3.15圆幂定理与托勒密定理
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圆幂定理
【知识点学习】
圆幂定理:
(1)相交弦定理:圆的两条相交弦中,每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等。 (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的
两条线段的积相等。
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的
两条线段的比例中项。
三个定理统称为圆幂定理。
P
PD
PC
PB
PA⋅
=
⋅PD
PC
PB
PA⋅
=
⋅PC
PB
PA⋅
=
2
【例题与练习】
1.已知:如图,⊙O的弦AD、BC互相垂直,垂足为E,
5
3
sin=
∠BAD,
3
1
cos=
∠CAD,2
=
AC,求EC和AD。
A
D
O
C
B
E
2. 如图,已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点,PO 与⊙O 交于点C ,cm AB PA 6==,
cm PO 12=,求⊙O 的半径。
P
3. 如图,已知⊙O 与⊙'
O 相交于A 、B 两点,点P 在BA 的延长线上,⊙O 的割线PCD 交⊙O
于点D C 、,PE 与⊙'O 相切于点E ,4=PC ,8=CD ,求线段PE 的长。
B
A
C P D
O O'E
4. 如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于D C 、两点,AB 为外公切线,B A 、为切点,CD 的延长线与
AB 相交于点M ,12=AB ,9=CD ,求线段MD 的长。
5. 如图,P 为⊙O 外的一点,过点P 作⊙O 的两条割线,分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ,且AB
是⊙O 的直径,已知4==OA PA ,CD AC =. (1)求CD 的长; (2)求B ∠cos 的值.
C
A
O B P
D
6. 已知:如图,在ABC ∆中,︒=∠90C ,BE 是角平分线,BE DE ⊥交AB 于D ,
⊙O 是BDE ∆的外接圆,若6=AD ,26=AE ,求DE 的长.
E
O
A
D B
C
7. 已知,△ABC 外接于⊙O ,且BC AB =,BC AO ⊥,垂足为点D , (1) 求证:△ABC 为等边三角形;
(2) 点E 为BC 上的一动点(不于C B 、重合),连结AE 并延长交⊙O 于点P ,已知1=AB ,
x AE =,y PE =,求y 关于x 的解析式并求其定义域;
(3) 在(2)的条件下,设α=∠PAC ,β=∠EPC ,当y 取何值时,1sin sin 2
2
=+βα.
【练习】:
1、 如图,BC 是半圆⊙O 的直径,BC EF ⊥于点F ,5=FC
BF
.
已知点A 在CE 的延长线上,AB 与半圆交于D ,且8=AB ,2=AE ,求AD 的长。
D
E
O F B
C
A
2. 如图,⊙O 与正三角形三边交于6个点,2=AG ,13=GF ,1=FC ,7=HJ ,求DE . `
3. 如图,PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点,PC 是任意一条割线,且交⊙O 于点E 、C ,交AB
于点D ,证明:BD AD
BC
AC =2
2.
4. 如图,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P ,CD AC ⊥于C ,CD BD ⊥于D ,AB PQ ⊥于
Q ,求证:BD AC PQ ⋅=2。
5. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径,PA 是过A 点的直线,B PAC ∠=∠.
(1) 求证:PA 是⊙O 的切线;
(2) 如果弦CD 交AB 于E ,CD 的延长线交PA 于F ,8=AC ,5:6:=ED CE ,
3:2:=EB AE ,求AB 的长和ECB ∠的正切值。
E F
B
A
O
C
D P
6. 如图,在ABC ∆中,︒=∠90BAC .BM 平分ABC ∠交AC 于M ,以A 为圆心,AM 为半
径作⊙A 交BM 于N ,AN 的延长线交BC 于D ,直线AB 交⊙A 于P ,K 两点,作BC MT ⊥于T .
(1)求证:MT AK =; (2)求证:BC AD ⊥;
(3)当BD AK =时,求证:
BM
AC
BP BN =
.
圆的内接四边形与托勒密定理
【知识点学习】
1、 圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,称多边形为该圆的内接多边形;圆为该
多边形的外接圆。特别的,如果四边形内接于一个圆,称四边形为该圆的内接四边形。
2、 圆内接四边形的性质:圆内接四边形的每组对角互补,并且任一个外角等于它的内对角。如右图,
︒=∠+∠180C DAB ,C DAE ∠=∠.
3、 四点共圆的判定:
① 四个点到定点的距离等于定长; ② 四边形对角和等于︒180;
③ 四边形的一个外角等于内对角; ④ 同底同侧的张角相等。(证明见习题3)
4、 托勒密定理:圆内接四边形两组对边乘积之和,等于两条对角线的乘积。
【证明】如图,已知:四边形ABCD 内接于圆,求证:BD AC AD BC CD AB ⋅=⋅+⋅。
P
O
A
D
C
B