3.15圆幂定理与托勒密定理

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圆幂定理

【知识点学习】

圆幂定理:

(1)相交弦定理:圆的两条相交弦中,每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等。 (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的

两条线段的积相等。

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的

两条线段的比例中项。

三个定理统称为圆幂定理。

P

PD

PC

PB

PA⋅

=

⋅PD

PC

PB

PA⋅

=

⋅PC

PB

PA⋅

=

2

【例题与练习】

1.已知:如图,⊙O的弦AD、BC互相垂直,垂足为E,

5

3

sin=

∠BAD,

3

1

cos=

∠CAD,2

=

AC,求EC和AD。

A

D

O

C

B

E

2. 如图,已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点,PO 与⊙O 交于点C ,cm AB PA 6==,

cm PO 12=,求⊙O 的半径。

P

3. 如图,已知⊙O 与⊙'

O 相交于A 、B 两点,点P 在BA 的延长线上,⊙O 的割线PCD 交⊙O

于点D C 、,PE 与⊙'O 相切于点E ,4=PC ,8=CD ,求线段PE 的长。

B

A

C P D

O O'E

4. 如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于D C 、两点,AB 为外公切线,B A 、为切点,CD 的延长线与

AB 相交于点M ,12=AB ,9=CD ,求线段MD 的长。

5. 如图,P 为⊙O 外的一点,过点P 作⊙O 的两条割线,分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ,且AB

是⊙O 的直径,已知4==OA PA ,CD AC =. (1)求CD 的长; (2)求B ∠cos 的值.

C

A

O B P

D

6. 已知:如图,在ABC ∆中,︒=∠90C ,BE 是角平分线,BE DE ⊥交AB 于D ,

⊙O 是BDE ∆的外接圆,若6=AD ,26=AE ,求DE 的长.

E

O

A

D B

C

7. 已知,△ABC 外接于⊙O ,且BC AB =,BC AO ⊥,垂足为点D , (1) 求证:△ABC 为等边三角形;

(2) 点E 为BC 上的一动点(不于C B 、重合),连结AE 并延长交⊙O 于点P ,已知1=AB ,

x AE =,y PE =,求y 关于x 的解析式并求其定义域;

(3) 在(2)的条件下,设α=∠PAC ,β=∠EPC ,当y 取何值时,1sin sin 2

2

=+βα.

【练习】:

1、 如图,BC 是半圆⊙O 的直径,BC EF ⊥于点F ,5=FC

BF

已知点A 在CE 的延长线上,AB 与半圆交于D ,且8=AB ,2=AE ,求AD 的长。

D

E

O F B

C

A

2. 如图,⊙O 与正三角形三边交于6个点,2=AG ,13=GF ,1=FC ,7=HJ ,求DE . `

3. 如图,PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点,PC 是任意一条割线,且交⊙O 于点E 、C ,交AB

于点D ,证明:BD AD

BC

AC =2

2.

4. 如图,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P ,CD AC ⊥于C ,CD BD ⊥于D ,AB PQ ⊥于

Q ,求证:BD AC PQ ⋅=2。

5. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径,PA 是过A 点的直线,B PAC ∠=∠.

(1) 求证:PA 是⊙O 的切线;

(2) 如果弦CD 交AB 于E ,CD 的延长线交PA 于F ,8=AC ,5:6:=ED CE ,

3:2:=EB AE ,求AB 的长和ECB ∠的正切值。

E F

B

A

O

C

D P

6. 如图,在ABC ∆中,︒=∠90BAC .BM 平分ABC ∠交AC 于M ,以A 为圆心,AM 为半

径作⊙A 交BM 于N ,AN 的延长线交BC 于D ,直线AB 交⊙A 于P ,K 两点,作BC MT ⊥于T .

(1)求证:MT AK =; (2)求证:BC AD ⊥;

(3)当BD AK =时,求证:

BM

AC

BP BN =

圆的内接四边形与托勒密定理

【知识点学习】

1、 圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,称多边形为该圆的内接多边形;圆为该

多边形的外接圆。特别的,如果四边形内接于一个圆,称四边形为该圆的内接四边形。

2、 圆内接四边形的性质:圆内接四边形的每组对角互补,并且任一个外角等于它的内对角。如右图,

︒=∠+∠180C DAB ,C DAE ∠=∠.

3、 四点共圆的判定:

① 四个点到定点的距离等于定长; ② 四边形对角和等于︒180;

③ 四边形的一个外角等于内对角; ④ 同底同侧的张角相等。(证明见习题3)

4、 托勒密定理:圆内接四边形两组对边乘积之和,等于两条对角线的乘积。

【证明】如图,已知:四边形ABCD 内接于圆,求证:BD AC AD BC CD AB ⋅=⋅+⋅。

P

O

A

D

C

B

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