[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：高中数学复习教案64-排列组合的综合应用

题目第十章排列、组台、二项式定理排列组合的综合应用

高考要求

1进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．

2使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法

解题思路归纳 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：

特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（答案：30个）

科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种（答案：350）

分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；

插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)

捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）

排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 b 、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30）

剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有1

1--m n C 种方法 错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列

特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44

2个、3个、4个元素的错位排列容易计算关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：

①5个元素的全排列为：55120A =；

②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)351C ⨯ 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)252C ⨯ 种、恰好有1对

球盒同号(4个错位的)159C ⨯ 种

∴ 120-1-351C ⨯-252C ⨯-159C ⨯＝44

用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题 容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法 题型讲解

例1 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？

⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； ⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；

⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；

⑸分成3堆，每堆2 本

⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； ⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本

分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的

②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题

解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为321

631C C C ；

⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为33112336P C C C ⨯；

⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为222642C C C ；

⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为321631C C C ；

⑸是分堆的均匀问题：方法数为33222426P C C C ÷； ⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为223

3111246P P C C C ⨯；

22111246C C C 点评：以上问题归纳为

①见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；

②要将问题转化为六种分书模型来解决

例2 求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻；

（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻；

（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：227A A

（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再

在7个空位中排2女，即用插孔法解决：6267A A

另法：用捆绑与剔除相结合：827

827A A A -

（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：44442A A A

（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: 431442A A A

例3 有13名医生,其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗

小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式

(1)5141376;C C C -

(2)23324157676767

C C C C C C C +++; (3)514513766

C C C C --; (4)23711C C ;

其中能成为P 的算式有_________种

分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题

用直接法解:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)正确; 用间接法解: 不考虑限制条件,选派方法有513C 种,需剔除的有1男4女,5女

两类,故(3)正确

因此结论为: (2)(3)

点评：本例要特别防止误选(4)

例4 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种

解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因此是排列问题故所有测试方法是6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品：114644C A A =576种

例5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______ 解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变,故排这5个节目是一个组合,有57C 种方法,在排新插入的两个节目有22A 种方法,故52

7242C A =