翻折问题参考答案
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翻折问题
一.解答题(共1小题)
1.(2014•西城区一模)阅读下列材料:
问题:在平面直角坐标系xOy中,一张矩形纸片OBCD按图1所示放置.已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O落在边CD上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F,求点A的坐标.
小明在解决这个问题时发现:要求点A的坐标,只要求出线段AD的长即可,连接OA,设折
痕EF所在直线对应的函数表达式为:y=kx+n(k<0,n≥0),于是有E(0,n),F(﹣,0),
所以在Rt△EOF中,得到tan∠OFE=﹣k,在Rt△AOD中,利用等角的三角函数值相等,就可以求出线段DA的长(如图1)
请回答:
(1)如图1,若点E的坐标为(0,4),直接写出点A的坐标;
(2)在图2中,已知点O落在边CD上的点A处,请画出折痕所在的直线EF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写做法);
参考小明的做法,解决以下问题:
(3)将矩形沿直线y=﹣x+n折叠,求点A的坐标;
(4)将矩形沿直线y=kx+n折叠,点F在边OB上(含端点),直接写出k的取值范围.
考点:一次函数综合题.
分析:(1)如图1,在Rt△EOF中,得到tan∠OFE=﹣k,在Rt△AOD中,利用等角的三角函数值相等,就可以求出线段DA的长;
(2)作OA的中垂线即可;
(3)如图,设直线y=﹣x+n,则E点的坐标为(0,n),F点的坐标为(2n,0),OE=n,OF=2n,由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n,AF=OF=2n,由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°,从而求得∠1=∠2,得出△DEA∽△GAF所以=,由FG=CB=6解得DA=3,从而求得
A点的坐标.
(4)根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围,
解答:解:(1)如图1若点E的坐标为(0,4),直接写出点A的坐标为(2,6);
(2)如图所示:
(3)如图,过点F作FG⊥DC于G ∵EF解析式为y=﹣x+n,
∴E点的坐标为(0,n),
∴OE=n
∴F点的坐标为(2n,0),
∴OF=2n
∵△AEF与△OEF全等,
∴OE=AE=n,AF=OF=2n
∵点A在DC上,且∠EAF=90°
∴∠1+∠3=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2
在△DEA与△GAF中,
∴△DEA∽△GAF(AA)
∴=
∵FG=CB=6
∴=
∴DA=3
∴A点的坐标为(3,6).
(4)﹣1≤k≤﹣.
∵矩形沿直线y=kx+n折叠,点F在边OB上,(1)当E点和D点重合时,k的值为﹣1,(2)当F点和B点重合时,k的值为﹣;
∴﹣1≤k≤﹣.
点评:这是一道有关折叠的问题,主要考查一次函数、四边形、相似形等知识,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会.
2.(2015•杭州模拟)将弧BC沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=8,DB=10,则BC的长是()
A.6B.16C.2D.4
考点:翻折变换(折叠问题).
分析:如图,作辅助线;首先运用圆周角定理的推论,证明AC=DC,此为解决该题的关键性结论;其次证明DE=4,进而得到BE=14;证明△ABC为直角三角形,运用射影定理求出BC,即可解决问题.
解答:解:如图,连接CD、AC,过点C作CE⊥AB于点E;
∵,
∴∠CAB=∠DCB+∠DBC,
∵∠ADC=∠DCB+∠DBC,
∴∠CAB=∠ADC,AC=DC;
∵CE⊥AD,
∴AE=DE=4,BE=4+10=14;
∵AB为半圆的直径,
∴∠ACB=90°;
由射影定理得:BC2=AB•BE,
∴BC=6.
故选A.
点评:该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线;解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答.
3.(2015•杭州模拟)如图,将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开),再按图示方法折叠,能得到一个直角三角形,且它的一个锐角等于30°,这样的图形有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
考点:翻折变换(折叠问题).
分析:如图②,首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明∠FBE=∠EBG(设为α),此为解题的关键性结论;再次证明∠ABD=∠FBE=α,求出α=30°;
如图④,首先运用翻折变换的性质证明∠MAB=60°,求出∠BAC=60°,进而得到
∠ACB=,30°,即可解决问题.
解答:解:如图②,由题意得:AD∥CF,AC=BC
∴DF=BF,EF为直角△BDE斜边上的中线,
∴EF=BF,∠FBE=
∠FEB;而E F∥BC,
∴∠FEB=∠EBG,∠FBE=∠EBG(设为α);
由题意得:∠ABD=∠FBE=α,而∠ABG=90°,
∴3α=90°,α=30°;
如图④,由题意得:AN=AB=2AM,∠AMB=90°,
∴∠ABM=30°,∠MAB=60°;
由题意得:∠NAC=∠BAC==60°,
∴∠ACB=90°﹣60°=30°,
综上所述,有一个锐角为30°的直角三角形有两个,
故选C.
点评:该题以正方形为载体,主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题;牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键.
4.(2015•沂源县校级模拟)如图,对折矩形纸片ABCD,使BC与AD重合,折痕为EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使BC与EF重合,折痕为GH,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在GH上的点N处,并使折痕经过点B,折痕BM交GH于点I.若AB=4cm,则GI的长为()
A.
cm B.
cm
C.
cm
D.
cm