导数易错题
导数易错
【难点突破】难点1利用导数的几何意义1．已知抛物线y=-x2+2,过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的面积最小，求l的方程。
26x+3y-8=0.2．由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a≠0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。
如此继续下去，得到点列{P n(x n,y n)}求x1;求x n与x n+1满足的关系式；若a>0，试判断x n与a的大小关系并说明理由(3)由（2）得x n+1=-a x n23 21难点 2利用导数探讨函数的单调性1．已知m ∈R,研究函数f(x)=xem x m mx 63)1(32++++的单调区间∴f(x)在（-1，-m3）上是减函数。
②当0<m<3时，x 1<x 2.在区间（-∞，-m 3）∪（-1，+∞）上g(x)<0,即f’(x)<0.3．已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性。
（1）求C的值；（2）在函数f(x)的图像上是否存在一点M（x0,y0）使得f(x)在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
4．已知函数f(x)=331x+21（b-1）x2+cx(b,c为常数)（1）若f(x)在x∈(-∞,x1)及x∈（x2+∞）上单调递增，且在x∈（x1,x2）上单调递减，又满足0<x2-x1<1.求证b2<2(b+2c).(2)在（1）的条件下，若t>x1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。
难点3利用导数求函数的极值和最值1．已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上奇函数，当x=-1时，f(x)取得极值2。
高考数学复习资料函数导数部分易错题
2009年高考数学复习资料—函数、导数部分易错题精选一、选择题：1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）A. 1B. 0C. 1或0D. 1或22、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ）A. [0，1] ，[1，2]B. [2，3] ，[3，4]C. [-2，-1] ，[1，2]D. [-1，2] ，[3，4] 3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x+=的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4、将函数()xx f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ ） A. ()11log 2+-=x y B. ()11log 2--=x y C. ()11log 2++=x y D. ()11log 2-+=x y5、已知函数()()x x f a-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调减区间是（ ）A. (]0,∞-B. ()0,1-C. [)+∞,0D. [)1,0 6、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ ）A. ⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ B. ()ππ2, C. ⎪⎭⎫⎝⎛25,23ππ D. ()ππ3,2 7、设()x x x f sin =，1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（ ）A. 1x ＞2xB. 1x +2x ＞0C. 1x ＜2xD. 21x ＞22x 8、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ ）A. α＜βB. α＞βC. α=βD. 无法确定α与β的大小9、若α、β是关于x 的方程()053222=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根，则22βα+的最大值等于（ ）A. 6B. 950C. 18D. 19 10、若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是（ ）A. 在()+∞∞-,上是增函数B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 11、已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是（ ）A. ()1,3--B. ()()3,11,1 -C. ()()+∞-,30,3D. ()()+∞-,21,312、不等式()32log 2+-x x a ≤1-在R x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)+∞,2B. (]2,1C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D. ⎥⎦⎤⎝⎛21,013、方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A. 0<a ≤1B. a ＜1C.a ≤1D. 0<a ≤1或a < 0 14、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1-=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是（A ） （B ）（C ） （D ）15、函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈（0，3）时()xx f 2=，则当x ∈（6-，3-）时，()x f =（ ）A. 62+xB. 62+-xC. 62-xD. 62--x16、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=348123的图象关于原点中心对称，则()x fA. 在[]34,34-上为增函数B. 在[]34,34-上为减函数C. 在[)+∞,34上为增函数，在(]34,-∞-上为减函数D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数17、ααcos sin +=t 且αα33cos sin +＜0，则t 的取值范围是（ ） A. [)0,2- B. []2,2- C. ()(]2,10,1 - D. ()()+∞-,30,318、二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B. [)+∞,2C. (]2,0D. [2,4] 19、已知函数()d cx bx ax x f +++=23则 （ ）A. ()0,∞-∈bB. ()1,0∈bC. ()2,1∈bD. ()+∞∈,2b20、设(){}12,2++==bx x y y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}φ==P M b a S ,，则S 的面积是 （ ）A. 1B. πC. 4D. 4π二、填空题：21、函数xy 1=（x ＞-4）的值域是____________________. 22、函数52--+=x x y 的值域是________________________.23、函数x x y -+=3的值域是_________________________.24、若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x =_____________________. 25、设定义在区间[]222,22---a a上的函数()x x x f --=33是奇函数，则实数a 的值是_______________________. 26、函数()12-=x x f （x <-1）的反函数是_______________________. 27、函数()2px p x x f +-=在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是____________________.28、已知集合{}a x ax x x A -≤-=2，集合(){}21log 12≤+≤=x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________________________.29、已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()x f 是单调递增的，则不等式()1+x f ＞()x f 21-的解集是_________________________.30、已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是________________________________31、函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是______________________.32、函数()coxx xcoxx f ++=sin 1sin 的值域是______________________.33、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f的最小值是____________________________.34、已知a ＞1，m ＞p ＞0，若方程m x x a =+log 的解是p ，则方程m a x x=+的解是____________________.35、已知函数()()3122--+=x a ax x f （a ≠0）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为1，则实数 a 的值是____________________.36、对于任意实数x 、y ，定义运算x *y 为：x *y =cxy by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，则m =______________________.37、已知函数()()()[]111lg 22+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是________________________. 38、若函数())4(log -+=xax x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是________________.39、若曲线()21a x y --=与2+=x y 有且只有一个公共点P ，O 为坐标原点，则OP 的取值范围是________________________.40、若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是____________________.答案：1 C 、 2 C 、3 A 、4 B 、5 D 、6 B 、7 D 、8 A 、9 C 、10 C 、11 B 、12 C 、13 C 、14 C 、15 B 、 16 B 、17 A 、18 D 、19 A 、20 B 、21 ()1,0,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭、22[]7,7-、 23、 24 10、 25 2、 26)0y x =>271p ≥、 28[]1,3、 29()(),02,-∞+∞、 301,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭、 31 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦32121,11,22⎡⎤⎛⎤---- ⎢⎥⎥ ⎣⎦⎝⎦、 33 2、 34 m p - 、35 34或32--、 36 4、37 53a >或1a ≤- 、 38 04a <≤或1a ≠、 39 2⎤⎦ 、40 2。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题测试提优卷
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题测试提优卷一、导数及其应用多选题1．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<，02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．6．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【答案】BC【分析】由承托函数的定义依次判断即可.【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞，∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()x h x e ax =-，则()xh x e a '=-，若0a =，由题意知，结论成立，若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数，∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -，∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤，∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，故C 正确； 对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误.故选：BC .【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+< 【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x ='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。
导数试题中的易错易误点归类剖析
ʏ贵州省遵义市第四中学 刘德文长期以来,高中数学中导数板块的内容都是同学们学习的痛点㊂虽说运用导数解决问题是一种十分优美的方式,但是不少同学在实际解题过程中会出现因为对导数的工具性认识不足,理解不够透彻,掉进命题人设置的各种各样的陷阱里面,进而造成在考试中出现失分的现象㊂针对上述情况,本文从以下八个容易出现错误的题型入手,分析常见错解情况,再剖析同学们出错的原因,最后给出正确解答,从而帮助大家一起厘清概念,精准理解,高效解题㊂易错点一㊁对导数定义理解不清例1 已知函数f (x )=14x 4-23x 3+6,则l i m Δx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=( )㊂A.-1 B .0 C .-12D .2错解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx =f '(1)=-1㊂故选A ㊂错因分析:该题致错的主要原因在于同学们未能准确理解函数在某点处的导数的含义,实际上,最原始的导数表达式为f '(x )=l i m Δx ң0Δy Δx =l i mΔx ң0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy 必须对应一致㊂正解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=l i mΔx ң012㊃f (1+Δx )-f (1)(1+Δx )-1=12f '(1)=-12㊂故选C ㊂易错点二㊁忽略函数的定义域例2 函数f (x )=x +4x-3l n x 的单调递减区间是( )㊂A.(-1,4) B .(0,1)C .(4,+ɕ) D .(0,4)错解:对f (x )求导得f '(x )=1-4x2-3x =(x +1)(x -4)x 2,令f '(x )<0,解得-1<x <4,所以函数f (x )的单调递减区间是(-1,4)㊂故选A ㊂错因分析:求函数的单调递增区间时,由f'(x )>0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递增区间;求函数的单调递减区间时,由f '(x )<0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递减区间㊂同学们要牢记函数单调区间的求法,一定要定义域优先㊂正解:前面同错解得-1<x <4㊂又因为函数f (x )的定义域是(0,+ɕ),所以函数f (x )的单调递减区间是(0,4)㊂故选D ㊂易错点三㊁误以为导数不存在,切线就不存在例3 函数y =3x 2的图像在点(0,0)处的切线方程为㊂错解1:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处没有切线㊂错解2:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线为y =0㊂错因分析:错解1主要是未能厘清导数与切线㊁切线斜率之间的关系,误以为导数不存在,切线就不存在;错解2考生混淆切线斜率为0与斜率不存在㊂实际上,大家要准确理解斜率不存在,可以理解为该切线为x =x 0,结合过原点(0,0),其实切线方程就是x 42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.=0㊂正解:由已知得y'=23x-13,易知函数在x=0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线的斜率不存在,即函数y=3x2的图像在点(0,0)处的切线方程为x=0㊂易错点四㊁对曲线切线的定义理解有误例4已知曲线C:y=f(x)=13x3+ 43,曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y= 4x-4㊂试问:该切线与曲线C是否还有其他公共点若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由㊂错解:由于直线y=4x-4与曲线C相切,因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点㊂错因分析:对于圆㊁椭圆等封闭的几何图形来说, 切线与曲线有唯一公共点 ,就是说直线与这些曲线的交点只有切点,没有其他点,但对一般曲线来说是不一定成立的,同学们可以画出三次函数的草图试一试㊂正解:联立y=4x-4,y=13x3+43,消去y整理得x3-12x+16=0,即(x-2)(x2+2x-8) =0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4,所以交点的坐标为(2,4),(-4, -20),所以该切线与曲线的公共点除了切点还有点(-4,-20)㊂易错点五㊁混淆单调区间为D与在区间D上单调例5已知函数f(x)=l n x+x2+a x 的单调递减区间为12,1,则()㊂A.aɪ(-ɕ,-3]B.a=3C.a=-3D.aɪ(-ɕ,3]错解:因为函数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+aɤ0在12,1上恒成立,即aɤ-1x+2x m i n,易知y=1x+2x在12,22上单调递减,在22,1上单调递增,故y=1x+2x的最大值在端点处取得,计算可知最大值为f(1)=3,所以aɤ-3㊂故选A㊂错因分析:未能准确理解 函数的单调区间为D 与 函数在区间D上单调 两者的区别㊂准确来说,函数在区间D上单调,函数的单调区间不一定就是D㊂错解求出的结果实为函数在区间12,1上单调递减时的答案㊂若函数f(x)=l n x+x2+a x存在单调递减区间,则存在实数x,使得f'(x)=1x+2x+a<0,即a<-1x+2xm a x=-22㊂正解:因为数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+a=0的两个根为12和1㊂代入方程,解得a=-3㊂故选C㊂易错点六㊁误以为导数为0的点一定取得极值例6已知函数f(x)=x3+3m x2+n x+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=()㊂A.4B.11C.4或11D.3或9错解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+6m x+n,则f'(-1)=0,f(-1)=0,即3-6m+n=0,-1+3m-n+m2=0,解得m=1,n=3,或m=2,n=9,所以m+n=4或11㊂故选C㊂错因分析:若函数在x=x0可导,则f'(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件,而非充要条件㊂如y=x3在x=0处的导数值为0,但0不是该函数的极值点㊂因此,需要将求出的m㊁n的值代入导函数中检验㊂正解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+52解题篇易错题归类剖析高考数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.6m x +n ,则f'(-1)=0,f (-1)=0,即3-6m +n =0,-1+3m -n +m 2=0, 解得m =1,n =3,或m =2,n =9㊂当m =1,n =3时,f '(x )=3x 2+6x +3=3(x +1)2ȡ0,函数f (x )在R 上单调递增,与函数f (x )在x =-1处取得极值0矛盾,不合题意,舍去;当m =2,n =9时,f'(x )=3x 2+12x +9=3(x +1)(x +3),函数在x =-1处取得极小值0,符合题意,所以m +n =11㊂易错点七㊁混淆极值与最值例7 求函数f (x )=x 3-2x 2+x 在[-3,3]上的最值㊂错解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f13=427,所以函数f (x )的最大值为427,最小值为0㊂错因分析:函数并不一定在极值点处取最值,最值是针对函数的整个区间而言,是整体性质,而极值是局部性质,是两个不同的概念㊂对于闭区间而言,需要将极值与端点处的函数值进行比较,才能得出函数的最值㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f 13=427,f (-3)=-48,f (3)=12,所以函数f (x )的最大值为12,最小值为-48㊂易错点八㊁对极值理解有偏差例8 已知函数f (x )=exx+k (l n x -x ),若x =1是函数f (x )的唯一极值点,则实数k 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,e ] B .(-ɕ,e)C .(-e ,+ɕ) D .[-e ,+ɕ)错解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x2+k 1x -1=x -1x e xx-k㊂因为f (x )有唯一极值点x =1,所以f '(x )=0有唯一根x =1,所以exx-k =0无解,即y =k 与g (x )=e xx 无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g'(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂故选B ㊂错因分析:首先,f (x )有唯一极值点x =1并不能说明f '(x )=0有唯一根x =1,因为可能会存在两侧导数不变号的根,此时的根并不是极值点;其次,若x =1是函数f (x )的唯一极值点,并不能推出exx-k =0无解,因为可能还会存在exx-k =0有解且解为x =1的情况,所以需要进行分类讨论;最后,并没有检验在x =1的两侧导数是否变号㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x 2+k1x-1=x -1x e xx -k㊂(1)若方程exx-k =0有解,则方程的解为x =1,解得k =e ,此时f '(x )=x -1x ㊃exx-e㊂当x ɪ(0,1)时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以x =1是函数f (x )的极小值点㊂(2)若方程exx-k =0无解,则y =k 与g (x )=exx无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g '(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂综上所述,k ɤe㊂故选A ㊂(责任编辑 王福华)62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
易错点04导数及其应用(解析版)
易错点04 导数及其应用易错题【01】不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.易错题【02】对极值概念理解不准确致对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值,而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑f ′(x 0)＝0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．易错题【03】研究含有参数的函数单调性分类标准有误若函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x −−><>或0求解此类问题,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.易错题【04】不会利用隐零点研究函数的性质函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x '=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于ax ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.01（2022新高考1卷T7）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线,则( )A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<【警示】不会把切线条数有2条,转化为关于a 的方程有2个实根. 【答案】D【问诊】设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于(),e t P t ,对函数e x y =求导得e xy '=,所以曲线02已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a（2022全国1卷T12）设则0<<；综上b a2．（2021届山西长治市高三月考）已知函数m n+=（）03（2021新高考2卷T22（1.（2021届河南高三月考）已知函数04（2021届福建省龙岩高三月考）已知函数()f x '在)01m =+,,()f x f '>]1,0上单调递增()01f =,1.（2021届内蒙古海拉尔高三期中）已知函数又1x =是()f x 的极值点,则()110f a '=+=,解得1a =−,此时()111x f x x x −'=−+=：当01x <<时,()0f x ¢<；当1x >时,()0f x ¢>；∴易知：1x =是()f x 的极小值点,且()f x 的单调递增区间为()1,+?,单调递减区间为()0,1；（2）若1a =有()ln f x x x =+,设()ln 1x h x x x xe =+−+,()0,x ∈+∞； ∴()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+−+=+− ⎪⎝⎭； 令()1xt x e x=−,()0,x ∈+∞,则()210x t x e x '=−−<对任意()0,x ∈+∞恒成立,∴()1xt x e x=−在()0,+?上单调递减；又1202t e ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭,()110t e =−<,∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00010x t x e x =−=,即001x e x =,则001ln ln x e x =,即00ln x x −=；因此,当00x x <<时()0t x >,即()0h x '>,()h x 单调递增； 当0x x >时,()0t x <,即()0h x '<,()h x 单调递减；故()()00000ln 10110xh x h x x x x e ≤=+−+=−+=,即得证.2.已知0a >,函数sin 1()ln a x f x x x x=−+. （1）证明：()f x 在(0,)π上有唯一的极值点； （2）当2a =时,求()f x 在(0,)+∞上的零点个数. 【解析】（1）证明：()2cos sin 1x x ax x a x f x −⋅+−'=,记()cos 1g x x ax x asinx =−+−,0()x π∈，, 则()sin 1g x ax x '=+.由0a >得()0g x '>在(0,)π上恒成立,从而()g x 在(0,)π上为增函数, 并且(0)10g =−<,()10g a πππ=+−>.根据零点存在性定理可知,存在唯一的()00x π∈，使得()00g x =, 并且当()00x x ∈，时,()0<g x ,当()0x x π∈，时,()0>g x . 由于()2()x g f xx '=,因此当()00x x ∈，时,()0f x '<, 当()0x x π∈，时,()0f x '>,当0x x =时,()0f x '=, 所以0x 是()f x 在(0,)π上唯一的极值点. （2）当2a =时,()22cos 2sin 1x x x x x f x −+−'=,并且根据（1）知存在1(0)x π∈，使得()f x 在1(0)x ，上为减函数,在1()x π，上为增函数.由于(1)2sin12cos10f '=−>,从而1(01)x ∈，. 由于(1)12sin10f =−<,1()ln 0f πππ=+>,根据零点存在性定理可知,()f x 在(1)π，上存在唯一的零点,在()11x ，上无零点； 当x π>时,2sin 111()ln ln ln 0x f x x x x x x ππ=−+≥−>−>, 因此函数()f x 在()π+∞，上无零点； 当()10x x ∈，时,记sin y x x =−,则cos 10y x '=−<, 所以sin y x x =−在()10x ，上为减函数,所以sin 0x x −<, 即sin 0x x >>对()10x x ∈，恒成立. 因此当()10x x ∈，时有2sin 11()ln ln 2x f x x x x x x=−+>+−, 因此()2240f e e −>−>,结合1()0f x <知函数()f x 在21()e x −，上存在唯一的零点,在()20e−，上无零点.综上所述,函数()f x 在(0)+∞，上共有2个零点.。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题自检题学能测试试题
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题自检题学能测试试题一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh2x xa ax e ef x a aa-+⎛⎫=⋅=⋅⎪⎝⎭，其中a为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x，则0xa⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.6．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在x e =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．(23fff π<<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x e >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到3))f f π>，再结合作差比较，得到)2)f f π>，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x+=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>， 令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x e =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】 A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题测试题
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题测试题一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q ，则||PQ =2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解．m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．3．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．4．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得1x =2x =当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：()f x 极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.5．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.6．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.7．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1112x ⎛⎫-∈- ⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x xy e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x xx x x e---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得115,1x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误， 又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
导数经典易错题集锦
导数 经典易错题集锦一、填空题1、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线)0(1:31>+=a ax y C 与曲线25:222=+y x C 的一个公共点。
若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是__________(白皮P140)2、设)(),(x g x f 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且0)3(=g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是______________ (白皮P140)3、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导函数)(x f '满足0)0(>'f ，若对任意实数x ，有0)(≥x f ，则)0()1(f f '的最小值为__________(白皮P144) 4、已知定义在R 上的函数).3()(2-=ax x x f 若函数]2,0[),()((∈'+=x x f x f x g 在0=x 处取得最大值，则实数a 的取值范围为_______________(白皮P146)5、（13湖北）已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________.（白皮P147）6、已知函数2()cos f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则满足0()()3f x f π>的0x 的取值范围为 ． 周周练二十一（A ）7、已知函数2()x f x e x x =+-，若对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|f x f x k -≤恒成立，则k 的取值范围为 ． 周周练二十一（A ）二、解答题1、设函数2)1()(ax e x x f x --=（1）若21=a ，求)(x f 的单调区间（2）若当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围 (白皮P142)2、若存在过点（1,0）的直线与曲线3x y =和94152-+=x ax y 都相切，求实数a 的值。
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若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是__________(白皮P140)2、设)(),(x g x f 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且0)3(=g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是______________ (白皮P140)3、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导函数)(x f '满足0)0(>'f ，若对任意实数x ，有0)(≥x f ，则)0()1(f f '的最小值为__________(白皮P144)4、已知定义在R 上的函数).3()(2-=ax x x f 若函数]2,0[),()((∈'+=x x f x f x g 在0=x 处取得最大值，则实数a 的取值范围为_______________(白皮P146)5、（13湖北）已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________.（白皮P147）6、已知函数2()cos f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则满足0()()3f x f π>的0x 的取值范围为 ． 周周练二十一（A ）7、已知函数2()x f x e x x =+-，若对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|f x f x k -≤恒成立，则k 的取值范围为 ． 周周练二十一（A ）二、解答题1、设函数2)1()(ax e x x f x --= （1）若21=a ，求)(x f 的单调区间（2）若当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围 (白皮P142) 2、若存在过点（1,0）的直线与曲线3x y =和94152-+=x ax y 都相切，求实数a 的值。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题学能测试试题
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题学能测试试题一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e -=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假.【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，3344332()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即342e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 24xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()021,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,,...44x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()3442g x e π≤≤341e a π-<，即4a e >()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae π-=，即4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．3．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩； 即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③； 对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）4．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.6．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.7．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x =+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10nn a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确；B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10nna a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。
导数重难点、易错点题型梳理
导数重难点、易错点题型归纳题型1 导数的定义例题1 已知直线l 经过()1,0-，()0,1两点，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()22lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解析】直线l 经过()1,0-，()0,1两点，∴:1l y x =+直线与曲线()y f x =切于点()2,3A ，可得曲线在2x =处的导数为：21f所以()()()22l 2im1x f xf x f ∆→+∆-∆=='，选C巩固1 设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．2【解析】()y f x = 在点()()1,1f 处的切线的斜率为()()()112'1lim 12x f f x f x∆→--∆==-∆ ,选A巩固2 已知函数()f x 在0x x =处可导，若000(3)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '=（ ）A ．1B ．13C ．3D ．0【解析】由已知可得()()()()()00000033lim 3lim3'13x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-===∆∆所以()01'3f x =．选B 题型2 导数的几何意义例题2 曲线xy xe =在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，则ab 的值为（ ）A ．12e-B ．2e-C ．2eD ．12e【解析】曲线xy xe =，则xxy e xe '=+，则12x y e ='=∵曲线在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，∴12a b e -=-，∴12a b e=，选D 巩固3 己知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．()1,3B ．()1,3--C ．()2,3--D ．()2,3-【解析】222y x x =+-的导数为22y x '=+，设(),M m n ，则在点M 的切线斜率为22m + 由于在点M 处的切线与x 轴平行，则220m +=，解得1m =- 所以1223n =--=-，即有M ()1,3--，选B巩固4 如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为（ ） A ．(1,0)B ．(0,1)-C ．(0,1)D ．(1,0)-【解析】设点P(a ,b )，则4b a a =-，由题得3()41f x x =-' 因为曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，所以3413a -=，所以a =1 所以b =4110-=,所以点P 的坐标为（1,0），选A巩固5 已知曲线3211()532f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 2cos ααα=+( ) A ．12 B ．35 C ．2 D ．85【解析】因为3211()532f x x x =+-，故可得()2f x x x '=+，则切线的斜率()12tan f α'==又因为2cos 2sin 2cos ααα=+2222cos sin 1tan 1432cos 21415sin cos tan ααααααα---===-+++，选B题型3 导数几何意义与参数例题3 函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）AB ．C ．2D ．【解析】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b = 所以()g b的最小值为即min k =选B巩固6 直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k = 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+ 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b = 所以144()422a b +=⨯-+=，选A巩固7 函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，则实数a =（ ）． A ．1- B ．14C ．12D ．1【解析】'1()f x a x =-，∴'11(2)24f a a a =-=⇒=，选B 巩固8 函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等实根，则实数k 范围（ ）A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =- 切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时，实数k 的取值范围是112k <<，选D题型4 曲线上动点到直线距离的最值问题例题4 设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A ．1717B ．21717C ．31717D ．41717【解析】()10f =，()4f x x '=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=，又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行这两条平行线间的距离为317d =PQ 317，选C 巩固9 已知点P 在曲线22y x lnx =-上，点Q 在直线32y x =-上，则||PQ 的最小值为( )A ．1313B ．1C ．1010D ．14【解析】函数22ln y x x =-的定义域为(0,)+∞，14y x x'=-令143x x-=，可得1x =，14x =-（舍去）所以切点为(1,2)，它到直线32y x =-的距离d ==即点P 到直线32y x =-的距离的最小值为10，则||PQ的最小值为10，选C 题型5 公切线问题例题5 函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．12【解析】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =， 所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x > 则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域为增函数，又()10h =，则解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111m f '=+=+解得4m =，选A 巩固10 已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（ ） A ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得2000420x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩ 由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004e x x a =，令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()e x x h x =在(2,)+∞上递减，所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭巩固11 已知函数211()142f x x x a =++-（0x <），()ln g x x =（0x >），其中a R ∈，若()f x 的图象在点11(,())A x f x 处的切线与()g x 的图象在点22(,())B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围是( ) A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(ln 2,)+∞ C ．(1ln 2,)--+∞ D ．(ln 2,)-+∞【解析】211()142f x x x a =++-，11'()22f x x =+故切线方程为：()21111111112242y x x x x x a ⎛⎫=+-+++-⎪⎝⎭()ln g x x =，故1'()g x x =，切线方程为：()2221ln y x x x x =-+ 故1211122x x +=，()()21111222111111ln 2242x x x x a x x x ⎛⎫+-+++-=-+ ⎪⎝⎭ 化简整理得到：()2111111ln ,0422a x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，111022x +>，故110x -<< 设()()2111ln ,10422g x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，()()()()2111'2121x x g x x x x +-=-=++故函数在()1,0-上单调递减，故()0ln 2g =，当1x →-时，()g x →+∞，故ln 2a >，选B巩固12 若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B．13,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C．3ln 4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设公切线与函数()ln f x x =的图象切于点()11,ln A x x ()101x <≤因为()ln f x x =，所以()1f x x'=，所以在点()11,ln A x x 处斜线的斜率1111()k f x x '==所以切线方程为()1111ln y x x x x -=-，设公切线与函数()2g x x a =+的图象切于点()222,B x x a + 因为()2g x x a =+，所以()2g x x '=，所以在()222,B x x a +处点斜线的斜率()222k g x x '==所以切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，所以有2121212ln 1x x x x a⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 因为101x <≤，所以21121x x =≥，212x ≥．又222ln 21a x x =-+- 令21,2t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()22ln 21ln 2ln 1h t t t t t =-+-=--+-，所以()221t h t t-'=令()0h t '>且12t ≥，得22t >；令()0h t '<且12t ≥，得1222t ≤<所以()h t 在12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上为减函数，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数. 所以函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线满足()2122h h t h ⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()13ln 224h t --<≤-，所以13ln 2,24a ⎛⎤∈--- ⎥⎝⎦，选D 题型6 导数几何意义与函数性质综合例题6 已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】函数的图象的对称中心为，所以，即，得，又的图象在点处的切线过点 ，即，解得，选A巩固13 已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =- 则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x << 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-. 由两切线重合可知21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤. 不妨设()()()22102x g x x e x =-≤,则()()22',''12x x g x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-，选B 巩固14 函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 范围是 【解析】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则0000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2k e ∴∈ 巩固15 已知函数22e 1,0,()22,0,x x f x x x x ⎧->=⎨---≤⎩若|()|f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围为【解析】作出函数|()|f x 的图象如图所示；当0x ≤时；令222x x mx ++=，即2(2)20x m x +-+=令0∆=，即2(2)80m --=，解得222m =±222m =-当0x >时，令2e 1x mx -=，则此时2()e 1xf x =-，()h x mx =相切设切点()020,1x x e-，则00202e 1,2e ,x x mx m ⎧-=⎨=⎩解得2m =，观察可知，实数m 的取值范围为222,2⎡⎤-⎣⎦，选A 巩固16 设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()3y g x x π=-+）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设()()22f x a b x ωϕ=++()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤ 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2723212x πππ+∴==为()()22f x a b x ωϕ=++的一条对称轴且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()22f x a b x ωϕ=++的一个对称中心由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=224a b +=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y =,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示4>时，163x π>-，所以()y g x =-7个，选D 题型7 两条曲线上动点距离最值例题7 设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为 【解析】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-= 则切线方程为22y x =-设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+ 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g = 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d，所以10d == 巩固17 已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为【解析】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点 ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方对ln y x =求导得1y x '=，令1y e '=，得x e =，所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小 该点到直线l==因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+ 巩固18 若x ，a ，b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ）AB ．18C．1 D．19-【解析】22(2)(3)1a b ++-=，可得(),a b 在()2,3-为圆心，1为半径的圆上22()(ln )x a x b -+-表示点(),a b 与点(),ln x x 的距离的平方又(),ln x x 在曲线ln y x =上，设曲线ln y x =上一点为(),ln m m 设过点(),ln m m 的切线与点(),ln m m 与()2,3-的连线垂直 可得ln 3112m m m-⋅=-+，即有2ln 23m m m ++=由()2ln 2f m m m m ++＝在0m >递增，且()13f =，可得切点为()1,0圆心与切点的距离为d ==可得22()(ln )x a x b -+-的最小值为()2119=-D巩固19 已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．M 的最小值为25 B ．M 的最小值为45 C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，ln 2y x x =-+，得11y x'=-与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12- 令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离22ln 242ln 225514d +--==+ 即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45，选B 巩固20 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为 【解析】由题意得，结果为线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点距离平方最小值 可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m 曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+ 整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件 其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-巩固21 设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线上，则Q P 的最小值为 A ．1ln2-B ．()21ln 2-C ．D ．()21ln 2+【解析】因为曲线2xy e =与曲线互为反函数，其图象关于直线y x =对称，故可先求点P 到直线y x =的最近距离，函数2xy e =的导数为2xy e '=，由21xy e '==得，ln 2x =-，所以ln 221y e -==所以当P 点为点(ln 2,1)-时，点到直线y x =的最近距离为ln 2122d --==所以min 222(1ln 2)2PQ d ===+ 题型8 导数几何意义综合例题8 设曲线()1*n y xn N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，令lg nn ax =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为【解析】因为()()1*n y f x xn N +==∈，所以()()1nf x n x '=+，所以()()11,11f n f '=+=所以切线方程为：()111y n x -=+-，令0y =，得1n x n =+所以()lg lglg lg 11n n na x n n n ===-++ 所以1299lg1lg 2lg 2lg3lg3lg 4...lg99lg1002a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- 巩固22 不等式，恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】令，则，很明显函数的周期为由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示考查临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为，选A题型9 函数的单调性求参数 例题9 已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈ （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）当1k >时，讨论函数()f x 零点的个数 【解析】（1）()l 'n ln 1x f x x x x x -=-=，令()()1ln '1x x g x g x x=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）()n 'l ln 1x k x x xf x x k x --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x 且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点显然()22211022kk f ee e ---=-<-<，()()1112f x f >=，∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点 又()222221122nk nk nk f e e n k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）设()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，()2xh x e ''=-当1x >时，()0h x ''>，()2xh x e x '=-在1+， 单调递增,即()()120h x h e ''≥=->所以()2xh x e x =-在1+， 单调递增，即()()110h x h e ≥=->，即()0nkf e>（当n 为较大整数时）于是下面讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x xF x x x x-⇒=+--=≤，且()0f e = ① 当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点巩固23 已知函数2()ln (21)?(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围 【解析】（1）由()()()()21221x a x af x x a x x-+=-+-=-' 当a =0时，()210f x x '=-+<，则f （x ）在（0，+∞）上递减 当a ＞0时，令f '（x ）＝0得x a =或12x =-（负根舍去）， 令f '（x ）＞0得0x a ＜＜；令f '（x ）＜0得x a ＞，所以f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 综上：a =0时， f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＞0时，f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 （2）由（1）当a ＝0时，f （x ）＝﹣2x x -≤0，符合题意，当a ＞0时，()2()0max f x f a alna a a ==+-≤，因为a ＞0，所以10lna a +-≤令()g a =1lna a +-,则函数单调递增，又()10g = ，故 10lna a +-≤，得01a <≤ 综上，a 的取值范围为[]0,1巩固24 已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+（1）当0a =时，求函数()f x 在()()11f ，处的切线方程 （2）若2a -，证明：当0x 时，()0f x【解析】当0a =时，2()x f x x e =，2()(2)x f x x x e '=+，()13f e '=，()1f e =∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程3(1)y e e x -=-，即320ex y e --=（2）证明：2()(2)x f x x x a e a '=++-，令2()(2)x g x x x a e a =++-，则2()(42)x g x x x a e '=+++2a -，∴当0x 时，22(42)(4)0x x x x a e x x e ++++，即()0g x '且不恒为零()g x ∴在[0，)+∞上是增函数，故()(0)0g x g =，即()0f x '()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，()(0)0f x f ∴=，即()0f x ，故若2a -，则当0x 时，()0f x巩固25 已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+- （1）讨论()f x 的单调性（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围【解析】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数②当0∆>，即2a <-或2a >时当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭为减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数 （2）()()()()22213ln ln 022x xF x f x g x x x ax e x x x x ax x e x =-=++--+=-++->()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x e x x a x-+=有解令()()2ln 0x e x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11x xe x x x e x x x x h x x x++-+='-+++-= 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x <，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增； ()()11h x h e ∴≥=+， 当1a e ≥+时，()F x 有不动点a ∴的范围为[)1,e ++∞题型10 极值与参数例题10 已知函数321()3f x x x mx m =+++ （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值 （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点【解析】（1）由题得2()2f x x x m '=++由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++ 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-= 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-（2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+ 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+ 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减，又4(2)3h -=，(0)0h =(1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点，即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点 巩固26 已知函数()3213f x x x a =-+（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值与极小值（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值是最小值的3倍，求a 的值 【解析】（1）当0a =时，()3213f x x x =-，所以()22f x x x '=- 令()0f x '=，则0x =或2x =，当(),0x ∈-∞和()2,x ∈+∞时，()0f x '>当()0,2x ∈时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减 所以()f x 的极大值为()00f =；()f x 的极小值为()423f =- （2）由题,()3213f x x x =-，由（1）可得()f x 在[]1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增， 所以()f x 的最小值即为()f x 的极小值()423f a =-+因为()213f a =-+,()3f a =,所以()()max 3f x f a ==因为()()max min 3f x f x =，则433a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2a =题型11 最值与参数例题11 设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围 【解析】（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x --+----'=-+==，由函数存在极值可知，14a ≠ 1()2i a =时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x 在(1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减.1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202a x a-<<，由()0f x '<可得，1212ax a -<< 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，122a a-），单调递减区间12(,1)2aa - 综上所述：当14a =，()()2102x f x x-'=≥恒成立，不符合题意 当1142a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增 当12a ≥时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增 （2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx-<令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1()21h x lnx x'=-+- 222112()=0xh x x x x--''=-< ，则()h x '在(1,)e 上单调递减，所以()h x h '<'（1）0= 所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '< 所以()g x 在(1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-，故2b e e - 巩固27 已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：） 【解析】1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b + 2'()a f x ax b=+，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=> 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣，设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ ， 令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >，()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t += 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+可知()p t 在1170,⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在117,⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减又2117(1)0,0,()20p p p e e e ⎛⎫+=>=-+<⎪⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-题型12 值点偏移例题12 已知函数()ln 2(0)f x ax x a =+≠. （1）求函数()f x 的最值（2）函数()f x 图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为()1,()2f x g x x=-有两个零点12,x x ，求证：124x x +> 【解析】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值 当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设因为，，所以变形为，欲证，只需证即证，令，则只需证对任意的都成立令，则所以在上单增，，即对任意的都成立，所以巩固28 已知函数()212xf x e x ax =--有两个极值点12,x x（Ⅰ）求实数a 的取值范围 （Ⅱ）求证：120x x +<（III ）求证：()()122f x f x +> 【解析】Ⅰ）21()2x f x e x ax =--，()x f x e x a '∴=--设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-，令()10xg x e -'==，解得0x =∴当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(0)1min g x g a ∴==-当1a 时，()()0g x f x '=，∴函数()f x 单调递增，没有极值点当1a >时，(0)10g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点1x ，2x ，不妨设12x x <，则120x x << ∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为(1,)+∞．（Ⅱ）不妨设120x x <<，要证12+0x x <，即证12<x x -，而()g x 在(),0-∞上单调递减，所以即证()()12>g g x x -，即证()()22>g g x x -，即2222x x e x e x -->+，2222210x x e x e -->，设()221,0xx h x exe x =-->，则()2(1)x x h x e e x '=--令()1xH x e x =--，则()1xH x e '=-，当()10xH x e '=-=，则0x =，即()H x 在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减，所以()()00min H x H ==，即1x e x ≥+，()0h x '∴≥，()h x ∴单调递增，()()00h x h ∴>=，所以原不等式成立（III ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知1x ，2x 为()0g x =两个实数根，120x x <<，()g x 在(,0)-∞上单调递减且120x x <-<函数()f x 在1(x ，0)上也单调递减，12()()f x f x ∴>-∴要证12()()2f x f x +>，只需证22()()2f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->设函数2()2x x k x e e x -=+--，(0,)x ∈+∞，则()2x x k x e e x -'=-- 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴>=，即()0k x '>()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0k x k ∴>=∴当(0,)x ∈+∞时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->22()()2f x f x ∴-+>，12()()2f x f x ∴+>巩固29 已知函数()ln f x kx x =-（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >【解析】（1）∵()ln f x kx x =-，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增 ∴1()0f x k x '=-≥在()1,+∞恒成立，∴1k x≥，∴1k（2）证明：不妨设120x x >>∵()()120f x f x ==，∴11ln 0kx x -=， 22ln 0kx x -= 可得()1221ln ln k x x x x +=+， ()1212ln ln k x x x x -=-要证明212x x e >，即证明21ln ln 2x x +>，也就是证()122k x x +>∵1212lnx lnx k x x -=-，∴即证明：1212122lnx lnx x x x x --+＞，即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+＞ 令12x t x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+ 令()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，则()22(1)(1)t g t t t -'=+ 故函数()g t 在()1,+∞上是增函数，∴()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立，∴原不等式成立题型13 恒成立问题求参数例题13 已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =（1）求函数()()f x yg x =的极小值（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题检测试题
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题检测试题一、导数及其应用多选题1．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.2．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x ⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x =当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．当0x <<时，()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减；又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.4．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.7．设函数()ln x f x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥ D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈ 【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax =-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x m x +=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln x f x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln x f x x =在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4ff π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立， 可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-， 则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即1ln x a x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-.当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-， 由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点. 所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a b ab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.。
高考导数常考、易错、失分点分析
高考导数常考、易错、失分点分析【易错点1】复合函数的求导例1、函数1cos x y x e -=⋅ 的导数为 。
【易错点诊断】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即x u x y y u '''=⋅。
解析： ()()1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos x x x x x y e x e e xe x e -----'''=+=+-=+1cos sin x xe x -()1cos 1sin x x x e -=+.【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。
[适用性练习]（1）设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。
（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ）答案：23b a =--.（2）y =ln （x ＋21x +）答案: y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21x x +）=211x +.【易错点2】关于导数的几何意义(还有一个易错题)例2、曲线33:x x y S -=在点(0,16)A 处的切线方程为 。
【易错点诊断】此题易由/2/()33,(0)3f x x f =-+=，从而得到以A 点为切点的切线的斜率为3，即所求切线方程为3160x y -+=的错误结果，事实上要注意到点A 不在曲线S 上。
解析：设过点A 的切线与曲线S 切于点()3000,3M x x x -处，由于/2()33,f x x =-+由导数的几何意义可知切线的斜率()20033k f x x '==-+①，又由两点连线的斜率公式知30003161x x k x --=②，联立①②得02x =-，从而切线的斜率()20033k f x x '==-+=-9，故切线方程为9160x y +-=。
(整理版)导数易错题辨析
导数易错题辨析导数是高中新课程新增重点内容，初学这局部，同学们往往会出现这样那样的错误。
现举几种常见的错误加以剖析，希望对同学们能有所帮助。
例1、求函数ln y x x =-的单调区间。
【错解】111,1010.y y x x x x''=-=->><∴令即或函数的单调递增区间为(1,),(,0)+∞-∞；1100 1.y x x'=-<<<∴令即函数的单调递增区间为(0,1). 【错因剖析】求函数的单调区间应注意首先考虑函数的定义域。
因此此题中应注意到0x >，∴函数的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1).例2、函数32()31(0)f x x ax x a =++->，假设()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围。
【错解】∵函数32()31(0)f x x ax x a =++->在R 上为增函数，故2()3230f x x ax '=++>在R 上恒成立；由224360,9,0 3.a a a ∆=-<∴<∴<<【错因剖析】()0f x '>是函数()f x 在定义域I 上单调递增的充分不必要条件并不是充要条件。
事实上：()f x 在I 上递增⇔对任意的x I ∈有()0f x '≥〔但这里满足()0f x '=的点应只是在个别点处，也就是()f x '不能恒等于零〕.此题中()f x 在其定义域内为增函数应满足()0f x '≥且()0f x '不恒等于；∴应改为2()3230f x x ax '=++≥在R 上恒成立，由24360,a ∆=-≤29,03a a ∴≤∴<≤；又当3a =时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥〔只有当1x =-时，()f x '才等于0〕；因此03a <≤例3、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，求,a b 的值。
2024届高考数学易错题专项(导数及其应用) 练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项（导数及其应用） 练习 易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性）1易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）(2)讨论函数()f x 在区间(1,)+∞上的零点个数． 10．设函数2()(1)e x f x mx x -=++，其中m ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点，设极大值点为a ，b 为()f x 的零点，求证：ln 2a b -≥． 11．已知函数()()ln f x x x =- (1)求()f x 的单调区间和极值；(2)讨论()()2g e x x xf ax -=-的零点个数．参考答案易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）1．已知函数()ln f x x =与()g x 的图象关于直线y x =对称，直线l 与()()1,e 1x g x h x +=-的图象均相切，则l的倾斜角为（）8．已知函数()f x=(1)若12a=，求曲线(2)讨论()f x的单调性；的单调性）1易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）1．已知函数()()2ln R x f x kx x kx k =--∈，在()20,e 有且只有一个极值点，则k 的取值范围是（ ）由图象知要使直线y a=与只需a<0或2e14a+ =，综上所述：易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问题）1．已知函数()3296f x x x x a =-+-（R a ∈）.。
高中 导数中的易错题 练习 含答案
训练目标(1)导数知识的细化、深化、巩固提高；(2)解题过程的细节训练. 训练题型(1)导数和函数的极值；(2)利用导数求参数范围；(3)导数的综合应用. 解题策略 (1)注意f ′(x 0)＝0是x ＝x 0为极值点的必要不充分条件；(2)已知单调性求参数范围要注意验证f ′(x )＝0的情况.1．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α＝________.2．已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是____________________．3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为__________________．4．在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是________． ①△OAB 的面积为定值2②△OAB 的面积有最小值3 ③△OAB 的面积有最大值4④△OAB 的面积的取值范围是[3,4]5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)内存在最小值，则实数a 的取值范围是________． 6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在A (x 0，f (x 0))点处的切线斜率为12，则tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4的值为__________．10．若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是____________________．11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．12．函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈[π4，π3]，若∀x 1，x 2∈[π4，π3]，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是________．13．若f (x )＝13x 3－ax 2＋x 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________________． 14．已知函数f (x )＝e x1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案解析1.π42.6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝03．(－∞，0)∪(12，2) 4.① 5.[－3,0) 6.1<a <4 7.(3，2) 8.(－∞，－2) 9．2＋ 310．(－∞，2－1e )∪(2－1e，2) 解析 f ′(x )＝1x＋a (x >0)． ∵函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴方程1x ＋a ＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a ＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解， ∴a <2.若直线2x －y ＝0与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切，设切点为(x 0,2x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝2，2x 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，a ＝2－1e. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2－1e )∪(2－1e，2)． 11．[－6，－2]解析 当x ∈(0,1]时，得a ≥－3(1x )3－4(1x )2＋1x， 令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ， 令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减， 所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时对任意实数a 不等式也成立．故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．(－∞，－32] 解析 由f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0知，函数f (x )在[π4，π3]上是减函数． 又f ′(x )＝a ＋sin x ，所以f ′(x )≤0在[π 4，π3]上恒成立，即a ≤－sin x 在[π4，π3]上恒成立． 当π4≤x ≤π3时，－32≤－sin x ≤－22，故－sin x的最小值为－32，所以a≤－32.13．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由已知得，f′(x)＝x2－2ax＋1，因为f(x)在R上不是单调函数，所以方程f′(x)＝0在R上有两个不等实根，则Δ＝4a2－4>0，解得a<－1或a>1.14．(0,1]。
导数---易错点
一. 导数中的易错题分析
1.切线问题中忽视切点的位置致错
例 1： 已知曲线 f ( x) 2 x 3 3x ， 过点 M (0,32) 作曲线 f ( x ) 的切线， 求切线方程。
3 2 解：设切点 N ( x0 , 2 x0 3x0 ) ，则切线的斜率 k f ( x0 ) 6x0 3，
解：若点 2, 4 在曲线上：
2 因为 y x ，所以 k 4 ，切线方程为 4 x y 4 0 ；
若点 2, 4 不在曲线上：设切点为 x0 , y0 ，则 k x0 ，
2
1 3 4 y 0 3 x0 3 2 2 k x ， 得 解得 x0 -1或2 （舍 2） ， x 0 0 x0 2 0 ， y 4 k 0 x0 2
a 1
x 1
2
≥0 在 (1,1) 上恒成立，
但是，当 a 1 时，函数 f x 1 是常数函数，不具有单调性.
一. 导数中的易错题分析
2.忽视单调性的条件致错
ax 1 例 2：已知函数 f ( x) （ a 为常数） ，在 (1,1) 内为增函数， x 1 , 1 求实数 a 的取值范围.
由 f ( x) 0 有 x=0 或 x=± 1。 f ( x) ， f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: x (–∞,0) – ↘ –1 0 无极值 (–1,0) – ↘ 0 0 极值 (0,1) + ↗ 1 0 无极值 (1,∞) + ↗
f ( x)
f ( x)
故选（C）
一. 导数中的易错题分析
f ( x) (3x 11)( x 1)
一. 导数中的易错题分析
高三数学易错导数及其应用多选题测试基础卷试题
高三数学易错导数及其应用多选题测试基础卷试题一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=，则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'=⎪⎝⎭， 令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-， 所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.3．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增ln f fe ππ∴<<<∴>，故：B 正确C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<<要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e ef x x x<>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ==== 252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．4．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切.若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x 在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x=当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.6．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，1122x x =-⇒=-， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确.故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.7．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩； 即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）8．已知函数()()2214sin 2xxe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2xx xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
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导数易错题
1、已知]2,2[,(62)(23-+-=在为常数）
m m x x x f 上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 －37
2、若函数a x x x f --=3)(3的最小值为恒成立，则上时，当m n n x f m x -≤≤∈)(]3,0[ 20
3、方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x （改为方程实根的个数为0109623=-+-x x x ） 1个
4、若函数的取值范围为有三个单调区间，则b bx x y +-=33
4 b >0
5、设点P 是曲线3
233+-=x x y 上的任一点，P 点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为 ),[),0[322πππ⋃ 6、已知)0()1(2)(//2f xf x x f ，则+=等于 －4
7、若函数m m m x x x f 则上的最小值为在区间,2]2,1[3)(223-+-=的值为 ；
22-
8、若直线ax x x y x y +-==233是曲线的切线，则 =a ；1或
413 9、函数),3(431
)(23+∞--=在ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围为 ；
23≤
a 10、设曲线11
x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = -2 11、若21()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是(,1]-∞- 12、已知函数32
()1f x x ax x =+++，a ∈R ．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增
当2
3a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=
即()f x
在⎛-∞ ⎝⎭
递增，⎝⎭
递减，
3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
递增 （2
）231
3
--，且23a >解得：74a ≥。