济宁学院 微分几何 期末试卷及参考答案

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济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷

一、填空题（每小题4分，共20分）

1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 .

2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 .

3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 .

4、球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→

的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→

的自然参数表示式为 .

二、选择题（每小题2分，共20分）

6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ）

A 、主方向

B 、共轭方向

C 、高斯曲率

D 、渐近方向

7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ）

A 、直线

B 、半立方抛物线

C 、立方抛物线

D 、抛物线

8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ）

A 、双曲抛物面

B 、立方抛物线

C 、椭圆抛物面

D 、圆锥面

9、曲线()r r t =r r

在点()P t 处的挠率 （ ）

A 、可正可负

B 、一定为负

C 、不可为负

D 、 一定为正

10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ）

A 、高斯曲率

B 、曲率

C 、挠率

D 、法曲率

11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( )

A 、a b b -+2

B 、a b b --2

C 、a b b -+2, a b b --2

D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ）

A 、u u r r E →→⋅=

B 、v u r r F →→⋅=

C 、v v r r F →→⋅=

D 、uv r n M →

→⋅=

13、曲面(,)r r u v =r r

的曲纹坐标网的微分方程是 （ ）

A 、0du dv -=

B 、0du dv +=

C 、0dudv =

D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r →

关于t 的旋转速度等于 （ ）

A 、)(t r →'

B 、)(t r →'

C 、)(t r →

D 、)(t r →

15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ）

A 、切平面

B 、从切平面

C 、密切平面

D 、法面

三、计算题（每小题10分，共20分）

16、(10分)求曲面 22()z a x y =+在点(0,0)的主曲率.

17、(10分)求双曲面axy z =在点0==y x 的平均曲率和高斯曲率。

四、证明题（共40分）

18、（10分）证明：（1）若测地线同时为渐近线，则它是一直线； （2）若测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线.

19、（15分） 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。

20、（15分） 证明：若:du dv 是曲面():(,)S r r u v =r r 在点(,)P u v 处的主方向，则对于:du dv 有dn dr λ=r r ，且

n n k k λ=-，其中是S （）在点(,)P u v 处沿切方向:du dv 的法曲率.

济宁学院继续教育学院 《微分几何》（本科）试卷 参考答案

★考试时间共100分钟★

一、填空题（每小题4分，共20分） 1、0==N L 2、1)(22=-+z y x

3、 抛物点

4、 )(cos 222θϕθd d R II +-=

5、⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+++=→

2

22222,sin ,cos b a s

b b a s a b a s a r

二、选择题（每小题2分，共20分）

三、计算题（每小题10分，共20分）

16、(10分)求曲面 22()z a x y =+在点(0,0)的主曲率.

解:a y z

t y x z s a x z r ay y z q ax x z p 2,0,2,2,222222=∂∂==∂∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=………………2分

从而,在(0,0)点:

a t s a r q p 2,0,2,0,000000=====…………………………………………………4分

a N M a L G F E 2,0,2,1,0,1======……………………………………………6分

将上述结果代如主曲率公式得:

.0200

2=--N

N

k a k a ………………………………………………………………8分

解得主曲率为:

.2,221a k a k ==………………………………………………………………………10分 17、(10分)求双曲面axy z =在点0==y x 的平均曲率和高斯曲率。

解：0,,0,,22222=∂∂==∂∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=y z

t a y x z s x z r ax y z q ay x z p ……………………2分

在(0,0)点:

0,,0,0,000000=====t a s r q p ………………………………………………………4分

0,1,01,1,0,120

20

020

2

0==++=

=++=

===N a q

p s M q

p r L G F E ………………6分

故 22

2

a F

EG M LN K -=--=…………………………………………………………………8分 0)

(222

=-+-=

F E

G NE

MF LG H ………………………………………………………………10分

四、证明题（共40分） 18、（10分）证明：（1）若测地线同时为渐近线，则它是一直线； （2）若测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线.

证明：（1）由与曲线同时为测地线和渐近线，故0==n g k k …………………………2分

从而02

22=+=n g k k k …………………………………………………………………………4分

即曲线为直线………………………………………………………………………5分 （2）设C 为测地线，又是曲率线，则当C 是直线时，当然是平面曲线

当C 不是直线时，由→

→±=n β（C 是测地线）………………………………………8分 知

→

→

→

→

±=±=+-•

αλγταn k …………………………………………………………………9分 因C 是测地线，由罗德理格定理知，.0=τ即C 是平面曲线 ……………………10分 19、（15分） 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。

证明：设曲线)(C :)(s r r ρ

ρ=,由已知条件