3.15圆幂定理与托勒密定理

圆幂定理
【知识点学习】
圆幂定理：
（1）相交弦定理：圆的两条相交弦中，每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等。

（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的
两条线段的积相等。

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的
两条线段的比例中项。

三个定理统称为圆幂定理。

P
PD
PC
PB
PA⋅
=
⋅PD
PC
PB
PA⋅
=
⋅PC
PB
PA⋅
=
2
【例题与练习】
1.已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，
5
3
sin=
∠BAD，
3
1
cos=
∠CAD，2
=
AC，求EC和AD。

A
D
O
C
B
E
2. 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，PO 与⊙O 交于点C ，cm AB PA 6==，
cm PO 12=，求⊙O 的半径。

P
3. 如图，已知⊙O 与⊙'
O 相交于A 、B 两点，点P 在BA 的延长线上，⊙O 的割线PCD 交⊙O
于点D C 、，PE 与⊙'O 相切于点E ，4=PC ，8=CD ，求线段PE 的长。

B
A
C P D
O O'E
4. 如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于D C 、两点，AB 为外公切线，B A 、为切点，CD 的延长线与
AB 相交于点M ，12=AB ，9=CD ，求线段MD 的长。

5. 如图，P 为⊙O 外的一点，过点P 作⊙O 的两条割线，分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB
是⊙O 的直径，已知4==OA PA ，CD AC =． （1）求CD 的长； （2）求B ∠cos 的值．
C
A
O B P
D
6. 已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BE 是角平分线，BE DE ⊥交AB 于D ，
⊙O 是BDE ∆的外接圆，若6=AD ，26=AE ，求DE 的长．
E
O
A
D B
C
7. 已知，△ABC 外接于⊙O ，且BC AB =，BC AO ⊥，垂足为点D ， （1） 求证：△ABC 为等边三角形；
（2） 点E 为BC 上的一动点（不于C B 、重合），连结AE 并延长交⊙O 于点P ，已知1=AB ，
x AE =，y PE =，求y 关于x 的解析式并求其定义域；
（3） 在（2）的条件下，设α=∠PAC ，β=∠EPC ，当y 取何值时，1sin sin 2
2
=+βα.
【练习】：
1、 如图，BC 是半圆⊙O 的直径，BC EF ⊥于点F ，5=FC
BF
．
已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且8=AB ，2=AE ，求AD 的长。

D
E
O F B
C
A
2. 如图，⊙O 与正三角形三边交于6个点，2=AG ,13=GF ,1=FC ,7=HJ ,求DE . `
3. 如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ,交AB
于点D ，证明：BD AD
BC
AC =2
2.
4. 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，CD AC ⊥于C ，CD BD ⊥于D ，AB PQ ⊥于
Q ，求证：BD AC PQ ⋅=2。

5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直线，B PAC ∠=∠.
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ,8=AC ，5:6:=ED CE ，
3:2:=EB AE ，求AB 的长和ECB ∠的正切值。

E F
B
A
O
C
D P
6. 如图，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ．BM 平分ABC ∠交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半
径作⊙A 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交⊙A 于P ，K 两点，作BC MT ⊥于T ．
（1）求证：MT AK =； （2）求证：BC AD ⊥；
（3）当BD AK =时，求证：
BM
AC
BP BN =
．
圆的内接四边形与托勒密定理
【知识点学习】
1、 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，称多边形为该圆的内接多边形；圆为该
多边形的外接圆。

特别的，如果四边形内接于一个圆，称四边形为该圆的内接四边形。

2、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的每组对角互补，并且任一个外角等于它的内对角。

如右图，
︒=∠+∠180C DAB ，C DAE ∠=∠.
3、 四点共圆的判定：
① 四个点到定点的距离等于定长； ② 四边形对角和等于︒180；
③ 四边形的一个外角等于内对角； ④ 同底同侧的张角相等。

（证明见习题3）
4、 托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。

【证明】如图，已知：四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC AD BC CD AB ⋅=⋅+⋅。

P
O
A
D
C
B
1． 已知：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于B A 、两点，过点A 的直线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D C 、，过
点B 的直线分别交⊙1O 、⊙2O 于点E 、F ， 求证：DF CE //。

D
2． 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，G 是⌒
AC 上任意一点，DC AG 、的
延长线交于点
F ， 求证：AGD FGC ∠=∠。

F
3． 如图：已知A ，D 都在BC 边上方，且D A ∠=∠， 求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。

A
C
B
D
4． CD AB 、为⊙O 中两条平行的弦，过B 点的切线交CD 的延长线于G ，弦PB PA 、分别交CD 于
F E 、.求证：
FG
FD
CF EF =。

E
F
G
A
O
B
D
C
P
5． 如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知：10=BC ，
5
3
cos =∠BCD ，︒=∠30BCE ，则线段DE 的长是（ ）
、A 89 、
B 37 、
C 334+ 、
D 343+
C
B
6． 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，
连结AO ，如果4=AB ，=AO 26，那么AC 的长等于（ ）
12、A 16、B 34、C 8、D
O
E
F
B
A
C
7． 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （D B 、位于AC 的两侧），N M 、分别是
BD AC 、中点，且N M 、不重合。

（1） 线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；
（2） 若︒=∠30BAC ，︒=∠45CAD ，4=AC ，求MN 的长。

B
A
C
8． 如图，已知PA 切⊙O 于点A ，︒=∠30APO ，PO AH ⊥于点H ，任作割线PBC 交⊙O 于点
C B 、，计算
BC
HB
HC -的值．
O
C
A
B
P
【练习】
1. 如图，在ABC ∆中，︒=∠60C ，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O
的半径为32．
（1）求证：CDE ∆∽CBA ∆； （2）求DE 的长．
2. 如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧 ⌒
BC 上任一点（不与C B 、重合），
求证：PC BP PA +=。

D 3. 证明等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积。

4. 设A 、B 、C 是圆O 上三点，弦BC 的中垂线交AB 于D 点，自A 、C 作圆的两切线相交于E ，
证明：DE ∥BC
.
E
5. 如图，已知ABC ∆，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为 ⌒
CF 的中点，连接BE
交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且BE AD ⊥，垂足为点H . （1）求证：AB 是半圆O 的切线； （2）若3=AB ，4=BC ，求BE 的长.
6. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC BP ⊥，过点B 的切线分别与过点A 、点C 的切线交于
N M 、，联结NP MP 、，求证：BP 平分MPN ∠。

N
M。