二重积分的定义

D
为高和以M为高的两个 为高和以 的体积介于以D为底 以m为高和以 为高的两个 的体积介于以 为底, 为底 平顶柱体体积之间. 平顶柱体体积之间 证
∫∫mdσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤∫∫Mdσ
D
D
D
再用性质1和性质 证毕. 再用性质 和性质3, 证毕 和性质
性质6 二重积分中值定理 二重积分中值定理) 性质 (二重积分中值定理 设f ( x, y)在闭区域 的面积, D上连续 σ为D的面积 则在 上至少存在一点 上连续, 为 的面积 则在D上至少存在一点 上连续 (ξ ,η), 使得
积分和 积分表达式
x, y 称 积 变 为 分 量
积分域 被积函数 面积元素
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 也常 因此面积元素 记作 dxdy, 二重积分记作
∫∫D f (x, y) dxdy.
引例1中曲顶柱体体积:
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
D
几何意义 设f ( x, y) ≥ 0,( x, y) ∈ D, 则曲顶柱体 为高的平顶柱体体积. 体积等于 以D为底以f (ξ ,η) 为高的平顶柱体体积 为底 将性质5中不等式各除以 证 显然 σ ≠ 0. 将性质 中不等式各除以σ ,有 1 m ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M
2 2 2
二重积分的性质(二重积分与定积分有类似的性质) 二重积分与定积分有类似的性质) 性质1 性质 设α、β 为常数,则 为常数,
∫∫[αf ( x, y) ± βg( x, y)]dσ D
= α∫∫ f ( x, y)dσ ± β ∫∫ g( x, y)dσ
D D
根据二重积分的几何意义, 根据二重积分的几何意义,确定积分值
∫∫ f ( x, y)dσ 是介于函数 σD
源自文库
1
∫∫ f ( x, y)dσ = f (ξ ,η) σD
证毕. 两端各乘以 σ , 证毕
1
二重积分的几何背景
曲顶柱体的母线平行于Oz 曲顶柱体的母线平行于 轴， 下底是xOy平面上的区域 D, 下底是 平面上的区域 上顶是曲面 S : z = f(x,y) . 其中 f(x,y)≥0 . ≥ 求这个曲顶柱体的体积。 求这个曲顶柱体的体积。 解 以任意方式将区域 D分割成 分割成 若干小区域 ∆D1 , ∆D2 ,⋯, ∆Dn ∆σ1 , ∆σ 2 ,⋯, ∆σ n 表示它们的面积。 表示它们的面积。 于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。 于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。 任取一个小区域∆ 并且在∆ 任取一个小区域∆Di ， 并且在∆Di内任取一点 Pi ， 为底，曲面S为顶的曲顶柱体 将以 ∆Di 为底，曲面 为顶的曲顶柱体 地看作是以∆Di 为底，高度等于 f(Pi) 柱体。 地看作是以∆ 为底， 柱体。
V = ∫∫ f (x, y) dσ = ∫∫ f (x, y) d x d y
D D
引例2中平面薄板的质量:
M = ∫∫ µ (x, y) dσ = ∫∫ µ (x, y) d x d y
D D
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1. 重积分与定积分的区别: 重积分与定积分的区别: 重积分中 dσ ≥ 0, 定积分中 dx可正可负. 可正可负. 2. 在直角坐标系下用 平行于坐标轴的直线网来 划分区域D, 划分区域 , 则面积元素为
λ→0
i=1
n
x
∆σ i
将域D 任意分为n个子域 (1) 分割 将域 任意分为 个子域
∆σ1 , ∆σ 2 ,⋯∆σ n
(用 ∆σ i 表示第 个子域的面积 .相应地此曲顶 用 表示第i个子域的面积 个子域的面积) 柱体分为n个小曲顶柱体 个小曲顶柱体. 柱体分为 个小曲顶柱体 (2) 取近似 在每个子域内任取一点
步骤如下 先任意分割曲顶柱体的底， 先任意分割曲顶柱体的底，z 并任取小区域， 并任取小区域 用若干个小平 顶柱体体积之 和 近似表示 曲顶柱体的体积， 曲顶柱体的体积，
O
z = f ( x, y )
•
f (ξ i ,ηi )
y
•
曲顶柱体的体积
(ξ i ,ηi )
D
V =lim∑ f (ξi ,ηi )∆σi
1. 曲顶柱体的体积 面上的闭区域D为底 曲顶柱体 以xOy面上的闭区域 为底 侧面以 面上的闭区域 为底, D的边界曲线为准线而母线平行于 轴的柱面 的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 的边界曲线为准线而母线平行于 轴的柱面, 且在D上连续 上连续). 顶是曲面 z = f ( x, y),( f ( x, y) ≥ 0且在 上连续
(ξi ,ηi ) ∈∆σ i
i = 1,2,3,⋯n
第i个小曲顶柱体的体积的近似式 个小曲顶柱体的体积的近似式
∆Vi ≈f (ξi ,ηi )∆σ i
(3) 求和 求n个小平顶柱体体积之和 个小平顶柱体体积之和 即得曲顶柱体体积的近似值: ∑ f (ξ ,η )∆σ 即得曲顶柱体体积的近似值 V ≈ ∑ f (ξ ,η )∆σ
(A) 为正 (C) 等于 等于0 (B) 为负 (D) 不能确定
为负
性质5 估值性质 估值性质) 性质 (估值性质 设m ≤ f ( x, y) ≤ M, σ为D的面积 则 为 的面积 的面积, 几何意义
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ Mσ
设f ( x, y) ≥ 0,( x, y) ∈ D, 则曲顶柱体
λ→
i =1
(ξ i ,ηi )
•
n
∆σ i
O
x
i =1
n
二重积分的定义
设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则 f (x, y) 可积 , 称I 为f (x, y)在D上的二重积分 称 二重积分. 二重积分
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、 旋转体的体积. 立体的体积、 旋转体的体积. 一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型. 二重积分的一个模型.
∫∫ f ( x, y)dσ = D
f (ξ ,η) ⋅ σ
σ
D
m≤
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M σD
1
即是说, 即是说 确定的数值
的最大值M与最小值 之间的. 与最小值m之间的 f ( x, y) 的最大值 与最小值 之间的 由闭区域上连续函数的介值定理. 由闭区域上连续函数的介值定理 在D上至少存在一点 (ξ ,η),使得函数在该 上至少存在一点 点的值与这个确定的数值相等 即 与这个确定的数值相等,即
(b − x2 + y2 )dσ , 其中D为x2 + y2 ≤ a2 ∫∫
2 3 2 = πa b − πa 3
D
b>a >0
性质2 将区域D分为两个子域 1 性质 将区域 分为两个子域 D ,D2 ( D = D + D2 ) 1
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ D D
性质4 比较性质 比较性质) 性质 (比较性质 设 f ( x, y) ≤ g( x, y) ( x, y) ∈ D, 则
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ g( x, y)dσ D
D
特殊地
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ D D
2 2
sinπ x + y 例 dxdy 的值 ( B ). 的值= ∫∫ 2 2 2 x +y 1≤ x2 + y ≤4
i =1 i i n i i =1 i i i n
(4) 取极限 令n个子域的直径中的最大值 记作 个子域的直径中的最大值(记作 个子域的直径中的最大值 λ)趋于零 上述和式的极限即为曲顶柱体体积 趋于零, 趋于零
V = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i
λ→0
i =1
n
2. 非均匀平面薄片的质量 面上的闭区域D, 面上的闭区域 设有一平面薄片, 占有xOy面上的闭区域 设有一平面薄片 占有 在点(x, 处的面密度为 在点 y)处的面密度为 µ( x, y), 假定 ( x, y)在D µ 上连续, 求平面薄片的质量M. 上连续 求平面薄片的质量 (1) 将薄片分割成 个小块， 将薄片分割成n个小块， 任取小块 ∆σ i 近似 y 看作均匀薄片. 看作均匀薄片 (2) ∆Mi ≈ µ(ξi ,ηi )∆σi (3) M ≈ ∑µ(ξi ,ηi )∆σi (4) M = lim∑µ(ξi ,ηi )∆σi λ→0
连续函数一定可积
注 今后的讨论中 都假定被积函数在相应 今后的讨论中,
的 积分区域内总是连续的. 积分区域内总是连续的
二重积分的几何意义 柱体体积; , (1) 当f ( x, y) ≥ 0时 二重积分是 柱体体积; (2) 当f ( x, y) < 0时 二重积分是柱体体积的负值; , 柱体体积的负值; (3) 当f ( x, y) 在D上的若干部分区域上是正的 上的若干部分区域上是正的, 上的若干部分区域上是正的 而在其它的部分区域上是负的. 那末 f ( x, y) 而在其它的部分区域上是负的 那末, 上的二重积分就等于 这些部分区域上的 在D上的二重积分就等于 这些部分区域上的 上的 柱体体积的代数和. 柱体体积的代数和
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V ≈ ∑ f (Pi ) ⋅ ∆σ d(∆Di ) 表示∆Di的直径 表示∆
(i=1,2,…,n)
因此这个小柱体的体积近似地等于 ∆Vi = f (Pi ) ⋅ ∆σ i 各个小柱体的体积之和 就是整个柱体体积的近似值： 就是整个柱体体积的近似值：
当m d(∆Di )} → 0 时 ax{
如果这个和式存在极限: 如果这个和式存在极限 lim ∑ f (Pi ) ⋅ ∆σ 那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。 那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。 这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。 这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。 而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。 而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。
x2 + y2 ≤ R2 例 设D为圆域 为圆域
2 2 2 二重积分 ∫∫ R − x − y dσ D
z
=
2 2 2
D
x
R
O
y
解 z = R − x − y 是上半球面 上述积分等于 由二重积分的几何意义可知， 由二重积分的几何意义可知， 上半球体的体积： 上半球体的体积：
∫∫ D
2 3 R − x − y dσ = πR 3
z
z = f ( x, y)
曲顶柱体体积 = 特点 曲顶
o
D
y
困难 顶是曲的
x
分析
特点 平顶 柱体体积 = 底面积×高 底面积×
回忆 曲边梯形面积是如何求 思想是 以直代曲、 以不变代变. 以不变代变. 以直代曲、 如何创造条件使平 与曲 这对矛盾互相转化 解决问题的思路、 解决问题的思路、步骤与曲边梯形面积 的求法类似 分割、 取近似、 求和、 取极限. 取近似、 求和、 取极限. 分割、
对积分区域的可加性质. 对积分区域的可加性质 性质3 性质 若σ 为D的面积 的面积
1
y
D2
D1
O
D D2
x
σ =∫∫1⋅ dσ = ∫∫ dσ
D D
注
D1与D2除分界线 为高的 既可看成是以D为底 为底, 外无公共点. 外无公共点 ∫∫ dσ 既可看成是以 为底 以1为高的
D
柱体体积. 又可看成是D的面积 的面积. 柱体体积 又可看成是 的面积
y
注
D
O
dσ = dxdy.
二重积分可写为
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
二重积分的存在定理 是有界闭区域D上的连续函数 设 f (x, y)是有界闭区域 上的连续函数 是有界闭区域 或是分片连续函数时, 或是分片连续函数时 则 存在. 存在
∫∫ f ( x, y)dσ D
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二重积分背景之二：质量非均匀分布的薄板的质量。 二重积分背景之二：质量非均匀分布的薄板的质量。
∆D i 平面上有一块薄板, 设xOy平面上有一块薄板 平面上有一块薄板 用 D表示薄板所占据的平面区域 . 表示薄板所占据的平面区域 假设薄板上任一点(x,y)处 假设薄板上任一点 处 Pi 求薄板质量M 求薄板质量 . 质量密度等于 m(x,y) 求薄板质量 . 方法： 方法： 以任意方式将区域 D分割成若干小区域 分割成若干小区域 ∆D1 , ∆D2 ,⋯, ∆Dn 它们的面积表示为 ∆σ1 , ∆σ 2 ,⋯, ∆σ n 任取一个小区域∆ 任取一个小区域∆Di ， 并且在∆Di内任取一点 Pi ， 并且在∆ ∆Di的平均质量密度近似的等于 m(Pi) . 的质量近似地表示为： 于是可以将 ∆Di 的质量近似地表示为：