小学四年级数学 面积的巧算 教案 例题+练习+作业+答案

面积的巧算
知识点总结
1：分割法
2：添补法
【例题精讲】
例1如图：在一个等腰三角形中作一个正方形，已知阴影部分的面积是3平方厘米，那么大三角形的面积是多少平方厘米？
【答案】27平方厘米
可以将等腰三角形分割成完全相同的9个和阴影部分完全相同的等腰三角形，因此大三角形的面积是3×9=27（平方厘米）
【例题小结】分割法：等腰三角形的分割。

练习1如图：在一个等腰三角形中作一个正方形，已知正方形的面积是36平方厘米，那么大三角形的面积是多少平方厘米？
【答案】72平方厘米
【解析】连接小正方形的对角线，可以将正方形分割成两个全等的等腰直角三角形，小三角形的面积是正方形面积的一半，又因为大直角三角形是等腰直角三角形，因此相当于被分割成4个面积相等的等腰直角三角形，因此大三角形的面积是36÷2×4=72平方厘米。

【小结】分割法：等腰直角三角形的分割。

例2 如图：有三个正方形，较小的正方形是由较大的正方形的各边中点连接而成，已知最小的正方形的周长为20厘米，那么最大的正方形面积是多少平方厘米？
【答案】100平方厘米
最小正方形的边长是20÷4=5（厘米），因此面积是5×5=25（平方厘米），连接大正方形的对角线，得出大正方形的面积是小正方形的4倍，因此面积是25×4=100（平方厘米）。

【例题小结】分割法：正方形的分割。

练习2 如图：有两个正方形，小正方形是由大正方形各边中点连结而成。

已知大正方形的边长是16厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
【答案】128平方厘米
【解析】连接小正方形的对角线，可将大正方形分成8个相等的直角三角形，以此小正方形的面积是大正方形面积的一半，因此面积是16×16÷2=128（平方厘米）。

【小结】分割法：正方形的分割。

例3 在下图中，三角形ABC 和三角形DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DI 长6厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】27平方厘米
连接HI。

BF=BC—FC=DF—FC=9-3=6厘米，
IF=CF=3厘米，
长方形BFHI的面积：3×6=18（平方厘米），
等腰直角三角形GHI斜边HI=BF=6厘米，它正好是等腰直角三角形DHI的一半，
面积：6×6÷2÷2=9（平方厘米），
阴影部分面积：18+9=27（平方厘米）。

【例题小结】分割法
练习3 如图：三角形ABC和三角形DEC都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形。

已知三角形ABC比三角形DEC的面积多30平方厘米，那么阴影部分正方形的面积是
多少平方厘米?
【答案】120平方厘米
【解析】按如图所示的分割，三角形ABC比三角形DEC的面积多一个小等腰直角三角形，面积为30，可知阴影正方形的面积为30×4=120平方厘米。

【小结】分割法
例4 在等边三角形ABC中，D和E分别是所在边的四等分点。

已知三角形ADE的面积是1平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米?
【答案】16平方厘米
等分步骤如下：
分别过点D做DF∥AC，过点E做EH//AB，
则H、F分别边BC的四等分点。

过线段DF与EH的交点，做NM//BC，则N、M分别是线段AB、AC的四等分点。

然后过点M做ML//AB，则L是线段BC的四等分点，以线段BC的四等分点分别做AB、AC的平行线，就可以将大正三角形分割成相等的16个小三角形。

16x1=16（平方厘米）
【例题小结】分割法：正三角形的分割。

练习4 如图：一个等边三角形的三条边分别被四等分，已知大三角形的面积是32平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】8平方厘米
小等边三角形面积：32÷16=2（平方厘米）
阴影部分面积：2×4=8（平方厘米）
【小结】分割法：等边三角形的分割。

例5 如图：在正六边形ABCDEF 中，M 、N 、P 分别是所在边的中点，阴影部分的面积 是正六边形面积的几分之几？
【答案】38
连接正六边形的对角线以及各边的中点，可以将正六边形分割成24个小的三角形，
其中阴影部分被分成了9个，因此占924 =38
【例题小结】分割法：正六边形的分割。

练习5 如图：在正六边形ABCDEF 中，三角形ABF 的面积是4平方厘米，正六边形的面 积是多少平方厘米?
【答案】24平方厘米
分别连接FD、BD，以及将正六边形的中心点连接点B、点D、点F，
4×6=24（平方厘米）
【例题小结】分割法：正六边形的分割。

例6 如图：在下面的两个四边形中，均已给出其中两条边的长度和三个角的度数，请根
据图中标示数据分别求出这两个四边形的面积。

（图中单位均为厘米）
【答案】（1）20平方厘米；（2）20.5平方厘米。

（1)补充四边形左上角后，四边形（1）成为直角边长是7厘米的等腰直角三角形，
四边形（1）的面积是7×7÷2-3×3÷2=20平方厘米。

（2）四边形（2）补全为斜边是10厘米的等腰直角三角形。

所以，四边形（2）的面积是10×10÷2÷2-3×3÷2=20.5平方厘米。

【例题小结】添补法
练习6 如图：在正六边形ABCDEF中，M、N分别是所在边的中点。

已知阴影部分的
面积是1平方分米，正六边形ABCDEF的面积是多少平方分米?
【答案】12平方分米
【解析】如下图，连接正六边形相对的顶点，以及相对边的中点，可以将正六边形分成相同的12个小三角形，阴影部分面积是1平方分米，因此正六边形的面积是1×12=12平方分米。

【小结】分割法
例7 在下图中，阴影部分的面积是正六边形面积的几分之几？
【答案】二分之一
【解析】设O是正六边形的中心，则∥ABC的面积与∥AOC的面积相等，∥AFE的面积与∥AOE的面积相等，∥CDE的面积与∥COE的面积相等。

6个等腰三角形的面积均相等。

所以阴影部分面积是正六边形的面积二分之一。

【小结】分割法
课后作业：
1、如图：在下面的正方形里，已知阴影部分的面积是2平方厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米？
【答案】8平方厘米
【解析】阴影部分的面积是正方形面积的14
，所以阴影部分的面积是2×4=8（平方厘米）。

2、如图：有两个正方形，小正方形是由大正方形的各边中点连结而成，那么两个正方形的面积有什么关系?
【答案】小正方形的面积是大正方形的一半。

【解析】运用分割法。

连接小正方形的对角线，可将小正方形分成4个全等的等腰直角三角形，则大正方形可分成8个全等的三角形，且8个等腰直角三角形均相等，所以小正方形的面积是大正方形的一半。

3、下图是一个等腰直角三角形，怎么将它分成四个完全一样的三角形?
【答案】如图，取各边中点并连接。

4、下图是一个等边三角形，怎样可以将它分成四个完全一样的三角形？
【答案】如图，取各边中点并连接。

5、如图，在△ABC 中，D 是AB 的四等分点，△ACD 的面积和△ABC 的面积有什么关系?
【答案】△ACD 的面积是△ABC 的面积的14。

6、如图：在正六边形ABCDEF 中，点O 是BE 的中点。

已知正六边形的面积是30
平方厘米，△ABO 的面积是多少平方厘米?
【答案】5平方厘米。

【解析】连接O 和各个顶点，可将正六边形ABCDEF 分成6个全等的等边三角形，已知正
六边形的面积是30平方厘米，所以△ABO的面积是30÷6=5（平方厘米）。

7、如图：在一个等腰直角三角形中作一个正方形，已知阴影部分的面积是4平方厘米，那么大三角形的面积是多少平方厘米?
【答案】18平方厘米
【解析】如下图可以将图形等分为9个小直角三角形，因此三角形的面积是4÷2×9=18（平
方厘米）。

8、如图：有三个正方形，较小的正方形是由较大的正方形的各边中点连结而成。

已知大正方形的周长是32厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米?
【答案】16平方厘米。

【解析】大正方形的周长为32厘米，因此边长是32÷4=8厘米，则面积是8x8=64平方厘
米，
因此小正方形的面积是64÷2÷2=16（平方厘米）。

9、在下图中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中AH 长16厘米，BE 长4厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
【答案】128平方厘米。

【解析】BH 长与BE 长相等，是4厘米。

AB 长是16+4=20厘米。

∥AHG 面积是8×8÷2×2=64平方厘米
∥BHE 面积是4×4÷2=8平方厘米
阴影部分面积是20×20÷2-64-8=128平方厘米。

10、如图：一个等边三角形的三条边分别被四等分，已知阴影部分的面积是12平方厘米，空白部分的面积是多少平方厘米?
【答案】48平方厘米。

【解析】等边三角形的三条边分别被四等分后可以分割出16个相同的小三角形，因此小三角形的面积是12÷4=3（平方厘米）3×12=36（平方厘米）。

11、下图是一个正六角星，阴影部分的面积是正六角星面积的几分之几？
【答案】12
【解析】将图分割成如下图，则图中阴影部分被分割成6个小三角形，六角星被分割成12
个三角形，因此阴影部分的面积是正六角形面积的12。

12、如图：在正六边形ABCDEF中，已知△ABC的面积是7平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?
【答案】21平方厘米
【解析】将正六边形的中心点与点A、点C和点E分别相连，因此正六边形等分成6个小
三角形，因此阴影部分面积是∥ABC的3倍，因此阴影部分的面积是3×7=21（平方厘米）。

13、如图：已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积是多少平方厘米?（图中单位均为厘米）
【答案】38.5平方厘米。

【解析】补充四边形左上角后，四边形成为直角边长是9厘米的等腰直角三角形。

所以，四
边形的面积是9×9÷2-2×2÷2=38.5平方厘米。

14、如图：已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积是多少平方厘米?（图中单位均为厘米）
【答案】97.75平方厘米。

【解析】补全四边形后，成为斜边长是5+16=21厘米的等腰直角三角形。

所以，四边形的
面积是21×21÷2÷2-5×5÷2=97.75平方厘米。