带电球体电场与电势的分布

带电球体电场与电势的分布

王峰

（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）

在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -ϕ”的关系曲线图，供大家参考。

本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。

1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。

电场分布：

1.1.1内部（r

∵2

22

1212

14sin )sin (4R

Q K

r r R Q

K

E P θθππ=•=

图（1）

2

22

2

2

2224sin )sin (4R

Q K

r r R Q

K

E P θθππ=•=

且P E 1与P E 2等大反向

∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。

1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场

dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的

电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。

上述求电场强度P E 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds 和'

ds 所在球面上的带电圆环进行π20→的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的π→0的积分，最终求出带电球体在P 点的合场强P E 。积分过程如下：如图（2）所示，设x AP r OP R OA ===，，，球表面电荷的面密度为

2

4R

Q πσ=

∵

θσcos 2

x

ds

K

E P =∆

取球面极坐标，则ψϕϕd R Rd ds sin •=，其中ϕ为沿直径方向的从π→0积分角，

ˊ

图（2）

ψ为带电圆环的从π20→的还积分。

θψ

ϕϕσππ

cos sin 2002

2⎰⎰=⎰⎰∆=x

d d R K

E E p P

由OAP ∆可知：ϕcos 222rR R r x -+=

又∵ϕ

ϕϕ

θcos 2cos cos cos 2

2

rR R r R r x

R r -+-=-=

⎰

-+--=⎰⎰

-+-=∴π

ππϕϕϕσπϕϕ

ϕϕψσ0

2

3

22220

2

3

222)cos 2()

cos ()cos (2)cos 2(sin )cos (rR R r d R r R K rR R r d R r R d K E P

又∵r

rR R r R r r rR r R r 2cos 22cos 22cos 22222ϕ

ϕϕ-++-=-=-

()2

2

22

2222021220212222200

212

223222222

2)(211122)

cos 2(12112121)cos 2(1

12312122)cos 2()cos (21)cos 2()cos (22r Q K

r R K R r R r R

r R r R r R r R r R K rR R r rR r rR R r rR r R r R K rR R r d r rR R r d r R r R K E P =•

=⎥⎦⎤--++⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+•+-•+⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+•+-•-=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+-•+-+-•-=∴σπσπϕϕσπϕϕϕϕσπππππ 2

r

Q K

E P =∴

由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度E ，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。

∴ 2

r

Q

K E ＝外

当R r =时，有2

R

Q K

E =，所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在

R r =处电场强度的值有突变的情况。

1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E 的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。

电势分布：

1.2.1内部（r

内部某点P 的电势P ϕ的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定

n

n P A P n n P n n P A P r E r E r E r E U r E r E r E r E U q

r E q r E q r E q r E W q

U W ∆++∆+∆+∆=-∴-=∆++∆+∆+∆=∴∆++∆+∆+∆==∞∞

∞∞∞∞∞ΛΘΛΛΘΘ332211332211332211ϕϕϕϕ又又

R

图（3）