3.15圆幂定理与托勒密定理

圆幂定理

【知识点学习】

圆幂定理：

（1）相交弦定理：圆的两条相交弦中，每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等。 （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的

两条线段的积相等。

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的

两条线段的比例中项。

三个定理统称为圆幂定理。

P

PD

PC

PB

PA⋅

=

⋅PD

PC

PB

PA⋅

=

⋅PC

PB

PA⋅

=

2

【例题与练习】

1.已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，

5

3

sin=

∠BAD，

3

1

cos=

∠CAD，2

=

AC，求EC和AD。

A

D

O

C

B

E

2. 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，PO 与⊙O 交于点C ，cm AB PA 6==，

cm PO 12=，求⊙O 的半径。

P

3. 如图，已知⊙O 与⊙'

O 相交于A 、B 两点，点P 在BA 的延长线上，⊙O 的割线PCD 交⊙O

于点D C 、，PE 与⊙'O 相切于点E ，4=PC ，8=CD ，求线段PE 的长。

B

A

C P D

O O'E

4. 如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于D C 、两点，AB 为外公切线，B A 、为切点，CD 的延长线与

AB 相交于点M ，12=AB ，9=CD ，求线段MD 的长。

5. 如图，P 为⊙O 外的一点，过点P 作⊙O 的两条割线，分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB

是⊙O 的直径，已知4==OA PA ，CD AC =． （1）求CD 的长； （2）求B ∠cos 的值．

C

A

O B P

D

6. 已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BE 是角平分线，BE DE ⊥交AB 于D ，

⊙O 是BDE ∆的外接圆，若6=AD ，26=AE ，求DE 的长．

E

O

A

D B

C

7. 已知，△ABC 外接于⊙O ，且BC AB =，BC AO ⊥，垂足为点D ， （1） 求证：△ABC 为等边三角形；

（2） 点E 为BC 上的一动点（不于C B 、重合），连结AE 并延长交⊙O 于点P ，已知1=AB ，

x AE =，y PE =，求y 关于x 的解析式并求其定义域；

（3） 在（2）的条件下，设α=∠PAC ，β=∠EPC ，当y 取何值时，1sin sin 2

2

=+βα.

【练习】：

1、 如图，BC 是半圆⊙O 的直径，BC EF ⊥于点F ，5=FC

BF

．

已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且8=AB ，2=AE ，求AD 的长。

D

E

O F B

C

A

2. 如图，⊙O 与正三角形三边交于6个点，2=AG ,13=GF ,1=FC ,7=HJ ,求DE . `

3. 如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ,交AB

于点D ，证明：BD AD

BC

AC =2

2.

4. 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，CD AC ⊥于C ，CD BD ⊥于D ，AB PQ ⊥于

Q ，求证：BD AC PQ ⋅=2。

5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直线，B PAC ∠=∠.

(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；

(2) 如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ,8=AC ，5:6:=ED CE ，

3:2:=EB AE ，求AB 的长和ECB ∠的正切值。

E F

B

A

O

C

D P

6. 如图，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ．BM 平分ABC ∠交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半

径作⊙A 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交⊙A 于P ，K 两点，作BC MT ⊥于T ．

（1）求证：MT AK =； （2）求证：BC AD ⊥；

（3）当BD AK =时，求证：

BM

AC

BP BN =

．

圆的内接四边形与托勒密定理

【知识点学习】

1、 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，称多边形为该圆的内接多边形；圆为该

多边形的外接圆。特别的，如果四边形内接于一个圆，称四边形为该圆的内接四边形。

2、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的每组对角互补，并且任一个外角等于它的内对角。如右图，

︒=∠+∠180C DAB ，C DAE ∠=∠.

3、 四点共圆的判定：

① 四个点到定点的距离等于定长； ② 四边形对角和等于︒180；

③ 四边形的一个外角等于内对角； ④ 同底同侧的张角相等。（证明见习题3）

4、 托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。

【证明】如图，已知：四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC AD BC CD AB ⋅=⋅+⋅。

P

O

A

D

C

B