实数 第一课时 教学设计

实数 第一课时·教学设计
教学目标
1．知识与技能
了解无理数和实数的概念，知道实数和整轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算．
2．过程与方法
注重主动参与与探索，同时注重有理数与实数的对比．
3．情感、态度与价值观
养成主动参与意识与观察分析的能力．
教学重点难点
重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律．
难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算． 课时安排
2课时
教与学互动设计
第1课时
（一）创设情境，导入新课
问题1 用什么方法求2其结果如何
用计算器可求得2＝1.414 213 562．
问题2 你能利用平方关系验算所得的结果吗？
用计算器计算1.412 135 62的平方，结果是1.999 999 99．
问题3 验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题？
说明所求得的2的值只是一个近似值．
问题4 那么2到底是怎样的数呢？
（二）合作交流，解读探究
探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，
53－，847，119，911，95．
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3＝3.0，53－　＝－0.6，847＝5.875，119＝18.0 ，911＝2
.1 ，95＝5.0 ． 归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，π＝3.141 592 65…也是无理数．
结论 有理数和无理数统称为实数．
试一试 把实数试着来分类．
⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数无理数数有限小数或无限循环小分数整数有理数实数
像有理数一样，无理数也有正负之分．例如2，33，π是正无理数，2－，33－，
－π是负无理数．由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数0
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示．无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
探究 如图10—3—1所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？
观察思考 从图中可以看出，OO ′的长是这个圆的周长π，所以O ′的坐标是π． 这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来．
又如，以单位长度为边长画一个正方形（如图10—3—2所示），以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点表示－2．（为什么？） 总结 1．事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．这就是说，数轴
上的点有些表示有理数，有些表示无理数．
当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
2．与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大．
讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
思考 1．3的相反数是________．
2．－π的相反数是______．
3．0的相反数是______．
4．2＝____，|－π|＝______，|0|＝________
总结 数a 的相反数是－a ，这里a 表示任意一个实数．一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 把下列各数分别填入相应的集合里：
38，3，－3，141，3π，722，87－，32－，0.101 001 000 1...，1.414，－0.020 202 (7)
{正有理数： }
{负有理数： }
{正无理数： }
{负无理数： }
【评析】 本题考查无理数的定义，解题思路是按无理数的定义判断，本题的易错点是将38，1.414当成无理数，解题关键是透彻理解无理数的定义．
解：{正有理数：38，722
，1.414}
{负有理数：－3.141，87－
，－0.202 020…}
{正无理数：3，3π
，0.101 001 000 1…}
{负无理数：32－，7－}
例2 试估计3＋2与π的大小关系，在此基础上比较－（3＋2）与－π的大小，并化简|3＋2－π|的值．
【评析】 正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行，在比较两个负数大小时，可根据它们的绝对值的大小来比较
解：用计算器求得：3＋2≈3.146 264 37
而π≈3.141 592 654
这样可判断：3＋2＞π
同样有：－（3＋2）＜－π
|3＋2－π|＝3＋2－π
【备选例题】 （学案点击中考）（2005年·上海）下列实数中是无理数的为（C ）
A ．0
B ．－3.5
C ．2
D ．9
【评析】 这是一道基本概念题，关键在于对无理数的理解是无限不循环小数，而不是指带有根号的数，如9＝3；应是2．
（四）总结反思，拓展升华
小结 1．什么叫做无理数？
2．什么叫做有理数？
3．有理数和数轴上的点一一对应吗？
4．无理数和数轴上的点一一对应吗？
5．实数与数轴上的点一一对应吗？
拓展 已知m 是30的整数部分，n 是30的小数部分，试计算m －n 的值．
【点拨】 （1）认定25＜30＜36故m ＝5
（2）30是由其整数部分和小数部分组成的，即30＝m ＋n
所以n ＝30－5．
【答案】 m －n ＝6－13
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．下列各数中，是无理数的是（C ）
A ．－1.732
B ．1.414
C ．3
D ．3.14
2．已知四个命题，正确的有（A ）
（1）有理数与无理数之和是无理数
（2）有理数与无理数之积是无理数 （3）无理数与无理数之和是无理数
（4）无理数与无理数之积是无理数 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．若实数a 满足a a ｜｜＝－1，则（B ） A ．a ＞0 B ．a ＜0
C ．a ≥0
D ．a ≤0 4．下列说法正确的有（A ）
（1）不存在绝对值最小的无理数
（2）不存在绝对值最小的实数
（3）不存在与本身的算术平方根相等的数
（4）比正实数小的数都是负实数
（5）非负实数中最小的数是0
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．若|a |＝4，2b ＝3，且|a ＋b |＝－a －b ，则a －b 的值是（B ）
A ．1或7
B ．－1或－7
C ．－1或7
D ．1或－7
6．（1）3－2的相反数是32－，绝对值是32－；
（2）｜－｜1310＝1013－
（3）2π4π3）－（｜＋－｜＝1；
（4）若x 2＝（－3）2，则x ＝3 ．
提升能力
7．x x 2442－＋－是实数，则x ＝2．
8．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，
化简：|2c －a |＋|c －b |－|a ＋b |－|a －c －b |
【答案】 a －b －4c
开放探究 9．已知a 、b 均为有理数，并且满足等式5－2a ＝2b ＋232－a ，求a 、b 的值．
解：∵ 5－2a ＝2b ＋232－a
∴ （5＋a －2b ）＋（－a －32
）2＝0
又∵ a 、b 均为有理数
∴ 5＋a －2b ，－a －32
都是有理数
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧，＝－－，＝－＋032025a b a 解得⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧1．＝，＝－6332b a。