信号拉式变换

n n n 1 n2 n 1 L[t u (t )] L[t u (t )] L[t u (t )] s s s n n 1 n 2 2 1 0 L[t u (t )] s s s s s
n
t u (t )
n L
n! , Re( s ) 0 n 1 s
f ( t ) u( t ) u( t )
て t
习：求拉氏变换 习： 1 0 f(t)
1 1 s 1 e s F ( s) e s s s
Re (s )
22
五、单边拉普拉斯变换的性质
2. 展缩特性
若 则
L f (t ) F (s)
6
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换
F (s) f (t ) est dt
1 j st f (t ) F ( s ) ds e j 2πj
单边拉斯变换更好的求解零输入和零状态响应 双边拉斯变换更好的描述系统
0
7
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
' 0 st
0
Re(s)
d st L[ (t )] ' (t )e dt (e ) t 0 s ds
n d L[ (n) (t )] (n) (t )e st dt (1) n n (e st ) t 0 s n ds
25
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
L f1 (t ) F1 (s) L f 2 (t ) F2 (s) L
Re(s) 1 Re(s) 2
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
Re(s) max( 1, 2 )



| f (t ) | e dt
t
对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足
t
lim f (t )e t 0
(0)或Re（s） >
0
9
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
0
区

0称收敛条件
t
0
t st


0
e
( 0 j0 ) t
u (t )
L
1 s ( 0 j 0 )
0
12
三、常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数 e t u(t)
e j 0 t e j 0 t cos 0 t u (t ) u (t ) 2
0
f (t )e
பைடு நூலகம்st
dt

0

f ( t )e t e st dt
0

f ( t )e ( s ) t dt F ( s )
29
2）线性加权性质
dF (s) tf (t ) ds
2t
27
五、单边拉普拉斯变换的性质
5. 乘积特性
f1 (t ) F1 (s)
L L f 2 (t ) F2 (s)
Re(s) 1 Re(s) 2
1 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( s) * F2 ( s)] 2πj
L
Re(s) 1 2
令s= +j
f (t )e st dt F (s)


定义： F (s)
f (t )e st dt
拉普拉斯正变换
对 f(t)e- t求傅里叶反变换可推出 1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 拉普拉斯反变换 2πj
单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的反变换 双边拉普拉斯变换*
3
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
f (t) = et u(t) >0的傅里叶变换？ 将 f(t) 乘以衰减因子e t 不存在!
F[ f (t )e
t
]

f (t )e
t jt
e
dt
t ( j )t e e dt 0
信号与系统
Signals and Systems
讲授：朱爱春
1
连续时间信号与系统的S域分析
连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟
2
连续时间信号的复频域分析
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换及其存在的条件
常用信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
t0 0
Re(s) 0
24
s cos( 0 t )u(t ) 2 Re (s) 0 2 s 0 s cos( 0 t0 ) 0 sin( 0 t 0 ) cos( 0 (t t0 ))u(t ) 2 Re (s ) 0 2 2 2 s 0 s 0 s st 0 cos( 0 (t t0 ))u(t t0 ) 2 e Re (s ) 0 2 s 0 cos( 0 t )u(t t0 ) cos(0 (t t0 t 0 ))u(t t 0 ) cos( 0 (t t 0 ) 0 t0 )u(t t0 )
n

L
L

L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 (s ) 2
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t
u (t )

L
Re(s)
19
e e
0t
cos 0 t u (t )
L
s 0 (s 0 )
0称绝对收敛坐标
10
例1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。
(1)u(t ) u(t )
收敛域为全s平面
(2)u (t )
(3)e u (t )
3t
n
0
3
书216页结论
(4)t u(t )
(5)t , e
t t2
0
不存在

|
分析：求收敛域即找出满足
或 lim f (t )e t 0
Re(s) 0
a0
1 f (at ) F (s / a) a
L
Re(s) a 0
23
五、单边拉普拉斯变换的性质
3. 时移特性
若 则
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
L f (t t0 )u(t t0 ) est 0 F (s)
26
1 f ( t ) e u( t ) F ( s ) s2 1 3t h( t ) e u( t ) H ( s ) s3 1 1 1 1 Y f ( s) F ( s)H ( s) s2 s3 s2 s3 y f ( t ) (e 3 t e 2 t )u( t )

L
正弦信号
1 1 1 s ( ) 2 2 2 s j 0 s j 0 s 0
0
e j0t e j0t sin 0 t u (t ) u (t ) 2j

L
0 1 1 1 ( ) 2 2 2 j s j 0 s j 0 s 0
令s j
若

1 s
( s )t e dt 0
4
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
推广到一般情况
( j )t F[ f (t )e t ] f (t )e t e jt dt f ( t ) e dt
16
e
t
u(t )

L
L
1 s 1 s 1 s j 0
1 s j 0
Re(s) Re(s)
Re(s) 0 Re(s) 0
17
e u(t )
t
L e j0t u (t )
e
j0t
u (t )

L
一般：收敛域 > 极点的实部
单边拉普拉斯变换应注意两点：
一、信号必须是单边信号，即 f (t ) 0，t 0
二、积分下限选取。为了从S域分析在0时刻包含冲 激的信号，及由S域分析系统的零输入响应，采用 0-定义 除特别指明外，积分下限简写为0，表示08
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换存在的条件
充要条件为：
t
f (t ) | e t dt C
11
的取值范围。
三、常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数 e t u(t)
1 L[e u(t )] e e dt s 1 L 同理： e t u(t ) s 1 L j0t e u (t ) s j 0
cos0 t u(t )
L
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )

L
L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
18
(t )
( n) (t )
L
u(t )
tu(t ) t u (t )
0
15
三、常用信号的拉普拉斯变换
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
n t n n 1 st L[t n u (t )] (t n )e st dt (e st ) 0 t e dt 0 s s n n1 st n n1 0 t e dt L[t u(t )] s s 根据以上推理,可得 0
28
五、单边拉普拉斯变换的性质
5. 乘积特性
乘积性质两种特殊情况： 1）指数加权性质 L 若 f (t ) F (s) 则
f (t ) F ( s) e t f ( t )

Re(s) 0
Re(s) 0
L e t f (t ) F (s )
20

L
2 0 s 2 2 (s 2 0 )
五、单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性特性
若
L f1 (t ) F1 (s)
Re(s) 1 Re(s) 2
f 2 (t ) F2 (s)
L
则
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
5
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示：
F ( s) L[ f (t )]
物理意义：
f (t ) L1[ F (s)]
L f (t ) F ( s)
信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。
2 2 0
Re(s) 0 Re(s) 0
0t
sin 0 tu(t )

L
0
(s 0 )
2 2 0
t cos 0 tu(t )
t sin 0 tu(t )
L
2 s 2 0 2 2 (s 2 0 )
Re(s) 0
Re(s) 0
0
13
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
14
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
Re(s) max( 1, 2 )
21
L
例：求拉氏变换 法一： 法二：
cos( 0t )u(t )
Re (s ) 0
1 j ( 0 t ) 1 j ( 0 t ) cos( 0 t )u( t ) e e 2 2
cos( 0t )u(t ) cos0t cosu(t ) sin0t sinu(t ) cos( （ 0 t t 0 ))u( t )