高中学业水平考试数学试卷

高中数学学业水平考试试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合M={0，1}，集合N满足M∪N={0，1}，则集合N共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）D．（3，﹣4）3．不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域（用阴影表示）是（）A． B． C． D．4．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．56．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A．10 B．12 C．14 D．168．已知tanα=2，则tan（α﹣）=（）A．B．C．D．﹣39．圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．相外切B．相内切C．相交D．相离10．如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．不等式x2﹣5x≤0的解集是．12．把二进制数10011（2）转化为十进制的数为．13．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是．14．已知函数f（x）=4﹣log2x，x∈[2，8]，则f（x）的值域是．15．点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．三、解答题（共5小题，满分40分）16．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．17．已知向量=（sinx，1），=（2cosx，3），x∈R．（1）当=λ时，求实数λ和tanx的值；（2）设函数f（x）=?，求f（x）的最小正周期和单调递减区间．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O、D分别是AB，PB的中点．（1）求证：PA∥平面COD；（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．19．已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且a n2+a n=2S n，n∈N*．（1）求a1及a n；（2）求满足S n＞210时n的最小值；（3）令b n=4，证明：对一切正整数n，都有+++…+＜．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合M={0，1}，集合N满足M∪N={0，1}，则集合N共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】19：集合的相等．【分析】根据集合的包含关系求出集合N的个数即可．【解答】解：M={0，1}，集合N满足M∪N={0，1}，则N?M，故N=?，{0}，{1}，{0，1}共4种可能，故选：D．2．直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）D．（3，﹣4）【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】根据题意，联立两直线的方程，解可得x、y的值，即可得交点坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，联立，解可得，即直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（2，﹣2）；故选：A．3．不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域（用阴影表示）是（）A． B． C．D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式是否成立后得二元一次不等式表示的平面区域．【解答】解：画出不等式2x+y﹣3≤0对应的函数2x+y﹣3=0的图象，取点（0，0），把该点的坐标代入不等式2x+y﹣3≤0成立，说明不等式2x+y﹣3≤0示的平面区域与点（0，0）同侧，所以不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域在直线2x+y﹣3=0的右下方，并含直线．故选B．4．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=﹣=﹣，故选：C．5．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．【解答】解：根据指数函数的性质：当x=1时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a2=6．∵a＞0，a≠1，∴a=2．故选：A．6．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB=，结合B的范围即可得解B的值．【解答】解：∵a=b，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB=，又∵B∈（0°，60°），∴B=30°．故选：A．7．一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则应从男运动员中抽出的人数为49×=14，故选：C8．已知tanα=2，则tan（α﹣）=（）A．B．C．D．﹣3【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则tan（α﹣）==，故选：B．9．圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．相外切B．相内切C．相交D．相离【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）半径为1；圆（x+1）2+（y+4）2=16的圆心（﹣1，﹣4），半径为4，圆心距为：=，半径和为5，半径差为：3，（3，5）．所以两个圆的位置关系是相交．故选：C．10．如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，计算圆O的面积S圆和△ABC的面积S△ABC，求它们的面积比即可．【解答】解：圆O的直径AB=2，半径为1，所以圆的面积为S圆=π?12=π；△ABC的面积为S△ABC=?2?1=1，在圆O内随机撒一粒黄豆，它落在△ABC内（阴影部分）的概率是P==．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．不等式x2﹣5x≤0的解集是{x|0≤x≤5} ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣5x≤0化为x（x﹣5）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣5x≤0可化为x（x﹣5）≤0，解得0≤x≤5，∴不等式的解集是{x|0≤x≤5}．故答案为：{x|0≤x≤5}．12．把二进制数10011（2）转化为十进制的数为19．【考点】WC：mod的完全同余系和简化剩余系．【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．【解答】解：10011（2）=1+1×2+1×24=19故答案为：1913．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是3，2．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象信息即可求出A，ω 的值．【解答】解：根据图象，可知最高点为3，最低点﹣3，∴A=3．从图可以看出周期T=π，即=π，∴ω=2．故答案为：3，2．14．已知函数f（x）=4﹣log2x，x∈[2，8]，则f（x）的值域是[1，3] ．【考点】34：函数的值域．【分析】由x∈[2，8]上结合对数函数的单调性，即可求出函数的值域．【解答】解：∵函数f（x）=4﹣log2x在x∈[2，8]时单调递减，∴当x=2时函数取最大值4﹣log22=3，当x=8时函数取最小值4﹣log28=1，∴函数f（x）的值域为[1，3]，故答案为：[1，3]．15．点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．【解答】解：圆心（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==．再由d﹣r=﹣1，知最小距离为1．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分40分）16．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图．【分析】（1）由茎叶图性质利用中位数定义列出方程，求出m．（2）由篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20，40]内，能估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．【解答】解：（1）由茎叶图性质得：中位数为：=33，解得m=4．（2）∵篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20，40]内，∴可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率为．17．已知向量=（sinx，1），=（2cosx，3），x∈R．（1）当=λ时，求实数λ和tanx的值；（2）设函数f（x）=?，求f（x）的最小正周期和单调递减区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的运算性质，向量相等即可求解．（2）根据函数f（x）=?，求出f（x）的解析式，即可求出f（x）的最小正周期和单调递减区间．【解答】解：（1）向量=（sinx，1），=（2cosx，3），x∈R．当=λ时，可得∴，即tanx=．（2）函数f（x）=?，∴f（x）=2sinxcosx+3=sin2x+3．∴f（x）的最小正周期T=．∵f（x）单调递减．则，k∈Z，得：≤x≤．∴f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O、D分别是AB，PB的中点．（1）求证：PA∥平面COD；（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由O、D分别是AB，PB的中点，得OD∥AP，即可得PA∥平面COD．（2）连接OP，得OP⊥面ABC，且OP=．即可得三棱锥P﹣ABC的体积V==．【解答】解：（1）∵O、D分别是AB，PB的中点，∴OD∥AP又PA?平面COD，OD?平面COD∴PA∥平面COD．（2）连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB又∵平面PAB⊥平面ABC，∴OP⊥面ABC，且OP=．∴三棱锥P﹣ABC的体积V==．19．已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．【考点】3E：函数单调性的判断与证明；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）把点（2，3）代入函数解析式求出a的值；根据f（x）的解析式，求出它的定义域；（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），∴2+=3，解得a=1；∴f（x）=2+，且x﹣1≠0，则x≠1，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数如下；设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（2+）﹣（2+）=，∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且a n2+a n=2S n，n∈N*．（1）求a1及a n；（2）求满足S n＞210时n的最小值；（3）令b n=4，证明：对一切正整数n，都有+++…+＜．【考点】8K：数列与不等式的综合；8E：数列的求和．【分析】（1）当n=1时，，由此能求出a1=1，由a n2+a n=2S n，得，从而（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，进而数列{a n}是首项和公差都为1的等差数列，由此能求出a n=n．（2）求出S n=，由此能求出满足S n＞210时n的最小值．（3）由题意得，从而数列{}是首项和公比都是的等比数列，由此能证明对一切正整数n，都有+++…+＜．【解答】解：（1）∵数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且a n2+a n=2S n，n∈N*．∴当n=1时，，且a1＞0，解得a1=1，∵a n2+a n=2S n，①，∴，②①﹣②，得：，整理，得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是首项和公差都为1的等差数列，∴a n=n．（2）∵数列{a n}是首项和公差都为1的等差数列，a n=n．∴S n=，∵S n＞210，∴，整理，得n2+n﹣420＞0，解得n＞20（n＜﹣21舍），∴满足S n＞210时n的最小值是21．证明：（3）由题意得，则，∴数列{}是首项和公比都是的等比数列，∴+++…+==．故对一切正整数n，都有+++…+＜．2017年7月13日。