数值计算方法期末模拟试题二

，取

，

，取初始值，

近似解的梯形公式是

，则＝＝

＝

＝

10、设，当时，必有分解式，其中

L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。

二、计算题（共60 分，每题15分）

1、设

在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满

（1）试求

足H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

2、

已知的满足，试问如何利用构造一

个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？

3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

三、证明题

1、设

（1）写出解

的Newton迭代格式

（2）证明此迭代格式是线性收敛的

2、设R=I－CA，如果，证明：

（1）A、C都是非奇异的矩阵

（2）

参考答案：

一、填空题

1、2.3150

2、

3、

4、1.5

5、

6、

7、

8、收敛

9、O（h）

10、

二、计算题

1、1、（1）

（2）

，可得

2、由

因故

故，k=0,1,…收敛。

3、，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间

上积分，得

，记步长为h,对积分

用Simpson求积公式得

所以得数值解公式：

三、证明题

1、证明：（1）因，故，由Newton 迭代公式：

n=0,1,…

得，n=0,1,…

（2）因迭代函数，而，

又，则

故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵

（2）(2)故则有

（2.1）

因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C

又RA-1=A-1–C，故

由（这里用到了教材98页引理的结论）

移项得

(2.2)

结合（2.1）、(2.2)两式，得