线性方程组AX=B的数值解法课件
线性方程组AX=B的数值计算方法实验
for(i=1;i<=n;++i)
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
scanf("%lf",&a[i][j]);
}
}
printf("请输入方程组的常数项：\n");
for(i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%lf",&b[i]);
}
for(i=1;i<=n;++i)
t[i]=c[i][N];
for(i=N-1;i>=0;i--)//利用回代法求最终解
{
for(j=N-1;j>i;j--)
t[i]-=c[i][j]*x[j];
x[i]=t[i]/c[i][i];
}
}
运行结果：（以具体方程组为例）
2、（PA=LU：带选主元的分解法）求解线性方程组AX=B,其中：
A= B=
#define N 4//矩阵阶数
voidColPivot(doublec[N][N+1],double[]);//函数声明
voidmain(){
inti,j;
doublex[N];
doublec[N][N+1]={1,3,5,7,1,
2,-1,3,5,2,
0,0,2,5,3,
-2,-6,-3,1,4};
（3）[max1,j]=max(abs(A(p:N,p)));C=A(p,:);A(p,:)=A(j+p-1,:);A(j+p-1,:)=C;d=t(p);t(p)=t(j+p-1);t(j+p-1)=d;
形如ax=b类型的方程的解法ppt课件
χ=160 答：我国人工养殖的大熊猫有160只。
四、沟通联系，明确算法。
解形如ax=b类型的方程的根据是等式 的基本性质（二）
五、自主练习
解方程
6χ=72 0.6x=4.8
8χ=880 2.3χ=9.2
当堂检测 一、解方程：
7x=14.7
2的面积是420平方米。它的长是28米， 宽是多少米？
六、课堂总结，反思提升。 这节课你学会了什么？
六、课堂总结，反思提升。
（1）等式的基本性质（二）及 形如ax=b型方程的解法 （2）解形如ax=b型方程的依据 是等式的基本性质（二）
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
问题：从图中，你知道了哪些数学信息？
二、合作探索：
你能提出什么问题？
我国现存黑鹳多少只？如何列式？等量关系是什
么？ 我国现存黑鹳的只数X3=1500。
设我国现存χ只黑鹳， 列方程：
怎么解呢？
3χ=1500
三、合作交流，探究算法。
x
x
20
xx
20 20 20
χ=20 x x 10 10
2χ=20
χ×3=20×3 你有
x
10
什么
发 现？
2χ÷2=20÷2
等式的两边同时乘或除以一个数等式仍然成立。
等式的基本性质2
等式的两边同时乘或除以一个不 为零的数等式仍然成立。 解：设我国现存黑鹳有x只
3χ=1500 3χ÷3=1500÷3
χ=500 答：我国现存黑鹳500只 。
等式的两 边能同时 除以0吗？
随机巩固
2004年，我国野生大熊猫约有1600只，是人工养 殖大熊猫数量的10倍。 解：设我国人工养殖的大熊猫有χ只
第五章 线性方程组的解法PPT课件
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
3-2--线性方程组解的结构ppt课件(全)
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
（2）利用初等变换
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法．
x 1 3 x 2 6 x 3 x 4 = 3 ,
3 x1 -
x2 -
p x3
15
x4
=
3,
x 1 - 5 x 2 - 10 x 3 12 x 4 = t
当 p, t取何值时 ,方程组无解 ? 有唯一解 ?
有无穷多解 ? 在方程组有无穷多解的 情
况下 ,求出一般解 .
思考题解答
解
1 1 2 3 1
３．与方程组 A= xb有解等价的命题
线性方程组 A= xb有解
向 b 能 量 由 1 ,2 , 向 ,n 线 量 ; 性 组 表
向 1 ,2 , 量 ,n 与 组 1 ,向 2 , ,n , b 等 量 ;
矩 A = (1 阵 ,2 , ,n ) 与 B = 矩 (1 ,2 , ,阵 n ,b )
即得对应的齐次 程线 组性 的方 基础解系
1
1
=
1 0
,
0
1
2
=
0 2
,
1
于是所求通解为
x1 1 1 12
x2 xx43
=c110c202102,(c1,c2R). 0 1 0
例5 求下述方程组的解
x1 x2 x3 x4 x5 =7, 32xx12xx2322xx34x64x-5 3=x253=, -2,
数学-线性代数导论-#9Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量
数学-线性代数导论-#9Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量线性代数导论 - #9 Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量终于，我们在b为参数的⼀般情况下，开始分析Ax=b的解，包括标题中的四个⽅⾯。
⾸先是解的存在性。
从⼏何上说，当且仅当向量b位于列空间C(A)内时，Ax=b有解；从代数上说，不能出现类似于“⾮0数=0”的⽭盾⽅程：1.这为我们判定是否有解提供了⼀个简便的途径：根据Gauss消元法中对A和b进⾏⾏变换的同步性，⾏的相同线性组合的值⼀定相同。
所以假如A中各⾏可以通过简单的线性组合得到零⾏，⽽b进⾏相同线性组合的结果⾮0，则该⽅程组⼀定⽆解。
2.这为我们⾯对b为参数的⼀般情况进⾏的分类讨论提供了依据：当我们使⽤Gauss消元法得到A中的零⾏时，回代前应该针对零⾏所对应的新b值是否为0进⾏分类讨论。
其次是解法、解的结构和解的数量，这⾥要求我们运⽤之前解Ax=0时的知识。
解法和解Ax=0⼤致相同。
使⽤Guass消元法，确定主元，进⼀步确定主元变量和⾃由变量。
1.求出特解X p：置全部⾃由变量为0（简化运算），回代解出主元变量，得到Ax=b的⼀个解；2.解出Ax=0的全部解X N：也即基向量的全部线性组合，含有1或2个常数c；3.通解X=X p+X N：因为A(Xp+X N)=AX p+AX N=b+0=b，这也就是所谓“解的结构”，通解由⼀个特解和零空间内的全部向量组成。
从⼏何上说，解空间由零空间平移得到。
但是，这种⽅法存在缺陷，不通⽤。
问题就出在第⼀步。
如果没有⾃由变量怎么办？那后续的⽅法如何进⾏？解的结构还是那两个部分吗？还有，如果根本就没有解，怎么办？为了确定解的存在性；为了确定⾃由变量的个数，发掘其与解的数量及与之相对应的结构的关系，我们需要研究秩的概念。
之前已经提及，秩r=主元数。
如何利⽤r判定⼀个由m*n矩阵A构成的⽅程Ax=b的解的数量呢？关键是：1.⾃由变量的个数n-r（主元不同列），即r与n的相对关系；2.零⾏（可能出现“⾮0数=0”的⽭盾情况）的个数m-r（主元不同⾏以及主元⾮0），即r与m的相对关系；综合考虑，只可能出现以下四种情况（根据主元选取规则，r显然⼩于等于m和n）：1.r=m=n（”满秩”），⼀定有唯⼀解：（1）没有零⾏，⼀定有解；（2）没有⾃由变量，解唯⼀（回代之后解出）。
数值分析(09)用矩阵分解法解线性代数方程组ppt课件
l31
l32
1
j1
1
ln1 ln2 ln,n1 1 yn bn
数值分析 2
数值分析
第 二 步: 求 解 上 三 角 方 程 组Ux Y ,向 后 回 代 求 出x
xn yn unn
n
xk ( yk ukj x j ) ukk j k 1
(k n 1, n 2, ,1)
x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
数值分析10
数值分析
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b Ax b PAQT (Qx) Pb LU(Qx) Pb
lupqdsv.m
%功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A)
1 2 0
1
2 7
1
1 2 17 0 1
数值分析 6
数值分析
P为排列阵，在计算机中用向量表示
例 P (1 2 3 4)T , P1 (3 2 1 4)T ,
P2 (3 4 1 2)T ,
P (3 4 1 2)T
Ax b, PA LU ,
PAx Pb,
LUx Pb f
f (i) b(P(i))
1
2
0
1
数值分析 8
数值分析
lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数 [LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 %解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb % LUx=Pb, y=Ux % Ly=f=Pb, f(i)=b(p(i)) %输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可） %输出：解x（行向量）
y1
等式的性质(二) 解形如ax=b的方程35页PPT
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
线性代数第三节(非齐次线性方程组)课讲PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例1
2x y 4
x
3y
5
旳导出方程组为：
2x y 0
ห้องสมุดไป่ตู้
x
3y
0
定理1 非齐次线性方程组Ax=b旳解与它导出 方程组Ax=0 旳解之间有如下关系：
(1) 设 1 , 2 是Ax=b旳解, 则1 - 2 为对
齐次线性方程组Ax = 0 旳解。
(2) 是方程Ax=b旳解, 是Ax=0旳解,则 + 是方程 Ax=b 旳解.
其中 k1 , k2 是任意常数.
例 4 a，b为何值时， 线性方程组
x1 ax2 x1 2ax2
x3
x3
3,
4,
x1 x2 bx3 4.
有唯一解，无解或无穷多解？在有无穷多解，
求其通解？
ξ1
1
,
ξ
2
0
,
ξ
3
0
,
0 1 0
0
0
1
（4）通解
于是, 原方程组旳通解为
x = c11 + c22 + c33 + *,
其中 c1 , c2 , c3 是任意常数.
例3 已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性
方程组 Ax = b 旳解, R(A) = 1, 且
1
1
1
1 2 0 , 2 3 1 , 1 3 1 ,
0
0
1
求方程组旳通解.
解： 由题设易得
1
1 2
2(1
2
3 )
(2
3 )
1 2
[(1
2 )
(2
3 )
(1
3 )]
(2
线性方程组AX=B的数值计算方法实验
线性方程组AX=B的数值计算方法实验学号：姓名：梁哲豪一、实验描述在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。
例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。
线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法。
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题。
上三角线性方程组的求解：基本算法：高斯消元法：将原方程组化为三角形方阵的方程组：（k=1,2,…,n-1; i=k+1,k+2, …,n ;j=k+1,k+2, …,n+1）由回代过程求得原方程组的解：LU分解法：将系数矩阵A转化为A=L*U，L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。
二、实验内容1、许多科学应用包含的矩阵带有很多零。
在实际情况中很重要的三角形线性方程组有如下形式：……构造一个程序求解三角形线性方程组。
可假定不需要变换。
而且可用第k 行消去第k+1行的x。
k核心代码：#include<iostream.h>#include<math.h>#include<iomanip.h>#define N 4//矩阵阶数void ColPivot(double c[N][N+1],double[]);//函数声明void main(){int i,j;double x[N];double c[N][N+1]={1,3,5,7,1,2,-1,3,5,2,0,0,2,5,3,-2,-6,-3,1,4};cout<<"----------------------------------------"<<endl;cout<<"系数矩阵为: \n";for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++)cout<<setw(10)<<c[i][j];cout<<endl;}cout<<"右侧矩阵 y 为: \n";for(i=0;i<N;i++)cout<<setw(10)<<c[i][N];cout<<endl;cout<<"----------------------------------------"<<endl;ColPivot(c,x);//调用函数，进行高斯消去法变换cout<<"变换后得到的三角矩阵: \n";for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++)cout<<setw(10)<<c[i][j];cout<<endl;}cout<<"变换后的右侧矩阵 y 为: \n";for(i=0;i<N;i++)cout<<setw(10)<<c[i][N];cout<<endl;cout<<"----------------------------------------"<<endl; cout<<"方程的解为: \n";for(i=0;i<N;i++)cout<<" x["<<i<<"]= "<<x[i]<<endl;cout<<"----------------------------------------"<<endl; }void ColPivot(double c[N][N+1],double x[]){int i,j,k;double p,max;double t[N];for(i=0;i<=N-2;i++){max=0;k=i;for(j=i+1;j<N;j++)if(fabs(c[j][i])>max){k=j;max=fabs(c[j][i]);//选主元}if(k!=i)for(j=i;j<=N;j++){p=c[i][j];c[i][j]=c[k][j];//选出主元后进行交换c[k][j]=p;}for(j=i+1;j<N;j++){p=c[j][i]/c[i][i];for(k=i;k<=N;k++)c[j][k]-=p*c[i][k];//高斯消去，进行计算}}for(i=0;i<N;i++)t[i]=c[i][N];for(i=N-1;i>=0;i--)//利用回代法求最终解{for(j=N-1;j>i;j--)t[i]-=c[i][j]*x[j];x[i]=t[i]/c[i][i];}}运行结果：（以具体方程组为例）2、（PA=LU：带选主元的分解法）求解线性方程组AX=B,其中：A=B=核心代码：#include <stdio.h>#include <math.h>#define L 30double a[L][L],b[L],l[L][L],u[L][L],x[L],y[L];int main(){int n,i,j,k,r;printf("请输入矩阵元次：\n");scanf("%d",&n);printf("请输入矩阵各项：\n");for(i=1;i<=n;++i){for(j=1;j<=n;++j){scanf("%lf",&a[i][j]);}}printf("请输入方程组的常数项：\n");for(i=1;i<=n;++i){scanf("%lf",&b[i]);}for(i=1;i<=n;++i){for(j=1;j<=n;++j){l[i][j]=0;u[i][j]=0.0;}}for(k=1;k<=n;++k){for(j=k;j<=n;++j){u[k][j]=a[k][j];for(r=1;r<k;++r){u[k][j]-=l[k][r]*u[r][j];}}for(i=k+1;i<=n;++i){l[i][k]=a[i][k];for(r=1;r<k;++r){l[i][k]-=l[i][r]*u[r][k];}l[i][k]/= u[k][k];}l[k][k]=1.0;}for(i=1;i<=n;++i){y[i]= b[i];for(j=1;j<i;++j){y[i]-=l[i][j]*y[j];}}for(i=n;i>0;--i){x[i]= y[i];for(j=i+1;j<=n;++j){x[i]-=u[i][j]*x[j];}x[i]/= u[i][i];}for(i=1;i<=n;++i){printf("%0.2lf\n",x[i]);}return0;}运行结果：3、使用程序3.3求解线性方程组AX=B，其中，A= [a ij] N×N= i j-1,而且B=[b ij] N×1, b11=N,当i≥2时，b i1=(i N-1)/(i-1),对N=3,7,11的情况分别求解。
第三章线性代数方程组解法
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
第3课时 解形如x＋a＝b和ax＝b的方程课件
（2）
解： 5x＝180 5x÷5＝ 180÷5 x＝ 36
3.解方程并检验。
x＋29＝68 x＝39
x－26＝18 x＝44
13＋ x＝16.6 x＝3.6
x÷5＝10 x＝50
检验略。
7x＝9.1 x＝1.3
60x＝12 x＝0.2
4. 列方程并求解。
（1）x减去39等于26，求x。 （2）x的6倍等于96，求x。
看图列方程并求x的值。
解：x＋58 ＝79 x＋58－58＝79－58······方程两边同时减去58
x＝21
x＝21是否正确，可以把x＝21代入原方程进行 检验，看方程的左右两边是否相等。
方程左边 ＝x＋58 ＝21＋58 ＝79 ＝方程右边
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
探究点2 形如 ax=b 的方程的解法
八 方程
第3课时 解形如x＋a＝b和ax＝b的方程
JJ 五年级上册
1 课堂探究点
（1）形如 x＋a = b 的方程的解法 （2）形如 ax=b 的方程的解法
2 课时流程
探索 新知
课堂 小结
当堂 检测
课后 作业
猴子x克。
150+ x = 500 根据等式的性质,你能列出什么方程？
探究点1 形如 x＋a = b 的方程的解法
(1) x＋19＝21
(x＝2，x＝40)
(2) 15－x＝7
(x＝22，x＝8)
(3) 6x＝9
(x＝1.5，x＝2)
(4) 6÷x＝3
(x＝2，x＝0.2)
3．解下列方程。 28＋x＝48 解：x＝ 48－28 x＝ 20
x＋1.2＝2.5 解：x＝ 2.5－1.2
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xi
Di D
i 1,2,...,n，其中
Ddet(A)0，Di det(Ai)，Ai是A的第
i列用b代替所得。
学习交流PPT
5
线性方程组的解（续1）
• 求逆运算和行列式计算由于运算量大，实际求解 过程中基本不使用，仅作为理论上的定性讨论
• 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应 用中存在很大的困难，在线性代数中，为解决这 一困难给出了高斯消元法
学习交流PPT
8
3.3 上三角线性方程组（续1）
条件akk≠0很重要，因为回代算法中包含对akk的除 法。如果条件不满足，则可能无解或有无穷解
• 定理3.6 如果N×N矩阵A=[aij]是上三角矩阵或下
三角矩阵，则
N
det(A)a11a22 aNN aii i1
联系定理3.4，可知要条件akk≠0成立才能保证方 程组存在唯一解
a21
a22
a2nx2
b2
an1 an2 annxn bn
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2
an1x1 an2x2 annxn bn
学习交流PPT
3
线性方程组的解的存在性和唯一性
• 定理3.4 设A是N×N方阵，下列命题等价：
• 给定任意N×1矩阵B，线性方程组AX=B有唯一解 • 矩阵A是非奇异的（即A-1存在） • 方程组AX=0有唯一解X=0 • det(A) ≠0
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线性方程组的解
• 最常见的求线性方程组Ax=b的解的方法是在方 程组两侧同乘以矩阵A的逆
Ax = b
A1A xA1b
xA1b
• Gram法则：
o作r 如下行变换之后方程组的解向量 x 不变
对调方程组的两行
用非零常数乘以方程组的某一行
将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行上
通过对增广矩阵[A|B]进行如上的行变换求解
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3.4 高斯消去法和选主元（续3）
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3
in1,..2.,1
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上三角线性方程组的求解（续1）
(2)式可简写成 Ux b， 其中
u11
U
u12 u 22
u1n u2n
unn
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3.4 高斯消去法和选主元
• 求解有N个方程和N个未知数的一般方程组AX=B的 一般做法：构造一个等价的上三角方程组UX=Y，
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3.3 上三角线性方程组（续2）
• 求解上三角线性方程组的回代算法
xn
b
... n
a
... n
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2 nxn b2 a3 3x3 a3nxn b3
a n . .1 ,n . 1 x n 1+ n . .1 ,n .x a nn .b .1.
an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
a21/a11
a11x1 a12 x2 a13 x3 0 a22 x2 a 23 x3
回代到第一个方程，得
以4得到的新方程， 得到新的方程组：
x1
725 3
1
3x1 2x2 7
53x2
25 3
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3.4 高斯消去法和选主元（续2）
• 考虑包含n个未知数的方程组
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
第3章 线性方程组AX• 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归 结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小 二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方 程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程， 偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组， 而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程 组。
an..n.xn bn...
xn1
bn...1 - an...1,nxn an..1.,n1
最后
n
x 1b 1(a 1x21 a a 1 x3 1 1 a nxn)b 1(k a 1 2 a 1 k 1 xk)
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上三角线性方程组的求解
• 基本算法：
xxni b(nbi/unjnni1uijxj )/iui
• 线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程 组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特 征向量的数值方法。
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线性方程组求解问题
• 考虑线性方程组 Ax = b • 其中A是一个(n ×n)的非奇异矩阵, x是要求解的
n维未知向量, b是n维常向量
a11 a12 a1n x1 b1
• 还有三角分解法和迭代求解法
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解法分类
• 关于线性方程组的数值解法一般有两类
• 直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经过有限 步算术运算，可求得方程组的精确解的方法
• 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精 确解的方法
• 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系 数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及 收敛速度等问题
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3.3 上三角线性方程组
• 定义3.2 N×N矩阵A=[aij]中的元素满足对所有i>j， 有aij=0，则称矩阵A为上三角矩阵；如果A中的元 素满足对所有i<j，有aij=0，则称矩阵A为下三角矩
阵。
• 定理3.5（回代）设AX=B是上三角线性方程组，如 果akk≠0，其中k=1,2,…,N，则该方程组存在唯一解。
并利用回代法求解
• 如果两个N×N线性方程组的解相同，则称二者等
价 • 对一个给定方程组进行初等变换，不会改变它的
解
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3.4 高斯消去法和选主元（续1）
• 考虑一个简单的例子：
3x1 2x2 7 4x1 x2 1
• 求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘