的经验，来讲讲自己“新一代”的方式方法，希望我们共同掌握技巧、窍门。
让我们一同探索奥秘，一同拿起新武器吧！工具/原料∙拆项分组分解因式，或者这样做草稿，分解因式就会感到方便轻松。
∙例题（1），x" ±10x ±24 ；∙例题（2），8x" ±52x ±60 ；∙配方法分解因式，解一元二次方程，对付复杂的式子，也是使用配方法。
①拆项分组分解法(1)，x" ±10x ±24正如x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式mx = (a+b)x 一分为二，变成ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。
关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。
2②一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？我们看看 x" ±10x ±24 这个二次三项式。
它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。
一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。
只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。
二次三项配方法
配方法（2）
主备人潘长锁审核人审查人
学习目标：
把二次三项式ax2+bx+c化为 a(x+m)2+n的形式，从而确认代数式的取值范围及最值自主学习
用配方法解方程：2x2—4x+1=0
小组合作
例1：将x2—4x+3配方化为a(x+m)2+n的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值解：x2—4x+3
=
=
∵（）2 0 （学生讨论，教师引导）
∴
∴
例2：将2x2—x+2配方化为a(x+m)2+n的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值解：2x2—x+2
= （利用提公因式法，将二次项系数化为1 ）
= （将括号里配成完全平方式）
= （去括号、合并整理成a(x+m)2+n形式）
∵（以下取值范围及最值确定参照例1独立完成）∴
∴
展示反馈
用配方法说明：不论x 取何值，代数式—2x 2—x+1的值总不大于
8
9 ，并求出当x 取何值时这个代数式的值最大，最大值
归纳总结
分层训练
1已知代数式x 2—5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数;再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少
2用配方法说明：不论x 取何值，代数式—3x 2+6x —10的值总为负数，并求出当x 取何值时这个代数式—3x 2+6x —10的值最大，最大值多少
3用配方法说明：不论x取何值，代数式x2+6x+10的值总为正数，并求出当x取何值时这个代数式x2+6x+10的值最小，最小值多少
4求证：对于任何实数X，代数式-12x2-3x-5的值恒为负数。
二次三项式的因式分解
已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5） 在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程 （m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（） 1 x x y 72 y
4 2 2 2 2
4
2 2
( x 2 2 y)( x 2 2 y)( x 9 y )
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元之主,都在谈论着鞠言.“诸位大王！”焦源盟主出声.大殿内の谈论声消失,众人都看向焦源盟主.“废话俺就不说了,在请诸位来俺焦源混元の事候,诸位就已经知道此次会议所要商议の事情.”焦源盟主环视众人道.“确切の说,此次会议,是接着上次会议,继续召开の.”“所以,是否还有 人,反对鞠言混元加入联盟?”焦源盟主问道.“俺反对！”在焦源盟主话音刚刚落下,思烺大王便是大声の开口.他反对,鞠言混元加入联盟.“思烺大王,你亲口说过,只要鞠言大王能接你三招,你便不再反对鞠言混元加入联盟.那么,现在你为何又反对?”焦源盟主看向思烺大王.“思烺大王, 你莫非要出尔反尔?或者,你不打算承认你说过の话?”焦源盟主目光凝聚,声音低沉.“呵呵……”思烺大王发出一声轻笑.他看了看焦源盟主,又看了看其他の混元之主,最后看向鞠言.“盟主,俺承认俺说过那样の话.不过,那已经是千年之前の事情了.”思烺大王冷笑着说道.他作出过那样の 承诺,只是事间已过千年.“思烺大王,你呐未免就有些强词夺理了吧?”焦源盟主心中有些恼怒.“强词夺理?盟主,你可不要污蔑俺の名声.俺说の,是事实情况.千年前,俺说过若鞠言呐小畜生能挡俺三招,俺便同意鞠言混元加入联盟.呐一点,在场の绝大多数人,都知道,俺也全部承认.可是,呐 件事の中间却是出了意外,呐个小畜生消失了,他失踪了千年.千年后他突然回来,那么鞠言混元加入联盟呐件事,自然要叠新商议讨论.”思烺大王笑道.他呐就是强词夺理.然而,他并不太在乎.在联盟中,谁不知道他思烺大王の霸道.“不要脸！无耻！”“毫无底线！”“你呐样の人,居然能 成为混元之主?真是令人无法理解！”大殿内,一道声音响起.说话の不是别人,正是吙阳大王.吙阳大王の几句话,可是一点都不客气了,呐是打算要与思烺大王彻底翻脸了.上一次联盟会议中,吙阳大王尽量の控制了自身の言行.而呐一次,她显然不想再控制了.她决定了.谁再想对付鞠言,她就 与谁翻脸.大不了,鱼死网破,联盟崩溃,大家一起完蛋.在吙阳大王说出呐几句话后,大殿之中,一片寂静.所有人,都有些震惊の看着吙阳大王.就连被辱骂の思烺大王,都有些愣申.他当然知道,吙阳大王肯定会站在鞠言那边.但是,他没想到,吙阳大王会如此の决绝和彻底.在短暂の愣申之后,愤 怒の吙焰,便席卷了思烺大王の胸腔.瞬息之间,他便到了爆发の边缘.多少年了！多少年都没有人,敢如此の辱骂他思烺大王.而且,呐还是当面の辱骂,一点脸面都不给他思烺大王.就是焦源盟主,都不敢呐么做！呐个该死の女人,竟敢当着拾多个混元之主の面,辱骂他不要脸、无耻！他思烺大 王,无法忍受.“吙阳贱人,你呐是找死！”思烺大王愤怒の目光盯着吙阳大王,全身申历道则沸腾,仿佛下一刻就要出手杀死吙阳大王の样子.不过他并未由于愤怒,而彻底失去理智.他还清楚,吙阳大王并不那么好杀.在拾多个混元空间之中,吙阳大王の实历虽然不是最强の那两三个混元之主, 但也是中上层次の实历.第三二八思章忍你很久了第三二八思章忍你很久了(第一/一页)吙阳大王の脸上,布满一层寒霜.她是联盟之内,唯一の女性混元之主.而在联盟中,她の性别,最初事并没有给她做事带来任何の便利.但她靠着自身の实历和能历,终于还是在联盟中获得了相应の地位,得 到了别人の尊叠.方才,思烺大王骂她是贱人！她很想当场,取出自身の武器,将思烺斩杀.吙阳大王看了看鞠言,她忍不住内心中冲动の想法.她知道自身の实历,比思烺低上一些,但她忍住出手の原因,不是由于怕自身敌不过思烺,而是为鞠言.“两位,都冷静一下吧.”焦源盟主出声.焦源盟主 不喜欢思烺大王,思烺大王太过跋扈了.但不喜欢归不喜欢,他还需要思烺大王の历量.在联盟之内,思烺大王の影响历太大.若思烺大王呐边出了问题,联盟必定难以为继.就算勉强维持,也无法再有历量与敌人对抗.所以再不喜欢,焦源盟主仍然需要维持着一种平衡,甚至是对思烺大王妥 协.“思烺大王,你方才说の理由,太过牵强了.在俺们无尽の寿命中,千年事间,不过是短短一瞬而已.千年前达成の条件,如何说改就改呢?俺们是混元大王,不是凡人！”焦源盟主看着思烺大王说道.“盟主,你知道俺对你是尊叠の.整个联盟之内,能让俺尊叠の,也只有盟主你.”“若不是对盟 主尊叠,呐个叫鞠言の小混蛋,还能活着坐在呐里?”“俺尊叠你,所以俺也希望,你能尊叠俺の看法和意见.俺还是那句话,俺不同意让呐个小混蛋加入联盟.盟主如果一意孤行,那俺只好退出联盟.”思烺大王望着焦源盟主.他在威胁焦源盟主.如果鞠言混元加入联盟,那思烺混元就退出联盟.听 到思烺大王呐番话,焦源盟主心中一寒.虽然他已经预料到,思烺大王可能会以退出联盟来要挟,可他心中还是抱着一些希望.而现在,思烺大王当着那么多人の面,将呐些话说了出来.那么,就很难再有回旋の余地了.鞠言混元加入,思烺混元退出.鞠言混元,自然无法与思烺混元相比.如果是在和 平の情况下,没有外在敌人の压历,那焦源盟主就不需要太考虑两个混元の实历对比.可现在,他不能失去思烺大王和思烺混元.还有,如果思烺混元退出の话,难保不会有其他混元跟着退出.思烺大王在联盟内,确实有着较强の影响历.那玄冥混元の主人玄冥大王,便一直与思烺大王亲近.如果思 烺大王许诺足够の好处,玄冥大王便有可能被说动从而也退出联盟.“思烺大王,如果思烺混元退出联盟,你有没有想过,敌人会不会优先攻击思烺混元?”在吸了一口气后,焦源盟主看着思烺大王问道.敌人能够轻松の毁灭黑月混元,当然也能轻松の毁灭思烺混元.思烺混元退出联盟,那么在面 临敌人攻击の事候,联盟方面要不要救援,能不能来得及救援,都会是很大の问题.“呵呵……”思烺大王笑出声.“盟主,你也不用拿呐些话来吓唬俺.俺思烺修行到几天,经历の险境数不胜数！俺,何曾怕过?大不了,俺舍弃那座混元就是.为了杀死鞠言呐个杂碎,俺宁愿舍弃一座混元.”思烺大 王有些疯狂.在场の混元大王,都有些动容.“思烺,你不想留在联盟,滚就是了！”吙阳大王开口说道.吙阳大王当然也清楚,如果让焦源盟主,只能在思烺混元和鞠言混元呐两座混元中选择一个,那焦源盟主选择の必定是思烺混元.所以,她有些着急.“吙阳大王,请冷静.”焦源盟主皱眉对吙阳 大王道.“俺很冷静！焦源盟主,如果鞠言混元不能加入联盟,那俺吙阳混元,立刻退出联盟.”吙阳大王与焦源盟主对望.“你……你们……”焦源盟主恼怒の看着吙阳大王.此事の焦源盟主,有些后悔了.或许,呐个鞠言就不应该出现.如果鞠言不出现,也就不会发生现在の状况,让他进退不得. 无论他做出怎样の决定,对联盟来说,似乎都不是好事.无论哪一种选择,联盟の实历都会受损.“盟主,联盟之中少一个吙阳混元,问题也不大.”思烺大王眼申一闪,对焦源盟主说道.“主上.”托连军师出声：“现在吙阳大王和思烺大王,都很难冷静下来.俺看,不如暂停会议,大家都休息几天. 等过几天,再继续商议此事.”焦源盟主明白托连军师の意思.他刚想点头,鞠言便出声了：“盟主、军师,其实俺们都知道,不管是今天就决定一个结果,还是等几天再商议.呐个结果,都是一样の,不会有哪个改变.”“为了节省大家の事间,俺觉得还是在今天,就让事情有一个结果.”鞠言继续 说道.“俺感觉出盟主の为难之处,但俺觉得,呐件事也没那么难以决定.”“如果鞠言混元加入联盟,那只有思烺混元退出.联盟内,还是有拾三个混元空间.而如果鞠言混元不加入,那吙阳混元会退出,联盟内,将只有拾二个混元空间.呐不是很好选择吗?”鞠言缓缓说道.两个混元对一个混元, 只看表面,确实很好作出选择.“哈哈哈哈……”思烺大王狂笑.“鞠言小儿,就你那个该死の混元空间,算是真正の混元空间吗?你,还有
二次三项式
第一讲一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即当△=0时，方程有两个相等的实数根，即当△＜0时，方程无实数根．分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．因为所以例2 解关于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解用十字相乘法分解因式得[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000．例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x1=1，x2=-2．例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4，x2=-4．例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0 有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，故a=3．原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时，x1=x2=0；当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．例8 解关于x的方程： (m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．解分类讨论．(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程 x-2=0，所以x=2．(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9 解关于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．分类讨论：(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．例10 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0 有相同的根，并求两个方程的根．解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．例11 若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值．解原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，即4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，符合要求，所以m2≤1．例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则两式相加得若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC为直角三角形．例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x2-9x+8=0， x1=1，x2=8．因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．练习九1．解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+｜2x-1｜-4=0．2．解下列关于x的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．3．若对任何实数a，关于x的方程 x2-2ax-a+2b=0 都有实数根，求实数b的取值范围．4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．第二讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8， (m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且 (m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0 至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程 x2＋(a-6)x＋a=0 的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习十1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不相同的正整数根，则k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a 的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．第三讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2-①×3得4x＋9y-6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(-2)+①得3y2+3y-6=0，所以 y1=1，y2=-2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得 (2x+y)(x-2y)=0，所以 2x+y=0或x-2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①-②×2得x2-2xy-3y2=0，即 (x+y)(x-3y)=0，所以 x＋y=0或x-3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2-5xy＋y2-3x-3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2-5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以 x-y-0或x＋x-10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③-④并平方得整理得所以因此A-B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①-②得即所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而x-1=0，y-1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习三1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组第四讲根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．1．已知一个根，求另一个根利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．例1 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．解先求出a，b．由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．所以a-b=1-(-1999)=2000．例2 设a是给定的非零实数，解方程解由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于2．求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：(3) α3＋β3；(4) α3-β3．解由韦达定理知α+β=3，αβ=1．(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)=(α-β)[(α+β)2-αβ]例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．解因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以4α2-2α-3＝0，即4α2=2α＋3．4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．例5 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．解由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以α2+α-1=0，β2+β-1=0，即α2=1-α，β2=1-β．α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α=-3(1-α)+2α=5α-3，β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．说明此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．例6 设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．解设x1，x2是方程的两个实根，于是所以as3＋bs2＋cs1=0．说明本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．另解因为x1，x2是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3＋bs2＋cs1＝0．3．与两根之比有关的问题例7 如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k＋1)2ac．证设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得即kb2＝(k＋1)2ac．例8 已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2＝0解首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即m2-6m+5=0，所以 m1=1，m2=5．4．求作新的二次方程例9 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．解设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x＋34=0．例10 设x2-px＋q=0的两实数根为α，β．(1)求以α3，β3为两根的一元二次方程；(2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．解 (1)由韦达定理知α+β=p，αβ=q，所以α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)，α3·β3=(αβ)3=q3．所以，以α3，β3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0．(2)由(1)及题设知由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，以，符合要求的方程为x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0．5．证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合．例11 已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y．证因为x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式△=36-4(z2+9)=-4z2≥0，即z2≤0．因z为实数，显然应有z2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y．例12 若a，b，c都是实数，且a＋b＋c=0，abc=1，证由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c是方程的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式因为a＞0，所以a3-4≥0，a3≥4，例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．解 (1)显然a≠0，由△=16a2-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韦达定理知所以所以a=9，这与a＜0矛盾．故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．练习四1．选择：(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ](A)△＞M (B)△=M(C)△=＜M (D)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则[ ](A)-4 (B)8(C)6 (D)0为[ ](A)3 (B)-11(C)3或-11 (D)112．填空：(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是______．(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_______．(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+a-4的末位数是______．另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=______．3．已知α，β是方程x2-x-1=0的两个实数根，求α4+3β的值．4．作一个二次方程，使它的两个根α，β是正数，并且满足关系式5．如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为4∶5，方程的判别式的值为3，求a，b的值．第五讲判别式及其应用一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．1．判定方程根的情况例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．解因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，即 m＜-1．因为△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根．例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0的实数根的个数情况．实根．当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，说明对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．2．确定方程中系数的值或范围例3 关于x的一元二次方程有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．解因为方程有实根，所以即-a2-2a-1≥0．因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以a99+x99=(-1)99+199=0．例4 若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，求a，b的值．解因为方程有实根，所以它的判别式△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，化简后得2a2+4ab+4b2-2a+1≤0，所以(a+2b)2+(a-1)2≤0，说明在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，求m的取值范围．解设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由△=122-4·2·m=144-8m≥0并且不等式25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，3．求某些方程或方程组的解例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．解先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．因为x是实数，所以判别式△=(8y-2)2-4·5·(5y2+2y+2)≥0，化简后整理得y2+2y+1≤0，即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得5x2-10x+5=0，故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．说明 (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，从而x=1，y=-1．例7 解方程组解引入待定系数k，由k·①+②得或写成△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．即4．证明不等式，求最大值和最小值用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．是多少？(x-3)2+(kx-3)2=6，即(k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，即k2-6k+1≤0．①解由于所以 yx2+(y-2)x+y=0，上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以△=(y-2)2-4y2≥0，即3y2+4y-4≤0，(3y-2)(y+2)≤0．当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y=例10 实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，证因为对任何实数t，有-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，当t=1时，便有1≤ab+bc+ca≤1，所以ab+bc+ca=1．由于a+b=2-c，于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，于是a，b是一元二次方程t2-(2-c)t+(c-1)2=0的两个实数根．所以△=(2-c)2-4(c-1)2≥0，即 3c2-4c≤0，练习五1．选择：(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2-6m+5，此方程根的情况是[ ](A)有两个不相等的实根(B)有两个相等的实根(C)没有实根(D)由实数m的值而定(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[ ](3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 [ ](A)2个(B)1个(C)0个(D)不确定(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有 [ ](A)1组(B)2组(C)4组(D)无数组(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ](A)△＞M (B)△=M(C)△＜M (D)不确定2．填空：(1)关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0恰有一个实根，则a=____．(2)设m是不为0的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____．(3)当m=____时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0有两个不等的实数根．(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．(5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．3．求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解．4．解方程组5．已知a，b是整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．6．已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u2+v2≥2(u+v)．第六讲二次函数二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。
二次三项式配方法步骤
二次三项式配方法步骤在代数学中，二次三项式配方法是对高次多项式进行因式分解的一种常用技巧。
它可以将一个二次三项式转化为两个一次三项式的乘积形式，从而更容易进行进一步求解或化简。
在本文中，我们将详细介绍二次三项式配方法的步骤和运用。
步骤一：观察和确定二次三项式的形式首先，我们需要观察给定的二次三项式，并确定它的一般形式。
一个二次三项式通常具有以下形式：ax^2 + bx + c其中a、b和c分别代表常数系数，在实际问题中可以是任意实数。
观察这个形式可以帮助我们确定接下来的配方法步骤。
步骤二：计算二次三项式的常数系数在配方法之前，我们需要计算二次三项式的常数系数a、b和c的具体值。
通常情况下，这些常数系数可以从给定的二次三项式中直接读取。
例如，对于二次三项式3x^2 + 7x + 2，我们可以确定a = 3、b = 7和c = 2。
步骤三：确定配方法的形式接下来，我们根据二次三项式的形式选择合适的配方法。
二次三项式的配方法可以分为以下两种形式：•完全平方形式：当a的平方能够整除c时，适用于这种形式的配方法。
•组合形式：当b可以拆分成两个数的和，并且这两个数与a和c有关系时，适用于这种形式的配方法。
下面，我们将分别介绍这两种配方法的具体步骤。
完全平方配方法当二次三项式的a的平方能够整除c时，我们可以使用完全平方配方法来分解它。
下面是完全平方配方法的步骤：1.将二次项和常数项展开，即计算(ax)^2和c的值。
2.找到能够使得a的平方等于c的两个因数，记为m和n。
3.根据配方法公式，我们可以将二次三项式表示为完全平方形式：(mx+ n)^2。
4.将完全平方形式展开，并与原二次三项式进行对比，观察常数项和一次项是否相等。
举个例子，对于二次三项式4x^2 + 12x + 9，我们可以进行完全平方配方法的运算：1.计算(2x)^2 = 4x^2和9。
2.找到能够使4x^2等于9的两个因数，显然是3和3。
3.根据配方法公式，我们可以得到完全平方形式(2x + 3)^2。
21-2-3 配方法的典型应用(课件)-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)
2
=-3(x- ) +
3
类型二：求二次多项式的最值
例2.不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值（
A.总大于7
B.总不小于9
C.总不小于-9
C
）
D.为任意有理数
解：4x2+3y2+8x-12y+7
＝4x2+8x+4＋3y2-12y+3
＝4(x2＋2x＋1)＋3(y2−4y＋1)
例3.试用配方的方法说明：代数式 x 2 6 x 10 的值恒为正数．
解：x 2 6 x 10 x 2 6 x 9 9 10= x 32 1
∵无论x取何值，总有 x 32 0 ，
∴ x 3 1＞0 ．
2
即代数式 x 2 6 x 10 的值恒为正数．
元一次方程求解．
3.方程配方的方法？
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提
下进行的.
4.用配方法解一元二次方程的一般步骤？
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化
1.理解并掌握把一个二次三项式通过配方化成a(x+h)2+k的形式.
（重、难点）
2.灵活运用配方法求代数式的最值. （重点）
1.配方法的定义是什么？
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.配方法解方程的基本思路？
把方程通过配方化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一
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配方法（2）
主备人潘长锁 审核人 审查人
学习目标：
把二次三项式ax 2+bx+c 化为 a(x+m)2+n 的形式，从而确认代数式的取值范围及最值 自主学习
用配方法解方程：2x 2—4x+1=0
小组合作
例1：将x 2—4x+3配方化为a(x+m)2+n 的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值 解：x 2—4x+3
=
=
∵（ ）2 0 （学生讨论，教师引导）
∴
∴
例2：将2x 2—x+2配方化为a(x+m)2+n 的形式，并求出这个二次三项的取值范围及最值 解：2x 2—x+2
= （利用提公因式法，将二次项系数化为1 ） = （ 将括号里配成完全平方式）
= （ 去括号、合并整理成a(x+m)2+n 形式）
∵ （以下取值范围及最值确定参照例1独立完成） ∴
∴
展示反馈
用配方法说明：不论x 取何值，代数式—2x 2—x+1的值总不大于8
9 ，并求出当x 取何值时这个代数式的值最大，最大值？
归纳总结
分层训练
1已知代数式x 2—5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数;再求
出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
2用配方法说明：不论x取何值，代数式—3x2+6x—10的值总为负数，并求出当x取何值时这个代数式—3x2+6x—10的值最大，最大值多少？
3用配方法说明：不论x取何值，代数式x2+6x+10的值总为正数，并求出当x取何值时这个代数式x2+6x+10的值最小，最小值多少？
4求证：对于任何实数X，代数式-12x2-3x-5的值恒为负数。