123第1课时角平分线的性质
人教版八年级上册123角平分线的性质教案
角的平分线的性质（一）教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方法的提炼．教学过程Ⅰ．知识回顾问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？Ⅱ．合作探究思考：右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够在△ABC和△ADC．因为所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法。
作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？总结：1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．思考如图，任意画一角∠BAC，做出∠BAC的角平分线AP，在AP上任取一点O，过点O画出OA,OB的垂线，分别记垂足为E,D。
人教初中数学八上123角的平分线的性质《角平分线定理素材 新人教版
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线.注：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段.角的平分线是射线.拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心).定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.逆定理：在一个角的内部〔包括顶角〕，且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．D CA BD CAB[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．DC A B3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形EDCA B PD CAB二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质-人教版八年级数学上册课件
分析：
(1)已知了什么？让你干什么？
（已知了一个角，作角平分线）
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重 合,且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个步骤呢?
（在角的两边上截取相同的长度） (3)在平分角的仪器中，与角不重合的另外两条边相等，怎 样在作图中体现这个步骤呢？
（在角的内部取两段等长的线段） (4)找到这个交点后怎么办？
（2）求△APB的面积.
B D
P
（3）求∆PDB的周长.
CPDB PD PB DB
A
C
PC PB DB
BC DB AD DB
AB 14
学以致用
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
B
∠EBF= 60 度，BE= BF .
新知引入
思考 1、在纸上画一个角，怎样才能得到这个角的平分线？
2、如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到
木板、钢板的角平分线吗？
3、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条 A 射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
例2、如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，
PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
B
D M
P
A
EC
举一反三
变式、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交
BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为___4____
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC，
角平分线的性质是什么
角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。
三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的'内心到三角形三边的距离相等。
三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
数学人教版八年级上册12.3.1 角的平分线的性质
知识点 1 角的平分线的画法
知1－导
下图是一个平分角的仪器, 其中AB= AD,
BC=DC.将点A放在角的顶点,
A
AB和AD 沿着角的两边放下,
沿AC画一条射线AE, AE就
D
B
是这个角的平分线,你能说明
它的道理吗?
C E （来自教材）
证明:
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
（来自教材）
知2－练
解: 如图, 过O作∠AOB的平分线, 与直线MN交于点P, 点P即为所求作的点．
（来自教材）
知2－练
2 如图, 在△ABC中, ∠C＝90°, AC＝BC, AD 平分∠CAB交BC于D, DE⊥AB于E, 若AB＝ 6 cm, 则△DBE的周长是( A) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线 的性质
1 课堂讲解 2 课时流程
角的平分线的画法 角的平分线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
不利用工具, 请你将一张用纸片做的角分成两个相等 的角. 你有什么办法? 对折
A
C
O
B
再打开纸片 , 看看折痕与这 个角有何关系?
知2－讲
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC,
∴ △BDE ≌ △FDC , ∴ BD=DF .
（来自《点拨》）
总结ห้องสมุดไป่ตู้
知2－讲
由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段 相等, 这是证线段相等的一个简捷方法．
（来自《点拨》）
知2－练
角平分线的性质 课件
角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中，角的平分线也是中垂线，因此，角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用虚线表示角平 分线，并在角平分线上标注相应的字 母。
例如，若角平分线为AD，则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质，也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点，通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先，确定角的顶点，然后使用直尺或圆规等工具，从角的顶点出发，作一条与角的一 边平行的线段，线段的长度可以根据需要自行确定。接着，将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点，到角的两边的距离 相等。
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线， 因此，角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理，可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等
新人教版八年级上册13.3.1角的平分线的性质一
§13．3 角的平分线的性质§13．3．1 角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法．（二）能力训练要求1．应用三角形全等的知识，说明角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的进程中，培育学生动手操作能力与探讨精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方式的提炼．教学方式讲练结合法．教具预备多媒体课件（或投影）．教学进程Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？[生甲]三角形中有三条重要线段，它们别离是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．过三角形的极点作那个极点的对边的垂线，交对边于一点，极点与垂足的连线确实是那个三角形的高．取三角形一边的中点，其中点与那个边对应极点的连线确实是这条边的中线．用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与那个角的一边重合，那个角一半所对应的线确实是那个角的角平分线．[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．[师]你补充得专门好．数学是一门周密性很强的学科，你的这种精神值得咱们学习．若是老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？Ⅱ．导入新课[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过如此一个题：在∠AOB的两边OA和OB上别离取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC 交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，因此射线OC确实是∠AOB的平分线．受那个题的启发，咱们能不能如此做：在已知∠AOB的两边上别离截取OM=ON，再别离过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC确实是∠AOB的平分线了．[师]他那个方案可行吗？（学生试探、讨论后，统一思想，以为可行）[师]这位同窗不仅给了操作方式，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，•联想迁移的学习方式值得大伙儿借鉴．议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的极点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 确实是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作进程，使学生直观了解取得射线AC 的方式．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实确实是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 别离在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就能够够了．[生3]咱们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此△ABC ≌△ADC （SSS ）．因此∠CAD=∠CAB ．即射线AC 确实是∠DAB 的平分线．[生4]原先用三角形全等，就能够够解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是能够知新的．老师再提出问题：通过上述探讨，可否总结出尺规作已知角的平分线的一样方式．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发觉问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展现：作已知角的平分线的方式：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，别离交OA 、OB 于M 、N ．（2）别离以M 、N为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求．（教师依照学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地明白得画法，提高学习数学的爱好）．议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”那个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点必然在∠AOB 的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的明白得，培育数学周密性的良勤学习适应）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”那个条件，所作的两弧可能没有交点，因此就找不到角的平分线．2．若别离以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而咱们要找的是∠AOB内部的交点，•不然两弧交点与极点连线取得的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•因此第二步中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性能够通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．Ⅲ．随堂练习讲义P106练习．练后总结：平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长取得直线CD，直线CD与AB•也垂直．Ⅳ．课时小结本节课中咱们利用已学过的三角形全等的知识，•探讨取得了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种专门好的学习方式．Ⅴ．课后作业1．讲义P108习题13．2─一、2．2．预习讲义P106～107内容．。
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学中，角平分线是一个重要的概念。
下面我们来探讨一下角平分线的性质。
一、角平分线的定义
角平分线是指把一个角平分为两个相等的角的线段。
二、角平分线的性质
1.角平分线与角的两边相交于角的顶点，并把角分为两个相等的角。
2.角平分线所在的平面上，与角的两边的延长线交于一点，这个点称为角的外心。
3.角平分线上的每一个点到角的两边的距离相等。
4.角平分线上的每一个点到角的外心的距离相等。
5.对于同一个角，高度相等的两条角平分线相交于角的外心。
6.角平分线将一个角分为两个相等的角，但是并不一定把一个平面分为两个相等的部分。
三、角平分线的性质应用
1.根据角平分线的定义和性质，可以帮助我们判断一个线段是否为角的平分线。
2.通过利用角平分线的性质，可以求解一些几何问题。
比如，已知一个角的两边和这个角的外心，可以求出这个角的平分线。
3.利用角平分线的性质，可以证明一些角的关系。
比如，可以利用角平分线的性质来证明角平分线是角的垂直平分线。
四、角平分线的相关定理
1.角平分线定理：如果一条直线与一个角的两边相交且把这个角平分为两个相等的角，则这条直线是这个角的平分线。
2.角平分线的外角性质：角平分线所在直径上的角是180度的外角。
五、角平分线的证明方法
1.角平分线的证明方法一般采用反证法或者直接证明。
比如，先假设直线不是角的平分线，然后利用假设得出矛盾，从而得到直线是角的平分线。
2.对于一些特殊的角，可以直接利用三角形的辅助线去证明角平分线的存在性和性质。
角平分线的性质
角平分线的性质角平分线是几何学中常见的概念，指的是将一个角等分为两个相等的角的直线。
角平分线具有一些独特的性质，对于角的研究和应用有着重要的意义。
在本文中，我们将介绍角平分线的性质及其推论。
一、角平分线的定义角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
在图形中，一条角平分线将角分为两个相等的角，其中每个角的度数为原角的一半。
二、角平分线的性质1. 角平分线的两个重要性质：a) 角平分线将角分为两个相等的角；b) 角平分线上的点到角的两边距离相等。
2. 角平分线与角的边的关系：a) 角平分线与角的边垂直；b) 角平分线上的点到角的边的距离相等。
3. 角平分线与三角形内角的关系：a) 若角的两边与三角形的两边相等，且角平分线经过这两边的交点，则该角平分线为三角形内角的角平分线；b) 若一条角平分线将一个三角形的一个内角平分为两个相等的角，则该角平分线也是该三角形另外两个内角的角平分线；4. 角平分线与三角形外角的关系：a) 若角的两边与三角形的一边相等，且角平分线经过该边的延长线上的点，则该角平分线为三角形外角的角平分线。
5. 角平分线的推论：a) 角平分线的两条相邻边与角的两边构成一组等腰三角形；b) 角平分线所分割出来的两个三角形是全等三角形；c) 角平分线将一个三角形的面积分成两个相等的部分。
三、角平分线的应用1. 角平分线可用于构造相等角：通过已知角的一条边上任意一点，作角的平分线，可得到相等的两个角。
2. 角平分线可用于三角形的相似判定：若一条角平分线将一个三角形的一个内角平分为两个相等的角，则该角平分线也是该三角形另外两个内角的平分线，由此可推知该三角形与另一个角相等的三角形相似。
3. 角平分线可用于定位测量：在地图制图或建筑测量中，通过角平分线可以准确确定一个点的位置，提高测量的精度。
总结：角平分线是将角分为两个相等的角的直线，具有多个重要性质，包括角的等分、垂直、等距离等。
角平分线在几何学和实际应用中有着重要的作用，可用于相等角的构造、三角形的相似判定和定位测量等方面。
初中数学 什么是角平分线的性质
初中数学什么是角平分线的性质
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线有一些重要的性质，下面将详细介绍。
1. 角平分线将角分成两个相等的角：角平分线的最基本性质是将一个角分成两个相等的角。
这意味着，如果你画出一个角的角平分线，那么它将把角分成两个大小相等的部分。
2. 角平分线与角的两边相交：角平分线与角的两边相交。
也就是说，如果你画出一个角的角平分线，那么它将与角的两边相交于两个点，将角分成两个部分。
3. 角平分线与角的对边垂直：角平分线与角的对边垂直相交。
也就是说，如果你画出一个角的角平分线，那么它将与角的对边垂直相交于一个点。
4. 角平分线上的点到角的两边距离相等：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
也就是说，如果你选择角平分线上的任意一点，那么它到角的两边的距离将相等。
5. 角平分线可以应用于解决与角相关的问题：角平分线的性质可以应用于解决与角相关的问题。
例如，通过利用角平分线的性质，我们可以找到缺失的角度，证明两个角度相等，判断两个角度是否相似，以及解决与角度相关的几何问题等等。
总结起来，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线将角分成两个相等的角，与角的两边相交，与角的对边垂直相交，角平分线上的点到角的两边距离相等。
角平分线的性质可以应用于解决与角相关的问题。
八年级数学上册12.3角的平分线的性质知识点新版新人教版
角平分线的性质一、本节学习指点角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。
其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形标题有效的途径。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【重点】如第一个图：∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP 即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：∵C是AB的中点∴AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】∵AB⊥CD∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°或∵∠AOC=90°∴AB⊥CD留意：要判断两条直线垂直，只需知道这两条相交直线所构成的四个角中的一个角是直角就可以了。
反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到标题中出现角平分线，我们要会利用它的性质。
告诉大家一个秘密：在几何题型中，99%的标题给出的条件都是要用到的，除非此题属于难题范围，故意给些误导性条件。