勾股定理及其逆定理 一
勾股定理及逆定理
一勾股定理验证（等面积法）解题思路：将所给三角形拼成大图形用等面积法：大图形面积=各小图形面积和。
例1、如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？例2、如图矩形是由四个直角三角形拼成，题中已给出各边长，试证明勾股定理。
例3、图中的正方形均是由Rt△ABC拼成，试验证勾股定理。
二、勾股数：满足a2+b2=c2的一组正整数叫做勾股数类型一：如何判断勾股数关键词：选择题、三条边、构成直角三角形、勾股数等一眼识别勾股数：可将较小两数的个位数进行完全平方求和，将所得的新的个位数与最大数的个位数的平方所得个位数进行比较，若结果一样一般满足勾股数。
例1、判断下列哪组数是勾股数（）A、58,44,60B、8,15,17C、13,14,19D、22,30,19类型二：大题中如何估算勾股数解题思路：先确定最高位的数字，再确定其它位数字例1、已知直角三角形的两条直角边分别是：48、55，试求斜边长是多少？类型三：根据勾股数关系巧设未知数求边长例1、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为多少？例2、直角三角形的三边长是三个连续的整数，这样的三角形共有（）个？A、1个B、2个C、3个D、无数个例3、△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为多少？此三角形为何种三角形？类型四：勾股数与规律例1、观察下列各组数：a b c第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第四组：9=2×4+1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1.......观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组勾股数的a ，b ，c ，各是多少吗？弟n 组呢？例2、观察下列每组勾股数,每行所给的三个数a,b,c 都满足a<b<c,6, 8,10 2221086=+8,15,1710,24,26 222262410=+12,35,37 222373512=+20, b,c 22220c b =+试根据已有数的规律,写出当a=20时,b,c 的值,并把b,c 用含a 的代数式表示出来.例3、已知:在ABC Rt ∆中, 90=∠C ,C B A ∠∠∠,,的对边分别为a,b,c 设ABC ∆的面积为S,周长为C.(2)如果a+b-c=m,观察上表,猜想S/C=______(用含有m 的代数式表示。
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理一． 课前热身1．勾股定理：如果直角三角形的两 长分别是a,b, 长为c,那么 。
若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边的长为 。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是 。
下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A ．3、4、5 B.6、10、8 C.3、2、5 D.5、12、133.（1）互逆命题：如果两个命题的 和 正好相反，那么这两个命题叫做 ，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 。
（2）互逆定理：如果一个定理的逆定理经过证明是 ，那么它也是一个定理，这两个定理称为 ，其中一个定理是另一个定理的 。
下列命题中，其逆命题城里的是 。
（只填序号）① 同旁内角互补，两直线平行 ②如果两个角是直角，那么它们相等 ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ④如果三角形的三边长a,b,c 满足a 2＋b 2＋c 2,那么这个三角形是直角三角形4.勾股数：能够成为 三角形三条边长的 ，称为勾股数。
若9，a,12是一组勾股数，则a 的值为（ ） A.10 B.15 C.37 D.37或15二． 内容讲解1.勾股定理考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4．在数轴上作出表示10的点．5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝， 高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要 做多长？考点二、列方程，利用勾股定理求线段的长1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 CD ．53．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？FEDCBAA DEB C4．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米， 又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、勾股定理的综合应用1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．2．如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm3．小雨用竹杆扎了一个长80cm 、宽60cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．4．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米．5．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（ 取3）6．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 求 ①AD 的长； ②ΔABC 的面积．7．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．8．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．求AC 的长．9．已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高． 求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．10．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． A B11．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗 杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子 下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米， 你能帮它计算一下旗杆的高度．12．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．13． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm 求四边形ABCD 的面积．14．如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？15．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．2.勾股定理的逆定理考点四、判别一个三角形是否是直角三角形1．若△ABC 的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB 与最小边BC 的关系是_________． 2．若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形 是______________________．3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 4．下列命题中是假命题的是( )． A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形. B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形. D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.5．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6．如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点， 且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？考点五、开放型试题1．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．2．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.3．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm. l 321S 4S 3S 2S 1三． 课堂小结随堂练习：一．选择题：1.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．A ．B ．3C ．D ．2.若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的面积为 （ ）A ．1 B.21C.2D.23.已知a=3，b=4，若a ，b ，c 能组成直角三角形，则c= （ ）A.5B.7C.5或7D.5或6 4.若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为 （ ）A.3cm 2B.32cm 2C.33cm 2D.4cm 2 5.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是 （ ）A.5B.13C.11D.2二、填空题：1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定， 两个固定点之间的距离是 。
勾股定理的逆定理(一)
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2， • 命题2：
对在这两个命题中, 题设和结论正好相反，我 们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其 中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的逆 命题.
练:说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立 成立
(2)最大边为15
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的
三角形是直角三角形
∴132+ 142 ≠ 152 ∴以13, 15, 14为边长的
三角形不是直角三角形
∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).
A
b (2)
A′
梳理知识
你能用语言来叙述一下刚才证明的定理吗？
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于
B a C c
第三边平方, 那么这个三角形是 直角三角形.
b (1)
A
∵在△ABC中，AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和 等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形). 这是判定直角三角形的根据之一.
1 BC＋ = AB· 2
1 1 = ×3×4＋ ×5×12. 2 2
=6＋30=36
1 AC· CD 2
办 温顾而知新
b，斜边长c，那么a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 观察上面两个命题,它们的题设与结论之间有怎样 的关系?与同伴交流.
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上的高.②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高.解：①作AH⊥BC∵AB＝AC＝13，AH⊥BC⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？解：①∴设∴此三角形是Rt△.②证：∴此三角形是Rt△.注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.2. 勾股定理的证明方法介绍勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下：因为正方形边长为，所以正方形的面积为.又因为正方形的面积＝，所以有.（2）旋转面积法如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，D点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为：.所以有：＝.化简为：，即.（3）美国第20任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝.因为，.即＝即.3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.4. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题】例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积. 分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2＋（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96例2. 如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE 把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解. 解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF ＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).例3. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x＋y＝7，（x＋y）2＝49，x2＋2xy＋y2＝49 (3)(3)－(2)，得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）例4. 等边三角形的边长为2，求它的面积.分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝1在直角三角形ABD中AB2＝AD2＋BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.例5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．解：根据题意可得示意图：(如图)在△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，根据勾股定理可得：BC＝＝＝3000(千米）所以：飞机飞行了3000千米.例6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2＝a2＋b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c＋a）来判断.例如：对于选择项D，∵82≠（40＋39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形.解：因为172＝82＋152，所答案为：A.例7. 如图所示的一块地，AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC ＝36m，求这块地的面积．分析：在求面积时一般要把不规则图形分割为规则图形，若连接BD，则无法求出．由于题中含有直角∠ADC，故可考虑连结AC，应用勾股定理．解：连结AC，在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AC＝15m．在Rt△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°．所以S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216（m2）．答：这块地的面积是216m2．例8. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为( )A. 2B. 2C. 4D. 2分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中.化归思想即转化思想，它是我们初中阶段数学解题方法的灵魂，是指当有些问题如果直接解决则难以入手，于是换一个角度来考虑，从而使问题清晰明朗.运用转化思想来解题常用的策略有：化复杂为简单;化陌生为熟悉;换一种方式来表达等等.解：求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS＝2所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2.故选A.例9. 在锐角△ABC中，已知其两边a＝1，b＝3，求第三边的变化范围.分析：显然第三边b－a<c<b＋a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形(1)当第三边是斜边时，c2＝b2＋a2，∴c＝(2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2＝a2＋c2，∴c＝2（即）∵△ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A＇位置时∠ACB成为直角.故点A应当在A和A＇间移动，此时2<AC<注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑.例10. 四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.分析：先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得到ΔADC是直角三角形，将四边形ABCD分成两个直角三角形.本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题.解：连结AC∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4∴AC2＝AB2＋BC2＝25（勾股定理）∴AC＝5∵AC2＋CD2＝169，AD2＝169∴AC2＋CD2＝AD2∴∠ACD＝90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝36例11. 若、为正实数，且，则的最小值是多少?试求之.解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从x2＋1和y2＋4入手，结合勾股定理的形式可为我们提供解题的思路.可以看出，、分别是以x、1，y、2为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的最值问题.构造如图所示的图形：线段AB＝4，P为AB上任意一点.设PA＝x，PB＝y.CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且CA＝1，BD＝2，则PC＋PD＝.要求的最小值就是求PC＋PD最小，很明显，当点P、C、D在同一直线上时，PC＋PD的最小值.再过C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，构造RtΔDCE，在RtΔDCE中，CE＝AB＝4，ED＝1＋2＝3，所以PC＋PD＝DC＝＝5.所以的最小值是5.例12. (2006年山西中考题)如图，分别以直角ΔABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）A. S1＝S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. 无法确定分析：将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可得答案.解：直线AB左边阴影部分的面积为：＝，直线AB右边阴影部分的面积为：＝.∵ΔABC是直角三角形，根据勾股定理有：.故选A.【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空题：1. 设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____.2. 如图，•某人欲横渡一条河，•由于水流的影响，•实际上岸地点C•偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_____m.二、选择题：3. 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）.A. 6cmB. 8.5cmC. cmD. cm4. 有四个三角形：⑴△ABC的三边之比为3：4：5；⑵△A′B′C′的三边之比为5：12：13；⑶△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3；⑷△CDE的三个内角之比为1：1：2.其中是直角三角形的有（）.A. ⑴⑵B. ⑴⑵⑶C. ⑴⑵⑷D. ⑴⑵⑶⑷三、解答题：5. 在△ABC中，AC＝21cm，BC＝28cm，AB＝35cm，求△ABC的面积.6. 如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC的长.7. 如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？8. 如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD＝15km，BC＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？【试题答案】一、填空题1. 62. 480二、选择题3. D4. D三、解答题5. 294cm26. 因为AC2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AB2，•∴∠C＝90°，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E，则CD＝DE，AC＝AE，BE＝AB－AE＝8，设CD＝x，则x2＋82＝（12－x）2，x＝，∴CD＝.7. 10m8. 10km处。
勾股定理及其逆定理小结
勾股定理及其逆定理小结一、知识要点回顾 1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2= c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2+ b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①、已知的条件：某三角形的三条边的长度.②、满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③、得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④、如果不满足条件（2），就说明这个三角形不是直角三角形。
二、考点剖析1、应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，则cm ．2， 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例2、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．3，应用勾股定理解决勾股树问题例3，如图6所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是：A．13 B．26 C．47 D．944，应用勾股定理解决阴影面积问题例4，已知：如图7所示，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为．5，应用勾股定理解决数学风车问题例5、如图8中，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
勾股定理逆定理(一)
⑤ A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
6、三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )
A.等边三角形; B.钝角三角形; C.直角三角形; D.锐角三角形.
7、如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC是直角三角形吗？
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
【四、综合提升】
三角形的三边长分别为 ， ， （ 都是正整数），试判断三角形的形状
集兵镇中学八年级数学导学案
备课日期：2013年12月3日教学日期：12月日设计：周健审核：祝亮
课题：勾股定理逆定理（一）
学
习
目
标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是三角形
问题二：命题1：
命题2：
命题1和命题2的和正好相反，把像这样的两个命题叫做命题，如果把其中一个叫做，那么另一个叫做
由此得到
勾股定理逆定理：
【五、知识梳理】
【六、当堂检测】
1、任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。
勾股定理及其逆定理
- 1 -第一讲、勾股定理及其逆定理一、勾股定理：（1）文字表述：在任何一个直角三角形（Rt △）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
（2）数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c （斜边对应的角为直角），那么222c b a =+。
（a ：勾，b ：股，c ：弦）。
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ，常见的勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等。
（2）平方根的表示方法一个正数a 的正的平方根，用符号2a 表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数（一般情况下省略不写），正数a 的负的平方根用符号-2a 表示，a 的平方根合起来记作±2a ，其中2±读作二次根号，2a 读作“二次根号下a ”．根指数为2的平方根也可记作“2a ±”读作“正、负根号”。
时，未必等于有正负两个解。
=- 2 -，即，那么这个正数的平方根或二次方根。
这就是说，如果，那么2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形。
3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。
请你写出三组勾股数：___________。
4、如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。
c=________ b=__________h=__________5、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________。
6、已知等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为__________7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是。
勾股定理及勾股定理的逆定理
勾股定理及勾股定理的逆定理
勾股定理：重点是准确掌握勾股定理，难点是能熟练地运用勾股定理.
知识点精析与应用
1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c².
(1)注意：由于直角三角形斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和.不能写成
a²+c²=b²,除非b为斜边才能这样写.
(2)定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系.其作用有:①已知两边求第三边；②证明三角形中的某些线段的平方关系；③作长为根号n的线段.
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，课本里是用面积法证明的，这种证明方法同学们一定要掌握好.
[解题方法指导]。
勾股定理逆定理的证明方法
勾股定理逆定理的证明方法证明勾股定理逆定理勾股定理逆定理是指：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。
证明勾股定理逆定理，可以采用反证法。
假设a，b，c三者不是正整数，即a，b，c至少有一个不是正整数。
首先，假设a不是正整数，则a可能是负数或者零。
如果a是负数，则a^2是负数，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a不可能是负数。
如果a是零，则a^2也是零，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a也不可能是零。
其次，假设b不是正整数，则b可能是负数或者零。
如果b是负数，则b^2是负数，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b不可能是负数。
如果b是零，则b^2也是零，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b也不可能是零。
最后，假设c不是正整数，则c可能是负数或者零。
如果c是负数，则c^2是负数，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c不可能是负数。
如果c是零，则c^2也是零，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c也不可能是零。
由以上分析可知，a，b，c三者不可能同时不是正整数，因此a，b，c三者必须同时是正整数，这就是勾股定理逆定理的证明。
综上所述，可以得出结论：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。
勾股定理逆定理(1)
勾股定理的逆定理（一）【目标导航】1．用三角形三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想． 2．探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的相关概念及关系．【预习引领】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝ ；（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 面积等于 ； （3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝ ．2．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 ． 3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 ．【新授讲解】一、创设情境，导入新授实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），能够发现这个三角形是直角三角形． 命题：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形． 此命题是真命题吗？若是，请证明你的猜想．【归纳1】勾股定理的逆定理： ． 二、使用新知，应用举例例1 判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a ＝15，b ＝8，c ＝17； （2）a ＝13，b ＝14，c ＝15．练习1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是 （ ）A ．7，24，25B ．213，214，215 C ．3，4，5 D ．4，217，218 2．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ．3．若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，且周长为60cm ，则它的面积为 ． 4． 顶角为45°，腰为20cm 的等腰三角形的面积等于______________．5． 若△ABC 三边满足c b a c b a 262410338222++=+++， 试判断△ABC 的形状．例2 下列命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．【归纳2】1．真命题也称定理． 2．定理都有逆命题，但不一定有逆定理． 练习1．写出下列命题的逆命题，这些逆命题都成立吗？如果不成立，请说出理由或举反例． （1）两直线平行，同位角相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）对顶角相等；（4）等角的余角相等；（5）若a ＝b ， 则22b a =；（6）若m ，n 是两个偶数，那么m ＋n 也是偶数．2．判断（1）每个命题都有逆命题．（ ） （2）每个定理都有逆定理．（ ）【课堂练习】1．命题一般由两部分组成，分别是__________和________________．2．两个命题的题设和结论正好相反，这样的命题叫做 ______________，如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的________命题．3．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是准确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为______________________． 4．若三角形三边长为44n m +，44n m -，222n m （m ＞n ＞0）．求证该三角形是直角三角形．5．如下图中分别以△ABC 三边a ，b ，c 为边向外作正方形、正三角形，为直径作半圆， 若S 1＋S 2＝S 3成立，则△ABC 是直角三角形吗？A B C a b c S 1 S 2 S 3A C a b c S 1S 2 S 3 B C a b c S 1 S 2 S 3 A【课后作业】1．两个命题的题设和结论正好相反，这样的命题叫做 ______________，如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________命题．2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是准确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为______________________．3．勾股定理：__________________________________________________________________； 勾股定理的逆定理：_________________________________________________________． 4．下列各命题的逆命题不成立的是 （ ） A ．两直线平行，同旁内角互补 B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C ．对顶角相等 D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b 5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17； （4）4，5，6．其中能构成直角三角形的有 （ ） A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组6． 三角形的三边长分别为22b a +、2ab 、22b a -（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中准确的是 （ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A ．B ．C ．D ． 9．在△ABC 中，若三边关系为a 2-b 2＝ c 2，则△ABC 中____________是直角．10．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝15，c ＝17，则△ABC 的面积为________．11．如图所示的一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ，AD ⊥DC ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，求这块地的面积．12．如图，已知等腰△ABC 的底边BC ＝20cm ，D 是腰AB 上一点，CD ＝16cm ，BD ＝12cm ，求△ABC 的周长．13．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是等腰三角形时，求点P 的坐标．（备用图）【提升题】1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB ＝1，PC ＝2，P A ＝3， 求∠BPC 的度数．勾股定理的逆定理（二）【目标导航】1．灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．2．构造勾股数，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再利用勾股定理实行计算． 3．研究四边形的问题，通常添加辅助线把它转化为研究三角形的问题．【例题探究】例1 某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一 固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口 一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个 方向航行吗？练习：如图在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？例2一根30米长的细绳被折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米， 比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状．练习：一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，求三边长并判断此三角形的形状．例3满足222c b a =+的三个正整数称为勾股数，如3、4、5；5、12、13；7、24、25等等，请你举出三组勾股数．练习1．若a 、b 、c 是一组勾股数，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？2．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示m 大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a 、b 、c 为勾股数，你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？例4已知：如图四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝4，BC ＝6，CD ＝5，AD ＝3．求四边形ABCD 的面积．练习：如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB ＝4米，BC ＝3米，CD ＝13米，DA ＝12米，又已知∠B ＝90°．DC BA例5已知：如图△ABC 中，CD 是AB 边上的高，CD 2＝AD ·BD ．求证：△ABC 是直角三角形．练习：一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC ＝15米，AD ＝13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？（AB 垂直于两条相交直线即AB 垂直于它们所在的平面）【课后作业】1．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）＝0，则△ABC 是 （ ）B CD C BAA ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形．2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2c 2＋b 2c 2＝a 4 －b 4，则△ABC 是 ． 3．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c ＝1︰1︰2，试判断△ABC 的形状．4．已知：如图，四边形ABCD ，AB ＝1，BC ＝43，CD ＝413，AD ＝3，且AB ⊥BC ． 求：四边形ABCD 的面积．5．已知：在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且AC 2＝AD ·AB ．求证：△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a ＋b ＝4，ab ＝1，c ＝14，试判定△ABC 的形状．7．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB ＝4，CE ＝41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由．8．将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC •边上F 点处，若CE ＝3cm ，AB ＝8cm ，则图中阴影部分面积为多少？9．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外测距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm 的F •处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．10．如图，南北方向PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测AC ＝10海里，AB ＝6海里，BC ＝8海里，若该船只的速度为12.8海里/小时，则可疑船只最早何时进入我领海？【提高题】图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离是多少？D CA B F EDC BA。
勾股定理逆定理推导过程
勾股定理逆定理推导过程勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边之间的关系。
而勾股定理的逆定理则描述了一个三边长能够构成直角三角形的条件。
本文将从勾股定理的逆定理出发，推导其推导过程。
勾股定理逆定理的表述如下：如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，其中c为斜边，a和b为直角边。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b和c。
根据逆定理的表述，我们可以得知如果a² + b² = c²成立，则三角形ABC是直角三角形。
为了证明这一结论，我们可以利用反证法。
假设三角形ABC不是直角三角形，即不存在直角。
那么根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即a + b > c、a + c > b和b + c > a。
我们首先假设 a + b = c，即两条直角边之和等于斜边。
根据勾股定理，我们可以得到a² + b² = c²。
然而根据逆定理的假设，a² + b² = c²，因此这与假设矛盾。
所以假设a + b = c是不成立的。
然后我们假设 a + b > c，即两条直角边之和大于斜边。
根据勾股定理，我们可以得到a² + b²< c²。
然而根据逆定理的假设，a² + b² = c²，因此这与假设矛盾。
所以假设a + b > c是不成立的。
同理，我们可以证明假设a + c > b和b + c > a也是不成立的。
假设三角形ABC不是直角三角形的假设是错误的。
因此，如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形。
通过上述推导过程，我们可以得出勾股定理的逆定理的结论：如果一个三角形的三边长满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理逆定理及其应用
勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
数学勾股定理及逆定理
一、一周知识概述勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理:勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即c2=a2＋b2．它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．因为该题设没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．当两直角边分别为3cm，4cm时;当斜边为4cm，一直角边为3cm时2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；（5）面积等于两直角边乘积的一半．3、用尺规画长为的线段教材中介绍了用尺规画长为的线段的作法，对画长为（k为自然数）的线段，我们通常可将k写成两个自然数的平方和或平方差来解决．例如用尺规画长为的线段．因为21=25－4=52－22，所以画Rt△ABC，使一条直角边AC=2，斜边AB=5，则另一条直角边BC=；同理，因为37=36＋1=62＋12，所以画Rt△ABC，使两直角边AC=1，BC=6，则斜边AB=．4、数形结合思想三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的长．解：∵CD⊥AB于D，∠BCD=30°，∴BD=BC．设BD=x，则BC=2x．在Rt△BCD中，由勾股定理有BD2＋CD2=BC2，即点拨：这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便．例2、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中，PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2，∴BP2－BD2=PC2－DC2．∴BP2－PC2=36－9=27．∵AP=PC，∴BP2－AP2=AB2=27，∴AB=．点拨：连结BP，在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理，得到BP2－PC2=BD2－DC2=27，是解答本题的关键所在．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，BE=，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y．在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得在Rt△ABC中，．点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．2、构造直角三角形解题例4、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．解：如图，延长BC，AD交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．同理CE=2CD=2．在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，∴BE=．在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，∴DE=．∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．点拨：灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．例5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，则∠ACF=∠B=45°，BE=CF，∠BAE=∠CAF．又∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°．∵∠EAD=45°，∴∠BAE＋∠DAC=45°．∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°．在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD，∴ED=FD．又在Rt△CDF中，CD2＋CF2=FD2，∴CD2＋BE2=DE2.点拨：此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中．3、运用面积法解题例6、如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（）A．1B．3C．6D．无法求出解：依勾股定理知AC=．设点P到各边的距离为r，连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系，有S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC，即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC．得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．故选B．点拨：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法，因此显得十分直观、简捷．例7、如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且．求PD、PE、PF的长．解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=3，∴BC==5．设PF=x，PE=y，PD=z，则．①连结PA、PB、PC．∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC，∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC，即4x＋3y＋5z=12．②①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，配方，得∴PD=PE=PF=1．点拨：本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解．4、构造几何图形解答代数问题例8、设a、b、c、d都是正数，求证：．分析：题中出现线段的平方和，考虑构造直角三角形，利用勾股定理证明．证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）．在Rt△ABE中，．在Rt△BCF中，．在Rt△DEF中，．在△BEF中，BE＋EF>BF，即点拨：勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．勾股定理的逆定理一、一周知识概述1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．这就是勾股定理的逆定理．在叙述定理时，不能简单地将原命题(勾股定理)的条件和结论颠倒过来，写成“如果一个三角形的两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”．要是这样叙述，则条件中所说“直角边，斜边”等名词已承认三角形是直角三角形，而结论又为直角三角形，这样条件与结论就会混乱．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！2、逆命题和逆定理的概念把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题．一个真命题的逆命题不一定也是真命题．例如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题是“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，显然这个命题不是真命题，即为假命题．一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前一个是直角三角形的性质定理，后一个是直角三角形的判定定理，我们要善于比较这两个定理间的联系和区别．我们前面学习的角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等都是像这样的互逆定理，大家可以对照复习一下．对于那些不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，在叙述它们的逆命题时，可以把这些命题变为“如果……，那么……”的形式．例如“等边对等角”可以改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．二、重难点知识归纳1、勾股定理的逆定理的应用．2、逆命题和逆定理的概念．3、勾股数组．三、典型例题剖析1、利用勾股定理的逆定理证直角例1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．求△ABC 的面积．解：∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．在△ADC中，∴BC=BD＋DC=6＋15=21．点拨：已知三角形的三边长，常验证其中是否有两个数的平方和等于第三个数的平方，以便判断该三角形是否为直角三角形．例2、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．点拨：这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．例3、如图，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5．求∠BPC．解：将图中的△ACP绕顶点C按逆时针旋转60°，得△BP′C的位置．∵PC=P′C，∠PCP′=60°，∴△PP′C为正三角形．在△BP′P中，BP=4，PP′=PC=3，BP′=AP=5，∴△BP′P为Rt△．∴∠BPP′=90°，∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．点拨：由PC=3，PB=4，PA=5想到常见的勾股数组，但这三条线段不在同一个三角形中，但可以借助旋转将三条线段集中起来，由勾股定理的逆定理得到一个直角三角形．2、勾股数组例4、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形？解：∵(2n2＋2n＋1)－(2n2＋2n)=1＞0，(2n2＋2n＋1)－(2n＋1)=2n2＞0，∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．又∵(2n2＋2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2=(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．点拨：这里先作差比较确定最大边，其依据是：a－b＞0，则a＞b；a－b=0，则a=b；a－b＜0，则a＜b．实际上有时用这种方法还会有困难，对于不考虑过程仅需要答案的题，还可利用特殊值迅速解决．例5、(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=______，b=______，c=______；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．解：(1)n2－1；2n；n2＋1．(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明如下：∵a2＋b2=(n2－1)2＋4n2=n4－2n2＋1＋4n2=n4＋2n2＋1=(n2＋1)2=c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．点拨：解决此类问题的思路一般是观察→猜想→证明．例6、(2002，湖北省)如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．解：如图，延长AD至E，使DE=AD=6，连结CE．∵CD=BD，且∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD．∴AB=CE=5．点评：根据题设的条件，由中线联想到中线倍长，将分散的条件集中起来，由数据关系可判定△ACE是直角三角形，再在Rt△CDE中求CD的长就不难了．例7、写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．分析：先分清原命题的题设和结论，再把题设和结论互换位置，就得到原命题的逆命题．解答：(1)的逆命题是：如果ab=0，那么a=0．它是一个假命题．(2)的逆命题是：如果x2=16，那么x=4．它是一个假命题．(3)的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．(4)的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．它是一个假命题．(5)的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角．它是一个真命题．方法总结：写一个命题的逆命题的关键是分清题设和结论，再交换题设与结论的位置，必要时要加一些适当的语句，切忌不能生搬硬套．例8、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2)内错角相等，两直线平行；(3)等边三角形的三个角都等于60°．分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．方法总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可。
勾股定理逆定理公式
勾股定理逆定理公式
古希腊数学家勾股定理即a²+b²=c²，它用于解决求三条直线的关系，也是第一
个世界级的数学定理，被誉为数学史上最重要的结果之一。
而勾股定理的逆定理就是：已知a²+b²=c²的情况，便可求出a和b的值。
勾股定理及其逆定理研究在现代数学中运用非常宽泛，有着深远的影响。
逆定理的研究在理论上有了很大的贡献。
在生活中，不论是安装家具还是室内装修，其都和勾股定理中的概念相要涉，他们可以帮助人们简化室内装修布置中的很多数学问题，使得室内装潢更加完美。
此外，勾股定理逆定理在多维声音保存和回放设备中得到了广泛运用，能够有效处理多种数量信号抽取，从而提供范围更加广泛的音质。
它也被应用在量子信息学，气动学及机器人控制等领域，能够实现快速清晰的消息传输。
在科学技术方面，勾股定理逆定理不仅可以用来理解数学和物理规律，还具有重要的前瞻性。
以物理为例，它可以帮助人们更好地揭示物体运动中的力学定律，从而更好地保护周边环境；以经济学为例，它可以极大的缩短资源的分配路径，带来极大的投资回报；而在工程领域呢，它可以让建筑工程中使用的材料能够协调有序的组织起燃，通过建筑主管的特定结构，提高设备的工作能力。
总的来说，勾股定理逆定理具有很强的运用价值，能够帮助科学家们得出精确的结论，也提供了更多便利的概念用于生活和工程应用，从而创造更多精彩的效果。
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勾股定理及其逆定理 一、知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2
，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足2
22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、典型题型
1、求线段的长度题型
2、判断直角三角形题型
3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法．
例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．
(2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积．
(3)分类讨论思想．（易错题）
例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。
试求BC 的长。
例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
(5)方程思想．
例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度．
例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。
练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。
C '
F
E
O D
C
B
A
图4
D
C
B
A
2、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．
求AC的长．
(4)转化思想．
例10.如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）．
A.)3
3( 厘米 B.97厘米 C.85厘米 D.9厘米
2
例4．如图3所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？
（5）、数形结合思想
例 5. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。
如图：
以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。
（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，求阴影部分的面积。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm，且标杆顶着地处比前次远10cm，求标杆的高．
五、整体思想
例6：已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S△ABC=
例7：如图10，BC长为3厘米，AB长为4厘米，
AF长为13厘米．求正方形CDEF的面积．。