翻折问题参考答案

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北师大版七年级下册第2章平行线 ---纸片翻折问题专题练习(word版、含解析)

北师大版七年级下册平行线纸片翻折问题专题练习一、单选题1．如图,长方形纸片ABCD 中,AB =3cm,AD =9cm,将此长方形纸片折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点H 的位置,折痕为EF ,则△ABE 的面积为（）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2 2．如图,在长方形ABCD 纸片中,//AD BC ,//AB CD ,把纸片沿EF 折叠后,点C 、D 分别落在C '、D 的位置．若65EFB ∠=︒,则AED '∠等于（）A ．70°B ．65°C ．50°D ．25° 3．如图,在四边形ABCD 中,△A=120°,△C=80°．将△BMN 沿着MN 翻折,得到△FMN ．若MF △AD,FN △DC ,则△F 的度数为（）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100° 4．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点,D C 分别落在点',D C '的位置,若65EFB ∠=︒,则'AED ∠等于（）A ．50B ．55C ．60D ．655．如图,已知长方形纸片ABCD , 点E 、F 在BC 边上,点G 、H 在AD 边上,分别沿EG 、FH 折叠,使点B 和点C 都落在点M 处,若a +β=224°,则△EMF 的度数为（）A ．90°B ．91°C ．92°D ．94°6．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后,若边//AD BC ,则翻折角1∠与2∠一定满足的关系是（）A ．122∠=∠B ．1290∠+∠=︒C ．1230∠-∠=︒D ．213230∠-∠=︒ 二、填空题 7．如图,将一张长方形的纸片沿折痕EF 翻折,使点B 、C 分别落在点M 、N 的位置,且△AFM ＝12△EFM,则△AFM ＝_____°．8．如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上, 将BMN△沿MN翻折,得△FMN,若MF△AD,FN△DC,则△B =___°．9．如图,矩形ABCD中将其沿EF翻折后,D点恰落在B处,△BFE= 65°,则△AEB=____________.10．如图所示,把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠,若△BDE＝20°,那么△BED＝__．11．如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若△EFC′＝125°,那么△ABE的度数为________．12．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,若△34CBD=,则△ABC=______°．、为折痕,边BA与BE折叠后紧靠在一起,若13．如图,将一长方形纸片折叠,BC BD∠=︒,则DBEABC25∠=__________度．14．如图,将正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 边点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN ,若32NEC FMN ∠=︒∠=，_____︒．三、解答题15．手工制作课上,老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样,若折痕与一条边BC 的夹角△EFB =30°,你能说出△EGF 的度数吗？16．同学们,我们己学习了角平分线的概念和性质,那么你会用它们解决有关问题吗？（1）如图（1）,己知AOB ∠,请你画出它的角平分线OC ,并填空：因为OC 是AOB ∠的平分线,所以△______=△______12AOB =∠ （2）如图（2）,己知AOC ∠,若将AOC ∠沿着射线OC 翻折,射线OA 落在OB 处,请你画出射线OB,射线OC 一定平分AOB ∠．理由如下：因为BOC ∠是由AOC ∠翻折而成,而翻折不改变图形的形状和大小,所以BOC ∠=∠_______,所以射线_________是△_________的角平分线．拓展应用（3）如图（3）,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A 落在C 处,折痕为OE ,再将它的另一个角也折叠,顶点B 落在OC 上的D 处并且使OD 过点C,折痕为OF ．直接利用（2）的结论；△若30AOE ∠=︒,求EOF ∠的度数．（写出计算说理过程）△若AOE m∠=︒,求EOF∠的度数有什么规律？（写出∠的度数,从计算中你发现了EOF计算说理过程）17．如图△,将一张长方形纸片沿EF对折,使AB落在A B''的位置；（1）若△1的度数为a,试求△2的度数（用含a的代数式表示）；（2）如图△,再将纸片沿GH对折,使得CD落在C D''的位置．EF C G',△1的度数为a,试求△3的度数（用含a的代数式表示）：△若//'⊥',△3的度数比△1的度数大20°,试计算△1的度数．△若B F C G参考答案：1．A【解析】【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =,在Rt BAE 中,利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,9cm AD =,9BE AE ∴=-,根据勾股定理得：229(9)AE AE +=-,解得：4(cm)AE =．21436(cm )2ABE S ∴=⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形,掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．2．C【解析】【分析】由折叠可知,△DEF =△D ′EF ,由题可知,AD △BC ,可知△DEF =△EFB =65°,由平角为180°,可知△AED ′的度数．【详解】解：由折叠可知,△DEF =△D ′EF ,△AD △BC ,△△DEF =△EFB =65°,△△AED ′=180°-△DEF -△EFB =50°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质,掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 3．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出△BMF=120°,△FNB=80°,再利用翻折变换的性质得出△FMN=△BMN=60°,△FNM=△MNB=40°,进而求出△B 的度数以及得出△F 的度数．【详解】△MF△AD,FN△DC,△A=120°,△C=80°,△△BMF=120°,△FNB=80°,△将△BMN 沿MN 翻折得△FMN,△△FMN=△BMN=60°,△FNM=△MNB=40°,△△F=△B=180°-60°-40°=80°,故选B ．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质,得出△FMN=△BMN,△FNM=△MNB 是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据//AD BC 得出DEF EFB ∠=∠,再由翻折变换的性质得出'D EF DEF ∠=∠,由平角的定义即可得出结论．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形△//AD BC△DEF EFB ∠=∠△65EFB ∠=△65DEF EFB ∠=∠=△四边形''EFC D 由四边形EFCD 翻折而成,△'65D EF DEF ∠=∠=,△'180'180656550AED DEF D EF ∠=-∠-∠=--=．故选A ．【点睛】本题考查的是图形的翻折变换,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．5．C【解析】【分析】根据四边形ABCD是长方形,可得AD△BC,得到△BEG+α=180°,△CFH+β=180°,进而得到△BEG+△CFH=360°-（α+β）=136°,由折叠性质可知,△BEG=△GEM,△CFH=△HFM,进而得到△BEM+△CFM=272°,根据平角的定义列式得到△MEF+△MFE=88°,再根据三角形的内角和即可得解．【详解】解：△四边形ABCD是长方形,△AD△BC,△△BEG+α=180°,△CFH+β=180°,△△BEG=180°-α,△CFH=180°-β,△α+β=224°,△△BEG+△CFH=360°-（α+β）=136°,由折叠可知：△BEG=△GEM,△CFH=△HFM,△△BEM+△CFM=2（△BEG+△CFH）=272°,△△MEF+△MFE=360°-（△BEM+△CFM）=360°-272°=88°,△△EMF=180°-（△MEF+△MFE）=92°,故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和．6．B【解析】【分析】根据平行可得出△DAB+△CBA=180°,再根据折叠和平角定义可求出1290∠+∠=︒．【详解】解：由翻折可知,△DAE=21∠,△CBF=22∠,△//AD BC,△△DAB+△CBA=180°,△△DAE+△CBF=180°,∠+∠=°,即2122180△1290∠+∠=︒,故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．7．36【解析】【分析】△EFM可得△EFM＝△BFE＝由折叠的性质可得△EFM＝△EFB,设△AMF＝x°,由△AFM＝122x°,然后根据平角的定义列方程求出x的值即可得答案．【详解】△将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折,使点B、C分别落在点M、N的位置,△△EFM＝△EFB,设△AFM＝x°,△EFM,△△AFM＝12△△EFM＝△BFE＝2x°,△x°+2x°+2x°＝180°,解得：x＝36,△△AFM＝36°．故答案为：36【点睛】此题考查了折叠的性质与平角的定义．解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．8．95【解析】【详解】△MF△AD,FN△DC,△△BMF=△A=100°,△BNF=△C=70°.△△BMN沿MN翻折得△FMN,△△BMN=12△BMF=12×100°=50°,△BNM=12△BNF=12×70°=35°.在△BMN中,△B=180°－（△BMN＋△BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°. 9．50°【解析】【分析】根据翻折求出各个角的度数,再根据平角180°求出△AEB的度数即可.【详解】如图所示,由矩形ABCD可得AD△BC,△△1=△BFE =65°,由翻折得△2=△1=65°,△△AEB =180°-△1- △2 =180°-65°-65°=50°.10．140°【解析】【分析】由AD△BC,利用“两直线平行,内错角相等”可得出△CBD的度数,由折叠的性质可得出△EBD 的度数,结合△CBE＝△CBD+△EBD可得出△CBE的度数,由AD△BC,利用“两直线平行,同旁内角互补”可求出△BED的度数．【详解】解：△AD△BC,△△CBD＝△BDE＝20°．由折叠的性质可知：△EBD＝△CBD＝20°,△△CBE＝△CBD+△EBD＝40°．△AD△BC,△△BED＝180°﹣△CBE＝140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质,牢记“两直线平行,同旁内角互补”是解题的关键．11．20°【解析】【分析】由折叠的性质知：△EBC′、△BC′F都是直角,△BEF=△DEF,因此BE△C′F,那么△EFC′和△BEF互补,这样可得出△BEF的度数,进而可求得△AEB的度数,则△ABE可在Rt△ABE中求得．【详解】解：由折叠的性质知,△BEF=△DEF,△EBC′、△BC′F都是直角,△BE△C′F,△△EFC′+△BEF=180°,又△△EFC′=125°,△△BEF=△DEF=55°,△△BED=110°,△△AEB=180°-△BED=70°在Rt△ABE中,可得△ABE=90°-△AEB=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等．12．73【解析】【分析】首先根据折叠的性质得出ABE ABC ∠=∠,然后利用()11802ABC CBD ∠=⨯︒-∠求解即可．【详解】如图,由折叠可知ABE ABC ∠=∠,34,180CBD EBD ∠=︒∠=︒,()()11180180347322ABC CBD ∴∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒, 故答案为：73．【点睛】本题主要考查几何图形中的角度计算,掌握折叠的性质是解题的关键．13．65【解析】【分析】根据折叠的性质得到△ABC =△FBC =25°,△FBD =△DBE ,再根据平角的定义得到△FBD +△DBE ,从而计算△DBE ．【详解】解：由折叠可知：△ABC =△FBC =25°,△FBD =△DBE ,△△FBD +△DBE =180°-（△ABC +△FBC ）=130°,△△DBE =130°÷2=65°,故答案为：65．【点睛】本题考查了折叠问题,解题的关键是掌握折叠前后对应角相等．14．119【解析】【分析】根据正方形的性质得到△A=△C=△D=90°,根据折叠的性质得到△F=△A=90°,△FEN=△C=90°,△DNM=△ENM,根据平角的定义得到△ENM=12（180°-△ENC）=12（180°-58°）=61°,根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD是正方形,△△A=△C=△D=90°,△将正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边点E处,点A落在点F处,△△F=△A=90°,△FEN=△D=90°,△DNM=△ENM,△△NEC=32°,△△ENC=58°,△△ENM=12（180°-△ENC）=12（180°-58°）=61°,△△FMN=360°-90°-90°-61°=119°,故答案为：119．【点睛】本题考查了角的计算,翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相等的角是解决本题的关键．15．120°【解析】【分析】由平行线的性质可得△DEF=△EFG=30°,由折叠性质可得△GEF=△DEF=30°,可求△DEG,再利用平行线性质可求△EGC即可．【详解】解：因为AD∥BC（已知）,所以△DEF=△EFG=30°（两直线平行,内错角相等）,因为△GEF=△DEF=30°（对折后重合部分相等）,所以△DEG=2△DEF=60°,所以△EGC=180°－△DEG=180°－60°=120°（两直线平行,同旁内角互补）．【点睛】本题考查平行线性质,折叠性质,掌握平行线性质,折叠性质是解题关键．16．（1）△AOC,△BOC；（2）△AOC,OC,△AOB；（3）△90︒,过程见解析,△90°,EOF∠始终是90°,过程见解析．【解析】【分析】(1)根据角的平分线的定义解答即可；(2)根据折叠的意义解答即可；(3)△根据折叠的意义,平角的定义,角平分线的定义解答即可；△根据计算探究规律．【详解】解：（1）如图(1),根据角的平分线的定义,知△AOC＝△BOC,故答案为：△AOC,△BOC；∠=∠AOC,所以射线OC_是△AOB的角平分线,（2）如图(2),BOC故答案为：△AOC,OC,△AOB；（1）（2）（3）（3）△由（2）“翻折”结论得30EOC AOE ︒∠=∠=,12DOF BOF BOD ∠=∠=∠, 而180180()BOD AOC AOE EOC ∠=︒-∠=︒-∠+∠180230120︒︒︒=-⨯=, 所以111206022DOF BOF BOD ︒︒∠=∠=∠=⨯=, 所以306090EOF EOC DOF ∠=∠+=︒+︒=︒；△当AOE m ∠=︒时,同理可得,EOC AOE m ∠=∠=︒,()1118029022DOF BOF BOD m m ︒︒︒︒∠=∠=∠=-=-, 所以()9090EOF EOC DOF m m ∠︒=︒︒︒=∠++-=,综上所述,发现EOF ∠始终是90°．【点睛】本题考查了角的平分线,角的平分线的基本作图,折叠的意义,折叠的应用,熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．17．（1）12902a ⎛⎫=-︒ ⎪⎝⎭∠；（2）△13454a ⎛⎫=+︒ ⎪⎝⎭∠；△50° 【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△4=△B ′FC =α,由折叠的性质可知,△2=△BFE ,再根据平角的定义求解即可；（2）△由（1）知,△BFE =1902a ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,根据平行线的性质得到△BFE =△C ′GB =1902a ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,再由折叠的性质及平角的定义求解即可；△由（1）知,△BFE =△EFB ′=90°-12△1,由B ′F △C ′G 可知,△B ′FC +△FGC ′=90°,再根据折叠的性质得到△1+180°-2△3=90°,结合△3=△1+20°即可求解．【详解】解：（1）如图,由题意可知,A′E//B′F,△△4=△1=α,△AD//BC,△△4=△B′FC=α,由折叠的性质可知,△2=△BFE,△△BFE+△2+△B′FC=180°,△△2=12×（180°-α）=1902a⎛⎫-︒⎪⎝⎭；（2）△由（1）知,△BFE=90°-12α,△EF//C′G,△△BFE=△C′GB=1902a⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,再由折叠的性质可知,△3+△HGC=180°-1902a⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,△△3=△HGC=1454a⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭；△由（1）知,△BFE=△EFB′=90°-12△1,由B′F△C′G可知,△B′FC+△FGC′=90°,△180°-2×(90°-12△1)+(180°-2△3)=90°,即△1+180°-2△3=90°,△△3=△1+20°,△△1=50°．【点睛】此题考查了平行线的性质,以及折叠的性质,熟记“两直线平行,同位角相等”、“两直线平行,内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．。

几何翻折变换(折叠问题)(答案参考)

专题：几何翻折变换（折叠问题）1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。

∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。

中考数学八大题型集训：专题复习(5)图形的折叠问题含解析

专题复习(五) 图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题(·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，32)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式．【解答】连接OC ，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB，C(32，32)，∴AO ＝AC ，OD ＝32，DC ＝32，BO ＝BC ，则tan ∠COD ＝CD OD ＝33，故∠COD＝30°，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝CD AC ，则AC ＝DCsin60°＝1，故A(1，0)，sin30°＝CD CO ＝32CO ＝12.则CO ＝3，故BO ＝3，B 点坐标为(0，3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，把A(1，0)代入解析式可得k ＝－ 3. ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．1．(·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（）A.34B.45C.56D.672．(·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．3．(·宜宾)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．4．(·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．类型2 四边形及其他图形中的折叠问题(·南充)如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ ＝∠AMP ＝∠DQC ，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD ；(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得：BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1，根据△AMP∽△BPQ 得：AMBP＝AP BQ ，即BQ ＝x 2，根据△AMP∽△CQD 得：AP CD ＝AM CQ ，即CQ ＝2，从而得出AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1，根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值，从而求出AB 的值．【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ ＝∠BPQ，∴∠APM ＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM ＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ ＝∠AMP，∴△AMP ∽△BPQ ，同理：△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP ＝x ，∴由折叠关系，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP∽△BPQ 得，AM BP ＝AP BQ ，即1x ＝xBQ ，得BQ ＝x 2.由△AMP∽△CQD 得，AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1CQ ，得CQ ＝2.∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2.∴MD ＝AD －1＝x 2＋1.∵在Rt△FDM 中，sin ∠DMF ＝35，∴2x x 2＋1＝35.解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)．即AB ＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．1．(·南充)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（）A ．12B ．24C ．12 3D ．16 32．(·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（）A．13 B.152C.272D．123．(·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种4．(·成都)如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．5．(·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．6．(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．7．(·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△DEC≌△EDA；(2)求DF的值；(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．参考答案类型1 三角形中的折叠问题1．B 提示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C 恰好与边AB 上的点D 重合，折痕为EF ，∴∠EDF ＝∠C＝60°，CE ＝DE ，CF ＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED ＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴AE BD ＝AD BF ＝DEFD .设等边△ABC 边长为6个单位，CE ＝x ，CF ＝y ，AE ＝6－x ，BC ＝6－y ，∴6－x 4＝26－y ＝x y ，解得x ＝145，y ＝72.∴x ∶y ＝4∶5，故选择B.2.65°3.1.54.(10，3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1．D 2.A3.B 提示：由题意，易知y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x 轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y ＝x ＋b 过(－1，0)时，b ＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y ＝x ＋b 过(3，0)时，b ＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3<b<1时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线y ＝x ＋b 过(1，－4)时，b ＝－5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B.4.35. 6 提示：作AH⊥BC 于H.∵分别以AE ，BE 为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处，∴DE ＝EF ，CE ＝EF ，AF ＝AD ＝2，BF ＝CB ＝3.∴DC＝2EF ，AB ＝5.∵AD∥BC，∠C ＝90°， ∴四边形ADCH 为矩形，∴AH ＝DC ＝2EF ，HB ＝BC －CH ＝BC －AD ＝1.在Rt△ABH 中，AH ＝AB 2－BH 2＝26，∴EF ＝ 6. 6.2≤x≤87.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD ＝CE ，DC ＝EA ，∠ACD ＝∠CAE. 在△CED 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝AD ，DE ＝ED ，DC ＝EA ，∴△DEC ≌△EDA.(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF ＝CF.设DF ＝x ，则AF ＝CF ＝4－x ，在Rt△ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，即32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝78，即DF ＝78.(3)由矩形PQMN 的性质得PQ∥CA， ∴PE CE ＝PQCA. 又∵CE＝3，AC ＝AB 2＋BC 2＝5.设PE ＝x(0＜x ＜3)，则x 3＝PQ 5，即PQ ＝53x.过E 作EG⊥AC 于G ，则PN∥EG，∴CP CE ＝PN EG. 又∵在Rt△AEC 中，EG ·AC ＝AE·CE，解得EG ＝125.∴3－x 3＝PN 125，即PN ＝45(3－x)．设矩形PQMN 的面积为S ，则S ＝PQ·PN＝－43x 2＋4x ＝－43(x －32)2＋3(0＜x ＜3)．∴当x ＝32，即PE ＝32时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3.。

上海市初三数学复习专题及答案图形运动---翻折专题

图形运动——翻折1.理解图形翻折的概念和性质；2.培养学生利用图形翻折的性质解决相关问题；3.培养学生体验动感过程和动态思维能力；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

知识结构一．图形翻折的性质和特征：二．图形翻折的常见题型：图形运动之翻折边长例1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是．（★★★）例 2.如下左图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为．（★★★）例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 边上的中线，将ACD ∆沿CD 所在的直线翻折后到达ECD ∆的位置，如果AB CE ⊥，那么=ABAC．（★★★）例4在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是．（★★★★）例5.如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______．（★★★★★）例6.在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻折后点B 落在点'B 处，那么DB ′的长为．（★★★★★）例7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的点 C ′处，AC ′＝3，则BC ＝．（★★★★★）我来试一试！1.如图，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2AB =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是．（★★★）2.在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图2），折痕DE 的长为．（★★★）3.在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠ADC=30°，将△ADC 沿AD 折叠，使C 点落在'C 的位置，若BC=4，则'BC 的长为（）（★★★） A ．32 B.22 C.4 D.34．已知在三角形纸片ABC 中，∠C =90度，BC =1，AC =2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A 与点B 重合，折痕交AC 于点M ，那么AM = ．（★★★）5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点1C 处，如果5AB =，4AC =，那么sin ∠1ADC 的值是．6.如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为（）（★★★★） A. 34 B. 6 C. 3 D. 41.如图1，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE :BE 等于（）（★★★）(A) 2:1； (B) 1:2； (C) 3:2； (D) 2:3．2.如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = ．（★★★★）3．如图3，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在BC 的中点上，若BC=6，则折痕在△ ABC 内的部分DE 的长为．（★★★★）4．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为．（★★★★）5.如图5，在△ABC 中，MN ∥AC ，直线MN 将△ABC 分割成面积相等的两部分．将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = ．（★★★★）6.如图6，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= ．（★★★★）7.如图7，将ABE ∆沿直线AC 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，若5AB AC ==，9AE =，则CE = ．（★★★★★）图形运动之翻折角度例1.如图1，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是．（★★★）例2.如图2，在ABC ∆，AB AC =，点D 在边AB 上，将BDC ∆沿CD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，且AE DE =，那么_____A ∠=度．（★★★）例3.如图3，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则=∠EPF ______________度．（★★★★）例4.如图4，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，58EFG ∠=，那么___AEG ∠=度．（★★★）例5.如图5，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=．（★★★★）例6.如图6，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=．（★★★★）1.在R t △ABC 中，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△A CM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于__________度．（★★★）2.如下右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（）（★★★）A 、600B 、450C 、300D 、22.503.已知，点D E 、为ABC ∆两边的中点，将ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若=50B ∠，则BDF ∠的度数是_________．（★★★）4如图示，在矩形ABCD 中，点F 在CD 上，将矩形ABCD 沿着AF 翻折，点D 恰好落在BC 边上，如果70AFE ∠=，那么_____BAE ∠=度．（★★★）5.如图示，在Rt ABC ∆中，9050ACB A ∠=∠=，，将其折叠，使得点A 落在边CB 上的'A 处，折痕为CD ，则'_____A DB ∠=．（★★★）6.如图示，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着边AB AC 、边翻折180形成的，若=150BAC ∠，那么=_____θ∠．（★★★）7.在ABC ∆中，AC BC =， 90ACB ∠=︒，点D 是斜边AB 的中点，将ABC ∆沿某条直线折叠，使点C 落在点D 处，折痕MN 交AC 、BC 于M 、N ，则CND ∠的度数为．（★★★★）8.在ABC ∆中，90C ∠=︒，CM 是ACB ∠的平分线，将CBM ∆沿着CM 折叠，点B 落在AC 上的B '处，如果B A B M ''=，那B ∠的度数为．（★★★★）9.如图3，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为．（★★★★）图形运动之翻折面积例1.有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为．（★★★）例2.平行四边形ABCD 中，3,4==BC AB ，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是．（★★★）例3.如图1，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积是．（★★★★）例4.如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为______．（★★★★）例5.如图3，正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)翻折问题训练(含答案)

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图所示，小明将一张矩形纸片ABCD分别沿EF，FG，GH，HE翻折，且使折叠后点A和点B的对应点为同一点M，点C和点D的对应点为同一点N，已知AD＝8，AB＝6，则四边形EFGH的周长是（）A. 15B. 152C. 87D. 472.如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE=1，则△CDF的面积是（）A. 1+324B. 62+8C. 32+4D. 3223.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的F点处，若△FDE的周长为14，△FCB的周长为22，则FC的长度为（）A. 4B. 6C. 5D. 34.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的一点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB=2CF时，则NM的长为（）A. 12B. 1 C. 32D. 545.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF的长为（）A. 32B. 2C. 22D. 3226.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（）A. 23B. 34C. 43D. 32二、填空题7.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD=6，则FC=______．8.如图，把菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在BC延长线上的点E处，连结DE，若∠B=32°，则∠CDE=______°．9.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上(如图中的点A’)，折痕交AB于点G，则∠ADG=______度．10.如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别为AB、CD上的点，∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到四边形B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于G，则GE的长是______．11.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，连接MC，过点M将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为________．12.如图，正方形ABCD的边长为6，E为边AD上一点，连接BE，把△ABE沿BE翻折，得到△BEG，延长EG交DC于点P，EF平分∠DEP，过点F作FH⊥EP，垂足为H.当EH=GH时，BP的长为_________．三、解答题13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ODC沿CD翻折，点O落在点E处．求证：四边形OCED是菱形．14.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP（点A落在点E处），PE与CD相交于点O，且OE=OD．（1）求证：△PDO≌△GEO；（2）求DP的长．15.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE翻折，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=3，AD=5，求四边形CEFG的面积.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，E是BC上的一点，将△ACE沿AE翻折，点C落在AB边上的F处.（1）求BE的长；（2）若CD交AE于点G，连接GF，证明四边形CEFG是菱形.17.将长方形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E.∠DBC=15°，CD=3cm.（1）求证：EB=ED（2）计算AE的长（3）计算长方形ABCD的周长和面积.18.已知点P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP位置，BE 延长线交射线CD 于F．（1）如图1，当点P 为AD 的中点时，求证：AB＋DF＝BF；（2）如图2，若AB＝6，AP＝4，求EF 的长；（3）如图3，BF 延长线交射线AD 于G，PE 延长线交BC 延长线于H，Q 为BC 延长线上一点，当四边形PHQG 为菱形时，求∠ABP 的大小．参考答案1.C2.A3.A4.A5.D6.C7.38.429.1510.4-2311.7-112.626513.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DO=CO，由折叠可得，OD=ED，OC=EC，∴OD=ED=OC=EC，∴四边形OCED是菱形．14.证明：在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∴△PDO≌△GEO（ASA）∠DOP=∠EOG（2）∵△PDO≌△GEO；∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=x，∴CG=10-x，BG=10-（8-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即64+（10-x）2=（2+x）2，解得x=203∴DP=4315.解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，得到△BEF，∴EF=EC，∠FEG=∠CEG，∵FG∥CE，∴∠CEG=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=FG，∴FG=CE，∴四边形FGCE是平行四边形，又∵EF=FG，∴四边形CEFG是菱形；（2）由折叠的性质，BF=BC，EF=EC，∵AB=3，AD=5，∴BF=5，∴AF=4，∴FD=1，设EC=x，则EF=x，DE=3-x，在Rt △DEF 中，x 2=1+（3-x ）2，∴x =53，延长FG 交BC 于H ，∵FG ∥CD ，∴GH ⊥BC ，∴S △GCE =S △BCE -S △BCG ，即S △GCE =12×3×53-12×3×（3-53）=12，∴四边形CEFG 的面积=2S △GCE =1．16.解：（1）由题意得：AC =BC =2,,∴∠B =∠BAC =45° ,∴AB =22，∵AF =AC =2，∴FB =22−2，∵∠B =45° ,∠ EFB =90° ,∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EB =4−22；（2）∵△ABC 是等腰直角三角形，且点D 是AB 的中点，，，∴CD//EF ，，又，，∴CG =CE =EF ，∴四边形CEFG 为平行四边形，∵CE =EF ，∴四边形CEFG 是菱形.17.解：（1）证明：∵将长方形纸片沿BD 翻折∴∠CBD =∠C 1BD∴AD//BC∴∠EDB=∠CBD.∴∠EDB=∠C1BD.∴EB=ED；（2）四边形ABCD是长方形纸片∴AB=CD=3cm∠A=90°∵∠DBC=15°∴∠DBC=∠C1BD=∠EDB=15°∴∠AEB=30°.∴在Rt△AEB,BE=6.∴AE=33；（3）∵长方形ABCD中，AD=6+33,CD=3.∴长方形ABCD周长：18+63面积：18+93．18.证明：（1）连接PF，由题意，PE=PA=PD，∠PEF=90∘=∠D，又∵PF=PF，∴R t∆PDF≌R t∆PEF，∴DF=EF，∴AB+DF=BE+EF=BF；解：（2）延长BP、CD交于点G，设EF=x，∵AB //CD，∴∠G=∠ABP=∠PBF，∴GF=BF=6+x，∵AB //CD，∴∆ABP∽∆DGP，∴DG AB =DPAP，∴DG6=24，∴DG=3，∴DF=GF-DG=3+x，∵PF2=PD2+DF2=PE2+EF2，∴22+(3+x)2=x2+4，解得：x=12，即EF的长为12；（3）如图，∵四边形PHQG 为菱形，∴PG=PH，∵AD //BC，∴∠APB=∠PBH，∵∠APB=∠BPH，∴∠PBH=∠BPH，∴BH=PH，∴PG=BH，∴四边形PBHG是平行四边形，又∵PH⊥BG，∴四边形PBHG 为菱形，∴PB=PG，∴∠PGB=∠PBG=∠ABP，∵∠ABG+∠PGB=90∘，∴3∠ABP=90∘，∴∠ABP=30∘.。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)翻折问题专题训练(含答案)

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,E 是CD 的中点,将△BCE 沿BE 翻折,得到△BFE ,连接DF ,则DF 的长度是（）A.55 B. 255 C. 355 D. 4552.如图,▱ABCD 中,点E 在边BC 上,以AE 为折痕,将△ABE 向上翻折,点B 正好落在CD 上的点F 处,若△FCE 的周长为7,△FDA 的周长为21,则FD 的长为（）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，在▱ABCD 中，AB =5，AD =6，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为（）A. 3B. 12C. 15D. 44.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上一点,将矩形沿BE 翻折后,点A 的对应点为A ',延长EA '交BC 于点F ,若∠ABE =35∘,则∠BFE 的大小为( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘5.如图所示，在矩形ABCD中，AC=13，AD=5，O是AC的中点，E为AB上任意一点，连接EO，将△AOE沿OE翻折至△A′OE，A的对应点为A′，连接A′C，当A′E⊥AB时，求A′C的长为（）A. 4B. 32C. 732D. 7226.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边B′处，若AE=3，DE=9，∠AEF=120°，则矩形ABCD的面积是（）A. 36B. 363C. 48D. 483二、填空题7.如图,E为▱ABCD的边AD上一点,将△ABE沿BE翻折,得到△FBE,点F在BD上,且EF=DF.若∠C=54∘,则∠ABE= °.8.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______ .9.如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF 的长为______．10.如图，四边形ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG＝________cm．11.如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ΔABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为7，ΔFCB的周长为23，则FC的长为．12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45 ∘，AD=2，E，H分别为边AB，CD上一点．将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，C为FG的中点，则EF的长度为__________．三、解答题13.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，连接DM．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△FDC≌△FEA（2）若AB=4，BC=6，求图中阴影部分的面积．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）若设AP＝x，试求CF的长（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．16.已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD´M，点D对应点为D´，AD´所在直线与边BC交于点P.（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；（2）如图2，当t为何值时，点D´恰好落在边BC上；（3）如图3，当t=3时，求CP的长.17.已知矩形ABCD，把△BCD沿BD翻折，得△BDG，BG，AD所在的直线交于点E，过点D作DF∥BE交BC所在直线于点F．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB=8，AD=4，求四边形BEDF的面积．18.如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=12，P为AD上一点，将▵ABP沿BP翻折至▵EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP=DG；（2）求线段AP的长．参考答案1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.49.58.4a+2b9.710.43−611.8.12.2-213.证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD 是菱形．14.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠E =∠B ，AB =AE ，∴AE =CD ，∠E =∠D ，在△AEF 与△CDF 中，∠E =∠D∠AFE =∠CFD AE =CD ，∴△AEF ≌△CDF （AAS ）；（2）∵AB =4，BC =6，∴CE =AD =6，AE =CD =AB =4，∵△AEF ≌△CDF ，∴AF =CF ，EF =DF ，∴DF 2+CD 2=CF 2，即DF 2+42=（6-DF ）2，∴DF =53，∴阴影部分的面积=S △ACD -S △CDF =12×4×6-12×4×53=263．15.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，由翻折的性质可知：∠E =∠A =90°，∴∠E =∠D ，在△ODP 和△OEF 中，∠D =∠EOD =OE ∠DOP =∠EOF，∴△ODP ≌△OEF （ASA ）．∴OP =OF ．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，∵△ODP ≌△OEF （ASA ），∴OP =OF ，OD =OE ．∴DF =EP ．∵AP =PE =DF =x ，∴CF =8-x ．（3）∵AD =BC =6，PA =PE =DF =x ，∴PD =EF =6-x ，CF =8-x ，BF =BE -EF =8-（6-x ）=2+x ，在Rt △FCB 根据勾股定理得：BC 2+CF 2=BF 2，即62+（8-x ）2=（x +2）2，解得：x =4.8，∴AP =4.8．16.证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ，∵折叠∴∠DAC =∠D 'AC∴∠ACB =∠D 'AC∴AP =PC（2）∵折叠∴AD =AD '=10cm ，DM =D 'M ，在Rt △ABD '中，BD '=AD′2−AB 2=8cm ，∴CD '=BC -BD '=10-8=2cm ，在Rt △D 'MC 中，D 'C 2+CM 2=D 'M 2，∴4+CM 2=（6-CM ）2，∴CM =83cm∴t =831=83（3）如图，连接MP ，∵t=3，∴CM=3cm，∴DM=CD-CM=3cm，∵折叠∴AD=AD'=10cm，DM=D'M∴D'M=CM，且MP=MP∴Rt△CMP≌Rt△D'MP（HL）∴CP=D'P在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∴36+（10-CP）2=（10+CP）2，cm.∴CP=91017.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC，根据题意可知△BCD≌△BDG，∴∠DBG=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，∵AD∥BC，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵DE=BE，∴四边形BEDF为菱形；（2）设菱形BEDF的边长为x，则AE=DE-AD=x-4，在Rt△AEB中，BE2=AE2+AB2，即x2=（x-4）2+82，解得x=10，∴菱形BEDF的面积=DE•AB=10×8=80．18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，∴AP=DG；（2）解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=16，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=12-x，DG=x，∴CG=16-x，BG=16-（12-x）=4+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即122+（16-x）2=（x+4）2，解得：x=9.6，∴AP=9.6，第11页，共11页。

八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析

八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

【解答版】《火线100天》中考数学专题复习图形操作问题

图形操作问题图形操作问题是当今中考命题的热点，是数形结合思想的拓展与升华，这类中考题，立足基础，突出创新与数学思想方法的考察.它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养.解决这类题目，要求大家积极参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效地提高解答操作题的能力.题型之一折叠与翻折问题例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 .【思路点拨】先根据翻折的性质确定D点的位置，然后再运用锐角三角函数、勾股定理以及中位线定理等知识可求出BD的长.【解答】如图，先规范地绘制出图形，如图，取AC中点E，作线段BE的垂直平分线，那么该直线为直线l，与BC交于D点，连接DE，则DB=DE.作BC边的垂线AG、EF.∵AB=AC，BC=8，tanC=32，∴GC=4，AG=6.易知EF为△AGC的中位线，EF=3，CF=2. 设BD=x，则DF=6-x.在Rt△EDF中，∠EFD=90°，DF2+EF2=DE2，即(6-x)2+32=x2，解得x=154.∴BD=154.方法归纳：图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.1.(·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( )2.(·泰安)如图1是一直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为( )A. 83cm B.23cm C.22cm D.3 cm3.(·德州)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝25.以上结论中，你认为正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.(·潜江调考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为( )A.2B.2C.22D.35.(·襄阳)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①④6.(·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= .7.(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′=x，则x的取值范围是 .8.(·随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）.设AE=x（0<x<2），给出下列判断：x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=12时，EF+GH>AC;③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大值是11 4；④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变.其中正确的是 .（写出所有正确判断的序号）题型之二分割与剪拼问题例2 (·淄博)矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.(1)如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).【思路点拨】(1)要在矩形纸片中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽；(2)先根据剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等求出正方形的边长为25，从而借助勾股定理在网格中确定4和2作为直角边构造直角三角形，将原长方形剪成4个直角边为4和2的直角三角形和4个边长为1的小正方形，然后把直角三角形的斜边作为新正方形的边长，通过旋转等图形变换拼出新正方形.【解答】(1)能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.(2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形=25.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方的边长是45形部分剪成4个斜边为25的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：方法归纳：解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决本题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.1.(·广东)如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是 .2.(·绵阳)对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G 分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”.若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 .3.(·宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用).A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？4.(·宿迁)如图是两个全等的含30°角的直角三角形.(1)将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图；(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率.5.(·宁波)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) (2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.题型之三学具操作问题例3 (·广东)有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6.在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，3将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.(1)如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求∠EMC的度数和BF的长；(2)如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在三角板DEF的运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围.【思路点拨】(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC即可；(3)本题需要分类讨论，以点C在三角板DEF的上方、内部、下方三种情况来讨论，同时注意点C分别在DE、FE上时BF的长.【解答】(1)三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∠E=30°，∠EMC=15°.三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，BF=AB-DF=2.(2)由平移可知：∠ACF=∠E=30°.在Rt△ACF中，cos∠ACF=ACCF，tan∠ACF=AFAC,∴CF=ACcos ACF∠=630cos︒=43.AF=AC·tan∠ACF=6×tan30°=23.∴BF=AB-AF=6-23.(3)如图，分三种情况讨论：过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE∥AC，∠NMB=∠B=45°, ∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x.∴△FMN∽△FED.∴MNDE=FNFD,43=4MN x-.解得33+x.①当0≤x≤2时，如图4，设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x.y=S△BGD-S△BMF=12·DB·DG-12BF·MN=12(4+x)2-12x·332+x.即y=-13+x2+4x+8;②当2＜x≤6-23时，如图5.y=S△BCA-S△BMF=12·AC2-12·BF·MN=12×36-12x·33+x.即y=-33+x2+18;③当6-23<x≤6时，如图6，设AC与EF交于点H. ∵AF=6-x，∠AHF=∠E=30°，∴AH=3AF=3(6-x).y=S△FHA=12(6-x)·3(6-x)=3(6-x)2.综上所述，当0≤x≤2时，y=-134+x2+4x+8;当2<x≤6-23时，y=-334+x2+18;当6-23<x≤6时，y=32(6-x)2.方法归纳：本题属于“操作类”问题，解题的重要方法是“实际操作”，即在解题的时候，用三角板进行了实际操作，会很快就求得第(1)问的结论，对于第(3)问的结论，通过“操作”可确定只需分三种情况讨论.1.(·泰安)将两个斜边长相等的一副三角板纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，连接D1B，则∠E1D1B的度数为( )A.10°B.20°C.7.5°D.15°2.(·孝感调考)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是度.3.(·娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN；(2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.4.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短的直角边长为3.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形？5.(·衡阳)将一副三角尺如图1摆放在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF 中，∠EDF=90°，∠E=45°，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.(1)求∠ADE的度数；(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由.参考答案题型之一折叠与翻折问题1.D2.A提示：由图形的操作可知：∠DBC=30°,∠DC′A=90°,∠EDC′=30°,∵BC=4 cm,∴DC′=DC=433cm,∴DE=83cm.3.C提示：易证四边形CFHE是平行四边形，对角线HC与EF垂直，故四边形CFHE是菱形，①正确；∵DE的长度无法确定，只有当DE=433时，EC才平分∠DCH.故②不正确；当H与A重合时，BF最小为3，当点E与点D重合时，BF最大为4.故③正确；当点H与点A重合时，求出EF＝25.故④正确.4.B提示：连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP′为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，22，而2，∴22212t)，解得t=2.故选B.5.D提示：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出3，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PFB=60°，BF=PF，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确.6.3 27.2≤x≤8提示：当折痕经过B点时，BA′=BA=8,此时x最大；当折痕经过D点时，x=2，此时x最小.8.①④题型之二分割与剪拼问题1.平行四边形2.143.(1)裁剪出的侧面个数为：6x+4(19-x)=（2x+76）个，裁剪出的底面个数为：5(19-x)=（-5x+95）个；(2)由题意得 2763x +=5952x -+.解得x=7. 2763x +=30. 答：能做30个盒子.4.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为46=23. 5.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为46=23. 题型之三学具操作问题1.D2.1443.(1)证明：∵∠α+∠EAC=90°，∠NAF+∠EAC=90°，∴∠α=∠NAF. 又∵∠B=∠F,AB=AF ，∴△ABM ≌△AFN.∴AM=AN.(2)四边形ABPF 是菱形.理由：∵∠α=30°，∠EAF=90°,∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°,∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°，∠F+∠BAF=60°+120°=180°， ∴AF ∥BC ，AB ∥EF ，∴四边形ABPF 是平行四边形.又∵AB=AF,∴四边形ABPF 是菱形.4.(1)是.理由：∵△ABD ≌△CDB ，∴AD=BC ，AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.(2)是.理由:∵∠ABD=∠C1D1B1=30°，∴AB∥C1D1.又∵AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形.(3)由(2)知四边形ABC1D1是平行四边形，∴只要使∠ABC1=90°,四边形ABC1D1即为矩形.又∵∠ABD=30°，∴∠B1BC1=60°.∴∠BC1B1=30°.设BB1=x，则BC1=2x.由勾股定理，得BC21-BB21=B1C21.即(2x)2-x2=32.解得3.即当点B3,四边形ABC1D1为矩形.5.(1)由题意知：CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD. ∵在△BCD中，BD=CD且∠B=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=∠BDC=60°.∴∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=180°-60°-90°=30°.(2)PMCN的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°.∵∠MPD=∠BCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，∴△MPD∽△NCD，∴PMCN=PDCD.又由(1)知AD=CD，∴PMCN=PDCD=PDAD.∵在△APD中，∠A=∠ADE=30°，∴在等腰△APD中，PDAD3=33.∴PMCN=PDCD=PDAD=33.。

20 专题二十：角度的计算(8)——折叠问题(方法专题);人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)

专题二十：角度的计算（8）——折叠问题专题导入如图，将长方形ABCD折叠，使得点D与点B重合。

思考：①∠BEF与∠DEF的关系；②∠CFE与∠D’FE的关系。

方法点睛折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形是“一样的”，所以有以下两个常用结论：①对应角相等；②对应边相等。

在折叠的图形中计算角度，必然用上对应角相等的性质。

典例精讲1．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，若EA′恰好平分∠FEB．（1）判断∠FEA与∠A′EB的大小关系，并说明理由；（2）求∠FEB的度数．举一反三2．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF ＝75°，则∠AED′等于多少？3．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）图中有哪几条角平分线，他们各是哪个角的平分线？（2）如果射线NA′平分∠DNE，那么射线CB′平分∠ECF吗？为什么？专题过关4．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB=1 2∠MFE．则∠AEN＝（）A．30°B．36°C．45°D．72°5．如图所示，把一张长方形的纸片按折痕EF那样折叠后，C、D两点分别落在N、M点处，若∠AEM＝80°，则∠DEF的度数为．6．如图，将长方形纸片的两角分别折叠，使顶点B落在B′处，顶点A落在A′处，EC、ED为折痕，并且点E、A′、B′在同一条直线上．若∠BED＝32°，求∠CED和∠AEC 的度数．7．如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．8．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B′处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A′处．（1）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，用直尺、量角器画出射线EB′与EA′；（2）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，求∠A'EB'的度数；（3）若∠MEB＝α，∠NEA＝β，用含α、β的代数式表示∠A'EB'的度数．9．把一长方形（四个角为90°）纸片ABCD的一角折起来，折痕为AE，使∠EAB′＝∠DAB′，如图1．（1）求∠EAD；（2）再沿AC对折长方形ABCD，使B点落在F点上，如图2．若∠EAF＝80°，求∠CAB′．10．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′＝110°，则∠BEC＝°，∠AEN＝°，∠BEC+∠AEN ＝°．（2）若∠BEB′＝m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．11．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．【参考答案】1．解：（1）∠FEA＝∠A′EB，理由如下：由翻折的对称可得：∠FEA＝∠FEA'，∵EA′恰好平分∠FEB，∴∠FEA'＝∠A′EB，∴∠FEA＝∠A′EB；（2）由（1）可知，∠FEA＝∠A′EB＝∠FEA'，又∵∠FEA+∠A′EB+∠FEA'＝180°，∴∠FEA＝∠A′EB＝∠FEA'＝60°，∴∠FEB＝∠FEA'+∠A′EB＝60°+60°＝120°；2．解：由折叠可得，∠DEF＝∠D'EF＝75°，∴∠DED'＝150°，∴∠AED'＝180°﹣∠DED'＝30°．3．解：（1）由翻折可得∠AEN＝∠A′EN，∠ANE＝∠A′NE，∠BCE＝∠B′CE，∠BEC＝∠B′EC，所以，NE是∠AEA′和∠ANA′的平分线，CE是∠BEB′和∠BCB′的平分线；（2）射线CB′平分∠ECF．理由如下：∵射线NA′平分∠DNE，∴∠DNA′＝∠A′NE，∴∠ANE=13×180°＝60°，在Rt△ANE中，∠AEN＝90°﹣∠ANE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC=12（180°﹣30°×2）＝60°，在Rt△BCE中，∠BCE＝90°﹣60°＝30°，∴∠B′CD＝90°﹣30°×2＝30°，∴∠B′CD＝∠B′CE，∴射线CB′平分∠ECF．4．B．5．50°．6．解：∵EC和ED是折痕，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴2（∠2+∠3）＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠CED＝90°．又∠2＝∠1＝32°，∴∠4＝∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣32°＝58°，即∠AEC＝58°．7．解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，∴∠1＝∠ABC＝25°．∴∠A'BD＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）由折叠性质得∠1＝∠ABC=12∠ABA′，∠2＝∠DBE=12∠A'BD，∴∠1+∠2=12∠ABA′+12∠A'BD=12（∠ABA'+∠A'BD）=12×180°＝90°．即∠CBE＝90°．8．解：（1）图形如图1中所示：（2）与翻折可知：∠AEA′＝2∠AEN＝90°，∠BEB′＝2∠BEM＝60°，∴∠A′EB′＝180°﹣90°﹣60°＝30°．（3）当α+β≤90°时，∠A′EB′＝180°﹣2（α+β），当α+β＞90°时，∠A′EB′＝2（α+β）﹣180°．9．解：（1）根据折叠可得：∠BAE＝∠EAB′，∵∠EAB′＝∠B′AD，∴∠BAE＝90°÷3＝30°，∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°；（2）根据折叠可得：∠BAC＝∠F AC，∵∠EAF＝80°，∴∠BAF＝80°+30°＝110°，∴∠BAC＝55°，∴∠CAB′＝60°﹣55°＝5°．10．解：（1）55，35，90．（2）不变．由折叠的性质可得：∠BEC＝∠B'EC，∠AEN＝∠A'EN，∵∠BEB′＝m°，∴∠AEA'＝180°﹣m°，可得∠BEC＝∠B'EC=12∠BEB′=12m°，∠AEN＝∠A'EN=12∠AEA'=12（180°﹣m°），∴∠BEC+∠AEN=12m°+12（180°﹣m°）＝90°，故∠BEC+∠AEN的值不变；（3）由折叠的性质可得：∠B'CF＝∠B'CE，∠B'CE＝∠BCE，∴∠B'CF＝∠B'CE＝∠BCE=13×90°＝30°，在Rt△BCE中，∵∠BEC与∠BCE互余，∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，∴∠B'EC＝∠BEC＝60°，∴∠AEA'＝180°﹣∠BEC﹣∠B'EC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AEN=12∠AEA'＝30°，∴∠ANE＝90°﹣∠AEN＝90°﹣30°＝60°，∴∠ANE＝∠A'NE＝60°，∴∠DNA'＝180°﹣∠ANE﹣∠A'NE＝180°﹣60°﹣60°＝60°．11．解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF=12∠AEF，∠MEF=12∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF=12∠AEF+12∠BEF=12（∠AEF+∠BEF）=12∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN=12×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=12∠BEG∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）=12（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG=12（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧，∠FEG＝180°﹣2α．。

2021年中考数学复习专题图形折叠问题及答案2

2021年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，假设∠AEB=55°，那么∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，假设∠EFB=65°，那么∠AED′等于〔〕A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，假设AE=2，DE=6，∠EFB=60°，那么矩形ABCD 的面积是〔〕A．12 B．24 C．12 D．164.如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，那么DE长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，得到菱形AECF.假设AB=3，那么BC的长为〔〕A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，那么重叠局部△AFC的面积为〔〕A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．假设AE=5，BF=3，那么CD的长是〔〕C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP〔P为AB中点〕所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．那么∠DEC的大小为〔〕A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．假设CE的长为7cm，那么MN的长为〔〕A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，假设EH=12厘米，EF=16厘米，那么边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC交于点 E，那么点 D 的坐标是〔〕A．〔4，8〕B．〔5，8〕C．〔，〕 D．〔，〕12.将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．那么BC的长为〔〕A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，那么AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为〔〕A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于以下结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的选项是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，假设此时=,那么△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为( )18.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，AB=6，△ABF的面积是24，那么FC等于〔〕. A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为〔〕A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。

人教版八年级数学下教学案(新)折叠问题(期末复习)教案导学案课时作业试卷同步练习含答案解析

A B C D M N PQ 折叠问题（专题复习）一、计算角度1．点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．2．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝度. 2．如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上A 1，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片收展平，则∠AFE ＝____________．3．如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD ＝____________．二、折出特殊的四边形1．如图，一张矩形纸片，腰折出一个最大的正方形.小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形.他判定的方法是_________________.2．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． ⑴求证：△ABF ≌△EDF ；⑵若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．ABABOOCDE3．在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？4A BCDA B CD E三、计算长度及面积1．如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．2．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´的位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________．3．有一矩形纸片ABCD ，AB =9cm ，BC =12cm ，将纸片沿EF 折叠，使B 与D 重合.求折痕EF 的长.4．如下图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，045=∠DBC .翻折梯形ABCD ，使点B 重合与点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E .若AD =2，BC =8，求BE 的长；5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG =10．(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时，求△EFG 的面积．(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长．AB CD E F G H (A)(B)6．（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．7．已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上．点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =33，BC =6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE =30°． ⑴ 求BE 、QF 的长．⑵ 求四边形PEFH 的面积． 9．在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积．四、综合型问题1．将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．A 图① A 图② F EE D CF B A 图③ E D C A B FG ' D ' A D E C B F G α 图④ 图⑤(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．2．如图，把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD (裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A ′BCD ，如示意图(1)。

翻折问题参考答案复习课程

翻折问题参考答案翻折问题一．解答题（共1小题）1．（2014•西城区一模）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标．小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（﹣，0），所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）请回答：（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线y=﹣x+n折叠，求点A的坐标；（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．考点：一次函数综合题．分析：（1）如图1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；（2）作OA的中垂线即可；（3）如图，设直线y=﹣x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，从而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以=，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标．（4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）；（2）如图所示：（3）如图，过点F作FG⊥DC于G ∵EF解析式为y=﹣x+n，∴E点的坐标为（0，n），∴OE=n∴F点的坐标为（2n，0），∴OF=2n∵△AEF与△OEF全等，∴OE=AE=n，AF=OF=2n∵点A在DC上，且∠EAF=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠2在△DEA与△GAF中，∴△DEA∽△GAF（AA）∴=∵FG=CB=6∴=∴DA=3∴A点的坐标为（3，6）．（4）﹣1≤k≤﹣．∵矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上，（1）当E点和D点重合时，k的值为﹣1，（2）当F点和B点重合时，k的值为﹣；∴﹣1≤k≤﹣．点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．2．（2015•杭州模拟）将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是（）A．6B．16 C．2D．4考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明AC=DC，此为解决该题的关键性结论；其次证明DE=4，进而得到BE=14；证明△ABC为直角三角形，运用射影定理求出BC，即可解决问题．解答：解：如图，连接CD、AC，过点C作CE⊥AB于点E；∵，∴∠CAB=∠DCB+∠DBC，∵∠ADC=∠DCB+∠DBC，∴∠CAB=∠ADC，AC=DC；∵CE⊥AD，∴AE=DE=4，BE=4+10=14；∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°；由射影定理得：BC2=AB•BE，∴BC=6．故选A．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答．3．（2015•杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能得到一个直角三角形，且它的一个锐角等于30°，这样的图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：翻折变换（折叠问题）．分如图②，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明∠FBE=∠EBG（设为α），析：此为解题的关键性结论；再次证明∠ABD=∠FBE=α，求出α=30°；如图④，首先运用翻折变换的性质证明∠MAB=60°，求出∠BAC=60°，进而得到∠ACB=，30°，即可解决问题．解答：解：如图②，由题意得：AD∥CF，AC=BC∴DF=BF，EF为直角△BDE斜边上的中线，∴EF=BF，∠FBE=∠FEB；而EF∥BC，∴∠FEB=∠EBG，∠FBE=∠EBG（设为α）；由题意得：∠ABD=∠FBE=α，而∠ABG=90°，∴3α=90°，α=30°；如图④，由题意得：AN=AB=2AM，∠AMB=90°，∴∠ABM=30°，∠MAB=60°；由题意得：∠NAC=∠BAC==60°，∴∠ACB=90°﹣60°=30°，综上所述，有一个锐角为30°的直角三角形有两个，故选C．点评：该题以正方形为载体，主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．4．（2015•沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD，使BC与AD重合，折痕为EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点B，折痕BM交GH于点I．若AB=4cm，则GI的长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4，MN=MA（设为λ）；由勾股定理求得BQ=；在直角△MNP中，由勾股定理列出关于λ的方程，求出λ；运用△BGI∽△BAM，列出关于GI的比例式，即可解决问题．解解：如图，分别过点M、N作MP⊥GH、NQ⊥BC于点P、Q；答：则MP=AG=3，NQ=BG=1，GN=BQ，GP=MA；由题意得：BN=BA=4，MN=MA（设为λ），由勾股定理得：BQ=，∴PN=﹣λ；由勾股定理得：，解得：λ=；由题意得：GI∥AM，∴△BGI∽△BAM，∴，∴GI==，故选D．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识点来分析、判断、解答．7．（2014•路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：①∠ABC=30°；②弧AC的长与弧OC的长相等；③弦BC的长为4；④阴影部分的面积是，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得BE=CE，再根据折叠的性质得到ED=EO，则OE=OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC=30°，即∠ABC=30°；利用互余和等腰三角形的性质得∠BOD=∠COD=60°，则可判断△OCD为等边三角形，所以∠ODC=60°，然后根据弧长计算可计算出弧OC的长=π，弧AC的长=π，即弧AC的长与弧OC的长相等；在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE=OE=2，则有BC=4；由于OC=OB，则弓形OC的面积=弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式和S阴影部分=S扇形OAC计算得到④正确．解答：解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，∵OD⊥BC，∴BE=CE，∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，∴ED=EO，∴OE=OB，∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，所以①正确；∴∠BOD=∠COD=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°，∴弧OC的长==π，∵∠AOC=60°，∴弧AC的长==π，∴弧AC的长与弧OC的长相等，所以②正确；在Rt△OBC中，OE=2，∠OBE=30°，∴BE=OE=2，∴BC=2BE=4，所以③正确；∵OC=OB，∴弓形OC的面积=弓形OB的面积，∴S阴影部分=S扇形OAC==π，所以④正确．故选D．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．二．解答题（共1小题）9．（2014•绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA；（2）根据勾股定理即可求得．（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以，从而求得PQ，由PN∥EG，得出=，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．解答：（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，在△ADE与△CED中，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，∴∠ACD=∠CAE，∴AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF=．（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA∴又∵CE=3，AC==5设PE=x（0＜x＜3），则，即PQ=过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，∴=又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=，∴=，即PN=（3﹣x），设矩形PQMN的面积为S，则S=PQ•PN=﹣x2+4x=﹣+3（0＜x＜3）所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．。

2020年江苏省中考数学试题分类汇编(8)——图形的变化(含答案)

2020年江苏省中考数学试题分类（8）——图形的变化一．翻折变换（折叠问题）（共3小题） 1．（2020•无锡）如图，在四边形ABCD 中（AB ＞CD ），∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝3，BC =√3，把Rt △ABC 沿着AC 翻折得到Rt △AEC ，若tan ∠AED =√32，则线段DE 的长度（）A ．√63B ．√73C ．√32D ．2√752．（2020•南通）矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12．将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．（1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求AA AA的值；（2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．3．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为边CD 上的一点（与C 、D 不重合），四边形ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ，延长ME 交AB 于点P ，记四边形P ADE 的面积为S ．（1）若DE =√33，求S 的值；（2）设DE ＝x ，求S 关于x 的函数表达式．二．平移的性质（共1小题） 4．（2020•镇江）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于．三．旋转的性质（共1小题）5．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°四．旋转对称图形（共1小题）6．（2020•镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．五．中心对称图形（共1小题）7．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．六．关于原点对称的点的坐标（共1小题）8．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）七．坐标与图形变化-旋转（共1小题）9．（2020•南通）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限八．作图-旋转变换（共1小题） 10．（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．（1）点F 到直线CA 的距离是；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．九．几何变换综合题（共1小题） 11．（2020•淮安）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为； [思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AA AA的值；[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ． ①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求AA AA的取值范围．一十．平行线分线段成比例（共1小题） 12．（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为．一十一．相似三角形的判定（共1小题）13．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AA AA=A′A′A′A′．（1）当AAA′A′=AA A′A′=AAA′A′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C '．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当AAA′A′=AA A′A′=AAA′A′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．（2020•无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ =12，有下列结论： ①CP 与QD 可能相等；②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31√316；④四边形PCDQ 周长的最小值为3+√372．其中，正确结论的序号为（）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 15．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则A 1A 2的值等于．16．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AAAA的值为．17．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．（1）用含x的代数式表示AD的长；（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．18．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．19．（2020•无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D ＝30°，DC=√3．（1）求证：△BOC∽△BCD；（2）求△BCD的周长．一十三．相似形综合题（共2小题）20．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：AA AA=AA AA．【探究】如图②，在四边形ABCD 中，∠C ＝∠ADC ＝90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG ＝∠AEB ＝90°，且AA AA=AA AA，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH ＝GH ．【拓展】如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB 十∠DEC ＝180°，且AA AA=AA AA，过E 作EF 交AD于点F ，若∠EF A ＝∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG ＝CG ．21．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果AA AA=AA AA，那么称点B 为线段AC的黄金分割点．它们的比值为√5−12．（1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．一十四．解直角三角形的应用（共3小题） 22．（2020•南通）如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部5m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为 m ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）23．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得∠CAB ＝30°，∠ABC ＝45°，AC ＝8千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，结果精确到1千米）．24．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车⊙O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是⊙O 的切线，且与直线AB 交于点M ，MO ＝8m ．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）25．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE ＝α；（2）量得测角仪的高度CD ＝a ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB ＝b ．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A ．a +b tan αB ．a +b sin αC ．a +A AAAAD ．a +AAAAA26．（2020•镇江）如图，点E 与树AB 的根部点A 、建筑物CD 的底部点C 在一条直线上，AC ＝10m ．小明站在点E 处观测树顶B 的仰角为30°，他从点E 出发沿EC 方向前进6m 到点G 时，观测树顶B 的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD 的顶部D （H 、B 、D 三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m ，求建筑物CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73．）27．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）28．（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．29．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）30．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）一十七．简单几何体的三视图（共1小题）31．（2020•淮安）下列几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．一十八．简单组合体的三视图（共3小题）32．（2020•镇江）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．33．（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．34．（2020•苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．一十九．由三视图判断几何体（共1小题）35．（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥2020年江苏省中考数学试题分类（8）——图形的变化参考答案与试题解析一．翻折变换（折叠问题）（共3小题） 1．【解答】解：方法一：如图，延长ED 交AC 于点M ，过点M 作MN ⊥AE 于点N ，设MN =√3x ， ∵tan ∠AED =√32， ∴AA AA=√32， ∴NE ＝2x ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC =√3， ∴∠CAB ＝30°， ∴AC ＝2√3，由翻折可知： ∠EAC ＝30°，∴AM ＝2MN ＝2√3x ， ∴AN =√3MN ＝3x ， ∵AE ＝AB ＝3， ∴5x ＝3， ∴x =35，∴AN =95，MN =3√35，AM =6√35， ∵AC ＝2√3，∴CM ＝AC ﹣AM =4√35， ∵MN =3√35，NE ＝2x =65， ∴EM =√AA 2+AA 2=3√75，∵∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∴CD ∥AB ，∴∠DCA ＝30°，由翻折可知：∠ECA ＝∠BCA ＝60°， ∴∠ECD ＝30°，∴CD 是∠ECM 的角平分线， ∴A △AAA A △AAA =AAAA=AA AA，∴√34√35=3√75−AA ，解得，ED =√73．方法二：如图，过点D 作DM ⊥CE ，由折叠可知：∠AEC ＝∠B ＝90°， ∴AE ∥DM ，∴∠AED ＝∠EDM ， ∴tan ∠AED ＝tan ∠EDM =√32，∵∠ACB ＝60°，∠ECD ＝30°，设EM =√3m ，由折叠性质可知，EC ＝CB =√3， ∴CM =√3−√3m ，∴tan ∠ECD =AA AA =√33， ∴DM ＝（√3−√3m ）×√33=1﹣m ，∴tan ∠EDM =AA AA =√32，即√3A 1−A=√32解得，m =13，∴DM =23，EM =√33，在直角三角形EDM 中，DE 2＝DM 2+EM 2，解得，DE =√73．故选：B ． 2．【解答】解：（1）如图①中，取DE 的中点M ，连接PM ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝∠C ＝90°，由翻折可知，AO ＝OP ，AP ⊥DE ，∠2＝∠3，∠DAE ＝∠DPE ＝90°，在Rt △EPD 中，∵EM ＝MD ， ∴PM ＝EM ＝DM ， ∴∠3＝∠MPD ，∴∠1＝∠3+∠MPD ＝2∠3， ∵∠ADP ＝2∠3， ∴∠1＝∠ADP ， ∵AD ∥BC ，∴∠ADP ＝∠DPC ， ∴∠1＝∠DPC ，∵∠MOP ＝∠C ＝90°， ∴△POM ∽△DCP ， ∴AA AA =AAAA =812=23，∴AA AA=2AA 2AA=23．解法二：证明△ABP 和△DAE 相似，AA AA=AA AA=23．（2）如图②中，过点P 作GH ∥BC 交AB 于G ，交CD 于H ．则四边形AGHD 是矩形，设EG ＝x ，则BG ＝4﹣x∵∠A ＝∠EPD ＝90°，∠EGP ＝∠DHP ＝90°， ∴∠EPG +∠DPH ＝90°，∠DPH +∠PDH ＝90°， ∴∠EPG ＝∠PDH ， ∴△EGP ∽△PHD ， ∴AA AA=AA AA=AA AA=412=13，∴PH ＝3EG ＝3x ，DH ＝AG ＝4+x ，在Rt △PHD 中，∵PH 2+DH 2＝PD 2， ∴（3x ）2+（4+x ）2＝122，解得x =165（负值已经舍弃）， ∴BG ＝4−165=45，在Rt △EGP 中，GP =√AA 2−AA 2=125， ∵GH ∥BC ，∴△EGP ∽△EBF ， ∴AA AA=AA AA，∴1654=125AA，∴BF ＝3．3．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，DE =√33，∴AE =√AA 2+AA 2=2√33，∴tan ∠AED =AAAA =√3，∴∠AED ＝60°， ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝60°，∵四边形ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ， ∴∠AEC ＝∠AEM ， ∵∠PEC ＝∠DEM ，∴∠AEP ＝∠AED ＝60°， ∴△APE 为等边三角形， ∴S =12×（2√33+√33）×1=√32；（2）过E 作EF ⊥AB 于F ，由（1）可知，∠AEP ＝∠AED ＝∠P AE ， ∴AP ＝PE ，设AP ＝PE ＝a ，AF ＝ED ＝x ，则PF ＝a ﹣x ，EF ＝AD ＝1，在Rt △PEF 中，（a ﹣x ）2+1＝a 2，解得：a =A 2+12A ，∴S =12⋅A ×1+12×A 2+12A ×1=12A +A 2+14A =3A 2+14A ．二．平移的性质（共1小题） 4．【解答】解：取AC 的中点M ，A 1B 1的中点N ，连接PM ，MQ ，NQ ，PN ， ∵将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1， ∴B 1C 1＝BC ＝3，PN ＝5，∵点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点， ∴NQ =12B 1C 1=32， ∴5−32≤PQ ≤5+32，即72≤PQ ≤132， ∴PQ 的最小值等于72，故答案为：72．三．旋转的性质（共1小题） 5．【解答】解：∵AB '＝CB '， ∴∠C ＝∠CAB '，∴∠AB 'B ＝∠C +∠CAB '＝2∠C ，∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '， ∴∠C ＝∠C '，AB ＝AB '， ∴∠B ＝∠AB 'B ＝2∠C ，∵∠B +∠C +∠CAB ＝180°， ∴3∠C ＝180°﹣108°， ∴∠C ＝24°，∴∠C '＝∠C ＝24°，故选：C ．四．旋转对称图形（共1小题） 6．【解答】解：连接OA ，OE ，则这个图形至少旋转∠AOE 才能与原图象重合， ∠AOE =360°5=72°．故答案为：72．五．中心对称图形（共1小题） 7．【解答】解：A 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．六．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 8．【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：C ．七．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 9．【解答】解：如图，∵点P （4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q 所在的象限为第二象限．故选：B ．八．作图-旋转变换（共1小题） 10．【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ，在△ABC 和△CDF 中，{∠AAA =∠AAAAAAA =AAAA AA =AA， ∴△ABC ≌△CDF （AAS ）， ∴FD ＝BC ＝1，法二：∵∠ECF ＝∠FCD ＝30°，FD ⊥CD ，FE ⊥CE ， ∴DF ＝EF ， ∵EF ＝BC ＝1，∴DF ＝1．故答案为1；（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．S 阴＝S △EFC +S 扇形ACF ﹣S 扇形CEH ﹣S △AHC ＝S 扇形ACF ﹣S 扇形ECH =30⋅A ⋅22360−30⋅A ⋅(√3)2360=A12．故答案为A12．（3）如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H ．设OB ＝OE ＝x ．在Rt △ECF 中，∵EF ＝1，∠ECF ＝30°，EH ⊥CF ， ∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32，在Rt △BOC 中，OC =√AA 2+AA 2=√1+A 2， ∴OH ＝CH ﹣OC =32−√1+A 2，在Rt △EOH 中，则有x 2＝（√32）2+（32−√1+A 2）2，解得x =√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC =1+(√73)2=43，∵CF ＝2EF ＝2，∴OF ＝CF ﹣OC ＝2−43=23．九．几何变换综合题（共1小题）11．【解答】解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ， ∴MN 垂直平分线段BC ， ∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°， ∴MN ∥AC ， ∵CN ＝BN ， ∴AM ＝BM ．故答案为AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6， ∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ， ∴BM ＝CM ， ∴∠B ＝∠MCB ， ∴∠BCM ＝∠A ， ∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴AA AA =AAAA ，∴610=AA6，∴BM =185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10−185=325， ∴AA AA=325185=169．（3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ， ∵∠ACB ＝2∠A ， ∴∠BCM ＝∠A ， ∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴AA AA =AAAA =AA AA∴69=AA 6，∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5， ∴69=5AA ，∴AC =152．②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PF A ′＝∠MFC ，P A ＝P A ′， ∴△PF A ′∽△MFC ， ∴AA AA =AA′AA，∵CM ＝5， ∴AA AA =AA′5，∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC =154，AB ′=152−6=32， ∴32≤P A ′≤154， ∴310≤AA AA≤34．一十．平行线分线段成比例（共1小题） 12．【解答】解：如图，过点D 作DF ∥AE ，则AA AA =AA AA =23，∵AA AA=13，∴DF ＝2EC ， ∴DO ＝2OC ， ∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ， ∴S △ABO =23S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．一十一．相似三角形的判定（共1小题） 13．【解答】（1）证明：∵AA AA=A′A′A′A′，∴AA A′A′=AAA′A′， ∵AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′， ∴AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′，∴△ADC ∽△A ′D ′C '， ∴∠A ＝∠A ′， ∵AA A′A′=AAA′A′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：AAA′A′=AA A′A′=AAA′A′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AA AA=AA AA=AA AA，同理，A′A′A′A′=A′A′A′A′=A′A′A′A′，∵AA AA =A′A′A′A′， ∴AA AA =A′A′A′A′，∴AAA′A′=AAA′A′，同理，AA AA =A′A′A′A′，∴AA −AA AA =A′A′−A′A′A′A′，即AA AA=A′A′A′A′，∴AA A′A′=AAA′A′， ∵AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′， ∴AA A′A′=AA A′A′=AA A′A′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′， ∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′， ∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝180°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°， ∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′， ∵AA A′A′=AAA′A′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．【解答】解：①利用图象法可知PC ＞DQ ，或通过计算可知DQ 的最大值为√212，PC 的最小值为3√32，所以PC ＞DQ ，故①错误．②设AQ ＝x ，则BP ＝AB ﹣AQ ﹣PQ ＝3﹣x −12=52−x ， ∵∠A ＝∠B ＝60°， ∴当AA AA=AA AA 或AA AA=AA AA时，△ADQ 与△BPC 相似，即1252−A=A3或123=A52−A ，解得x ＝1或32或514，∴当AQ ＝1或32或514时，两三角形相似，故②正确③设AQ ＝x ，则四边形PCDQ 的面积＝S △ABC ﹣S △ADQ ﹣S △BCP =√34×32−12×x ×√32×12−12×3×（3﹣x −12）×√32=3√38+5√38x ，∵x 的最大值为3−12=52，∴x =52时，四边形PCDQ 的面积最大，最大值=31√316，故③正确，如图，作点D 关于AB 的对称点D ′，作D ′F ∥PQ ，使得D ′F ＝PQ ，连接CF 交AB 于点P ′，在射线P ′A 上取P ′Q ′＝PQ ，此时四边形P ′CDQ ′的周长最小．过点C 作CH ⊥D ′F 交D ′F 的延长线于H ，交AB 于J ．由题意，DD ′＝2AD •sin60°=√32，HJ =12DD ′=√34，CJ =3√32，FH =32−12−14=34， ∴CH ＝CJ +HJ =7√34，∴CF =√AA 2+AA 2=(34)2+(7√34)2=√392， ∴四边形P ′CDQ ′的周长的最小值＝3+√392，故④错误，故选：D ．15．【解答】解：∵AA AA =√22=√2， AAAA=√22+222=√2， AA AA =√22√22=√2，∴AA AA =AA AA =AA AA =√2， ∴△ABC ∽△DEF ，∴A 1A 2=AA AA=√22，故答案为：√22． 16．【解答】解：∵BC ∥DE ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AA AA =AA AA =AAAA ，即4AA =AA 4=AA AA ， ∴AB •DE ＝16，∵AB +DE ＝10， ∴AB ＝2，DE ＝8，∴AAAA=AA AA =84=2，故答案为：2． 17．【解答】解：（1）∵PD ∥AB ， ∴AAAA=AA AA ， ∵AC ＝3，BC ＝4，CP ＝x ， ∴A4=AA 3，∴CD =34A ， ∴AD ＝AC ﹣CD ＝3−34A ，即AD =−34A +3；（2）根据题意得，S =12AA ⋅AA =12A (−34A +3)=−38(A −2)2+32，∴当x ≥2时，S 随x 的增大而减小，∵0＜x ＜4，∴当S 随x 增大而减小时x 的取值范围为2≤x ＜4．18．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DAF ＝∠AEB ，∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°，∴△ABE ∽△DF A ；（2）∵E 是BC 的中点，BC ＝4，∴BE ＝2，∵AB ＝6，∴AE =√AA 2+AA 2=√62+22=2√10，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝4，∵△ABE ∽△DF A ，∴AA AA =AA AA ，∴AA =AA ⋅AA AA =2√10=65√10． 19．【解答】证明：（1）∵DC 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，∵∠D ＝30°，∴∠BOC ＝∠D +∠OCD ＝30°+90°＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ＝30°，∴∠DCB ＝120°＝∠BOC ，又∵∠B ＝∠B ＝30°，∴△BOC ∽△BCD ；（2）∵∠D ＝30°，DC =√3，∠OCD ＝90°，∴DC =√3OC =√3，DO ＝2OC ，∴OC ＝1＝OB ，DO ＝2，∵∠B ＝∠D ＝30°， ∴DC ＝BC =√3，∴△BCD 的周长＝CD +BC +DB =√3+√3+2+1＝3+2√3．一十三．相似形综合题（共2小题）20．【解答】【感知】证明：∵∠C ＝∠D ＝∠AEB ＝90°，∴∠BEC +∠AED ＝∠AED +∠EAD ＝90°，∴∠BEC ＝∠EAD ，∴Rt △AED ∽Rt △EBC ，∴AA AA =AA AA ．【探究】证明：如图1，过点G 作GM ⊥CD 于点M ，由（1）可知AA AA =AA AA ，∵AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ，∴BC ＝GM ，又∵∠C ＝∠GMH ＝90°，∠CHB ＝∠MHG ，∴△BCH ≌△GMH （AAS ），∴BH ＝GH ，【拓展】证明：如图2，在EG 上取点M ，使∠BME ＝∠AFE ，过点C 作CN ∥BM ，交EG 的延长线于点N ，则∠N ＝∠BMG ，∵∠EAF +∠AFE +∠AEF ＝∠AEF +∠AEB +∠BEM ＝180°，∠EF A ＝∠AEB ，∴∠EAF ＝∠BEM ，∴△AEF ∽△EBM ，∴AA AA =AA AA ，∵∠AEB +∠DEC ＝180°，∠EF A +∠DFE ＝180°，而∠EF A ＝∠AEB ，∴∠CED ＝∠EFD ，∵∠BMG +∠BME ＝180°，∴∠N ＝∠EFD ，∵∠EFD +∠EDF +∠FED ＝∠FED +∠DEC +∠CEN ＝180°，∴∠EDF ＝∠CEN ，∴△DEF ∽△ECN ，∴AA AA =AA AA ，又∵AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ，∴BM ＝CN ，又∵∠N ＝∠BMG ，∠BGM ＝∠CGN ，∴△BGM ≌△CGN （AAS ），∴BG ＝CG ．21．【解答】解：（1）∵点B 为线段AC 的黄金分割点，AC ＝20cm ，∴AB =√5−12×20＝（10√5−10）cm ．故答案为：（10√5−10）．（2）延长EA ，CG 交于点M ，∵四边形ABCD 为正方形，∴DM ∥BC ，∴∠EMC ＝∠BCG ，由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ，∴∠EMC ＝∠ECM ，∴EM ＝EC ，∵DE ＝10，DC ＝20，∴EC =√AA 2+AA 2=√102+202=10√5，∴EM ＝10√5，∴DM ＝10√5+10，∴tan ∠DMC =AA AA =10√5+10=√5+1=√5−12． ∴tan ∠BCG =√5−12，即AA AA =√5−12， ∵AB ＝BC ， ∴AAAA =√5−12， ∴G 是AB 的黄金分割点；（3）当BP ＝BC 时，满足题意．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°，∵BE ⊥CF ，∴∠ABE +∠CFB ＝90°，又∵∠BCF +∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＝∠ABE ，∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴BF ＝AE ，∵AD ∥CP ，∴△AEF ∽△BPF ， ∴AAAA=AA AA ，当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时， ∵AE ＞DE ， ∴AAAA =AA AA ，∵BF ＝AE ，AB ＝BC ，∴AA AA =AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ，∴BP ＝BC ．一十四．解直角三角形的应用（共3小题）22．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE ＝BC ＝5，DC ＝BE ＝1.5，在Rt △ADE 中，∵tan ∠ADE =AA AA ，∴AE ＝tan ∠ADE •DE ＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB ＝AE +BE ＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．23．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图所示．在Rt △ACD 中，AC ＝8（千米），∠CAD ＝30°，∠CDA ＝90°，∴CD ＝AC •sin ∠CAD ＝4（千米），AD ＝AC •cos ∠CAD ＝4√3（千米）≈6.8（千米）．在Rt △BCD 中，CD ＝4（千米），∠BDC ＝90°，∠CBD ＝45°，∴∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝4（千米），∴AB ＝AD +BD ＝6.8+4≈11（千米）．答：A 、B 两点间的距离约为11千米．24．【解答】解：（1）如图1中，连接OA ．由题意，筒车每秒旋转360°×56÷60＝5°，在Rt △ACO 中，cos ∠AOC =AA AA =2.23=1115． ∴∠AOC ＝43°，∴180−435=27.4（秒）．答：经过27.4秒时间，盛水筒P 首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，∴∠POC ＝∠AOC +∠AOP ＝43°+17°＝60°，过点P 作PD ⊥OC 于D ，在Rt △POD 中，OD ＝OP •cos60°＝3×12=1.5（m ），2.2﹣1.5＝0.7（m ），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ．（3）如图3中，∵点P 在⊙O 上，且MN 与⊙O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP ⊥MN ，在Rt △OPM 中，cos ∠POM =AA AA =38，∴∠POM ＝68°，在Rt △COM 中，cos ∠COM =AA AA =2.28=1140，∴∠COM ＝74°，∴∠POH ＝180°﹣∠POM ﹣∠COM ＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）25．【解答】解：过C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形BFCD 是矩形，∴BF ＝CD ＝a ，CF ＝BD ＝b ，∵∠ACF ＝α，∴tan α=AA AA =AA A ， ∴AF ＝b •tan α，∴AB ＝AF +BF ＝a +b tan α，故选：A ．26．【解答】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，则BN＝NH，设BN＝NH＝x，∵HF＝6，∠BFN＝30°，∴tan∠BFN=AAAA=AAAA+AA，即tan30°=AA+6，解得x＝8.19，根据题意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵MN＝AC＝10，则DM＝10+8.19＝18.19，∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.19+1.6≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度约为19.8m．27．【解答】解：如图，根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15m，BE＝21m，在Rt△ACE中，tan C＝tan23°=AAAA=15AA≈0.42，解得：CE≈35.7，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°=AAAA=21AA≈1.19，解得：DE≈17.6，∴CD＝CE﹣DE＝35.7﹣17.6＝18.1≈18m，答：两次观测期间龙舟前进了18m．一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）28．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，设AD＝x，则AC=√2x，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，∵∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=AA AA，∴A2−A=√3，解得x＝3−√3．经检验，x＝3−√3是原方程的根．∴AC=√2x=√2（3−√3）＝（3√2−√6）km．答：船C离观测站A的距离为（3√2−√6）km．29．【解答】解：过点P作PN⊥BC于N，如图，则四边形ABNP是矩形，∴PN＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=√22PM=√22×30＝15√2（m），∵M是AB的中点，∴PN＝AB＝2AM＝30√2m，在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，∴NQ=√33PN＝10√6m，PQ＝2NQ＝20√6≈49（m）；答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．30．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，在Rt△DCH中，∠C＝37°，∴CH=AA AAA37°，在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，∴BH=AA AAA45°，∵BC＝CH﹣BH，∴AAAAA37°−AAAAA45°=6，解得DH≈18km，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=AAAAA26°≈20km．答：轮船航行的距离AD约为20km．一十七．简单几何体的三视图（共1小题）31．【解答】解：正方体的主视图为正方形，球的主视图为圆，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：B．一十八．简单组合体的三视图（共3小题）32．【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，故选：A．33．【解答】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是．故选：A．34．【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．故选：C．一十九．由三视图判断几何体（共1小题）35．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．。

翻折问题总结

29．如图，有一张矩形纸条 ABCD ， AB = 5cm ， BC = 2cm ，点 M ， N 分别在边 AB ， CD 上，CN = 1cm ．现将四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B ，C 分别落在点 B′ ，C′ 上．当点 B′ 恰好落在边 CD 上时，线段 BM 的长为 cm ；在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中，若边 MB′ 与边 CD 交于点 E ，则点 E 相应运动的路径长为 cm ．
．
5
BF
22．如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 AB 边的点 M 处， EF 为折痕， AB = 1 ， AD = 2 ．设 AM 的长为 t ，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是．
第6页（共41页）
23．在矩形 ABCD 中，AB = 1 ，BC = a ，点 E 在边 BC 上，且 BE = 3 a ，连接 AE ，将 ∆ABE 5
32．如图是一张矩形纸片，点 E 在 AB 边上，把 ∆BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF ．若点 E ，F ，D 在同一条直线上，AE = 2 ，则 DF = ，BE = ．
33．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF ，将纸片展平，再一次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A ，已知 BC = 2 ，则线段 EG 的长度为．
合，中间空白部分是以 E 为直角顶点，腰长为 2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长 AD （单
位： cm) 为 ( )
A． 7 + 3 2
B． 7 + 4 2
C． 8 + 3 2
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D． 8 + 4 2

全等三角形中用到翻折法的题目

全等三角形中用到翻折法的题目全等三角形中用到翻折法的题目在数学中，全等三角形是一种非常重要的概念。

全等三角形指的是具有完全相同的形状和大小的三角形。

我们可以利用全等三角形的特性来解决各种有关长度、角度和面积的问题。

在解题过程中，翻折法作为一种常用的工具，可以帮助我们更加直观地理解和证明全等三角形。

翻折法是一种基于平面几何的方法，它通过将一个三角形折叠或翻转来与另一个三角形进行比较。

这种方法非常直观，易于理解。

下面我们将通过几个具体的题目来说明全等三角形中翻折法的应用。

1. 题目：已知一个三角形ABC，边长分别为AB=5cm，BC=4cm，AC=7cm。

另外一个三角形DEF与三角形ABC全等，且边长分别为DE=5cm，EF=4cm，FD=7cm。

我们需要证明两个三角形全等。

解析：我们可以用翻折法来判断两个三角形是否全等。

将三角形ABC的顶点A与FD的顶点F对齐，按照BC的方向将整个三角形翻转。

我们发现，翻折后的三角形ABC与三角形DEF完全重合，即三个顶点、三条边、三个内角完全一致。

根据全等三角形的定义，我们可以得出结论：三角形ABC和三角形DEF全等。

2. 题目：已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=8cm，且角BAC=70°。

另外一个三角形DEF与三角形ABC全等，我们需要求解DEF的底边DF的长度。

解析：根据翻折法，我们可以将等腰三角形ABC的顶点A与底边DF 的顶点D对齐，将BC与EF的方向重合。

我们发现，翻折后的三角形ABC与三角形DEF重合，且顶点A与底边DF刚好对应。

由于已知等腰三角形ABC的底边长度为8cm，翻折后的三角形DEF的底边DF 也为8cm。

通过以上两个例题，我们可以看到翻折法在解决全等三角形题目中的重要作用。

它可以帮助我们直观地进行形状的对比，进而得出两个三角形是否全等的结论。

总结回顾：- 全等三角形是具有完全相同形状和大小的三角形。

- 翻折法是一种基于平面几何的方法，可以帮助我们判断全等三角形。

中考翻折问题复习资料解析

翻折问题解答题综合1．△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．（1）将△先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△1B1；（2）若点M（x，y）在△上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是．2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，△中，∠90°，，求证：∠30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为、的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A 落在上的点A′处，折痕交于点G，请运用（1）中的结论求∠的度数和的长．（3）若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当6，求的长．3．如图，矩形中，6，8，点E是射线上的一个动点，把△沿折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线上时，′=；（2）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长；（3）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．4．如图，矩形纸片，将△和△分别沿和折叠（＞），点A和点B都与点E重合；再将△沿折叠，点C落在线段上点F处．（1）判断△，△，△和△中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果1，∠，求的长．5．如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作分、∥，交于点G连接．（1）求证：四边形为菱形；（2）若8，4，求的值．6．如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且，；如图2，若将△、△、△、△分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处．（1）求证：四边形是矩形；（2）求菱形纸片的面积和边长．7．（1）操作发现：如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处．请写出、、之间的关系；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长．8．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，联结、．（1）求证：∠∠；（2）求证：；（3）当1时，求的长．9．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕的两端点分别在边，上（含端点），且6，10，设．（1）当的最小值等于时，才能使点B落在上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求的长；（3）当3时，点F离点B有多远？10．如图，三角形纸片中，8，6，5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，求△的周长．11．【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？【实践操作】如图．第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到∥∥．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段，，得到．【问题解决】（1）求∠的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠的度数以外）．（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．12．已知矩形中，3，4，点E、F分别在边、上，连接B、E，D、F．分别把△和△沿，折叠成如图所示位置．（1）若得到四边形是菱形，求的长．（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线上，求的长．13．如图1，矩形纸片的边长4，2．同学小明现将该矩形纸片沿折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）：（直接填写=、＞、＜）（2）判断△的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：①四边形的面积为42②整个着色部分的面积为5.52运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．14．操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形对折，得折痕；（2）把A折向，得△；（3）沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到△．探究：△的形状，并说明理由．15．1）如图1，将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，若∠40°，求∠1+∠2的度数；（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中△纸片的三个内角都进行同样的折叠．①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．16．如图，长方形纸片，点E、F分别在边、上，连接，将∠对折，点B落在直线上的B′处，得到折痕，将点A落在直线上的点A′处，得到折痕．（1）若∠′=110°，则∠°，∠°，∠∠°．（2）若∠′°，则（1）中∠∠的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠′．17．如图△中，∠60°，∠78°，点D在边上，点E在边上，且∥，将△沿折叠，点A对应点为F点．（1）若点A落在边上（如图1），求证：△是等边三角形；（2）若点A落在三角形外（如图2），且∥，求△各内角的度数．18．如图1，四边形中，，3，2，∠∠90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与所成的角设为θ，将四边形的直角∠沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）若折叠后点D恰为的中点（如图2），则θ=；（2）若θ=45°，四边形的直角∠沿直线l折叠后，点B落在点四边形的边上的E处（如图3），求a的值．19．在△中，∠90°，6，8，D、E分别是斜边和直角边上的点，把△沿着直线折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求的长；（2）如图（2），如果点B′和落在的中点上，求的长．20．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．（1）连接，求证：四边形是菱形；（2）若8，16，求线段和的长．21．如图，矩形中，8，6，动点P从点A出发，以每秒1的速度沿线段向点B运动，连接，把∠A沿折叠，使点A 落在点A′处．求出当△′为直角三角形时，点P运动的时间．22．在矩形中，，点G，H分别在边，上，且，点E为边上的一个动点，连接，把△沿直线翻折得到△．如图1，当时，（1）填空：∠度；（2）若∥，求∠的度数，并求此时a的最小值；23．如图1，△中，沿∠的平分线1折叠，点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠的平分线1折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠是△的好角．小丽展示了确定∠是△的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形顶角∠的平分线1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠的平分线1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系．（2）若经过n次折叠∠是△的好角，则∠B与∠C的等量关系．（3）如果一个三角形的最小角是4°，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．答：．24．在矩形纸片中，6，8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形是菱形；（2）求折痕的长．25．如图1，是一张矩形纸片，1，5．在矩形的边上取一点M，在上取一点N，将纸片沿折叠，使与交于点K，得到△，交于O．（1）若∠1=80°，求∠的度数；（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠的度数；（3）△的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．26．七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，回答下列问题：（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，厘米；在图④中，厘米．（2）如果信纸折成的长方形纸条宽为2，为了保证能折成图④形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？（3）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，假设长方形纸条的宽为x厘米，试求在开始折叠时（图①）起点M与点A的距离（用含x的代数式表示）．（温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）27．将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据．（2）猜想图③中重叠部分图形△的形状（按边），验证你的猜想．（3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△的形状（按边），验证你的猜想．28．如图，长方形纸片中，10，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上．（1）如图（1），当折痕的另一端F在边上且5时，求的长；（2）如图（2），当折痕的另一端F在边上且13时，求的长．29．矩形沿折叠，使点B落在边上的B′处，再沿B′G折叠四边形，使B′D边与B′F重合，且B′D′过点F．已知4，1（1）试探索与B′G的位置关系，并说明理由；（2）若四边形′是菱形，求∠的度数；（3）若点D′与点F重合，求此时图形重叠部分的面积．30．（1）操作发现：如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处，请写出、、之间的关系（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的点F处，若3，直接写出的长．翻折问题解答题综合参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•安徽模拟）△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．（1）将△先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△1B1；（2）若点M（x，y）在△上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是（3，﹣y）．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再向右平移3个单位找到对应点位置，然后再连接即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变．【解答】解：（1）如图所示：（2）点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位得到点M1的坐标是（3，﹣y）．故答案为：（3，﹣y）．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换和轴对称变换，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，△中，∠90°，，求证：∠30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为、的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A 落在上的点A′处，折痕交于点G，请运用（1）中的结论求∠的度数和的长．（3）若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当6，求的长．【分析】（1）△中，根据═=，即可证明∠30°；（2）求出∠′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠的度数，在△A'中求出A'F，得出A'E，在△A'中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出的长度．（3）先判断出，得出∠30°，∠60°，从而求出的长度，根据翻折变换的性质可得出∠∠30°，在△中求出，继而得出，同理可求出，再由，即可得出答案．【解答】（1）证明：△中，∠90°，，∵，∴∠30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为、的中点，∴×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在上的点A′处，∴A′2，∴=，∴∠′30°，可得∠′=90°﹣30°=60°，∵A沿折叠落在A′处，∴∠∠A′，′G，∴∠15°，∵A′2，1，∴A′，∴′﹣A′2﹣，∵∠′∠′180°﹣∠′90°，∴∠′90°﹣∠′90°﹣30°=60°，∴∠′=90°﹣∠′90°﹣60°=30°，则A′2′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴，∴，∵∠90°，∴∠30°，∵6，在△中，30°，则•30°=6×=2，∵∠∠∠30°，∴30°=，∴2，∴2，同理2，∴4．【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．3．（2016•贵阳模拟）如图，矩形中，6，8，点E是射线上的一个动点，把△沿折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线上时，′=4；（2）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长；（3）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．【分析】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出′﹣′﹣求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出′′，则△′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．【解答】解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，∴′﹣′﹣10﹣6=4；故答案为：4；（2）如图2，连接′，∵点C′在的垂直平分线上，∴点C′在的垂直平分线上，∴′′，则△′C是等边三角形，设，易得2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：2，即的长为2；（3）作的垂直平分线，交于点M，交于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时，如图3，∵点C′在的垂直平分线上，∴4，∵′=6，由勾股定理得：′=2，∴′=6﹣2，设，则C′，4﹣y，故′22′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）22，解得：9﹣3，即9﹣3；②当点C′在矩形外部时，如图4，∵点C′在的垂直平分线上，∴4，∵′=6，由勾股定理得：′=2，∴′=6+2，设，则C′，﹣4故′22′E2，即（6+2）2+（z﹣4）22，解得：9+3，即9+3，综上所述：的长为9±3．【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．4．（2015•南充）如图，矩形纸片，将△和△分别沿和折叠（＞），点A和点B都与点E重合；再将△沿折叠，点C 落在线段上点F处．（1）判断△，△，△和△中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果1，∠，求的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠∠∠90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠∠∠，所以△∽△∽△；（2）先证明，然后根据∠，设3x，5x，表示出、、，再根据△∽△，列出比例式解方程求解即可．【解答】解：（1）△∽△∽△，∵四边形是矩形，∴∠∠∠90°，根据折叠的性质可知：∠∠，∠∠，∴∠∠∠∠90°，∵∠∠90°，∴∠∠，∴△∽△，同理：△∽△，根据相似的传递性，△∽△；（2）∵∥，∴∠∠，根据折叠的性质可知：∠∠，∴∠∠，∴，∵，，∴﹣﹣，∵∠，∴设3x，5x，∴，5x﹣1，∵△∽△，∴，∴，解得：（舍）或2，∴6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．5．（2015•漳州）如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作分、∥，交于点G连接．（1）求证：四边形为菱形；（2）若8，4，求的值．【分析】（1）根据折叠的性质，易知，，∠1=∠2，由∥，可得∠1=∠3，易证，故由四边相等证明四边形为菱形；（2）在△中，用勾股定理列方程即可、，从而求出的值．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：，，∠1=∠2，∵∥，∴∠2=∠3，∴，∴，∴四边形为菱形；（2）解：设，根据折叠的性质，，8﹣x，在△中，222，即42+（8﹣x）22，解得：5，8﹣3，∴=．【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．6．（2015•江西校级模拟）如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且，；如图2，若将△、△、△、△分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处．（1）求证：四边形是矩形；（2）求菱形纸片的面积和边长．【分析】（1）由对折可知∠∠，∠∠，利用等角关系可求出∠90°，同理可求出∠∠90°．即可得出四边形是矩形．（2）由对折可知S菱形2S矩形即可求出的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接，得．利用勾股定理就可得出边长．【解答】（1）证明：由对折可知∠∠，∠∠，∴2（∠∠）=180°，即∠∠∠90°．同理可得，∠∠90°．∴四边形是矩形．（2）解：由对折可知：△≌△，△≌△，△≌△，△≌△．∴S菱形2S矩形．又∵，∴A为的中点．同理有C为的中点．即，且∥，如图2，连接，∴四边形为平行四边形，得．∴．【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2015•平顶山二模）（1）操作发现：如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处．请写出、、之间的关系；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长．【分析】（1）如图①，设，由∠2∠90°易得△为等腰直角三角形，则，，再根据折叠的性质得，∠∠90°，又可判断△为等腰直角三角形，所以，则，（+1）t，•（+1）（2+）t，从而得到；（2）如图②，根据折叠的性质得，∠∠C，，而∠2∠B，则∠2∠B，根据三角形外角性质得∠∠∠，所以∠∠，则，所以，于是得到；（3）作⊥于H，如图③，设，利用（1）的结论得（2+）x，根据等腰三角形的性质由，∠120°得到∠∠30°，且，在△中，利用30度的余弦得30°，即（2+2），然后解方程求出x即可．【解答】解：（1）如图①，设，∵∠2∠90°，∴∠45°，∠45°，∴△为等腰直角三角形，∴，，∵折叠△，使得点C恰好落在上的点E处，∴，∠∠90°，∴△为等腰直角三角形，∴，∴，∴（+1）t，∴•（+1）（2+）t，∴；故答案为；（2）．理由如下：如图②，∵折叠△，使得点C恰好落在上的点E处，∴，∠∠C，，∵∠2∠B，∴∠2∠B，而∠∠∠，∴∠∠，∴，∴，∴；（3）作⊥于H，如图③，设，由（1）的结论得（2+）x，∵，∠120°，∴∠∠30°，∵⊥，∴，在△中，30°，∴（2+2），解得，即的长为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．8．（2015•潍坊校级一模）如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，联结、．（1）求证：∠∠；（2）求证：；（3）当1时，求的长．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠∠，进而利用平行线的性质得出∠∠即可得出答案；（2）首先证明△≌△，进而得出△≌△，即可得出；（3）设，则4﹣x．在△中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【解答】（1）证明：∵，∴∠∠，又∵∠∠90°，∴∠﹣∠∠﹣∠．即∠∠．又∵四边形为正方形∴∥，∴∠∠．∴∠∠．（2）证明：过B作⊥，垂足为Q，由（1）知，∠∠，在△与△中，，∴△≌△（），∴，．又∵，∴．又∵∠∠90°，∴△和△是直角三角形，在△与△中，∴△≌△（），∴，∴．（3）解：由（2）知，1，∴3．设，则4﹣x．在△中，222，即32+（4﹣x）2=（1）2，解得2.4，∴3.4．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．9．（2015•江西样卷）如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕的两端点分别在边，上（含端点），且6，10，设．（1）当的最小值等于6时，才能使点B落在上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求的长；（3）当3时，点F离点B有多远？【分析】（1）当点G与点A重合时，的值最小，即可求出的最小值等于6；（2）在△中运用勾股定理求出，再利用﹣即可求出答案；（3）作⊥于点H，设，利用勾股定理可先求出，可得，利用△∽△，由=可求出，即得出的值．【解答】解：（1）点G与点A重合时，如图1所示，四边形是正方形，此时的值最小，即6．当的最小值等于6时，才能使B点落在上一点E处；故答案为：6．（2）如图2所示，∵在△中，10，6，∴8，∴﹣10﹣8=2，（3）如图3所示，作⊥于点H，3，设，则6﹣y，根据勾股定理得：（6﹣y）22+9，解得：，∴，又△∽△，∴=，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．（2015秋•苍溪县期末）如图，三角形纸片中，8，6，5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，求△的周长．【分析】根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．【解答】解：∵沿折叠点C落在边上的点E处，∴，，∵8，6，∴﹣﹣8﹣6=2，∴△的周长，，，=5+2，=7．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．11．（2015春•无棣县期末）【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？【实践操作】如图．第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到∥∥．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段，，得到．【问题解决】（1）求∠的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠的度数以外）．（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片，使与重合得到点P为的中点，即，再根据矩形性质得∠90°，∠90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得，再根据折叠性质由折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕得到，∠1=∠2，∠∠90°，利用等要三角形的性质得∠2=∠4，利用平行线的性质由∥得到∠4=∠3，则∠2=∠3，易得∠1=∠2=∠3=∠30°；（2）利用互余得到∠60°，根据折叠性质易得∠120°；（3）把30度的角对折即可．【解答】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，∴点P为的中点，即，∵四边形为矩形，∴∠90°，∠90°，∴，∵折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕，∴，∠1=∠2，∠∠90°，∴∠2=∠4，∵∥，∴∠4=∠3，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠30°，即∠30°；（2）通过以上折纸操作，还得到了∠60°，∠120°等；（3）折叠纸片，使点A落在上，则可得到15°的角．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．12．（2015春•大同期末）已知矩形中，3，4，点E、F分别在边、上，连接B、E，D、F．分别把△和△沿，折叠成如图所示位置．（1）若得到四边形是菱形，求的长．（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线上，求的长．【分析】（1）由矩形的性质得出∠90°，设，则（4﹣x），由菱形的性质得出4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由勾股定理求出，由折叠的性质得出A′，∠′∠90°，A′3，求出A′D，设′，则（4﹣x），在△′D中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵四边形是矩形，∴∠90°，设，则（4﹣x），∵四边形是菱形，∴4﹣x，由勾股定理得：222，即322=（4﹣x）2，解得：，∴；（2）根据勾股定理得：5，由折叠的性质得：A′，∠′∠90°，A′3，∴∠′90°，A′5﹣3=2（），设′，则（4﹣x），在△′D中，A′E2′D22，即x2+22=（4﹣x）2，解得：，∴．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2015春•廊坊期末）如图1，矩形纸片的边长4，2．同学小明现将该矩形纸片沿折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）=：（直接填写=、＞、＜）（2）判断△的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：①四边形的面积为42②整个着色部分的面积为5.52运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．【分析】（1）根据翻折的性质解答；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠∠，再根据翻折的性质可得∠∠，从而得到∠∠，根据等角对等边可得，从而得解；（3）①根据翻折的性质可得，然后求出，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；②设，表示出，然后在△中，利用勾股定理列式求出，根据三角形的面积公式求出，然后计算即可得解．【解答】解：（1）由翻折的性质，；（2）△是等腰三角形．∵矩形，∴∥，∴∠∠，由翻折的性质，∠∠，∴∠∠，∴，故△为等腰三角形；（3）①由翻折的性质，，∵，∴，∴S四边形（）••×4×2×=42；②设，则4﹣x，∵∠90°，∴x2+22=（4﹣x）2，解得1.5，∴×1.5×2=1.5，S着色部分=1.5+4=5.5；综上所述，小明的结论正确．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．14．（2015春•娄底期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形对折，得折痕；（2）把A折向，得△；（3）沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到△．探究：△的形状，并说明理由．【分析】由（1）得出M、N分别是、的中点，由（2）得出2，再由（3）得出2，证出，因此∠1=∠2，由角的关系求出∠1=60°，即可证出△为等边三角形．【解答】解：△是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是、的中点，∴在△中，P为的中点，是斜边上的中线，∴，即2，在△中，A是的中点，∴，即2，∴，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴△为等边三角形．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．15．（2015秋•兴化市校级期末）（1）如图1，将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，若∠40°，求∠1+∠2的度数；（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中△纸片的三个内角都进行同样的折叠．①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=180°；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．【分析】（1）根据将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，若∠40°，可以求得∠∠∠A′∠A′，进而可以求得∠1+∠2的度数；（2）先写出数量关系，然后说明理由，将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，可以得到折叠后的各个角的关系，从而可以解答本题；（3）根据第二问的推导，可以进行这一问结论的推导，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵∠40°，∴∠∠∠A′∠A′140°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠∠）﹣（∠A′∠A′）=80°，即∠1+∠2的度数是80°；（2）∠1+∠2=2∠A，理由：∵将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，∴∠∠∠A′∠A′，∠∠A′，∴∠1+∠2=360°﹣（∠∠）﹣（∠A′∠A′）=360°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠A′）=360°﹣180°+∠A﹣180°+∠A′=2∠A，即∠1+∠2=2∠A；（3）①由题意可得，∠α+∠β+∠γ=360°﹣180°=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠2∠2∠2（∠∠∠C）=2×180°=360°，故答案为：180°，360°；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立；理由：∵∠1+∠2=2∠A，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠C，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠2∠2∠C=2（∠∠∠C）=360°，即如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立．【点评】本题考查翻折问题、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．（2015秋•海珠区期末）如图，长方形纸片，点E、F分别在边、上，连接，将∠对折，点B落在直线上的B′处，得到折痕，将点A落在直线上的点A′处，得到折痕．（1）若∠′=110°，则∠55°，∠35°，∠∠90°．（2）若∠′°，则（1）中∠∠的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠′．【分析】（1）根据折叠的性质可求出∠和∠的度数，然后求出两角之和；（2）不变．根据折叠的性质可得∠∠B'，根据∠′°，可得∠∠B'∠′°，然后求出∠，最后求和进行判断；（3）根据折叠的性质可得∠B'∠B'，∠B'∠，进而得出∠B'∠B'∠，求出其度数，在△中，可知∠与∠互余，然后求出∠的度数，最后根据平角的性质和折叠的性质求解．【解答】解：（1）由折叠的性质可得，∠∠B'，∠∠A'，∵∠′=110°，∴∠'=180°﹣110°=70°，∴∠∠B'∠′=55°，∠∠A'∠'=35°．∴∠∠55°+35°=90°；（2）不变．由折叠的性质可得：∠∠B'，∠∠A'，∵∠′°，∴∠'=180°﹣m°，可得∠∠B'∠′°，∠∠A'∠'=（180°﹣m°），∴∠∠°+（180°﹣m°）=90°，。