余切、正割、余割的图象和性质1
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点：1.正切函数和余切函数的概念；2.正切函数与余切函数的图像和性质；3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程：1.正切函数和余切函数的概念：1正切函数---形如tan=的函数称为正切函数；y x余切函数--形如cot=的函数称为余切函数；y x2.函数的图像和性质：1正切函数的图像：见正切函数图像课件;2正切函数图像：3与切函数的图像：归纳填表格：例1.求下列函数的周期：1tan(3)3y x π=-+； 2221tgx y tg x =+； 3cot tan y x x =-；422tan21tan 2xy x =-； 5sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 例2.求下列函数的单调区间： 1tan(2)24y x π=++； 2tan()123x y π=-+-；312log cot 3y x ⎛=- ⎝⎭ 例3.求下列函数的定义域： 1tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2y =3y = 例4.1求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； 2解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-,当1[0,],[0,]34x a π∈∈时,函数max y =,求实数a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈,若1212,(0,),2x x x x π∈≠; 求证：1212()()()22f x f x x x f ++>;。
三角函数sec csc cot
三角函数 $\\sec$, $\\csc$, $\\cot$引言三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在数学中的应用非常广泛。
本文将重点介绍三角函数中的 $\\sec$,$\\csc$ 和 $\\cot$ 函数。
正割函数 $\\sec$正割函数 $\\sec$ 是余割函数 $\\csc$ 和余切函数$\\cot$ 的倒数。
它的定义如下：$$ \\sec(x) = \\frac{1}{\\cos(x)} $$$\\sec(x)$ 表示角x的正割值。
正割函数在三角学中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
余割函数 $\\csc$余割函数 $\\csc$ 是正割函数 $\\sec$ 和余切函数$\\cot$ 的倒数。
它的定义如下：$$ \\csc(x) = \\frac{1}{\\sin(x)} $$$\\csc(x)$ 表示角x的余割值。
余割函数在三角学中也有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
余切函数 $\\cot$余切函数 $\\cot$ 是正割函数 $\\sec$ 和余割函数$\\csc$ 的倒数。
它的定义如下：$$ \\cot(x) = \\frac{1}{\\tan(x)} =\\frac{\\cos(x)}{\\sin(x)} $$$\\cot(x)$ 表示角x的余切值。
余切函数在三角学中也有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
性质和应用这三个函数在三角学的计算中经常出现，并且具有许多重要的性质。
以下是它们的一些性质：正割函数 $\\sec$ 的性质•$\\sec(x)$ 的定义域是所有不等于 $\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$ 的实数x。
•$\\sec(x)$ 的值域是所有实数。
余割函数 $\\csc$ 的性质•$\\csc(x)$ 的定义域是所有不等于 $k\\pi$ 的实数x。
•$\\csc(x)$ 的值域是所有实数。
余切函数 $\\cot$ 的性质•$\\cot(x)$ 的定义域是所有不等于 $k\\pi$ 的实数x。
三角函数 正切、余切图象及其性质
正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点]1．正切函数、余切函数的图象与性质2．反三角函数的图象与性质3．已知三角函数值求角[目的要求]1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.[重点难点]1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角[内容回顾]一、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.二、正、余切函数的性质由图象可得:y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z)20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z)20 对称轴；无注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.2、每个单调区间一定是连续的.3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.2．反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.四、反三角函数的性质由图象，有y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数20对称轴；无10对称中心非奇非偶20对称轴；无10对称中心（0，0）奇函数20对称轴；无10对称中心非奇非偶20对称轴；无周期性无无无无另外:1．三角的反三角运算arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π])arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π))2．反三角的三角运算sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])tan(arctanx)=x (x∈R)cot(arccotx)=x (x∈R)3．x与-x的反三角函数值关系arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1])arctan(-x)=-arctanx (x∈R)arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)4．。
初中数学 什么是角的余割
初中数学什么是角的余割、正割和余切的平方关系角的余割、正割和余切函数与正弦、余弦和正切函数有着特殊的平方关系。
这些平方关系可以帮助我们在计算中相互转化，提高解题的灵活性和效率。
现在让我们来详细探讨角的余割、正割和余切函数的平方关系。
1. 角的余割和正弦函数的平方关系：余割函数是正弦函数的倒数，即cosec(x) = 1/sin(x)。
可以表示为：cosec(x) = 1/sin(x)将等式两边平方，得到：cosec^2(x) = 1/sin^2(x)由于正弦函数的平方等于1减去余弦函数的平方，即sin^2(x) = 1 - cos^2(x)，我们可以将上式改写为：cosec^2(x) = 1/(1 - cos^2(x))这意味着，余割函数的平方是1减去余弦函数的平方的倒数。
2. 角的正割和余弦函数的平方关系：正割函数是余弦函数的倒数，即sec(x) = 1/cos(x)。
可以表示为：sec(x) = 1/cos(x)将等式两边平方，得到：sec^2(x) = 1/cos^2(x)由于余弦函数的平方等于1减去正弦函数的平方，即cos^2(x) = 1 - sin^2(x)，我们可以将上式改写为：sec^2(x) = 1/(1 - sin^2(x))这意味着，正割函数的平方是1减去正弦函数的平方的倒数。
3. 角的余切和正切函数的平方关系：余切函数是正切函数的倒数，即cot(x) = 1/tan(x)。
可以表示为：cot(x) = 1/tan(x)将等式两边平方，得到：cot^2(x) = 1/tan^2(x)由于正切函数的平方等于1加上余切函数的平方，即tan^2(x) = 1 + cot^2(x)，我们可以将上式改写为：cot^2(x) = 1/(1 + tan^2(x))这意味着，余切函数的平方是1加上正切函数的平方的倒数。
通过这些平方关系，我们可以在解决问题时相互转化，从而更灵活地应用角的余割、正割和余切函数。
初中数学 什么是角的余割
初中数学什么是角的余割、正割和余切在初中数学中，我们学习了三角函数，其中包括正弦、余弦和正切函数。
除了这些常见的三角函数，还有三个与它们相关的三角函数，分别是余割、正割和余切函数。
1. 余割函数（Cosec）：余割函数是正弦函数的倒数，可以用来表示一个角的余割值。
对于一个角A，其余割值可以表示为：cosec(A) = 1 / sin(A)余割函数的定义可以解读为：余割值是对边与斜边之比的倒数。
也就是说，余割值是一个角的正弦值的倒数。
2. 正割函数（Sec）：正割函数是余弦函数的倒数，可以用来表示一个角的正割值。
对于一个角A，其正割值可以表示为：sec(A) = 1 / cos(A)正割函数的定义可以解读为：正割值是邻边与斜边之比的倒数。
也就是说，正割值是一个角的余弦值的倒数。
3. 余切函数（Cot）：余切函数是正切函数的倒数，可以用来表示一个角的余切值。
对于一个角A，其余切值可以表示为：cot(A) = 1 / tan(A)余切函数的定义可以解读为：余切值是对边与邻边之比的倒数。
也就是说，余切值是一个角的正切值的倒数。
这些角的余割、正割和余切函数在三角函数的计算和分析中起到重要的作用。
通过利用这些函数，我们可以计算和比较角的倒数值，从而得到更多的三角函数值。
此外，这些函数也可以帮助我们解决与三角函数相关的问题，例如在三角形中计算边长和角度。
总结起来，角的余割、正割和余切函数分别是正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数。
余割函数是对边与斜边之比的倒数，正割函数是邻边与斜边之比的倒数，余切函数是对边与邻边之比的倒数。
这些函数在三角函数的计算和分析中非常有用，可以帮助我们得到更多的三角函数值，并解决与三角函数相关的问题。
三角函数中余割函数的像和性质
三角函数中余割函数的像和性质三角函数中，除了常见的正弦、余弦和正切函数外，还存在一个重要的函数——余割函数。
余割函数是正弦函数的倒数，表示为csc(x)，其定义域为除了sin(x)=0的点以外的所有实数。
一、余割函数的图像余割函数的图像表现出一种周期性的特点，可以通过图像来了解它的像和性质。
图一显示了余割函数的图像。
从图中可以看出，余割函数的图像在sin函数的零点处有不可达点，即不在定义域内，因为除数为零时是没有意义的。
而在sin函数的极值点，余割函数的图像会取到极值，且其绝对值大于1。
而在sin函数的奇数倍的π/2处，余割函数的图像会取到正负无穷的极值。
二、余割函数的性质1. 定义域和值域：余割函数的定义域为除了sin(x)=0的点以外的所有实数。
值域为除了csc(x)=0的点以外的所有实数。
2. 周期性：余割函数的周期为2π，即在任意一个周期内，函数值会重复。
3. 单调性：余割函数在每一个周期内都是单调递减或单调递增的。
在每个极值点（sin函数的零点）之间，函数值会趋向于正无穷或负无穷。
4. 对称性：余割函数具有奇函数的对称性，即csc(-x)=-csc(x)。
5. 导数：余割函数的导数为-csc(x)cot(x)。
该导数的绝对值不会超过1，在极点处为不连续，存在间断点。
三、应用举例余割函数在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。
1. 物理中的应用：余割函数在波动理论中有重要的作用，特别是在光学中。
光波的传播和干涉等现象可以通过余割函数来进行描述和计算。
2. 解析几何中的应用：余割函数经常用于解析几何中的曲线问题。
通过计算余割函数的值，可以推导出曲线在不同点上的性质，如曲线的切线斜率等。
3. 电路分析中的应用：在电路分析中，余割函数可以用来描述电流和电压之间的关系。
特别是在交流电路中，余割函数可以用来计算电流和电压的频率响应特性。
综上所述，三角函数中的余割函数具有周期性、单调性和对称性等特性。
函数名正弦余弦正切余切正割余割
函数名正弦余弦正切余切正割余割这些函数都是三角函数的一部分，它们在数学和物理中都有广泛的应用。
以下是对这些函数的基本介绍：1.正弦函数（Sine Function）和余弦函数（Cosine Function）：正弦函数和余弦函数都与三角形的边长有关。
在直角三角形中，正弦函数是三角形的对边（opposite）与斜边（hypotenuse）的比值，记为sin(x)；余弦函数是三角形的邻边（adjacent）与斜边的比值，记为cos(x)。
正弦和余弦函数的图像都是周期性的，这意味着它们在一定间隔内重复。
2.正切函数（Tangent Function）和余切函数（Cotangent Function）：正切函数和余切函数是正弦函数和余弦函数的比值。
正切函数是正弦函数除以余弦函数，记为tan(x)；余切函数是余弦函数除以正弦函数，记为cot(x)。
正切函数的图像也是周期性的，但余切函数的图像并非周期性。
3.正割函数（Secant Function）和余割函数（Cosecant Function）：正割函数和余割函数分别是正弦函数和余弦函数的倒数。
正割函数是sec(x) = 1/cos(x)，余割函数是csc(x) = 1/sin(x)。
它们的图形也是周期性的。
这些函数在三角学中有着重要的应用。
例如，它们可以用来描述振动、波动、声音传播等物理现象。
在计算机图形学中，这些函数也常被用来生成旋转、缩放、平移等变换。
此外，这些函数在解决一些数学问题时也非常有用，比如求解极值、最优解、零点等。
除了基本的三角函数，还有许多派生出来的三角函数，如反正弦函数（Inverse Sine Function）、反余弦函数（Inverse Cosine Function）、反正切函数（Inverse Tangent Function）等。
这些函数的定义域是有限的，值域是整个实数集。
它们通常被用于求解一些方程的根，比如求解三角形的角度等。
6.2正、余切函数的图像和性质
(9)
sin 2 y sin x
x 1 cos x
sin x
tan x
cos x sin x cos x
定义域：x k 且 x 2k ， T 2
2
2.
求定义域：(1)
y
tan
4
x
(2) y log1 tan x
2
(3) y cot2 x 3
解：(1) x k x k
2
3
2
增区间：
k
3
,
18
k
3
5
18
k
Z
(2) cot x 3 3
增区间： k
,
k
3
k
Z
4.求值域：
(1) y cot x ,
x
4
,
0
U
0
,
4
(2)
y
tan
x
3
,
0
x
2
解：(1), 1U1,
(2)
3,
3 3
(3)
y
sin
x
3
,
cos x
x
4
,
2
(4) y sec2 x 2 tan x 1,
(2) 作图：y
cot
x
2
tan
x
;
解：(1) tan1 tan 4 tan 3 tan 2
(2)
y
0 ,
x
k
2
,
k
2 tan x ,
x
k
,
k
2
k Z
2
1
3
4
3
0
3
余切正割余割的图象和性质
精心整理曹振卿
一、余切：
余切函数的性质
(1)、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
(2)、值域：实数集R当x→2kπ时，y→∞；当x→(2k+1)π时，y→－∞；
(3)、奇偶性：奇函数，可由诱导公式cot(－x)=－cotx推出
图像关于原点对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
(4)、周期性是周期函数，周期为kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期T=π；
(5)、单调性在每一个开区间（kπ，(k+1)π)，k∈Z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
(6)、对称性中心对称：关于点(kπ/2,0)k∈Z中心对称
二、正割余割：
精心整理
精心整理
粗线是正割函数，细线是余割函数
y=secx的性质：
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;
(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；
(6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；
(7)正割函数是无界函数；
精心整理。
三角函数余切,正割,余割和差角,半角,二倍角等公式
三角函数余切,正割,余割和差角,半角,二倍角等公式三角函数，也叫三角形函数，是一类函数，可以表示和描述二维空间中三角形的属性、性质等，是非常重要的数学概念。
本文将主要介绍其中一些关于三角形的函数，如余切、正割、余割和差角、半角、二倍角等。
一、余切对于任一定模式三角形，我们可以把它分成三角形的各边和角，且每个角都有自己的度数，记作α，β，γ。
现在，我们把α的正切函数的反函数，就是α的余切函数，它的标记为tg(α)的倒函数，记作cotg(α)，它可以用来表示三角形角α的余切。
公式表示为：cotg=tan (90°-α)二、正割对于任一定模式三角形，我们可以把它分成三角形的各边和角，即α、β、γ，α的正割函数的反函数就是α的正割，它的标记为ctg(α)，它的定义为：把α的正弦函数的倒函数，即sin(α)的倒函数定义为α的正割函数。
公式表示为：ctg=cos (90°-α)三、余割余割与正割的定义类似，余割的定义为α的余弦函数的倒函数，它的标记为cosec(α)，它的定义为：把α的余弦函数的倒函数，即cos(α)的倒函数定义为α的余割函数。
公式表示为：cosec =sin (90°-α)四、差角差角就是把两个角之间的夹角表达出来，该夹角就是所谓的差角。
差角可由以下公式表示：差角=α+β-γ其中，α、β、γ分别是三角形的三个角。
五、半角半角指的是三角形中某一角的一半，即α的一半。
其定义为：α的一半，可由以下公式表示：半角/2=α/2六、二倍角二倍角指的是三角形中某一角的两倍，即α的两倍。
该角度可表示为：二倍角 2α=2α以上就是关于三角函数的余切、正割、余割和差角、半角、二倍角等公式的介绍。
三角函数有着非常重要的概念和应用，熟悉三角函数，不但能帮助我们掌握一般函数的概念，而且可以帮助我们解决数学问题，提高学习效率，拓宽我们的知识面。
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质_知识点总结
高考数学知识点：正切、余切函数的图象与性质正切函数的图像：余切函数的图像：
正切函数的性质：
（1）定义域：；
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π；
（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴；
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
余切函数的性质:
（1）定义域：x
（2）值域：实数集R；
（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π
（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ,课前预习，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
正割函数与余割函数档[精华]
![正割函数与余割函数档[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/e3697fe2f71fb7360b4c2e3f5727a5e9856a2794.png)
正割函数与余割函数
正割函数
在y=secx中，以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为(x，y)．在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线．
y=secx的性质：
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;
(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．
并附上很难找到的正割图像.(正割函数图像中值域在-1到1之间的图像不包括。
)
更好的图像请参考
正割与余弦互为倒数，余割与正弦互为倒数。
正割函数无限趋向于直线x=π/2+kπ 。
正割函数是无界函数
正割函数的导数：(secx)'=secx*tanx
正割函数的不定积分：∫secxdx=㏑|secx+tanx|+C
余割函数
对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的余割值cscx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余割函数。
记作f(x)=cscx
余割函数的性质1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
2、值域：{y|y＜-1或y＞1}
3、奇偶性：奇函数
4、周期性：最小正周期为2π
5、图像：
图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z
余割函数与正弦函数互为倒数
其他1、在三角函数定义中，cscα=r/y。
余切函数正割函数和余割函数的图形
§餘切函數、正割函數和餘割函數的圖形則函數f 稱為週期函數，而其中最小的p 稱為函數f 的週期。
2.x sec y =，x csc y =的週期為2π，x cot y =的週期為π。
3.週期函數)(x f y =的週期為)0(>P P ，則)0()(≠=k kx f y 的週期為kP 。
4.三角函數)(x f 的週期若為p ，則 (1)k x f +)(與)(x kf 的週期亦為p 。
(2))(b ax f +的週期為||a p 。
※cot ,sec ,csc x x x 之週期：π※下列函數均不是週期函數 (1)y=cot|x| (2)y=csc|x|。
5.六個三角函數的性質：(1)定義域為},,|{Z k k x R x x ∈≠∈π。
(2)值域為R 。
(3)週期為π。
(4)πn x =，Z n ∈時，x cot 沒有意義。
(5)Z k ∈∀，餘切函數在區間πππ+<<k x k 上恆為遞減函數。
(6)直線πn x =，Z n ∈為其漸進線。
(7)因為對於在其定義域的所有x 而言，x x cot )cot(-=-，所以其為奇函數，圖形對稱於原點。
(8)將x y tan =的圖形向左平移2π單位長，在將所得圖形對x軸鏡射，即可得x y cot =的圖形。
※以點Z n n ∈),0,(π為對稱中心，以直線Z n n x ∈+=,2ππ為對稱軸。
2.正割函數x y sec =(1)定義域為},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ。
(2)值域為}11|{-≤≥y y y 或。
(3)週期為π2。
(4)正割函數的遞增遞減區間恰與x y cos =相反。
(5)2ππ+=n x ，Z n ∈時，x sec 沒有意義。
(6)直線2ππ+=n x ，Z n ∈為其漸進線。
(7)因為對於在其定義域的所有x 而言，x x sec )sec(=-，所以其為偶函數，圖形對稱於y 軸。
分别是_正弦_余弦_正切_余切_正割_余割
维基百科+k是一个整数.( (百度文库下载分别是正弦余弦正切余切正割余割角θ的所有三角函数(见:函数图形曲线)在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ正弦（sin）:角α的对边比上斜边余弦（cos）:角α的邻边比上斜边正切（tan）:角α的对边比上邻边余切（cot）:角α的邻边比上对边正割（sec）:角α的斜边比上邻边余割（csc）:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2α＋cos^2α＝11＋tan^2α＝sec^2α1＋cot^2α＝csc^2α·积的关系：sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secαcotα=cosα×cscαsecα=tanα×cscαcscα=secα×cotα·倒数关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·[1]三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan α)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arctan(B/A))，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin&su p3;(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2s inx （积化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)[编辑本段]三角函数的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）定名法则90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质知识点：1.正切函数和余切函数的概念；2.正切函数与余切函数的图像和性质；3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程：1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan=的函数称为正切函数；y x余切函数--形如cot=的函数称为余切函数；y x2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。
（2）正切函数图像：（3）与切函数的图像：（1）tan(3)3y x π=-+； （2）221tgx y tg x =+； （3）cot tan y x x =-；（4）22tan21tan 2xy x =-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 例2.求下列函数的单调区间：（1）tan(2)24y x π=++； （2）tan()123x y π=-+-； （3）12log cot 3y x ⎛=- ⎝⎭例3.求下列函数的定义域：（1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）y =（3）y=例4.（1）求函数21)tan tan ]y xx =-的定义域；（2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值； 例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2x x x x π∈≠。
求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。
余切、正割、余割的图象和性质1
曹振卿
一、余切：
余切函数的性质
(1)、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
(2)、值域：实数集R当x→2kπ时，y→∞；当x→(2k+1)π时，y→－∞；
(3)、奇偶性：奇函数，可由诱导公式cot(－x)=－cotx推出
图像关于原点对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
(4)、周期性是周期函数，周期为kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期T=π；
(5)、单调性在每一个开区间（kπ，(k+1)π)，k∈Z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
(6)、对称性中心对称：关于点(kπ/2,0)k∈Z 中心对称
二、正割余割：
粗线是正割函数，细线是余割函数
y=secx的性质：
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;
(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；
(6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；
(7) 正割函数是无界函数；。
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曹振卿
一、余切：
余切函数的性质
(1)、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}
(2)、值域：实数集R当x→2kπ时，y→∞；当x→(2k+1)π时，y→－∞；
(3)、奇偶性：奇函数，可由诱导公式cot(－x)=－cotx推出
图像关于原点对称，实际上所有的零点都是它的对称中心
(4)、周期性是周期函数，周期为kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期T=π；
(5)、单调性在每一个开区间（kπ，(k+1)π)，k∈Z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。
(6)、对称性中心对称：关于点(kπ/2,0)k∈Z 中心对称
二、正割余割：
粗线是正割函数，细线是余割函数
y=secx的性质：
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;
(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;
(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；
(6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；
(7) 正割函数是无界函数；。